4、你逃課不會是為了自學吧？
靜——
整個教室里一片安靜！
隨即，無數道目光齊刷刷地投向後排。
「林楓？臥槽！這不是被罰寫論文的林楓嗎？」
「他剛剛說什麼？他想試試這道題？」
「不是吧，宋清歌都沒答出來，他還想試試？」
「瘋了吧？搞笑呢？」
……
震驚！
疑惑！
譏諷！
議論聲此起彼伏。
原因無他，林楓這個名字平常在數應班裡實在是和學習連不到一塊去，就沒聽說過在學習方面有什麼能力。
更別提，昨天逃課還被抓了！
就這種，能答出來這道連學霸宋清歌都不會的高數題？
不可能的！
開什麼玩笑！
旁邊的陳坤直接石化，翻課本的姿勢保持的一動不動，「楓……楓哥……你幹嘛呢……」
林楓又沒搭理他。
台上的張洪濤也有些愣住了。
學生們的討論他聽得很清楚，這個舉手的男生叫林楓。
正是他昨天窺群看到「數應一班」班群里被老王抓住逃課罰寫論文的兩個學生其中之一。
當時他還在想，將來自己抓住逃課了的，要不要也來上這一波，沒想到，今天就見到了當事人，並且還要回答自己出的這道難題？
這……
可能嗎？
還是那句話，平常逃課的學生真是因為知識點都會了才逃課？
那都是不想上課才逃課的！
哪有什麼知識點都會的「天才」？
不過，這也不是絕對的，985、211的學生或許可以做到，但在江陽師範……
那絕對不可能的！
所以，對於林楓想試試這道題這件事，張洪濤並不看好。
但他還是把林楓請了上來：「林楓同學是吧？既然你想試試，那就上來吧。」
說著，往旁邊讓了讓，把講台和黑板的位置騰了出來。
林楓站了起來，正要往外走，陳坤卻一把拽住了他的衣角，聲音顫抖地說道：「楓哥！我不知道你被什麼玩意附身了！但你要想清楚，你要是上去答不出來，那可真的是要更丟人了！」
「沒事，放心吧。」
林楓搖搖頭，把衣角從陳坤手裡抽了出來，大步走上講台。
很快，便站在了黑板前，但他並沒有立馬開始解題，反而轉頭認真確認道：
「老師，你前面說的是真的？只要寫出來這道題平時分就可以得滿分？」
「當然！我說話算數！」
張洪濤很是肯定地說道。
「嗯！那就好！」
林楓重重點了點頭。
還是那句話，只要平時分滿分，期末高數這門課隨便考都能過，都不會掛科的。
高數這門課一過關，期末其他科目的壓力也會小很多，掛科的概率也會隨之減少。
只要不掛科，就不會堵死考選調生的這條路。
而這，也正是他上台的原因。
說罷，他不再猶豫，拿起粉筆直接開寫，抬手便寫下了第一行式子：
y₁=0
邊寫邊講道：
「首先，y恆等於0，是這個方程的一個解，滿足初始條件y(0)=0，這個很顯然。」
「然後，用分離變量法。」
粉筆在黑板上快速移動，發出咔咔的響聲。
dy/y^(2/3)=dx
兩邊積分。
3y^(1/3)=x+C
代入初始條件y(0)=0，得C=0。
所以y=(x/3)³。
即：
y₂=(x/3)³
「這是第二個解，同樣滿足初始條件y(0)=0。」
寫到這裡，台下眾人還沒太大反應，議論聲依舊。
畢竟這兩步，剛才宋清歌已經說過了，不算稀奇。
真正難的還在後面！
「所以，現在問題來了，為什麼這個方程會有兩個解？」
「根據常微分方程的唯一性定理——皮卡-林德洛夫定理，如果函數f(x，y)在某個區域內關於y滿足利普希茨條件，那麼初值問題的解是唯一的。」
他說著，在在黑板上寫下了利普希茨條件的表達式：
|f(x，y₁)-f(x，y₂)|≤L|y₁-y₂|
「在這道題里，f(x，y)=y^(2/3)。」
「我們來檢驗它是否滿足利普希茨條件。」
粉筆繼續移動。
「對f關於y求偏導：∂f/∂y=(2/3)·y^(-1/3)」
他在這個式子下面重重地畫了一道橫線。
「當y趨近於0的時候，這個偏導數趨近於無窮大。」
「也就是說，在y=0這個點的鄰域內，f(x，y)關於y的利普希茨條件不成立。」
「唯一性定理的前提條件不滿足，所以唯一性無法保證。」
「這就是為什麼這個方程在初始條件y(0)=0處，可以同時存在y₁=0和y₂=(x/3)³兩個解。」
說完，他轉過身，放下粉筆，拍了拍手上的粉筆灰。
整個過程很快，短短几分鐘，一個完整又嚴密的推導過程便鋪滿整個黑板。
教室里再也沒有議論聲了。
極其安靜！
一片死寂！
幾乎所有學生都瞪大了眼睛，死死盯著講台上林楓的身影。
前排的宋清歌，手中的筆也懸在了半空中，半天沒有落下。
陳坤更是來了一句國粹：「臥槽！楓哥真的會？」
難以置信！
難以置信！
這道連高考數學138分學霸都不會的高數題，竟然被一個逃課的林楓如此輕鬆地解決了？
就像做小學數學題一般？
這簡直是太不可思議了！
而且——
這用的是什麼？
利普希茨條件？
這是什麼東西？
怎麼沒有聽過？
講台上，張洪濤看了一遍又一遍黑板上的推導過程，久久不語。
從分離變量法到皮卡定理，再到利普希茨條件的驗證，整個推導邏輯很是嚴密，步驟也非常完整，找不出一絲毛病。
但關鍵問題是，利普希茨條件是個超綱的知識點，大一上根本不會學的，這個定理到大一下常微分方程裡面才會講到。
包括皮卡存在唯一性定理，也是那時候才會有的。
「林楓？」
「嗯？」
「利普希茨條件和皮卡存在唯一性定理，這些內容我在課上從來沒有講過，屬於超綱知識點。」
張洪濤語速很慢，像是在確認什麼。
「你是怎麼知道的？」
此話一出，全場瞬間屏住呼吸。
是啊，既然這些都是超綱知識點，這個林楓是怎麼知道的？又是怎麼寫出來的？
「自學的。」
林楓神色平靜。
其實，之所以他知道這些，還是因為昨晚上研究數分課後題查資料的時候看到的，並且還用了半個小時的時間給吃透了。
「自學的？」
張洪濤眉頭微微皺了一下。
「嗯，昨晚看書的時候翻到的，覺得挺有意思，就多看了一些。」
他的聲音很淡，卻在教室里掀起了驚濤駭浪。
自學的？
覺得有意思多看了一些？
沒聽錯吧？
沒搞錯吧？
一個逃課被抓的學生，竟然因為覺得有意思，所以熬夜自學超綱高數知識？
不是……
這說出去誰信啊！
他們只覺自己在聽天方夜譚。
包括講台上的張洪濤。
說實話，他也不相信。
當然，自學這種事，在好一點的大學裡不算稀奇。
他當年讀書的時候，同屆就有人在大一把大學四年課程都給自學完的。
但那是985，這裡是江陽師範！
「你真覺得這些有意思？」
他忽然問了一句。
「嗯，真有意思。」
林楓淡淡答道。
對於昨天夜裡到今天早上都在瘋狂學習這件事，他認為沒有說的必要，還不如直接說是因為感興趣，這樣還會減少很多不必要的麻煩。
聽到這個回答，張洪濤沉默了幾秒，緊接著再次看向黑板，把林楓寫的那些推導過程仔仔細細又看了一遍。
逐行逐字檢查。
教室里更安靜了，所有人都在等著，等著張洪濤下定義。
大概過了一分多鐘，張洪濤從黑板前退了一步。
「沒問題，利普希茨條件用的很好，推導是正確的。」
「能看得出來，你對利普希茨條件掌握的很熟練了。」
嘶——
話音一落，教室里頓時響起一片倒吸涼氣的聲音。
沒問題？
正確的？
掌握很熟練？
連張洪濤都確認了？
這還是那個逃課被抓的林楓嗎？
就連台下的宋清歌，看著林楓眼神也變了。
這和之前抄她作業的林楓，簡直判若兩人！
「不過——」
就在這時，張洪濤突然話鋒一轉。
「林楓，你用的這些東西，皮卡定理也好，利普希茨條件也好，確實是正確的解法。」
「但這些內容對於在座的同學們來說太超前了，他們現在根本沒學過。」
林楓點了點頭，沒說話，等著張洪濤的下文。
「所以我想問你一個問題。」
張洪濤轉過身，面對林楓。
「你能不能不用這些超綱的知識，只用你們目前學過的知識，把這道題『為什麼解不唯一』這件事，給在座的同學講明白？」
不用超綱定理把這道題講明白？
這個要求一出來，全場都懵了。
剛剛林楓的推導過程也變相證明了這道題就是利用「利普希茨條件」這個超綱知識點的一道練習題。
如果不用這個，那還能怎麼用？
這不好比原本1+2=3，變成了先算1+1=2，再算1+1+1=3嗎？
這個要求，確實有點太難了。
就連宋清歌，也是半天沒反應過來。
這還能講？
「不是，我怎麼感覺老張不對勁呢？他為什麼要故意刁難啊？你們說，他是不是在懷疑什麼？」
「嘶！你這一說還真有可能，是不是老張認為這道題不是林楓自己寫的，是以前在哪看到過這道原題，背了個答案上來抄的？」
「臥槽！有沒有可能是剛剛用手機搜的？為了拿平時分所以上去裝逼的？」
「有可能，真有可能！」
……
慢慢的，這些質疑聲越來越大。
因為人的第一反應永遠是：憑什麼？
憑什麼一個逃課的人能做出宋清歌都不會的題？
最合理的解釋就是：他提前看過這道題的答案。
陳坤在底下聽到這些話，攥緊了拳頭，嘴唇動了動，想替林楓說兩句。
但他張了半天嘴，又閉上了。
因為說實話，連他自己都有點懷疑了。
而林楓也聽到了這些質疑聲，但依舊沒有放在心上，反而再次開口問道：
「張老師，是不是如果我講不出來，那麼我的平時分還是沒有辦法滿分？」
「沒錯。」
張洪濤點了點頭，目光緊盯著林楓。
寫題之前問這個問題就算了，怎麼現在又問一遍這個問題？
好像……
這個學生很在乎平時分？
按理說，能學到利普希茨條件的學生，不應該擔心掛科吧？
難道真是提前看過答案了？
而聽到他的回答，林楓再次思考了起來。
不用超綱定理，只用現有知識去解釋解的非唯一性，這樣才能拿到平時分滿分？
他在腦子裡快速過了一遍。
利普希茨條件不讓用，皮卡定理不讓用，那能用什麼？
他低頭看了一眼黑板上自己寫的那些東西，突然，腦海里像是有一道靈光閃過，緊接著，視線便停在了一個地方。
∂f/∂y=(2/3)·y^(-1/3)
當y趨近於0時，偏導趨於無窮。
這個偏導趨於無窮意味著什麼？
意味著函數f(x，y)=y^(2/3)在y=0附近變化得「太劇烈」了。
而變化太劇烈……
他的腦海里立馬蹦出來兩個字——斜率。
對！
斜率！
這是張洪濤前兩節課剛講過的內容。
微分方程y'=f(x，y)的幾何意義：在每個點(x，y)處，f(x，y)給出了解曲線在該點的斜率，把所有這些斜率畫出來，就可以直觀地看出解曲線的走向。
並且，這也沒有超綱，就是課堂上講過的東西。
怪不得張洪濤會出這道題，怪不得他說這道題用現有的知識也能解決，原來問題在這兒。
不過，這也多虧了「數學思維強化」的能力。
想到這，他沒有任何猶豫，拿起一根新的粉筆，直接就要開寫。
並且，邊寫邊說道：
「可以的，張老師，我想……」
「或許可以用斜率來證明這道題。」
整個教室里一片安靜！
隨即，無數道目光齊刷刷地投向後排。
「林楓？臥槽！這不是被罰寫論文的林楓嗎？」
「他剛剛說什麼？他想試試這道題？」
「不是吧，宋清歌都沒答出來，他還想試試？」
「瘋了吧？搞笑呢？」
……
震驚！
疑惑！
譏諷！
議論聲此起彼伏。
原因無他，林楓這個名字平常在數應班裡實在是和學習連不到一塊去，就沒聽說過在學習方面有什麼能力。
更別提，昨天逃課還被抓了！
就這種，能答出來這道連學霸宋清歌都不會的高數題？
不可能的！
開什麼玩笑！
旁邊的陳坤直接石化，翻課本的姿勢保持的一動不動，「楓……楓哥……你幹嘛呢……」
林楓又沒搭理他。
台上的張洪濤也有些愣住了。
學生們的討論他聽得很清楚，這個舉手的男生叫林楓。
正是他昨天窺群看到「數應一班」班群里被老王抓住逃課罰寫論文的兩個學生其中之一。
當時他還在想，將來自己抓住逃課了的，要不要也來上這一波，沒想到，今天就見到了當事人，並且還要回答自己出的這道難題？
這……
可能嗎？
還是那句話，平常逃課的學生真是因為知識點都會了才逃課？
那都是不想上課才逃課的！
哪有什麼知識點都會的「天才」？
不過，這也不是絕對的，985、211的學生或許可以做到，但在江陽師範……
那絕對不可能的！
所以，對於林楓想試試這道題這件事，張洪濤並不看好。
但他還是把林楓請了上來：「林楓同學是吧？既然你想試試，那就上來吧。」
說著，往旁邊讓了讓，把講台和黑板的位置騰了出來。
林楓站了起來，正要往外走，陳坤卻一把拽住了他的衣角，聲音顫抖地說道：「楓哥！我不知道你被什麼玩意附身了！但你要想清楚，你要是上去答不出來，那可真的是要更丟人了！」
「沒事，放心吧。」
林楓搖搖頭，把衣角從陳坤手裡抽了出來，大步走上講台。
很快，便站在了黑板前，但他並沒有立馬開始解題，反而轉頭認真確認道：
「老師，你前面說的是真的？只要寫出來這道題平時分就可以得滿分？」
「當然！我說話算數！」
張洪濤很是肯定地說道。
「嗯！那就好！」
林楓重重點了點頭。
還是那句話，只要平時分滿分，期末高數這門課隨便考都能過，都不會掛科的。
高數這門課一過關，期末其他科目的壓力也會小很多，掛科的概率也會隨之減少。
只要不掛科，就不會堵死考選調生的這條路。
而這，也正是他上台的原因。
說罷，他不再猶豫，拿起粉筆直接開寫，抬手便寫下了第一行式子：
y₁=0
邊寫邊講道：
「首先，y恆等於0，是這個方程的一個解，滿足初始條件y(0)=0，這個很顯然。」
「然後，用分離變量法。」
粉筆在黑板上快速移動，發出咔咔的響聲。
dy/y^(2/3)=dx
兩邊積分。
3y^(1/3)=x+C
代入初始條件y(0)=0，得C=0。
所以y=(x/3)³。
即：
y₂=(x/3)³
「這是第二個解，同樣滿足初始條件y(0)=0。」
寫到這裡，台下眾人還沒太大反應，議論聲依舊。
畢竟這兩步，剛才宋清歌已經說過了，不算稀奇。
真正難的還在後面！
「所以，現在問題來了，為什麼這個方程會有兩個解？」
「根據常微分方程的唯一性定理——皮卡-林德洛夫定理，如果函數f(x，y)在某個區域內關於y滿足利普希茨條件，那麼初值問題的解是唯一的。」
他說著，在在黑板上寫下了利普希茨條件的表達式：
|f(x，y₁)-f(x，y₂)|≤L|y₁-y₂|
「在這道題里，f(x，y)=y^(2/3)。」
「我們來檢驗它是否滿足利普希茨條件。」
粉筆繼續移動。
「對f關於y求偏導：∂f/∂y=(2/3)·y^(-1/3)」
他在這個式子下面重重地畫了一道橫線。
「當y趨近於0的時候，這個偏導數趨近於無窮大。」
「也就是說，在y=0這個點的鄰域內，f(x，y)關於y的利普希茨條件不成立。」
「唯一性定理的前提條件不滿足，所以唯一性無法保證。」
「這就是為什麼這個方程在初始條件y(0)=0處，可以同時存在y₁=0和y₂=(x/3)³兩個解。」
說完，他轉過身，放下粉筆，拍了拍手上的粉筆灰。
整個過程很快，短短几分鐘，一個完整又嚴密的推導過程便鋪滿整個黑板。
教室里再也沒有議論聲了。
極其安靜！
一片死寂！
幾乎所有學生都瞪大了眼睛，死死盯著講台上林楓的身影。
前排的宋清歌，手中的筆也懸在了半空中，半天沒有落下。
陳坤更是來了一句國粹：「臥槽！楓哥真的會？」
難以置信！
難以置信！
這道連高考數學138分學霸都不會的高數題，竟然被一個逃課的林楓如此輕鬆地解決了？
就像做小學數學題一般？
這簡直是太不可思議了！
而且——
這用的是什麼？
利普希茨條件？
這是什麼東西？
怎麼沒有聽過？
講台上，張洪濤看了一遍又一遍黑板上的推導過程，久久不語。
從分離變量法到皮卡定理，再到利普希茨條件的驗證，整個推導邏輯很是嚴密，步驟也非常完整，找不出一絲毛病。
但關鍵問題是，利普希茨條件是個超綱的知識點，大一上根本不會學的，這個定理到大一下常微分方程裡面才會講到。
包括皮卡存在唯一性定理，也是那時候才會有的。
「林楓？」
「嗯？」
「利普希茨條件和皮卡存在唯一性定理，這些內容我在課上從來沒有講過，屬於超綱知識點。」
張洪濤語速很慢，像是在確認什麼。
「你是怎麼知道的？」
此話一出，全場瞬間屏住呼吸。
是啊，既然這些都是超綱知識點，這個林楓是怎麼知道的？又是怎麼寫出來的？
「自學的。」
林楓神色平靜。
其實，之所以他知道這些，還是因為昨晚上研究數分課後題查資料的時候看到的，並且還用了半個小時的時間給吃透了。
「自學的？」
張洪濤眉頭微微皺了一下。
「嗯，昨晚看書的時候翻到的，覺得挺有意思，就多看了一些。」
他的聲音很淡，卻在教室里掀起了驚濤駭浪。
自學的？
覺得有意思多看了一些？
沒聽錯吧？
沒搞錯吧？
一個逃課被抓的學生，竟然因為覺得有意思，所以熬夜自學超綱高數知識？
不是……
這說出去誰信啊！
他們只覺自己在聽天方夜譚。
包括講台上的張洪濤。
說實話，他也不相信。
當然，自學這種事，在好一點的大學裡不算稀奇。
他當年讀書的時候，同屆就有人在大一把大學四年課程都給自學完的。
但那是985，這裡是江陽師範！
「你真覺得這些有意思？」
他忽然問了一句。
「嗯，真有意思。」
林楓淡淡答道。
對於昨天夜裡到今天早上都在瘋狂學習這件事，他認為沒有說的必要，還不如直接說是因為感興趣，這樣還會減少很多不必要的麻煩。
聽到這個回答，張洪濤沉默了幾秒，緊接著再次看向黑板，把林楓寫的那些推導過程仔仔細細又看了一遍。
逐行逐字檢查。
教室里更安靜了，所有人都在等著，等著張洪濤下定義。
大概過了一分多鐘，張洪濤從黑板前退了一步。
「沒問題，利普希茨條件用的很好，推導是正確的。」
「能看得出來，你對利普希茨條件掌握的很熟練了。」
嘶——
話音一落，教室里頓時響起一片倒吸涼氣的聲音。
沒問題？
正確的？
掌握很熟練？
連張洪濤都確認了？
這還是那個逃課被抓的林楓嗎？
就連台下的宋清歌，看著林楓眼神也變了。
這和之前抄她作業的林楓，簡直判若兩人！
「不過——」
就在這時，張洪濤突然話鋒一轉。
「林楓，你用的這些東西，皮卡定理也好，利普希茨條件也好，確實是正確的解法。」
「但這些內容對於在座的同學們來說太超前了，他們現在根本沒學過。」
林楓點了點頭，沒說話，等著張洪濤的下文。
「所以我想問你一個問題。」
張洪濤轉過身，面對林楓。
「你能不能不用這些超綱的知識，只用你們目前學過的知識，把這道題『為什麼解不唯一』這件事，給在座的同學講明白？」
不用超綱定理把這道題講明白？
這個要求一出來，全場都懵了。
剛剛林楓的推導過程也變相證明了這道題就是利用「利普希茨條件」這個超綱知識點的一道練習題。
如果不用這個，那還能怎麼用？
這不好比原本1+2=3，變成了先算1+1=2，再算1+1+1=3嗎？
這個要求，確實有點太難了。
就連宋清歌，也是半天沒反應過來。
這還能講？
「不是，我怎麼感覺老張不對勁呢？他為什麼要故意刁難啊？你們說，他是不是在懷疑什麼？」
「嘶！你這一說還真有可能，是不是老張認為這道題不是林楓自己寫的，是以前在哪看到過這道原題，背了個答案上來抄的？」
「臥槽！有沒有可能是剛剛用手機搜的？為了拿平時分所以上去裝逼的？」
「有可能，真有可能！」
……
慢慢的，這些質疑聲越來越大。
因為人的第一反應永遠是：憑什麼？
憑什麼一個逃課的人能做出宋清歌都不會的題？
最合理的解釋就是：他提前看過這道題的答案。
陳坤在底下聽到這些話，攥緊了拳頭，嘴唇動了動，想替林楓說兩句。
但他張了半天嘴，又閉上了。
因為說實話，連他自己都有點懷疑了。
而林楓也聽到了這些質疑聲，但依舊沒有放在心上，反而再次開口問道：
「張老師，是不是如果我講不出來，那麼我的平時分還是沒有辦法滿分？」
「沒錯。」
張洪濤點了點頭，目光緊盯著林楓。
寫題之前問這個問題就算了，怎麼現在又問一遍這個問題？
好像……
這個學生很在乎平時分？
按理說，能學到利普希茨條件的學生，不應該擔心掛科吧？
難道真是提前看過答案了？
而聽到他的回答，林楓再次思考了起來。
不用超綱定理，只用現有知識去解釋解的非唯一性，這樣才能拿到平時分滿分？
他在腦子裡快速過了一遍。
利普希茨條件不讓用，皮卡定理不讓用，那能用什麼？
他低頭看了一眼黑板上自己寫的那些東西，突然，腦海里像是有一道靈光閃過，緊接著，視線便停在了一個地方。
∂f/∂y=(2/3)·y^(-1/3)
當y趨近於0時，偏導趨於無窮。
這個偏導趨於無窮意味著什麼？
意味著函數f(x，y)=y^(2/3)在y=0附近變化得「太劇烈」了。
而變化太劇烈……
他的腦海里立馬蹦出來兩個字——斜率。
對！
斜率！
這是張洪濤前兩節課剛講過的內容。
微分方程y'=f(x，y)的幾何意義：在每個點(x，y)處，f(x，y)給出了解曲線在該點的斜率，把所有這些斜率畫出來，就可以直觀地看出解曲線的走向。
並且，這也沒有超綱，就是課堂上講過的東西。
怪不得張洪濤會出這道題，怪不得他說這道題用現有的知識也能解決，原來問題在這兒。
不過，這也多虧了「數學思維強化」的能力。
想到這，他沒有任何猶豫，拿起一根新的粉筆，直接就要開寫。
並且，邊寫邊說道：
「可以的，張老師，我想……」
「或許可以用斜率來證明這道題。」