第八章 救救孩子
沈既白站在講台上，把這些回答一一聽完了。
報效天皇、效忠帝國、為了前線、為了皇恩……
三十幾個人，四五隻舉起來的手，答案不同，意思卻是一樣的——
全是國家的，天皇的，帝國的……
沒有一個人說「為了自己」。
這些孩子，最大的不過二十出頭，最小的恐怕還不到十七歲，坐在這間教室里，穿著一樣的制服，說著一樣的話，臉上掛著一樣的表情——被軍國主義的
那不是裝的。
這才是最可怕的地方。
如果是被迫的、勉強的、言不由衷的，那倒好辦了——可偏偏不是——偏偏他們是心甘情願的，是發自肺腑的，是像喝水吃飯一樣自然而然的。
——救救孩子。
這四個字忽然就從記憶的某個角落裡蹦了出來。
他站在講台上，看著底下這些年輕的、乾淨的、眼睛裡還有光的臉——
他想改變他們，哪怕只是一點點，哪怕只是在他們腦子裡種下一粒微不足道的種子，讓他們知道這世上除了「天皇萬歲」之外，還有別的值得追求的東西——
但不行。
最後一排那三雙眼睛還盯著他呢——
這是一堂公開課，考核課，他但凡露出一丁點「不對勁」的東西來，等待他的就不是教職，而是別的什麼了。
那便教數學罷。
他拿起粉筆盒裡的粉筆。
「方才各位說的，我都記下了。」他開口，「但今天這堂課，我們不談那些。」
底下有人交換了一個眼神，他們本以為來了一個新教師，至少要講一番慷慨激昂的就職演說——上一個來的教師便是如此，開口第一句就是「諸君應以帝國之榮耀為畢生之追求」，講了半刻鐘。
可這個面色蒼白的年輕人什麼也沒講。
他轉過身，在黑板上寫了一個數字。
2。
然後在旁邊畫了一個根號。
√2。
「根號二等於多少？」
一個學生開口了——
「大約是一點四。」
「大約？」沈既白回頭看了那個學生一眼，「大約是多少？一點四一？一點四二？一點四一四？」
那學生愣住了。
「沒有人知道。」沈既白對著他們說著，「這個數——從小數點之後，可以一直寫下去，沒有盡頭，不會循環，不會終止，古希臘人發現它的時候，以為觸碰到了神的領域——據說那個發現者因此被扔進了海里。」
他停了一下。
「但我們不會這麼做。」
他在黑板上寫下了一行字：
求√2的近似值。
「假設你們手邊沒有任何工具——沒有算盤，沒有數表，沒有任何前人替你們算好的東西。」
「你只有一支筆，一張紙，怎麼求？」
底下一片茫然。
沈既白沒等他們回答，他轉身在黑板上畫了一條數軸。
「我們知道，一的平方是一，二的平方是四。」他轉身在黑板上寫著，「根號二的平方是二——它必定在一和二之間。」
他在數軸上把一和二之間圈了起來。
「好，範圍縮小了，現在——一點五的平方是多少？」
前排那個短髮女學生最先反應過來——
「二點二五。」
「二點二五，大於二。」沈既白在黑板上寫下，「那麼根號二比一點五小，範圍又縮了——在一和一點五之間。」
「繼續，一點四的平方？」
這回有三四個人一起答了——
「一點九六。」
「小於二，一點五大於二，一點四小於二——那它就夾在一點四和一點五之間。」他把粉筆點在數軸上，「我們再擠，一點四一的平方呢？」
他沒等人回答，自己在黑板右側豎著列了算式，一步步乘出來。
「一點九八八一，小於二，一點四二的平方呢？二點零一六四，大於二，——又夾住了，在一點四一和一點四二之間。」
「你們看到了什麼？」
底下沒人說話，但那種沉默和方才不同。
「每算一步，左右兩面的牆就往中間逼一寸。」沈既白的粉筆在那兩個數字之間畫了兩道豎線，「根號二被關在裡面，無處可逃。你要逼到小數點後三位，算三步；逼到後五位，算五步；逼到後一百位——」
他頓了一頓。
「——算一百步就是了，理論上講，只要你有足夠的耐心，你可以把它逼到任意精度，無限接近，永不到達，但你對它的了解，每一步都比上一步更深。」
他放下粉筆，拍了拍手上的灰。
「這個方法，在歐洲叫做逼近法。」
教室里的空氣變了。
那種變化是看不見的，摸不著的，但沈既白感覺得到——
就像一間悶了很久的屋子，忽然被人推開了一扇窗，有空氣從中透了進來，不多，但至少不會憋死了。
前排那個短髮女學生已經把筆記本攤開了，在上面飛快地寫著什麼。
她旁邊的同伴探頭去看她寫了什麼，被她用胳膊肘擋了回去，中間幾排有人在小聲地核算剛才的乘法——
那個坐輪椅的中年教師身子往前傾了傾，蓋在腿上的毛毯滑下去一角，他也沒去管。
沈既白看了一眼最後排的校長——那張圓臉上的笑容沒變，但手已經從臉上放下來了，十指交疊在面前的桌上。
「但這還不夠快。」沈既白重新拿起粉筆，「兩面夾擊，每一步只能把範圍縮小一半——太慢了，有沒有更快的辦法？」
他在黑板上寫了一行——
x²= 2→ f(x)= x²- 2 = 0
「我們換一個角度，求根號二，就是求這個方程的解。」
他畫了一條拋物線——開口朝上的，頂點在y軸負半軸——與x軸有兩個交點，他在正半軸那個交點旁邊標了一個問號。
「根號二，就是這條曲線和橫軸的交點。」
「現在。」沈既白在曲線上隨手點了一個點，「我隨便選一個起始的位置，比如——x等於二。在這個點上，曲線是有斜率的。」
他從那個點畫了一條直線，與曲線相切，向下延伸，穿過x軸。
「這條切線和橫軸的交點——」他在交點處標了一個x₁，「比原來那個點更靠近真正的答案。」
他又在x₁對應的曲線位置上做了同樣的事——畫切線，找交點，標x₂。
「再做一次——更近了，再做一次——」
x₃。
「三步，只用三步，精度就已經超過了方才那個笨辦法算十步的結果。」
他在黑板上寫下了疊代公式：
xₙ₊₁= xₙ- f(xₙ)/ f'(xₙ)
xₙ₊₁= xₙ-(xₙ²- 2)/(2xₙ)=(xₙ+ 2/xₙ)/ 2
「從x₀等於二開始。」
他在右側列出來——
x₀= 2
x₁=(2 + 2/2)/ 2 = 1.5
x₂=(1.5 + 2/1.5)/ 2 = 1.41666…
x₃= 1.414215…
「三步，精確到小數點後六位。」
他把粉筆擱回盒子裡，退後一步，讓黑板上那一整面的數字和圖形完整地呈現在所有人面前。
報效天皇、效忠帝國、為了前線、為了皇恩……
三十幾個人，四五隻舉起來的手，答案不同，意思卻是一樣的——
全是國家的，天皇的，帝國的……
沒有一個人說「為了自己」。
這些孩子，最大的不過二十出頭，最小的恐怕還不到十七歲，坐在這間教室里，穿著一樣的制服，說著一樣的話，臉上掛著一樣的表情——被軍國主義的
那不是裝的。
這才是最可怕的地方。
如果是被迫的、勉強的、言不由衷的，那倒好辦了——可偏偏不是——偏偏他們是心甘情願的，是發自肺腑的，是像喝水吃飯一樣自然而然的。
——救救孩子。
這四個字忽然就從記憶的某個角落裡蹦了出來。
他站在講台上，看著底下這些年輕的、乾淨的、眼睛裡還有光的臉——
他想改變他們，哪怕只是一點點，哪怕只是在他們腦子裡種下一粒微不足道的種子，讓他們知道這世上除了「天皇萬歲」之外，還有別的值得追求的東西——
但不行。
最後一排那三雙眼睛還盯著他呢——
這是一堂公開課，考核課，他但凡露出一丁點「不對勁」的東西來，等待他的就不是教職，而是別的什麼了。
那便教數學罷。
他拿起粉筆盒裡的粉筆。
「方才各位說的，我都記下了。」他開口，「但今天這堂課，我們不談那些。」
底下有人交換了一個眼神，他們本以為來了一個新教師，至少要講一番慷慨激昂的就職演說——上一個來的教師便是如此，開口第一句就是「諸君應以帝國之榮耀為畢生之追求」，講了半刻鐘。
可這個面色蒼白的年輕人什麼也沒講。
他轉過身，在黑板上寫了一個數字。
2。
然後在旁邊畫了一個根號。
√2。
「根號二等於多少？」
一個學生開口了——
「大約是一點四。」
「大約？」沈既白回頭看了那個學生一眼，「大約是多少？一點四一？一點四二？一點四一四？」
那學生愣住了。
「沒有人知道。」沈既白對著他們說著，「這個數——從小數點之後，可以一直寫下去，沒有盡頭，不會循環，不會終止，古希臘人發現它的時候，以為觸碰到了神的領域——據說那個發現者因此被扔進了海里。」
他停了一下。
「但我們不會這麼做。」
他在黑板上寫下了一行字：
求√2的近似值。
「假設你們手邊沒有任何工具——沒有算盤，沒有數表，沒有任何前人替你們算好的東西。」
「你只有一支筆，一張紙，怎麼求？」
底下一片茫然。
沈既白沒等他們回答，他轉身在黑板上畫了一條數軸。
「我們知道，一的平方是一，二的平方是四。」他轉身在黑板上寫著，「根號二的平方是二——它必定在一和二之間。」
他在數軸上把一和二之間圈了起來。
「好，範圍縮小了，現在——一點五的平方是多少？」
前排那個短髮女學生最先反應過來——
「二點二五。」
「二點二五，大於二。」沈既白在黑板上寫下，「那麼根號二比一點五小，範圍又縮了——在一和一點五之間。」
「繼續，一點四的平方？」
這回有三四個人一起答了——
「一點九六。」
「小於二，一點五大於二，一點四小於二——那它就夾在一點四和一點五之間。」他把粉筆點在數軸上，「我們再擠，一點四一的平方呢？」
他沒等人回答，自己在黑板右側豎著列了算式，一步步乘出來。
「一點九八八一，小於二，一點四二的平方呢？二點零一六四，大於二，——又夾住了，在一點四一和一點四二之間。」
「你們看到了什麼？」
底下沒人說話，但那種沉默和方才不同。
「每算一步，左右兩面的牆就往中間逼一寸。」沈既白的粉筆在那兩個數字之間畫了兩道豎線，「根號二被關在裡面，無處可逃。你要逼到小數點後三位，算三步；逼到後五位，算五步；逼到後一百位——」
他頓了一頓。
「——算一百步就是了，理論上講，只要你有足夠的耐心，你可以把它逼到任意精度，無限接近，永不到達，但你對它的了解，每一步都比上一步更深。」
他放下粉筆，拍了拍手上的灰。
「這個方法，在歐洲叫做逼近法。」
教室里的空氣變了。
那種變化是看不見的，摸不著的，但沈既白感覺得到——
就像一間悶了很久的屋子，忽然被人推開了一扇窗，有空氣從中透了進來，不多，但至少不會憋死了。
前排那個短髮女學生已經把筆記本攤開了，在上面飛快地寫著什麼。
她旁邊的同伴探頭去看她寫了什麼，被她用胳膊肘擋了回去，中間幾排有人在小聲地核算剛才的乘法——
那個坐輪椅的中年教師身子往前傾了傾，蓋在腿上的毛毯滑下去一角，他也沒去管。
沈既白看了一眼最後排的校長——那張圓臉上的笑容沒變，但手已經從臉上放下來了，十指交疊在面前的桌上。
「但這還不夠快。」沈既白重新拿起粉筆，「兩面夾擊，每一步只能把範圍縮小一半——太慢了，有沒有更快的辦法？」
他在黑板上寫了一行——
x²= 2→ f(x)= x²- 2 = 0
「我們換一個角度，求根號二，就是求這個方程的解。」
他畫了一條拋物線——開口朝上的，頂點在y軸負半軸——與x軸有兩個交點，他在正半軸那個交點旁邊標了一個問號。
「根號二，就是這條曲線和橫軸的交點。」
「現在。」沈既白在曲線上隨手點了一個點，「我隨便選一個起始的位置，比如——x等於二。在這個點上，曲線是有斜率的。」
他從那個點畫了一條直線，與曲線相切，向下延伸，穿過x軸。
「這條切線和橫軸的交點——」他在交點處標了一個x₁，「比原來那個點更靠近真正的答案。」
他又在x₁對應的曲線位置上做了同樣的事——畫切線，找交點，標x₂。
「再做一次——更近了，再做一次——」
x₃。
「三步，只用三步，精度就已經超過了方才那個笨辦法算十步的結果。」
他在黑板上寫下了疊代公式：
xₙ₊₁= xₙ- f(xₙ)/ f'(xₙ)
xₙ₊₁= xₙ-(xₙ²- 2)/(2xₙ)=(xₙ+ 2/xₙ)/ 2
「從x₀等於二開始。」
他在右側列出來——
x₀= 2
x₁=(2 + 2/2)/ 2 = 1.5
x₂=(1.5 + 2/1.5)/ 2 = 1.41666…
x₃= 1.414215…
「三步，精確到小數點後六位。」
他把粉筆擱回盒子裡，退後一步，讓黑板上那一整面的數字和圖形完整地呈現在所有人面前。