6、給未來的市局女科長講題？
還是那句話，給未來的財局女科長講題，林楓是萬萬不會拒絕的。
但這話一出就立馬遭到了陳坤的反對：
「不是，楓哥，咱們不吃飯了嗎？你剛還說你要餓死了呢！」
林楓瞥了他一眼。
「講完再吃。」
陳坤當場痛苦面具。
「楓哥，咱不帶這樣玩的，你說的……」
林楓根本沒接他這茬，任由他在那裡喋喋不休，轉頭看向宋清歌：
「題目你帶了嗎？」
「帶了！」
宋清歌趕忙從手中的高數課本下拿出了數分課本，翻到了那一頁，遞了過來。
「你看，就是這個第五題！」
林楓微微點頭，接過來掃了一眼。
正是那道他從中找到論文方向的第五題。
題干不長：
「求微分方程y'=y^(2/3)在初始條件y(0)=0下的解，並討論其解的唯一性。若初始條件作微小擾動y(0)=ε，分析解的變化。」
說實話，這題放在大一數分作業里，確實有點陰間。
這些大一學生，包括宋清歌，都不會做，也很正常。
前半部分還可以說是微分方程入門，後半部分「微小擾動」四個字，已經有點研究的味道了。
不過，現在這道題對他來說，根本不算什麼。
「你做到哪一步了？」林楓問道。
宋清歌把自己的草稿紙也遞了過來。
「我分離變量得到3y^(1/3)=x+C，代入y(0)=0，得到C=0，所以y=(x/3)^3。」
「然後y=0也滿足。」
「可後面的擾動，我不會處理。」
她頓了頓，聲音小了些。
「而且我總覺得，解應該不止兩個。」
聽到這，周圍幾個基礎稍微紮實的學生也暗暗點了點頭。
他們和宋清歌的感覺一樣，這也是為什麼他們做了一半就放棄了。
就在這時，林楓開口了：
「其實，你的感覺是對的，這道題的解確實不止兩個，準確來說，有無窮多個。」
這下，周圍眾人都驚呆了。
什麼情況？
無窮多個？
這答案也太離譜了吧？
是真的嗎？
宋清歌也愣在原地。
她原本只是隱約覺得哪裡不對，可她沒想到，林楓會直接給出這麼一個答案。
無窮多個？
這她有點沒太明白！
林楓也沒有過多廢話，拿起前者的草稿紙還有她的筆，便直接在上面寫了起來：
y=0
「第一類，恆等於零。」
接著又寫：
y=((x-a)/3)^3，x>a
y=0，x≤a
寫完之後，他把筆尖點在參數a上。
「第二類，先躺在x軸上，到某個位置a之後，再沿著這條三次曲線爬起來。」
講到這裡，旁邊的陳坤已經聽懵了。
「等一下，楓哥，什麼叫先躺著再爬起來？」
這句話問出了所有人的心聲。
林楓淡淡道：「你可以理解為，這個解一開始就在裝死。」
「啊？裝死？」
「對，它在x≤a的時候就是y=0，導數也是0，完全滿足方程。」
「到x>a的時候，它變成y=((x-a)/3)^3，你代進去，還是滿足y'=y^(2/3)。」
陳坤瞪著草稿紙，下意識喊道：
「不是，這他媽不是耍無賴嗎？」
這話把旁邊幾個同學都逗樂了。
宋清歌卻沒笑。
她盯著林楓寫出來的分段函數，手指輕輕指著x=a的地方。
「可是這裡會不會不光滑？」
「會。」
林楓接過話。
「所以關鍵就在這裡。」
他在x=a處寫下：
左導數：0
右導數：lim[x→a+]((x-a)^2)/9=0
「左邊導數是0，右邊導數也是0。」
「函數值也都是0。」
「所以它在拼接點處可導。」
「並且導數等於y^(2/3)=0。」
宋清歌低頭看著那幾行推導，呼吸都慢了半拍。
她之前卡住的地方就在這。
她想過可能存在別的解，卻沒想到可以用「延遲出發」的方式構造出來。
這時，周圍圍觀的同學也越來越多，有人忍不住開口問道：「那a可以隨便取？」
林楓微微點頭，「只要滿足初值條件就行。」
他又在紙上補了一行：
若a≥0，則y(0)=0
「所以每一個a≥0，都能給出一個滿足y(0)=0的解。」
「這就是無窮多個。」
這一刻，周圍徹底安靜了下來。
和之前林楓在講台上一樣，這道第五題他也講的深入淺出，不少學生都聽明白了。
也正因此，所有人心中都掀起了驚濤駭浪。
誰能想到，平常在學習上毫不起眼的林楓，竟然又會做高數題又會做數分題，而且還都是這種連高考138分學霸都解決不了的難題，這真的太意外了。
「你們說，這林楓沒上老王的課是不是真的去自學去了？不然，怎麼這麼強？」
「這很有可能啊！這種難題他都會，我要是他我也沒有上課的必要啊！」
有人小聲嘀咕著。
而陳坤聽到老王兩個字，臉都綠了。
「不是哥們，你要誇我楓哥就好好夸啊，提什麼老王啊，我現在聽見這倆字就心梗。」
周圍又是幾聲嗤笑。
站在中間的宋清歌卻沒管這些，她馬上追問道：
「那擾動呢？如果y(0)=ε，怎麼分析？」
林楓把紙往自己面前拉了拉。
「這個要分情況。」
「如果ε>0，分離變量法可以直接算。」
他寫下：
3y^(1/3)=x+C
y(0)=ε
C=3ε^(1/3)
所以：
y=(x/3+ε^(1/3))^3
「這個時候，初值不在0上，解會被固定住，沒法繼續裝死。」
陳坤忍不住插嘴：
「為什麼不能裝死了？」
林楓瞥了他一下。
「因為它起點已經不在地上了。」
陳坤恍然大悟。
「哦~之前在地上，所以想什麼時候爬都行，現在站起來了，就沒法再裝睡了。」
林楓有些無語。
「你理解的很形象。」
周圍再次響起一陣笑聲。
但笑完之後，不少人真的聽明白了。
宋清歌拿著筆，在自己的本子上快速記著。
她寫得很認真，寫到「裝死」兩個字的時候，又趕緊劃掉，改成「停留在零解上」。
林楓看見這一幕，差點沒繃住。
這未來的女科長還挺嚴謹。
「那ε趨近於0的時候呢？」
宋清歌繼續追問。
「這個解會趨近於y=(x/3)^3。」
林楓在紙上畫了個箭頭。
「也就是說，正擾動會選中那條馬上離開零點的解。」
「但原方程在ε=0的時候，還有一大堆延遲離開的解。」
「所以這裡的擾動很敏感。」
他停了停，又補了一句：
「這也是這道題最有意思的地方。」
「初值只要從0動一點點，結構就變了。」
「這就是我剛才說的，奇異點。」
宋清歌的表情明顯一滯。
「奇異點……」
這三個字和之前的利普希茨條件、皮卡定理一樣，也沒有聽過。
看來又是超綱知識！
「所以……這也是你自學的？」
林楓點了點頭。
「還因為感覺有意思才自學的？」
林楓又點了點頭。
宋清歌沉默了，直視著他，仿佛第一天認識般，很是陌生。
所以……
平常抄自己作業是為了和自己拉近距離？
她的腦海里，突然蹦出了這個想法。
但很快——
就被她甩了出去！
現在正在講題！
現在不是胡思亂想的時候！
集中精神，再次看向眼前這道題。
「如果a可以任意取，那這些解是不是都可以看成從零解上分叉出去？」
她的聲音比剛才大了一點。
「可以這麼理解。」
「那擾動之後，為什麼只選中了馬上離開的那條？是不是因為ε大於0以後，初始點已經避開了奇異點？」
「對。」
林楓把紙翻到空白處，又補了兩行。
「ε>0時，初始點在y=ε上，右端函數在這個附近比較規矩。」
「它不會再卡在y=0那條線上，所以解的結構一下子就簡單了。」
宋清歌馬上接上：
「也就是說，ε趨向0時，擾動解趨向的是a=0的那支，而不是所有a≥0的那些延遲解。」
「嗯。」
林楓看了她一眼。
不愧是未來的財政局女科長，這理解能力確實可以。
他只是講了框架，她已經能往後推了。
旁邊有幾個同學聽到這裡，忍不住拿出手機拍起了草稿紙。
陳坤有些急了。
「哎哎哎！幹嘛呢？這是我楓哥現場講義，拍照要收費的啊！」
一個男生當場懟回來：
「你收個屁，又不是你寫的。」
陳坤理直氣壯：
「我是他室友，精神股東懂不懂？」
「滾！」
周圍笑成一片。
林楓也被這貨整無語了。
「行了，別鬧，我真餓了。」
「對對對，吃飯！」
陳坤趕緊把書往包里一塞，「再不去食堂，紅燒肉都沒了。」
可他們剛準備離開，身後便傳來張洪濤的聲音。
「林楓，你等一下。」
林楓腳步一滯。
不是，這老張怎麼還沒走？
他轉過身，發現張洪濤已經從講台上走了下來，並且還拿起了剛才那張他推導的草稿紙。
老張沒有立刻開口，反而彎腰看了起來。
周圍原本要走的學生，動作又慢了下來。
有熱鬧不看，那是對大學生活的不尊重。
陳坤拿著課本站在旁邊，小聲嘀咕：
「楓哥，這老張要幹嘛啊？難道你剛剛講錯了？」
林楓也有點茫然。
不應該啊？
有15/100的經驗值，再加上數學思維強化能力，這道題他不可能做錯啊？
再說了，他論文還是從這道題里延伸出來的。
他很不理解！
包括周圍的學生，也是一樣。
難道林楓講錯了？
張洪濤看得很細。
先看恆等零解。
再看分段構造。
最後停在「y(0)=ε」那幾行推導上。
他拿起宋清歌的筆，在旁邊補了個「ε>0」的限定，又在分段解的拼接點下面點了一下。
「這裡，你剛才講過可導性了？」
宋清歌趕緊點頭。
「講過了，左導數右導數都是0。」
張洪濤嗯了一聲，又看向林楓。
「你這個構造，是自己想出來的？」
林楓沒有把話說死。
「昨晚查資料的時候看到過類似思路，今天結合題目整理了一下。」
「類似思路？」
張洪濤重複了一遍，沒繼續追問，而是把草稿紙拿起來，仔細看了半分鐘。
最終放到了桌上，目光注視著林楓，緩緩開口道：
「這題不是簡單的課後練習。」
「前半部分考解的非唯一性，後半部分考擾動對解結構的影響。」
「能把無窮多解構造出來，再把擾動選支講清楚，說明你確實理解了。」
說到這，他頓了頓。
「老王這道題，出得有點狠。」
「但——」
「你！林楓！你也不一般啊！」
「能把這道題寫出來，並且還超前自學奇異解、利普希茨條件，你真的很不錯！」
說到這，他又頓了下。
「對了，聽說老王罰你寫論文了？寫不出來就要掛科？」
林楓微微嘆了口氣，很不情願地點了點頭。
「怎麼？需不需要我幫你給他求求情？」
這話一出，林楓先是一怔，接著立馬激動起來。
求情？
求情好啊！
雖然他找老王求情沒用，但不代表老張找老王就沒用！
要是能取消懲罰，他就不用寫論文了，也就有時間備考考公了！
「真的嗎？張教授？」
因為激動，稱呼都變了。
「呵呵！騙你的，別想了，老王這個人我很熟，他一個連院長都敢當面陰陽當面懟的，他決定的事情，別說是我，院長來了都沒用。」
張洪濤挑了挑眉，一臉的笑容。
而這也令林楓繃不住了。
不是……
辦不了你說集貿啊！
開玩笑很有意思嗎？
他很難受。
他很無語。
「所以啊，要麼寫出來論文，要麼就要掛科，自求多福吧，林楓同學。」
說完，張洪濤拍了拍林楓的肩膀，轉身就要離開，但剛走兩步就又停了下來：
「對了，我提醒你一句，老王看論文很挑的，你拿一篇拼湊的東西過去，他不會因為你是大一就放水的，甚至還會非常生氣。」
「可能補考都不會讓你過得？」
「所以……」
「林楓同學，好好寫吧！」
但這話一出就立馬遭到了陳坤的反對：
「不是，楓哥，咱們不吃飯了嗎？你剛還說你要餓死了呢！」
林楓瞥了他一眼。
「講完再吃。」
陳坤當場痛苦面具。
「楓哥，咱不帶這樣玩的，你說的……」
林楓根本沒接他這茬，任由他在那裡喋喋不休，轉頭看向宋清歌：
「題目你帶了嗎？」
「帶了！」
宋清歌趕忙從手中的高數課本下拿出了數分課本，翻到了那一頁，遞了過來。
「你看，就是這個第五題！」
林楓微微點頭，接過來掃了一眼。
正是那道他從中找到論文方向的第五題。
題干不長：
「求微分方程y'=y^(2/3)在初始條件y(0)=0下的解，並討論其解的唯一性。若初始條件作微小擾動y(0)=ε，分析解的變化。」
說實話，這題放在大一數分作業里，確實有點陰間。
這些大一學生，包括宋清歌，都不會做，也很正常。
前半部分還可以說是微分方程入門，後半部分「微小擾動」四個字，已經有點研究的味道了。
不過，現在這道題對他來說，根本不算什麼。
「你做到哪一步了？」林楓問道。
宋清歌把自己的草稿紙也遞了過來。
「我分離變量得到3y^(1/3)=x+C，代入y(0)=0，得到C=0，所以y=(x/3)^3。」
「然後y=0也滿足。」
「可後面的擾動，我不會處理。」
她頓了頓，聲音小了些。
「而且我總覺得，解應該不止兩個。」
聽到這，周圍幾個基礎稍微紮實的學生也暗暗點了點頭。
他們和宋清歌的感覺一樣，這也是為什麼他們做了一半就放棄了。
就在這時，林楓開口了：
「其實，你的感覺是對的，這道題的解確實不止兩個，準確來說，有無窮多個。」
這下，周圍眾人都驚呆了。
什麼情況？
無窮多個？
這答案也太離譜了吧？
是真的嗎？
宋清歌也愣在原地。
她原本只是隱約覺得哪裡不對，可她沒想到，林楓會直接給出這麼一個答案。
無窮多個？
這她有點沒太明白！
林楓也沒有過多廢話，拿起前者的草稿紙還有她的筆，便直接在上面寫了起來：
y=0
「第一類，恆等於零。」
接著又寫：
y=((x-a)/3)^3，x>a
y=0，x≤a
寫完之後，他把筆尖點在參數a上。
「第二類，先躺在x軸上，到某個位置a之後，再沿著這條三次曲線爬起來。」
講到這裡，旁邊的陳坤已經聽懵了。
「等一下，楓哥，什麼叫先躺著再爬起來？」
這句話問出了所有人的心聲。
林楓淡淡道：「你可以理解為，這個解一開始就在裝死。」
「啊？裝死？」
「對，它在x≤a的時候就是y=0，導數也是0，完全滿足方程。」
「到x>a的時候，它變成y=((x-a)/3)^3，你代進去，還是滿足y'=y^(2/3)。」
陳坤瞪著草稿紙，下意識喊道：
「不是，這他媽不是耍無賴嗎？」
這話把旁邊幾個同學都逗樂了。
宋清歌卻沒笑。
她盯著林楓寫出來的分段函數，手指輕輕指著x=a的地方。
「可是這裡會不會不光滑？」
「會。」
林楓接過話。
「所以關鍵就在這裡。」
他在x=a處寫下：
左導數：0
右導數：lim[x→a+]((x-a)^2)/9=0
「左邊導數是0，右邊導數也是0。」
「函數值也都是0。」
「所以它在拼接點處可導。」
「並且導數等於y^(2/3)=0。」
宋清歌低頭看著那幾行推導，呼吸都慢了半拍。
她之前卡住的地方就在這。
她想過可能存在別的解，卻沒想到可以用「延遲出發」的方式構造出來。
這時，周圍圍觀的同學也越來越多，有人忍不住開口問道：「那a可以隨便取？」
林楓微微點頭，「只要滿足初值條件就行。」
他又在紙上補了一行：
若a≥0，則y(0)=0
「所以每一個a≥0，都能給出一個滿足y(0)=0的解。」
「這就是無窮多個。」
這一刻，周圍徹底安靜了下來。
和之前林楓在講台上一樣，這道第五題他也講的深入淺出，不少學生都聽明白了。
也正因此，所有人心中都掀起了驚濤駭浪。
誰能想到，平常在學習上毫不起眼的林楓，竟然又會做高數題又會做數分題，而且還都是這種連高考138分學霸都解決不了的難題，這真的太意外了。
「你們說，這林楓沒上老王的課是不是真的去自學去了？不然，怎麼這麼強？」
「這很有可能啊！這種難題他都會，我要是他我也沒有上課的必要啊！」
有人小聲嘀咕著。
而陳坤聽到老王兩個字，臉都綠了。
「不是哥們，你要誇我楓哥就好好夸啊，提什麼老王啊，我現在聽見這倆字就心梗。」
周圍又是幾聲嗤笑。
站在中間的宋清歌卻沒管這些，她馬上追問道：
「那擾動呢？如果y(0)=ε，怎麼分析？」
林楓把紙往自己面前拉了拉。
「這個要分情況。」
「如果ε>0，分離變量法可以直接算。」
他寫下：
3y^(1/3)=x+C
y(0)=ε
C=3ε^(1/3)
所以：
y=(x/3+ε^(1/3))^3
「這個時候，初值不在0上，解會被固定住，沒法繼續裝死。」
陳坤忍不住插嘴：
「為什麼不能裝死了？」
林楓瞥了他一下。
「因為它起點已經不在地上了。」
陳坤恍然大悟。
「哦~之前在地上，所以想什麼時候爬都行，現在站起來了，就沒法再裝睡了。」
林楓有些無語。
「你理解的很形象。」
周圍再次響起一陣笑聲。
但笑完之後，不少人真的聽明白了。
宋清歌拿著筆，在自己的本子上快速記著。
她寫得很認真，寫到「裝死」兩個字的時候，又趕緊劃掉，改成「停留在零解上」。
林楓看見這一幕，差點沒繃住。
這未來的女科長還挺嚴謹。
「那ε趨近於0的時候呢？」
宋清歌繼續追問。
「這個解會趨近於y=(x/3)^3。」
林楓在紙上畫了個箭頭。
「也就是說，正擾動會選中那條馬上離開零點的解。」
「但原方程在ε=0的時候，還有一大堆延遲離開的解。」
「所以這裡的擾動很敏感。」
他停了停，又補了一句：
「這也是這道題最有意思的地方。」
「初值只要從0動一點點，結構就變了。」
「這就是我剛才說的，奇異點。」
宋清歌的表情明顯一滯。
「奇異點……」
這三個字和之前的利普希茨條件、皮卡定理一樣，也沒有聽過。
看來又是超綱知識！
「所以……這也是你自學的？」
林楓點了點頭。
「還因為感覺有意思才自學的？」
林楓又點了點頭。
宋清歌沉默了，直視著他，仿佛第一天認識般，很是陌生。
所以……
平常抄自己作業是為了和自己拉近距離？
她的腦海里，突然蹦出了這個想法。
但很快——
就被她甩了出去！
現在正在講題！
現在不是胡思亂想的時候！
集中精神，再次看向眼前這道題。
「如果a可以任意取，那這些解是不是都可以看成從零解上分叉出去？」
她的聲音比剛才大了一點。
「可以這麼理解。」
「那擾動之後，為什麼只選中了馬上離開的那條？是不是因為ε大於0以後，初始點已經避開了奇異點？」
「對。」
林楓把紙翻到空白處，又補了兩行。
「ε>0時，初始點在y=ε上，右端函數在這個附近比較規矩。」
「它不會再卡在y=0那條線上，所以解的結構一下子就簡單了。」
宋清歌馬上接上：
「也就是說，ε趨向0時，擾動解趨向的是a=0的那支，而不是所有a≥0的那些延遲解。」
「嗯。」
林楓看了她一眼。
不愧是未來的財政局女科長，這理解能力確實可以。
他只是講了框架，她已經能往後推了。
旁邊有幾個同學聽到這裡，忍不住拿出手機拍起了草稿紙。
陳坤有些急了。
「哎哎哎！幹嘛呢？這是我楓哥現場講義，拍照要收費的啊！」
一個男生當場懟回來：
「你收個屁，又不是你寫的。」
陳坤理直氣壯：
「我是他室友，精神股東懂不懂？」
「滾！」
周圍笑成一片。
林楓也被這貨整無語了。
「行了，別鬧，我真餓了。」
「對對對，吃飯！」
陳坤趕緊把書往包里一塞，「再不去食堂，紅燒肉都沒了。」
可他們剛準備離開，身後便傳來張洪濤的聲音。
「林楓，你等一下。」
林楓腳步一滯。
不是，這老張怎麼還沒走？
他轉過身，發現張洪濤已經從講台上走了下來，並且還拿起了剛才那張他推導的草稿紙。
老張沒有立刻開口，反而彎腰看了起來。
周圍原本要走的學生，動作又慢了下來。
有熱鬧不看，那是對大學生活的不尊重。
陳坤拿著課本站在旁邊，小聲嘀咕：
「楓哥，這老張要幹嘛啊？難道你剛剛講錯了？」
林楓也有點茫然。
不應該啊？
有15/100的經驗值，再加上數學思維強化能力，這道題他不可能做錯啊？
再說了，他論文還是從這道題里延伸出來的。
他很不理解！
包括周圍的學生，也是一樣。
難道林楓講錯了？
張洪濤看得很細。
先看恆等零解。
再看分段構造。
最後停在「y(0)=ε」那幾行推導上。
他拿起宋清歌的筆，在旁邊補了個「ε>0」的限定，又在分段解的拼接點下面點了一下。
「這裡，你剛才講過可導性了？」
宋清歌趕緊點頭。
「講過了，左導數右導數都是0。」
張洪濤嗯了一聲，又看向林楓。
「你這個構造，是自己想出來的？」
林楓沒有把話說死。
「昨晚查資料的時候看到過類似思路，今天結合題目整理了一下。」
「類似思路？」
張洪濤重複了一遍，沒繼續追問，而是把草稿紙拿起來，仔細看了半分鐘。
最終放到了桌上，目光注視著林楓，緩緩開口道：
「這題不是簡單的課後練習。」
「前半部分考解的非唯一性，後半部分考擾動對解結構的影響。」
「能把無窮多解構造出來，再把擾動選支講清楚，說明你確實理解了。」
說到這，他頓了頓。
「老王這道題，出得有點狠。」
「但——」
「你！林楓！你也不一般啊！」
「能把這道題寫出來，並且還超前自學奇異解、利普希茨條件，你真的很不錯！」
說到這，他又頓了下。
「對了，聽說老王罰你寫論文了？寫不出來就要掛科？」
林楓微微嘆了口氣，很不情願地點了點頭。
「怎麼？需不需要我幫你給他求求情？」
這話一出，林楓先是一怔，接著立馬激動起來。
求情？
求情好啊！
雖然他找老王求情沒用，但不代表老張找老王就沒用！
要是能取消懲罰，他就不用寫論文了，也就有時間備考考公了！
「真的嗎？張教授？」
因為激動，稱呼都變了。
「呵呵！騙你的，別想了，老王這個人我很熟，他一個連院長都敢當面陰陽當面懟的，他決定的事情，別說是我，院長來了都沒用。」
張洪濤挑了挑眉，一臉的笑容。
而這也令林楓繃不住了。
不是……
辦不了你說集貿啊！
開玩笑很有意思嗎？
他很難受。
他很無語。
「所以啊，要麼寫出來論文，要麼就要掛科，自求多福吧，林楓同學。」
說完，張洪濤拍了拍林楓的肩膀，轉身就要離開，但剛走兩步就又停了下來：
「對了，我提醒你一句，老王看論文很挑的，你拿一篇拼湊的東西過去，他不會因為你是大一就放水的，甚至還會非常生氣。」
「可能補考都不會讓你過得？」
「所以……」
「林楓同學，好好寫吧！」