第8章 四種解法
？？
什麼玩意？
更美妙的證法？
你以為你是費馬啊。
「我靠，二中這逼說什麼？」
「他說他有更好的解法，但是寫出來我們看不懂。」
「納尼？誰給他的勇氣？」
「我是三中的，我投降，我的確看不懂。」
「我不信，這逼絕對打腫臉充胖子，我問了豆寶，豆寶也給出了這個解法！」
「……」
郭達也愣了愣，他可不知道什麼更美妙的證法，他也不覺得這道題還有什麼更好的解法。
他看到「群情激奮」的大禮堂，笑道：「齊物同學，你今天的表現已經很優秀了，不要太過激進。」
他這是好意，他已經相信齊物是獨立解題了。
「是個好苗子，雖然已經高三了，不過可以挖到琅琊一中競賽班試試……」
「郭老師。」
齊物再次走到平板前，輕聲道，「可曾聽說過射影幾何？」
嗯？
郭達面色一緊，幾何學分支？
「二維的XY軸其實是有些笨重的，那我們換一個視角。」
齊物開始書寫，「將視角拉高至高維，在高維視角下，蝴蝶定理從來不是幾何難題，而是變成了一個平凡的射影屬性。」
他在平板上畫了一個圓。
「很明顯，我可以引入射影幾何，使用齊次坐標。」
郭達的臉色終於認真起來，眼前的少年似乎比他預想的還要天賦超凡。
「設圓O為復射影平面內的二次曲線C，直線PQ與C相交於兩點。我們注意到，在這個射影變換下，我們可以構造一個對合。
根據德薩格對合定理，過定點M的所有二次曲線叢與直線PQ的交點對，構成一個對合映射。」
齊物寫下唯一的一行公式：
τ（X）=Y，τ（M）=M，τ（∞）=∞
「因為原點M是這個對合的固定點，且無窮遠點在射影變換下保持對稱，那麼在這個線性變換中，每一個點（X，Y）必然關於M對稱。
即M為中點。
Q·E·D。」
齊物放下電容筆，抬頭看向郭達。
郭達臉色凝重，他有些跟不上齊物的思維。
他想起了射影幾何、齊次變化、對合映射……都是《高等幾何》裡面的內容。
齊物……已經開始學習大學教材了？
不……將射影幾何絲滑地應用到蝴蝶定理的證明上，需要極高的代數幾何水平。
為何之前從未聽說過蘭蒼縣有這樣一個數學天才？
為何沒人發掘他，走競賽這條路？
郭達看著齊物，覺得這一趟來的太值了。
他甚至從齊物的身上看到了，那個入選國集的學生崔東山的影子。
「好！」
郭達鼓掌，「齊物同學將複雜的平面幾何降維成一個代數問題，這樣的思維，非常厲害！」
國家名師郭老師直接蓋章，讓大禮堂里的師生和看直播的學渣們徹底震驚。
「我靠，二中的出來，這齊物真是你們學校的？」
「什麼射影幾何，齊次變換的……這是高中生該懂得東西嗎？」
「你不說我還以為齊物寫的那行公式是英語呢（笑哭）」
「雖然我一個字也沒看懂，但是我感覺他很厲害。」
「二中雄起，將一中踩在腳下！」
「齊物牛逼！」
「……」
郭達越看齊物越喜歡，這傢伙喜怒不形於色，是典型的學霸啊，這樣的孩子理應到更高的舞台去。
「齊物，我這裡有一道題，你可以現場做一下嗎？」
郭達想考驗一下齊物的純代數能力。
齊物表示無所謂，點頭：「可以。」
他現在很喜歡做題的感覺，尤其是難題。
越難越好！
郭達手指一點，一道題目出現在大屏幕上。
【已知實數a，b，c>0，且滿足abc=1。求證：a³/(1+b)（1+c）+b³/(1+c)（1+a）+c³/(1+a)（1+b）≥3/4。】
郭達道：「這是一道競賽預賽難度的多元不等式題型，考的是代數放縮，齊物同學，你幾分鐘能做出來？」
齊物拿起電容筆，在他眼中，代數和幾何沒有區別。
具有高度對稱性的代數式，往往有多種解法——
他略一沉吟，道：「郭老師，我可以提供四種不同的證明方法。」
此言一出，滿場皆驚。
「我靠，我沒聽錯吧！」
「我還在懷疑這是不是高中數學題，這二中的逼就說有四種證法？」
「我連一種都不會！」
「……」
郭達也一時語塞——
那邊，齊物已經開始解題。
「第一種，很明顯，最基礎的均值不等式配湊法。
已知abc=1，我們可以對原式的每一項進行巧妙的常數配湊。
即：a³/(1+b)（1+c）+（1+b）/8+（1+c）/8≥3³√a³/(1+b)（1+c）·（1+b）/8·（1+c）/8
簡化右側，恰好等於³√a³/64=3a/4
同理，對另外兩項進行配湊，列出三個不等式，相加，可以得到——
原式+（2+b+c）/8+（2+c+a）/8+(2+a+b)/8≥3/4（a+b+c），
即原式≥1/2（a+b+c）-3/4。
注意到，均值不等式a+b+c≥3³√abc=3。
即原式≥1/2×3-3/4=3/4。
Q·E·D。」
大禮堂內空氣一滯，90%的人都沒跟上齊物的思維。
他們只知道，只用了一分多鐘，齊物就給出了第一種證法。
看得懂的人都覺得，常數1/8的選取堪稱神來之筆，恰好消去了分母，完美放縮。
「第二種，柯西不等式的分式形式。」
齊物自信地宛如給幾百人講課的老師，「很明顯，可以將原式各項的分子分母同乘以相應的變量進行變形：
即原式=a^4/a(1+b)(1+c)+b^4/b(1+c)(1+a)+c^4/c(1+a)(1+b)，
應用柯西不等式，得到
原式≥（a²+b²+c²）²/a(1+b)(1+c)+b(1+c)(1+a)+c(1+a)(1+b)
答案已經很明顯了吧。」
齊物停頓，看向下面烏壓壓的人群。
「明顯？什麼明顯？哪裡明顯？」
人群里閃出素質三連問。
齊物看著鴉雀無聲的觀眾，道：「利用基本的不等式關係，展開分母，放縮分母和分子，結合abc=1，化簡一下就能得出大於等於3/4的結論啊。」
「怎麼感覺柯西不等式在他那裡就像是1+1=2啊。」
「大巧不工。」
這是郭達的評價。
「第三種，赫爾德不等式。」
齊物寫下一個對在場很多人都很陌生的名詞。
郭達神色嚴肅，他發現齊物已經超出他的想像了。
「利用赫爾德不等式，將原式構造為三組求和式相乘的形式：
（∑a³/(1+b)(1+c))(∑(1+b)）)(∑(1+c）)≥(∑a)³
已知a+b+c≥3……右邊等於27……化簡之後，很明顯，可以證明原式≥3/4。」
在場的師生們已經聽得不知天地為何物。
「三套純代數的解法，一套比一套高級……」
「柯西不等式我還見過，但是這個赫爾德不等式我是真沒聽過。」
「二中這逼怎麼這麼猛？」
「如此天才屈居二中？」
郭達讚嘆地感慨：「天才……簡直是數學天才。」
「第四種。」
齊物仍舊在持續輸出，「郭老師，您剛才說這道題沒有圖形可依託，但是依我看來，所有的代數方程，都有對應的幾何圖形。」
齊物在空白處，畫了一個十字直角坐標系。
「利用切線放縮法，將原式看成三個相同的函數結構組成的求和形式。
已知abc=1，
構造單變量的一元函數f(x)=x³/(1+x)²
很明顯，我們可以在平面直角坐標系中畫出它的曲線。
尋找函數在x=1處的切線。
求導，得到切線方程y=1x/2-1/4
問題進而轉化成證明f(x)≥1x/2-1/4，即是證明函數曲線始終位於切線上方。
將a，b，c分別代入切線方程並求和，原式≥1(a+b+c)/2-3/4≥3/2-3/4=3/4。
Q·E·D。」
齊物放下電容筆，看著台下黑壓壓的人群。
四種解法，如同庖丁解牛。
乾淨利落地擺在所有人面前。
總共用時，不到15分鐘。
鴉雀無聲。
縣教育局的領導、各大高中的師生全部欲言又止。
不知道該怎麼表達心中的震驚。
郭達驚呆了，齊物的數學水平，琅琊一中的清北預備生們，似乎也比不上！
他看著大屏幕上的公式，問出所有人想問的問題：「齊物同學，你是怎麼……在這麼短的時間內想出這麼多的解法的？」
「直覺吧。」
齊物平靜道，「實際上，就在三秒前，我又想到了第五種解法。」
什麼玩意？
更美妙的證法？
你以為你是費馬啊。
「我靠，二中這逼說什麼？」
「他說他有更好的解法，但是寫出來我們看不懂。」
「納尼？誰給他的勇氣？」
「我是三中的，我投降，我的確看不懂。」
「我不信，這逼絕對打腫臉充胖子，我問了豆寶，豆寶也給出了這個解法！」
「……」
郭達也愣了愣，他可不知道什麼更美妙的證法，他也不覺得這道題還有什麼更好的解法。
他看到「群情激奮」的大禮堂，笑道：「齊物同學，你今天的表現已經很優秀了，不要太過激進。」
他這是好意，他已經相信齊物是獨立解題了。
「是個好苗子，雖然已經高三了，不過可以挖到琅琊一中競賽班試試……」
「郭老師。」
齊物再次走到平板前，輕聲道，「可曾聽說過射影幾何？」
嗯？
郭達面色一緊，幾何學分支？
「二維的XY軸其實是有些笨重的，那我們換一個視角。」
齊物開始書寫，「將視角拉高至高維，在高維視角下，蝴蝶定理從來不是幾何難題，而是變成了一個平凡的射影屬性。」
他在平板上畫了一個圓。
「很明顯，我可以引入射影幾何，使用齊次坐標。」
郭達的臉色終於認真起來，眼前的少年似乎比他預想的還要天賦超凡。
「設圓O為復射影平面內的二次曲線C，直線PQ與C相交於兩點。我們注意到，在這個射影變換下，我們可以構造一個對合。
根據德薩格對合定理，過定點M的所有二次曲線叢與直線PQ的交點對，構成一個對合映射。」
齊物寫下唯一的一行公式：
τ（X）=Y，τ（M）=M，τ（∞）=∞
「因為原點M是這個對合的固定點，且無窮遠點在射影變換下保持對稱，那麼在這個線性變換中，每一個點（X，Y）必然關於M對稱。
即M為中點。
Q·E·D。」
齊物放下電容筆，抬頭看向郭達。
郭達臉色凝重，他有些跟不上齊物的思維。
他想起了射影幾何、齊次變化、對合映射……都是《高等幾何》裡面的內容。
齊物……已經開始學習大學教材了？
不……將射影幾何絲滑地應用到蝴蝶定理的證明上，需要極高的代數幾何水平。
為何之前從未聽說過蘭蒼縣有這樣一個數學天才？
為何沒人發掘他，走競賽這條路？
郭達看著齊物，覺得這一趟來的太值了。
他甚至從齊物的身上看到了，那個入選國集的學生崔東山的影子。
「好！」
郭達鼓掌，「齊物同學將複雜的平面幾何降維成一個代數問題，這樣的思維，非常厲害！」
國家名師郭老師直接蓋章，讓大禮堂里的師生和看直播的學渣們徹底震驚。
「我靠，二中的出來，這齊物真是你們學校的？」
「什麼射影幾何，齊次變換的……這是高中生該懂得東西嗎？」
「你不說我還以為齊物寫的那行公式是英語呢（笑哭）」
「雖然我一個字也沒看懂，但是我感覺他很厲害。」
「二中雄起，將一中踩在腳下！」
「齊物牛逼！」
「……」
郭達越看齊物越喜歡，這傢伙喜怒不形於色，是典型的學霸啊，這樣的孩子理應到更高的舞台去。
「齊物，我這裡有一道題，你可以現場做一下嗎？」
郭達想考驗一下齊物的純代數能力。
齊物表示無所謂，點頭：「可以。」
他現在很喜歡做題的感覺，尤其是難題。
越難越好！
郭達手指一點，一道題目出現在大屏幕上。
【已知實數a，b，c>0，且滿足abc=1。求證：a³/(1+b)（1+c）+b³/(1+c)（1+a）+c³/(1+a)（1+b）≥3/4。】
郭達道：「這是一道競賽預賽難度的多元不等式題型，考的是代數放縮，齊物同學，你幾分鐘能做出來？」
齊物拿起電容筆，在他眼中，代數和幾何沒有區別。
具有高度對稱性的代數式，往往有多種解法——
他略一沉吟，道：「郭老師，我可以提供四種不同的證明方法。」
此言一出，滿場皆驚。
「我靠，我沒聽錯吧！」
「我還在懷疑這是不是高中數學題，這二中的逼就說有四種證法？」
「我連一種都不會！」
「……」
郭達也一時語塞——
那邊，齊物已經開始解題。
「第一種，很明顯，最基礎的均值不等式配湊法。
已知abc=1，我們可以對原式的每一項進行巧妙的常數配湊。
即：a³/(1+b)（1+c）+（1+b）/8+（1+c）/8≥3³√a³/(1+b)（1+c）·（1+b）/8·（1+c）/8
簡化右側，恰好等於³√a³/64=3a/4
同理，對另外兩項進行配湊，列出三個不等式，相加，可以得到——
原式+（2+b+c）/8+（2+c+a）/8+(2+a+b)/8≥3/4（a+b+c），
即原式≥1/2（a+b+c）-3/4。
注意到，均值不等式a+b+c≥3³√abc=3。
即原式≥1/2×3-3/4=3/4。
Q·E·D。」
大禮堂內空氣一滯，90%的人都沒跟上齊物的思維。
他們只知道，只用了一分多鐘，齊物就給出了第一種證法。
看得懂的人都覺得，常數1/8的選取堪稱神來之筆，恰好消去了分母，完美放縮。
「第二種，柯西不等式的分式形式。」
齊物自信地宛如給幾百人講課的老師，「很明顯，可以將原式各項的分子分母同乘以相應的變量進行變形：
即原式=a^4/a(1+b)(1+c)+b^4/b(1+c)(1+a)+c^4/c(1+a)(1+b)，
應用柯西不等式，得到
原式≥（a²+b²+c²）²/a(1+b)(1+c)+b(1+c)(1+a)+c(1+a)(1+b)
答案已經很明顯了吧。」
齊物停頓，看向下面烏壓壓的人群。
「明顯？什麼明顯？哪裡明顯？」
人群里閃出素質三連問。
齊物看著鴉雀無聲的觀眾，道：「利用基本的不等式關係，展開分母，放縮分母和分子，結合abc=1，化簡一下就能得出大於等於3/4的結論啊。」
「怎麼感覺柯西不等式在他那裡就像是1+1=2啊。」
「大巧不工。」
這是郭達的評價。
「第三種，赫爾德不等式。」
齊物寫下一個對在場很多人都很陌生的名詞。
郭達神色嚴肅，他發現齊物已經超出他的想像了。
「利用赫爾德不等式，將原式構造為三組求和式相乘的形式：
（∑a³/(1+b)(1+c))(∑(1+b)）)(∑(1+c）)≥(∑a)³
已知a+b+c≥3……右邊等於27……化簡之後，很明顯，可以證明原式≥3/4。」
在場的師生們已經聽得不知天地為何物。
「三套純代數的解法，一套比一套高級……」
「柯西不等式我還見過，但是這個赫爾德不等式我是真沒聽過。」
「二中這逼怎麼這麼猛？」
「如此天才屈居二中？」
郭達讚嘆地感慨：「天才……簡直是數學天才。」
「第四種。」
齊物仍舊在持續輸出，「郭老師，您剛才說這道題沒有圖形可依託，但是依我看來，所有的代數方程，都有對應的幾何圖形。」
齊物在空白處，畫了一個十字直角坐標系。
「利用切線放縮法，將原式看成三個相同的函數結構組成的求和形式。
已知abc=1，
構造單變量的一元函數f(x)=x³/(1+x)²
很明顯，我們可以在平面直角坐標系中畫出它的曲線。
尋找函數在x=1處的切線。
求導，得到切線方程y=1x/2-1/4
問題進而轉化成證明f(x)≥1x/2-1/4，即是證明函數曲線始終位於切線上方。
將a，b，c分別代入切線方程並求和，原式≥1(a+b+c)/2-3/4≥3/2-3/4=3/4。
Q·E·D。」
齊物放下電容筆，看著台下黑壓壓的人群。
四種解法，如同庖丁解牛。
乾淨利落地擺在所有人面前。
總共用時，不到15分鐘。
鴉雀無聲。
縣教育局的領導、各大高中的師生全部欲言又止。
不知道該怎麼表達心中的震驚。
郭達驚呆了，齊物的數學水平，琅琊一中的清北預備生們，似乎也比不上！
他看著大屏幕上的公式，問出所有人想問的問題：「齊物同學，你是怎麼……在這麼短的時間內想出這麼多的解法的？」
「直覺吧。」
齊物平靜道，「實際上，就在三秒前，我又想到了第五種解法。」