第7章 我還有一種更美妙的證法
？？
WTF？
一石激起千層浪！
大禮堂內一片譁然！
「我靠，此人是誰，竟然說郭老師的證法是錯誤的？」
「看校服好像是二中的。」
「二中？我笑死！」
「二中的連211都考不上，也敢質疑全國名師？」
「這傢伙看得懂題目嗎？」
「臥槽，齊物，你……」
張凌光使勁拉了拉齊物的校服，想讓他坐下，別丟人了。
「哦？」
郭達心中一動，微笑道，「那你說說看，我的解法哪裡死板？哪裡有錯？」
齊物淡定地開口：「郭老師的解法是屬於古典幾何領域。
古典幾何過度依賴個人靈感，尋找輔助線的過程本身就充滿了偶然性。比如您的證明過程，過度依賴那四條垂線構造的相似三角形。
第一個證據，如果弦AB和CD中有一條恰好垂直於水平軸呢？」
此言一出，郭達微微一愣。
很多數學老師也是眉眼一抬。
「如果弦垂直於水平軸，那麼垂線將與弦重合，三角形將不復存在，您的這一套比例推導是不是就直接崩潰了？
從而您的證明丟失了普適性。」
郭達內心一喜，看來蘭蒼縣還是有苗子的。
「第二個證據，弦重合退化。AB和CD退化成同一條直線，相似三角形同樣不存在，相似性判定條件不成立，輔助線失去意義。」
「第三個證據，動點翻轉至圓外。
直線AD、BC與PQ的交點X、Y翻轉到圓外時，所做的垂線會落在弦AB、CD的延長線上，純幾何中線段長度無正負界定，導致相似比例鏈斷裂，若是強行推導，會出現邏輯矛盾，導致證法失效。」
齊物的聲音清脆果斷，迴蕩在大禮堂內。
台上的郭達徹底變了臉色。
這少年竟然一下子就想到這麼多種證法失效的情況！
不得了！
二中……蘭蒼二中有這種學生？
「那男生嘰里咕嚕說啥呢？」
「沒聽懂。」
「但是郭老師沒打斷他，而且神色凝重。」
「難道這二中的同學真的看出郭老師的錯誤？」
「不可能！絕對不可能！」
「二中啊……那裡的老師都不一定能看懂郭老師的解法吧。」
……
「同學，你可以上台嗎？」
郭達發出邀請，「來說說，既然我的證法有這麼多紕漏，應該怎麼改進？」
此言一出，滿場震驚。
「郭老師……這是認可了二中這學渣的話？」
「我靠，二中崛起了！」
「不可能啊，二中學習最好的就是張凌光了……」
齊物離開座位，鎮定地走到台上。
「郭老師好。」
齊物做出最基本的禮貌，「純幾何的輔助線，依賴於圖形的直觀結構。一旦圖形拓撲結構發生變化，輔助線就會失效。
數學是一門追求確定性的科學，我們完全可以拋棄虛無縹緲的輔助線，用解析幾何來解決它。」
郭達眼神微眯：「你懂解析幾何？」
齊物心想我不僅懂，我還是3級大佬！
他拿起電容筆，開始在平板上書寫，並同步到大屏幕上。
「建立直角坐標系。」
齊物畫出一個十字坐標軸，「以弦PQ的中點M為原點（0，0），弦PQ所在的直線為X軸。
因為M是弦PQ的中點，根據圓的對稱性，圓心必定落在垂直於PQ的直線上，也就是Y軸上。」
「所以，我們可以直接設這個圓的方程為x²+y²-2ay+c=0。」
寫到這裡，郭達眼中閃出讚賞。
而吃瓜群眾——
「臥槽，一個圓形怎麼就變成方程了？」
「幾何代數化……」
齊物繼續書寫，十分流暢，仿佛不用思考：「過原點M的兩條直線AB和CD，我們可以設定它們的方程為y=k₁x，y=k₂x.
將直線AB的方程代入圓的方程，得到x的一元二次方程（1+k₁²）x²-2ak₁x+c=0。
同理，將直線CD代入，得到（1+k₂²）x²-2ak₂x+c=0。」
台下一中的尖子生和老師們已經漸漸看懂了齊物的解法。
設方程，聯立公式，求交點——
標準的解析幾何做法。
但是計算量很大。
郭達忍不住道：「同學，你的思路是對的，但是後續求交點時，代數化簡的計算量很大……」
「不大啊。」
齊物淡淡道，「用韋達定理進行高階代數變換就行了。」
「設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）。根據韋達定理，我們可以直接得出：
1/x1+1/x2=2ak1/c
1/x3+1/x4=2ak2/c。
A，X，D三點共線，利用斜率相等列出等式……可求出和X軸交點MX的表達式。
同理可得出MY的表達式。
兩式相加……提取公因式，代入韋達定理……k1、k2項抵消，常數項抵消，即：
1/MX+1/MY=0，
很明顯，MX=-MY，也就是說，M為XY的中點。
Q·E·D。」
齊物從開始證明，到結束，只用了三分鐘不到的時間。
相比較於郭達的輔助線和相似三角形，齊物的解答不僅只有簡單的方程，更關鍵的是堵住了漏洞，更加嚴謹。
大禮堂內一片寂靜。
80%的人都無法判定齊物到底是在裝逼……還是在裝逼……
他們只是看不懂……
這種情況不應該出現在一個二中的學渣身上。
很多尖子生和老師卻發現，齊物……
似乎答對了。
「好好好！」
郭達連續說了三個好，「還沒請教，同學的名字？」
「蘭蒼二中，齊物。」
「齊同學有很出色的解析幾何功底，解法嚴謹正確，讓人嘆為觀止——」
……
「臥槽，二中這逼做對了！」
「二中啊，那可是二中！」
「二中撿到寶了？」
「此人名聲不顯啊，為何突然崛起？」
「齊物……」台下的二中老師和張凌光李飛都驚呆了，這還是他們認識的那個學渣齊物嗎？
他數學不及格！
竟然能和郭達老師進行【學術交流】了？
「不過……」
台上的郭達老師忽而笑道，「蝴蝶定理一開始是以純幾何出現，但是在1981年，K.薩蒂亞納拉亞納給出了解析幾何證法，和齊同學的解法基本一致。」
啊？
此言一出，台下吃瓜群眾不淡定了。
「1981年就出現解析幾何證法了？」
「嗨~齊物肯定是看過答案，背下來了！」
「我就說嘛，二中那種淺水灘怎麼會有真龍呢？」
「二中這是提前知道郭老師的講題，然後讓學生上來裝逼了吧。」
「肯定是啦，打開知名度，明年搶點好苗子。」
郭達也不確定，齊物到底有沒有看過K.薩蒂亞納拉亞納的解法，如果沒看過，能看出幾何學的漏洞並給出解析幾何解法——
那這個齊物，天賦非凡。
「哦？」
齊物一愣，他才晉升學霸沒多久，並不知道什麼K.薩蒂亞納拉亞納，這個解法是他在一分鐘之內想出來的，「解法是我獨立想出來的。」
「當然了，這是一種很基礎的解法。」
「我還有一種更美妙的證法，之所沒拿出來，是因為我覺得，大家可能看不懂。」
WTF？
一石激起千層浪！
大禮堂內一片譁然！
「我靠，此人是誰，竟然說郭老師的證法是錯誤的？」
「看校服好像是二中的。」
「二中？我笑死！」
「二中的連211都考不上，也敢質疑全國名師？」
「這傢伙看得懂題目嗎？」
「臥槽，齊物，你……」
張凌光使勁拉了拉齊物的校服，想讓他坐下，別丟人了。
「哦？」
郭達心中一動，微笑道，「那你說說看，我的解法哪裡死板？哪裡有錯？」
齊物淡定地開口：「郭老師的解法是屬於古典幾何領域。
古典幾何過度依賴個人靈感，尋找輔助線的過程本身就充滿了偶然性。比如您的證明過程，過度依賴那四條垂線構造的相似三角形。
第一個證據，如果弦AB和CD中有一條恰好垂直於水平軸呢？」
此言一出，郭達微微一愣。
很多數學老師也是眉眼一抬。
「如果弦垂直於水平軸，那麼垂線將與弦重合，三角形將不復存在，您的這一套比例推導是不是就直接崩潰了？
從而您的證明丟失了普適性。」
郭達內心一喜，看來蘭蒼縣還是有苗子的。
「第二個證據，弦重合退化。AB和CD退化成同一條直線，相似三角形同樣不存在，相似性判定條件不成立，輔助線失去意義。」
「第三個證據，動點翻轉至圓外。
直線AD、BC與PQ的交點X、Y翻轉到圓外時，所做的垂線會落在弦AB、CD的延長線上，純幾何中線段長度無正負界定，導致相似比例鏈斷裂，若是強行推導，會出現邏輯矛盾，導致證法失效。」
齊物的聲音清脆果斷，迴蕩在大禮堂內。
台上的郭達徹底變了臉色。
這少年竟然一下子就想到這麼多種證法失效的情況！
不得了！
二中……蘭蒼二中有這種學生？
「那男生嘰里咕嚕說啥呢？」
「沒聽懂。」
「但是郭老師沒打斷他，而且神色凝重。」
「難道這二中的同學真的看出郭老師的錯誤？」
「不可能！絕對不可能！」
「二中啊……那裡的老師都不一定能看懂郭老師的解法吧。」
……
「同學，你可以上台嗎？」
郭達發出邀請，「來說說，既然我的證法有這麼多紕漏，應該怎麼改進？」
此言一出，滿場震驚。
「郭老師……這是認可了二中這學渣的話？」
「我靠，二中崛起了！」
「不可能啊，二中學習最好的就是張凌光了……」
齊物離開座位，鎮定地走到台上。
「郭老師好。」
齊物做出最基本的禮貌，「純幾何的輔助線，依賴於圖形的直觀結構。一旦圖形拓撲結構發生變化，輔助線就會失效。
數學是一門追求確定性的科學，我們完全可以拋棄虛無縹緲的輔助線，用解析幾何來解決它。」
郭達眼神微眯：「你懂解析幾何？」
齊物心想我不僅懂，我還是3級大佬！
他拿起電容筆，開始在平板上書寫，並同步到大屏幕上。
「建立直角坐標系。」
齊物畫出一個十字坐標軸，「以弦PQ的中點M為原點（0，0），弦PQ所在的直線為X軸。
因為M是弦PQ的中點，根據圓的對稱性，圓心必定落在垂直於PQ的直線上，也就是Y軸上。」
「所以，我們可以直接設這個圓的方程為x²+y²-2ay+c=0。」
寫到這裡，郭達眼中閃出讚賞。
而吃瓜群眾——
「臥槽，一個圓形怎麼就變成方程了？」
「幾何代數化……」
齊物繼續書寫，十分流暢，仿佛不用思考：「過原點M的兩條直線AB和CD，我們可以設定它們的方程為y=k₁x，y=k₂x.
將直線AB的方程代入圓的方程，得到x的一元二次方程（1+k₁²）x²-2ak₁x+c=0。
同理，將直線CD代入，得到（1+k₂²）x²-2ak₂x+c=0。」
台下一中的尖子生和老師們已經漸漸看懂了齊物的解法。
設方程，聯立公式，求交點——
標準的解析幾何做法。
但是計算量很大。
郭達忍不住道：「同學，你的思路是對的，但是後續求交點時，代數化簡的計算量很大……」
「不大啊。」
齊物淡淡道，「用韋達定理進行高階代數變換就行了。」
「設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）。根據韋達定理，我們可以直接得出：
1/x1+1/x2=2ak1/c
1/x3+1/x4=2ak2/c。
A，X，D三點共線，利用斜率相等列出等式……可求出和X軸交點MX的表達式。
同理可得出MY的表達式。
兩式相加……提取公因式，代入韋達定理……k1、k2項抵消，常數項抵消，即：
1/MX+1/MY=0，
很明顯，MX=-MY，也就是說，M為XY的中點。
Q·E·D。」
齊物從開始證明，到結束，只用了三分鐘不到的時間。
相比較於郭達的輔助線和相似三角形，齊物的解答不僅只有簡單的方程，更關鍵的是堵住了漏洞，更加嚴謹。
大禮堂內一片寂靜。
80%的人都無法判定齊物到底是在裝逼……還是在裝逼……
他們只是看不懂……
這種情況不應該出現在一個二中的學渣身上。
很多尖子生和老師卻發現，齊物……
似乎答對了。
「好好好！」
郭達連續說了三個好，「還沒請教，同學的名字？」
「蘭蒼二中，齊物。」
「齊同學有很出色的解析幾何功底，解法嚴謹正確，讓人嘆為觀止——」
……
「臥槽，二中這逼做對了！」
「二中啊，那可是二中！」
「二中撿到寶了？」
「此人名聲不顯啊，為何突然崛起？」
「齊物……」台下的二中老師和張凌光李飛都驚呆了，這還是他們認識的那個學渣齊物嗎？
他數學不及格！
竟然能和郭達老師進行【學術交流】了？
「不過……」
台上的郭達老師忽而笑道，「蝴蝶定理一開始是以純幾何出現，但是在1981年，K.薩蒂亞納拉亞納給出了解析幾何證法，和齊同學的解法基本一致。」
啊？
此言一出，台下吃瓜群眾不淡定了。
「1981年就出現解析幾何證法了？」
「嗨~齊物肯定是看過答案，背下來了！」
「我就說嘛，二中那種淺水灘怎麼會有真龍呢？」
「二中這是提前知道郭老師的講題，然後讓學生上來裝逼了吧。」
「肯定是啦，打開知名度，明年搶點好苗子。」
郭達也不確定，齊物到底有沒有看過K.薩蒂亞納拉亞納的解法，如果沒看過，能看出幾何學的漏洞並給出解析幾何解法——
那這個齊物，天賦非凡。
「哦？」
齊物一愣，他才晉升學霸沒多久，並不知道什麼K.薩蒂亞納拉亞納，這個解法是他在一分鐘之內想出來的，「解法是我獨立想出來的。」
「當然了，這是一種很基礎的解法。」
「我還有一種更美妙的證法，之所沒拿出來，是因為我覺得，大家可能看不懂。」