5、平時分拿滿分，就為了上我的課刷行測？
「斜率？」
張洪濤微微挑了下眉，不置可否。
這個詞確實是前面幾節課講過的，而且對於在場一眾學生來說，這個知識點甚至在高中的時候就講過了。
這，並不屬於超綱知識。
但如何用斜率來證明這道題，他們還是很茫然。
都不明白，斜率這玩意兒也能用來證明「解的非唯一性」？
「感覺跟這道題沒什麼關係啊！」
有人小聲嘀咕著。
林楓沒有廢話，直接在黑板右邊畫了一個坐標系。
「y'=y^(2/3)，這個方程的意思是，在平面上任意一個點(x，y)處，解曲線經過這個點時的斜率就是y^(2/3)。」
「那我們來看看y=0這條線附近會發生什麼。」
他在x軸上方標了幾個點，分別標註了對應的斜率值。
「當y=0.1的時候，斜率是0.1^(2/3)≈0.215。」
「當y=0.01的時候，斜率是0.01^(2/3)≈0.046。」
「當y=0.001的時候，斜率是0.001^(2/3)≈0.01。」
他邊寫邊說著：
「大家注意到沒有，y越接近0，斜率越接近0。」
「也就是說，在y=0附近，解曲線幾乎是平的。」
說到這裡，他在坐標系上畫了一條沿著x軸趨近的曲線。
「那y=0本身呢？斜率是0^(2/3)=0，完全是平的。」
「所以y恆等於0，也就是x軸本身，它就是一條解曲線，而且斜率處處為零，完全躺在x軸上。」
台下有人嗤笑了一聲，但很快又憋了回去。
因為他發現周圍所有人都聽得全神貫注。
打遊戲的不打了，看小說的不看了，聽歌的不聽了。
全都沉浸在了林楓的講解中：
「但問題在於，分離變量法還能解出另一條解曲線y=(x/3)³。」
「這條曲線在x=0的時候，y(0)=0，也經過原點。」
「而且在原點附近，y=(x/3)³的值非常小，對應的斜率y^(2/3)也非常小，和x軸幾乎貼在一起。」
說著，他在圖上又畫出了第二條曲線，從原點出發，緩緩上升。
可以看到，兩條曲線在原點處完美重合。
「這，就是問題所在。」
他在兩條曲線的交點處畫上了一個圓圈。
「在這個點上，兩條解曲線的斜率是一樣的，都是零。」
「方向場在這個點給不出任何區分，你沿著x軸走可以，你順著(x/3)³走也可以。」
「方向場在這裡分不清該往哪兒走，所以兩個解都成立。」
他放下粉筆，目光掃視整個教室，最後又看向張洪濤。
「這就是為什麼解不唯一。」
「不是因為方程有什麼錯誤，而是因為在y=0這個點，方程給出的方向指引太模糊了，模糊到兩條完全不同的路徑都符合要求。」
「用之前您講過的話來說就是方向場在這個點退化了。」
他的講解結束了，但整個教室卻依舊像是被人按下了暫停鍵。
沒有半點聲音！
張洪濤雙手抱胸，目光緊緊盯著黑板上的推導過程，眼神複雜。
兩條曲線從原點出發，一條貼著x軸躺下，一條緩緩上揚。
交點處一個圓圈，旁邊寫著「方向場退化」五個字。
簡潔。
直觀。
漂亮。
如果說前面的利普希茨條件是完美，那剛剛講的斜率就是極其完美。
「方向場退化……」
他看著，又忍不住念著，語速很慢很慢。
其實，正如林楓猜想的那樣，他出這道題也是為了檢驗前面學過的斜率知識學生們掌握的如何。
但他對於這道題能否解決，並沒有抱有希望。
這些年來，他在江陽師範帶過的數院學生沒有一千也有八百，每年都會出一個類似的變種題，但無一例外，用方向場的幾何直覺去解釋解的非唯一性，這個思路都想不到。
而且他也沒講過，因為沒必要。
考試不考這個角度，學生也理解不了。
他本來想的是，誰要是能想到從斜率出發，那就可以算是做對了，這種數學思維，平時分給個滿分也沒有什麼。
但，林楓不僅給出了利普希茨條件的超綱解法，更是給出了斜率的思路，並且把整個推導過程講的一清二楚、明明白白。
這真的令他太驚訝了。
沒忍住，伸出雙手，鼓起掌來。
啪！
啪！
啪！
掌聲在安靜的教室里顯得格外突兀。
「講得非常好。」
「第一個解法，利普希茨條件，嚴謹規範，說明你的自學能力很強。」
「第二個解法，方向場的幾何解釋，直觀清晰，說明你真正理解了這道題的本質。」
「林楓是吧？我記住你了！你真的很不錯！」
他看著林楓的眼神充滿了欣賞。
要知道，張洪濤作為學院派老教師，想要獲得他的稱讚是很難的，但林楓卻接連獲得了兩句稱讚，足以見得前者是多麼的認可。
「行了，你回去坐著吧，你的平時分我會給滿分的，你放心，我說話算數。」
聽到這，林楓點了點頭，心中也略微有些激動。
不是因為解出了這道題，而是因為平時分一滿，高數這門課就可以不用再操心了，以後甚至上高數課刷行測申論都沒問題。
當然，這想法要是被張洪濤知道，恐怕會立馬收回剛剛的承諾。
平時分拿滿分，就為了上我的課刷考公題？
別太過分了！！！
不過，這些都是後話了。
林楓一邊想著，一邊朝自己的座位走去。
當走到一半的時候，教室里這才終於有了動靜。
「臥槽！！！！！」
不知是誰直接爆吼一聲，就像是積壓了許久的情緒瞬間爆發一般。
緊接著，班裡就跟馬蜂窩一樣，嗡嗡聲四起：
「真做出來了？真做出來了？他真的會啊？」
「不是，用利普希茨條件就算了，竟然還能用斜率來解題？這太牛逼了吧！」
「什麼情況？我剛剛聽他講斜率這部分我竟然聽明白了？」
「我也聽懂了，感覺都是之前張老師講的內容。」
「我靠，那個方向場退化的說法也太形象了吧？兩條路都能走，所以解不唯一？」
「等等，這還是昨天逃課被抓的林楓嗎？怎麼感覺和之前不一樣了？」
「你們說，他會不會是在逃課自學啊？」
「你別說，還真有可能！」
……
討論聲就沒停過。
臨近下課，張洪濤也沒有刻意維持紀律，任由這群學生宣洩著心底的震撼。
這其中最震撼的還要屬陳坤，整個人看起來都魂不附體了。
從林楓講斜率開始，他的嘴巴就張著，一直沒合攏過。
等林楓坐回到他旁邊的時候，他更是忍不住來了一句：「楓哥！你是不是被奪舍了？還是被外星人附體了？你還是我的楓哥嗎？」
「當然了！你少看點小說吧！」
林楓帶著無奈地笑了笑。
對於陳坤，他並不反感。
依稀記得上一世這個擺爛的活寶畢業後進了蓉城某家外貿公司做了銷售，因為口才不錯，最後還開上了寶馬3系，發的朋友圈讓他感慨極了。
很快，下課鈴便響了起來。
「叮鈴鈴——」
這下，教室里瞬間變得更熱鬧了，有收拾書本的，有約著一起吃飯的，還有湊在一起八卦的，亂成了一鍋粥。
林楓也打算跟著陳坤前往食堂，而且這會兒真的是太餓了。
昨晚上學了個通宵，今早上還沒吃早飯，剛剛在台上那會兒就感覺前胸貼後背的，現在，更是迫不及待了。
「走走走，快去食堂，我快餓死了。」
他催促著陳坤起身。
但也就在這時，一道清脆的女聲從前排傳了過來：
「林楓！」
他順著聲音一看，只見宋清歌快步朝他走來。
「等等林楓，我有個問題想問問你。」
這一幕，令班裡不少同學的動作都慢了下來。
宋清歌喊住了林楓？
一邊是清秀女學霸，一邊是逆襲學渣，現在下課了，這是要幹什麼？
質問？
還是……
請教？
不由自主地，都停下了腳步。
八卦之火在無聲中瞬間燃遍整個教室。
包括講台上的張洪濤，收拾教案的動作也慢了半拍。
「有事嗎？」
林楓倒是很平靜，他轉過頭，目光直視宋清歌。
這一看，後者竟不由得有些俏臉微紅，目光也不敢直視回去，甚至微微低下了頭。
而之所以會這樣，要從軍訓時說起。
前不久，大一軍訓的時候她便注意到了林楓，個子很高，有一米八多，長得也算是小帥，尤其是笑起來的時候有點痞，但又不令人討厭。
後來分了班，恰好在一個班。
再後來，他開始找她借作業抄。
每次他找過來的時候，她都會故意把字寫得工整一點，然後裝作很不情願地把作業遞過去。
但其實……
心裡還挺開心的。
雖然沒談過戀愛，但她也知道，自己恐怕是對對方有好感的。
尤其是今天，看到講台上那個侃侃而談的身影，看到對方輕描淡寫地講出利普希茨條件、方向場退化，這些連她都沒想到的知識點。
那一瞬間，她心裡某根弦好像被撥了一下。
所以，才會有現在臉紅的這一幕。
「那個……就是想問一下，上周《數學分析》王成民教授布置的那個課後第五題，你會做嗎？」
她的聲音很小，依舊有些微微低頭。
但周圍豎著耳朵偷聽的同學們卻聽得很清楚。
一時間，不少人都開始回憶起來。
「上周數分作業第五題？是那道微分方程的題？」
「好像是的，我當時記得我直接跳過了，因為我連題目都看不懂。」
「我也一樣，這東西感覺都不是我能做的，我還是有自知之明的。」
「誰說不是啊，我做了一半發現做不出來直接果斷放棄了，沒想到宋學霸也沒做出來。」
「嘖嘖，看來這道題是真的難啊！不過，她怎麼問林楓啊？難道她覺得林楓能做出來這道題？」
「這不太可能吧？難道林楓不僅高數厲害，數分也厲害？難道他昨天逃課真是因為數分都會了？」
……
教室里再次響起了竊竊私語聲。
聽到這個問題，看著眼前的清秀少女，林楓腦海里瞬間浮現出了關於對方上一世的記憶。
上一世，自己大學四年可沒少抄對方的作業，雖然兩人交流不多，但這份恩情他一直記著。
特別是，這位女學霸後來考上了研究生，研究生畢業又考上了江陽市財政局公務員，妥妥的前途無量。
後來他被大運送回來之前，還聽他們這一屆的同學討論過，據說已經當上財政局審批科科長了，絕對的實權。
這是什麼？
這是潛力股！
這是未來他在進入體制後的大腿！
所以，於情於理，於公於私，這個關係都得維護好。
如今，重活一世，人家主動找上門來請教問題，這必須得好好解答。
「會做！」
他的回答乾脆利落。
但令在場還沒走的學生們都是一愣。
不是，這也會做？
宋清歌也是一樣，先是一愣，接著眼睛一亮，抬起頭，語氣裡帶著一絲期盼和驚喜：
「那……你能給我講講思路嗎？」
「我用分離變量法算出來一個解，但總感覺不太對，好像還有別的解，但又不知道怎麼找。」
她的表情寫滿了困惑。
林楓看著她，又掃了一眼周圍還沒散去的吃瓜群眾，點了點頭。
「行啊，當然可以。」
張洪濤微微挑了下眉，不置可否。
這個詞確實是前面幾節課講過的，而且對於在場一眾學生來說，這個知識點甚至在高中的時候就講過了。
這，並不屬於超綱知識。
但如何用斜率來證明這道題，他們還是很茫然。
都不明白，斜率這玩意兒也能用來證明「解的非唯一性」？
「感覺跟這道題沒什麼關係啊！」
有人小聲嘀咕著。
林楓沒有廢話，直接在黑板右邊畫了一個坐標系。
「y'=y^(2/3)，這個方程的意思是，在平面上任意一個點(x，y)處，解曲線經過這個點時的斜率就是y^(2/3)。」
「那我們來看看y=0這條線附近會發生什麼。」
他在x軸上方標了幾個點，分別標註了對應的斜率值。
「當y=0.1的時候，斜率是0.1^(2/3)≈0.215。」
「當y=0.01的時候，斜率是0.01^(2/3)≈0.046。」
「當y=0.001的時候，斜率是0.001^(2/3)≈0.01。」
他邊寫邊說著：
「大家注意到沒有，y越接近0，斜率越接近0。」
「也就是說，在y=0附近，解曲線幾乎是平的。」
說到這裡，他在坐標系上畫了一條沿著x軸趨近的曲線。
「那y=0本身呢？斜率是0^(2/3)=0，完全是平的。」
「所以y恆等於0，也就是x軸本身，它就是一條解曲線，而且斜率處處為零，完全躺在x軸上。」
台下有人嗤笑了一聲，但很快又憋了回去。
因為他發現周圍所有人都聽得全神貫注。
打遊戲的不打了，看小說的不看了，聽歌的不聽了。
全都沉浸在了林楓的講解中：
「但問題在於，分離變量法還能解出另一條解曲線y=(x/3)³。」
「這條曲線在x=0的時候，y(0)=0，也經過原點。」
「而且在原點附近，y=(x/3)³的值非常小，對應的斜率y^(2/3)也非常小，和x軸幾乎貼在一起。」
說著，他在圖上又畫出了第二條曲線，從原點出發，緩緩上升。
可以看到，兩條曲線在原點處完美重合。
「這，就是問題所在。」
他在兩條曲線的交點處畫上了一個圓圈。
「在這個點上，兩條解曲線的斜率是一樣的，都是零。」
「方向場在這個點給不出任何區分，你沿著x軸走可以，你順著(x/3)³走也可以。」
「方向場在這裡分不清該往哪兒走，所以兩個解都成立。」
他放下粉筆，目光掃視整個教室，最後又看向張洪濤。
「這就是為什麼解不唯一。」
「不是因為方程有什麼錯誤，而是因為在y=0這個點，方程給出的方向指引太模糊了，模糊到兩條完全不同的路徑都符合要求。」
「用之前您講過的話來說就是方向場在這個點退化了。」
他的講解結束了，但整個教室卻依舊像是被人按下了暫停鍵。
沒有半點聲音！
張洪濤雙手抱胸，目光緊緊盯著黑板上的推導過程，眼神複雜。
兩條曲線從原點出發，一條貼著x軸躺下，一條緩緩上揚。
交點處一個圓圈，旁邊寫著「方向場退化」五個字。
簡潔。
直觀。
漂亮。
如果說前面的利普希茨條件是完美，那剛剛講的斜率就是極其完美。
「方向場退化……」
他看著，又忍不住念著，語速很慢很慢。
其實，正如林楓猜想的那樣，他出這道題也是為了檢驗前面學過的斜率知識學生們掌握的如何。
但他對於這道題能否解決，並沒有抱有希望。
這些年來，他在江陽師範帶過的數院學生沒有一千也有八百，每年都會出一個類似的變種題，但無一例外，用方向場的幾何直覺去解釋解的非唯一性，這個思路都想不到。
而且他也沒講過，因為沒必要。
考試不考這個角度，學生也理解不了。
他本來想的是，誰要是能想到從斜率出發，那就可以算是做對了，這種數學思維，平時分給個滿分也沒有什麼。
但，林楓不僅給出了利普希茨條件的超綱解法，更是給出了斜率的思路，並且把整個推導過程講的一清二楚、明明白白。
這真的令他太驚訝了。
沒忍住，伸出雙手，鼓起掌來。
啪！
啪！
啪！
掌聲在安靜的教室里顯得格外突兀。
「講得非常好。」
「第一個解法，利普希茨條件，嚴謹規範，說明你的自學能力很強。」
「第二個解法，方向場的幾何解釋，直觀清晰，說明你真正理解了這道題的本質。」
「林楓是吧？我記住你了！你真的很不錯！」
他看著林楓的眼神充滿了欣賞。
要知道，張洪濤作為學院派老教師，想要獲得他的稱讚是很難的，但林楓卻接連獲得了兩句稱讚，足以見得前者是多麼的認可。
「行了，你回去坐著吧，你的平時分我會給滿分的，你放心，我說話算數。」
聽到這，林楓點了點頭，心中也略微有些激動。
不是因為解出了這道題，而是因為平時分一滿，高數這門課就可以不用再操心了，以後甚至上高數課刷行測申論都沒問題。
當然，這想法要是被張洪濤知道，恐怕會立馬收回剛剛的承諾。
平時分拿滿分，就為了上我的課刷考公題？
別太過分了！！！
不過，這些都是後話了。
林楓一邊想著，一邊朝自己的座位走去。
當走到一半的時候，教室里這才終於有了動靜。
「臥槽！！！！！」
不知是誰直接爆吼一聲，就像是積壓了許久的情緒瞬間爆發一般。
緊接著，班裡就跟馬蜂窩一樣，嗡嗡聲四起：
「真做出來了？真做出來了？他真的會啊？」
「不是，用利普希茨條件就算了，竟然還能用斜率來解題？這太牛逼了吧！」
「什麼情況？我剛剛聽他講斜率這部分我竟然聽明白了？」
「我也聽懂了，感覺都是之前張老師講的內容。」
「我靠，那個方向場退化的說法也太形象了吧？兩條路都能走，所以解不唯一？」
「等等，這還是昨天逃課被抓的林楓嗎？怎麼感覺和之前不一樣了？」
「你們說，他會不會是在逃課自學啊？」
「你別說，還真有可能！」
……
討論聲就沒停過。
臨近下課，張洪濤也沒有刻意維持紀律，任由這群學生宣洩著心底的震撼。
這其中最震撼的還要屬陳坤，整個人看起來都魂不附體了。
從林楓講斜率開始，他的嘴巴就張著，一直沒合攏過。
等林楓坐回到他旁邊的時候，他更是忍不住來了一句：「楓哥！你是不是被奪舍了？還是被外星人附體了？你還是我的楓哥嗎？」
「當然了！你少看點小說吧！」
林楓帶著無奈地笑了笑。
對於陳坤，他並不反感。
依稀記得上一世這個擺爛的活寶畢業後進了蓉城某家外貿公司做了銷售，因為口才不錯，最後還開上了寶馬3系，發的朋友圈讓他感慨極了。
很快，下課鈴便響了起來。
「叮鈴鈴——」
這下，教室里瞬間變得更熱鬧了，有收拾書本的，有約著一起吃飯的，還有湊在一起八卦的，亂成了一鍋粥。
林楓也打算跟著陳坤前往食堂，而且這會兒真的是太餓了。
昨晚上學了個通宵，今早上還沒吃早飯，剛剛在台上那會兒就感覺前胸貼後背的，現在，更是迫不及待了。
「走走走，快去食堂，我快餓死了。」
他催促著陳坤起身。
但也就在這時，一道清脆的女聲從前排傳了過來：
「林楓！」
他順著聲音一看，只見宋清歌快步朝他走來。
「等等林楓，我有個問題想問問你。」
這一幕，令班裡不少同學的動作都慢了下來。
宋清歌喊住了林楓？
一邊是清秀女學霸，一邊是逆襲學渣，現在下課了，這是要幹什麼？
質問？
還是……
請教？
不由自主地，都停下了腳步。
八卦之火在無聲中瞬間燃遍整個教室。
包括講台上的張洪濤，收拾教案的動作也慢了半拍。
「有事嗎？」
林楓倒是很平靜，他轉過頭，目光直視宋清歌。
這一看，後者竟不由得有些俏臉微紅，目光也不敢直視回去，甚至微微低下了頭。
而之所以會這樣，要從軍訓時說起。
前不久，大一軍訓的時候她便注意到了林楓，個子很高，有一米八多，長得也算是小帥，尤其是笑起來的時候有點痞，但又不令人討厭。
後來分了班，恰好在一個班。
再後來，他開始找她借作業抄。
每次他找過來的時候，她都會故意把字寫得工整一點，然後裝作很不情願地把作業遞過去。
但其實……
心裡還挺開心的。
雖然沒談過戀愛，但她也知道，自己恐怕是對對方有好感的。
尤其是今天，看到講台上那個侃侃而談的身影，看到對方輕描淡寫地講出利普希茨條件、方向場退化，這些連她都沒想到的知識點。
那一瞬間，她心裡某根弦好像被撥了一下。
所以，才會有現在臉紅的這一幕。
「那個……就是想問一下，上周《數學分析》王成民教授布置的那個課後第五題，你會做嗎？」
她的聲音很小，依舊有些微微低頭。
但周圍豎著耳朵偷聽的同學們卻聽得很清楚。
一時間，不少人都開始回憶起來。
「上周數分作業第五題？是那道微分方程的題？」
「好像是的，我當時記得我直接跳過了，因為我連題目都看不懂。」
「我也一樣，這東西感覺都不是我能做的，我還是有自知之明的。」
「誰說不是啊，我做了一半發現做不出來直接果斷放棄了，沒想到宋學霸也沒做出來。」
「嘖嘖，看來這道題是真的難啊！不過，她怎麼問林楓啊？難道她覺得林楓能做出來這道題？」
「這不太可能吧？難道林楓不僅高數厲害，數分也厲害？難道他昨天逃課真是因為數分都會了？」
……
教室里再次響起了竊竊私語聲。
聽到這個問題，看著眼前的清秀少女，林楓腦海里瞬間浮現出了關於對方上一世的記憶。
上一世，自己大學四年可沒少抄對方的作業，雖然兩人交流不多，但這份恩情他一直記著。
特別是，這位女學霸後來考上了研究生，研究生畢業又考上了江陽市財政局公務員，妥妥的前途無量。
後來他被大運送回來之前，還聽他們這一屆的同學討論過，據說已經當上財政局審批科科長了，絕對的實權。
這是什麼？
這是潛力股！
這是未來他在進入體制後的大腿！
所以，於情於理，於公於私，這個關係都得維護好。
如今，重活一世，人家主動找上門來請教問題，這必須得好好解答。
「會做！」
他的回答乾脆利落。
但令在場還沒走的學生們都是一愣。
不是，這也會做？
宋清歌也是一樣，先是一愣，接著眼睛一亮，抬起頭，語氣裡帶著一絲期盼和驚喜：
「那……你能給我講講思路嗎？」
「我用分離變量法算出來一個解，但總感覺不太對，好像還有別的解，但又不知道怎麼找。」
她的表情寫滿了困惑。
林楓看著她，又掃了一眼周圍還沒散去的吃瓜群眾，點了點頭。
「行啊，當然可以。」