第6章 數學公開課
翌日，早自習之後。
班主任老周走了進來：「宣布一件事。
為了更好地備戰高考，縣教育局的領導特地邀請了琅琊一中的郭達老師，來咱們蘭蒼縣講授一節數學公開課。
郭達老師是全國教學名師，琅琊一中數學競賽教練，去年他指導的學生崔東山入選了國集，保送燕京大學姚班。」
「什麼是國集啊？」有學渣問道。
「國家集訓隊。」老周道，「全國中學生競賽，知道吧？入選國集，就保送清北。」
「哇靠，牛逼。」
「和咱們有啥關係呢，我們是二本都考不上的學渣。」
……
「公開課在蘭蒼縣大禮堂舉行，全縣七所中學，每所有一百個名額，分到咱們班的話是三個……」
老周繼續道，「張凌光、李飛、齊物，你們三個下午1點去校門口乘坐大巴統一前往，其餘人可以在教室里看現場直播！」
老周宣布名額之後，七班的學渣都是一愣。
張凌光和李飛都是全校前十，一本種子，入選很合理，但是齊物……
分明只是一個學渣啊。
他數學常年不及格。
憑什麼入選？
「我靠，齊哥，你怎麼入選了！」
同桌張偉驚訝道，「你和老周是親戚嗎？」
大概是因為我摸底考的成績很驚人吧——
齊物笑了笑，沒說話。
成績公布的時候，你們自然就知道原因了。
————
下午1點，齊物和張凌光、李飛乘坐大巴前往縣大禮堂，裡面已經座無虛席。
大禮堂的後方架設著三台高清攝像機，將這台公開課全程在斗音直播。
以便沒來現場的蘭蒼縣中學生們可以觀摩一下名師的講座。
2點，公開課正式開始。
郭達看年紀五十五歲左右，穿著一件淺藍色襯衫，戴著一個黑框眼鏡，氣質儒雅，他走上講台，目光掃過全場：
「各位同學好，我是數學教師郭達。
今天的講座，我想看看咱們蘭蒼縣中學生的【數學直覺】。」
很多蘭蒼縣的老師也在下面聽著，心思一動：「這是來挑選人才來了？」
「我帶過很多競賽生，我發現普通學生和天才，最大的區別就是敏感度。比如說一個圖形，天才能夠在雜亂無章的線條中，一眼看出隱藏的幾何關係。」
郭達繼續道，「這就叫天賦。」
「想不想看看你有沒有這種天賦？」
「我出一道經典的平面幾何題，大家感受一下。」
大屏幕上很快浮現出一道題目：
【已知圓O中，弦PQ的中點為M。過點M任作兩條弦AB和CD。連接AD交PQ於點X，連接BC交PQ於點Y。
求證：M為XY的中點。】
「這是著名的蝴蝶定理。」
郭達笑道，「普通高考不做要求，但是在競賽中，經常作為複雜幾何題的內核出現。現在，我給同學們十分鐘時間，試著在草稿紙上找找證明思路。」
大禮堂內瞬間「嗡嗡」地開始討論，同學們開始沙沙地書寫。
齊物坐在中間靠後的位置，只是看了一眼大屏幕上的題目，就迅速有了解法。
蝴蝶定理，典型的歐式平面幾何題，用純幾何法，可以做，但是很繁瑣、有漏洞；
最簡單的是建立坐標系，用代數運算。
張凌光、李飛在旁邊不停畫輔助線，七八分鐘了還是毫無頭緒。
「角度和長度都沒有，怎麼證明中點？」
「我做不出來。」
「郭達這是來顯擺的吧，咱們蘭蒼縣連省二競賽生都沒有，誰TM能做出這種題？」
……
十分鐘很快過去。
「看來同學們遇到了一些困難，沒關係，這是正常的。」
郭達緩緩道，「古典幾何的魅力，在於尋找隱藏在暗處的輔助線。」
他給出了藝術般的解題過程。
「過點X，分別向弦AB和CD做垂線，垂足為E和F。同理，過點Y向AB和CD做垂線，垂足為G和H。」
四條紅線在圓內交織，將原本就複雜的圖形切割成了更加細碎的多邊形。
齊物看到張凌光和李飛眉頭緊皺，似乎不知道這四條垂線的意義所在。
「接下來，請大家仔細觀察。」
郭達繼續道，「因為是同弧所對的圓周角，所以∠A=∠C，∠B=∠D。由此可得到兩組相似三角形：ΔAXE∽ΔCXF、ΔBYG∽ΔDYH。
可得，XE/XF=AX/CX，YG/YH=……」
「另一邊，我們可以看出ΔMXE和ΔMYG都是直角三角形，且∠XME=∠YMG，所以ΔMXE∽ΔMYG。同理ΔMXF∽ΔMYH。
可得XE/YG=MX/MY，XF/YH=MX/MY。
兩式相除，可得XE/XF=YG/YH。」
黑板上，已經被密密麻麻的Δ、角標和分數線填滿。
「最後，我們將前面的比例式代入，運用相交弦定理AX·XD=CX·XB，最終化簡後全部中間項消去，僅剩線段等量關係。
可證MX=MY。
即M為XY的中點。」
禮堂內陷入短暫的寂靜，而後響起掌聲。
「我靠，這種輔助線我死也想不出來。」
「四組相似三角形強行破局，邏輯閉環！」
「拿這種題目到蘭蒼縣來？郭老師你是不是對我們有什麼誤解？」
「報！二中學生沒一個會的，都在玩手機！」
……
郭達看著下面同學的表情，對蘭蒼縣教育水平的評價又下降了一個level。
都是驚嘆——
難道就沒人看出這種證法的不妥嗎？
「針對這道題，大家有什麼想問的嗎？」
郭達開始cue流程，「儘管暢所欲言。」
蘭蒼縣的尖子生們大多都是衝擊C9，很少接觸競賽題，所以對於這種題目毫無想法。
再說了，提問只是走過場罷了。
還真有愣頭青提問啊？
郭達暗暗搖頭，蘭蒼縣的學生思維固化，看來今天是很難發現好苗子了——
就在他有些失望之際……
驀地，
他餘光一閃，發現一隻手舉了起來。
嗯？
他連忙轉頭，發現在大禮堂中間靠後的位置，有一個男生舉起了手。
看位置，不是一中的……
「那位同學，你有什麼想問的嗎？」
郭達一出口，所有人「刷刷刷」看向大禮堂右後方。
卻見一個高高瘦瘦，穿著藍白校服的清秀男生站了起來。
「我靠，齊物，你幹啥呀！」
一旁的張凌光驚呆了，「你看得懂嗎？就提問！」
「別瞎搞！」
李飛將頭埋在凳子裡，「你代表二中！」
工作人員很快地上話筒。
齊物其實也很猶豫要不要提問，但是自從得到《近現代科學家圖鑑》之後，他仿佛化身真理的使者，看到錯誤不吐不快。
他接過話筒，平靜道：「郭老師，我覺得，你的證法，並不完美。」
「從數學的嚴謹性角度來說，有些死板。而且——」
「我至少可以找到三個證據，證明你的證法，其實是錯誤的。」
班主任老周走了進來：「宣布一件事。
為了更好地備戰高考，縣教育局的領導特地邀請了琅琊一中的郭達老師，來咱們蘭蒼縣講授一節數學公開課。
郭達老師是全國教學名師，琅琊一中數學競賽教練，去年他指導的學生崔東山入選了國集，保送燕京大學姚班。」
「什麼是國集啊？」有學渣問道。
「國家集訓隊。」老周道，「全國中學生競賽，知道吧？入選國集，就保送清北。」
「哇靠，牛逼。」
「和咱們有啥關係呢，我們是二本都考不上的學渣。」
……
「公開課在蘭蒼縣大禮堂舉行，全縣七所中學，每所有一百個名額，分到咱們班的話是三個……」
老周繼續道，「張凌光、李飛、齊物，你們三個下午1點去校門口乘坐大巴統一前往，其餘人可以在教室里看現場直播！」
老周宣布名額之後，七班的學渣都是一愣。
張凌光和李飛都是全校前十，一本種子，入選很合理，但是齊物……
分明只是一個學渣啊。
他數學常年不及格。
憑什麼入選？
「我靠，齊哥，你怎麼入選了！」
同桌張偉驚訝道，「你和老周是親戚嗎？」
大概是因為我摸底考的成績很驚人吧——
齊物笑了笑，沒說話。
成績公布的時候，你們自然就知道原因了。
————
下午1點，齊物和張凌光、李飛乘坐大巴前往縣大禮堂，裡面已經座無虛席。
大禮堂的後方架設著三台高清攝像機，將這台公開課全程在斗音直播。
以便沒來現場的蘭蒼縣中學生們可以觀摩一下名師的講座。
2點，公開課正式開始。
郭達看年紀五十五歲左右，穿著一件淺藍色襯衫，戴著一個黑框眼鏡，氣質儒雅，他走上講台，目光掃過全場：
「各位同學好，我是數學教師郭達。
今天的講座，我想看看咱們蘭蒼縣中學生的【數學直覺】。」
很多蘭蒼縣的老師也在下面聽著，心思一動：「這是來挑選人才來了？」
「我帶過很多競賽生，我發現普通學生和天才，最大的區別就是敏感度。比如說一個圖形，天才能夠在雜亂無章的線條中，一眼看出隱藏的幾何關係。」
郭達繼續道，「這就叫天賦。」
「想不想看看你有沒有這種天賦？」
「我出一道經典的平面幾何題，大家感受一下。」
大屏幕上很快浮現出一道題目：
【已知圓O中，弦PQ的中點為M。過點M任作兩條弦AB和CD。連接AD交PQ於點X，連接BC交PQ於點Y。
求證：M為XY的中點。】
「這是著名的蝴蝶定理。」
郭達笑道，「普通高考不做要求，但是在競賽中，經常作為複雜幾何題的內核出現。現在，我給同學們十分鐘時間，試著在草稿紙上找找證明思路。」
大禮堂內瞬間「嗡嗡」地開始討論，同學們開始沙沙地書寫。
齊物坐在中間靠後的位置，只是看了一眼大屏幕上的題目，就迅速有了解法。
蝴蝶定理，典型的歐式平面幾何題，用純幾何法，可以做，但是很繁瑣、有漏洞；
最簡單的是建立坐標系，用代數運算。
張凌光、李飛在旁邊不停畫輔助線，七八分鐘了還是毫無頭緒。
「角度和長度都沒有，怎麼證明中點？」
「我做不出來。」
「郭達這是來顯擺的吧，咱們蘭蒼縣連省二競賽生都沒有，誰TM能做出這種題？」
……
十分鐘很快過去。
「看來同學們遇到了一些困難，沒關係，這是正常的。」
郭達緩緩道，「古典幾何的魅力，在於尋找隱藏在暗處的輔助線。」
他給出了藝術般的解題過程。
「過點X，分別向弦AB和CD做垂線，垂足為E和F。同理，過點Y向AB和CD做垂線，垂足為G和H。」
四條紅線在圓內交織，將原本就複雜的圖形切割成了更加細碎的多邊形。
齊物看到張凌光和李飛眉頭緊皺，似乎不知道這四條垂線的意義所在。
「接下來，請大家仔細觀察。」
郭達繼續道，「因為是同弧所對的圓周角，所以∠A=∠C，∠B=∠D。由此可得到兩組相似三角形：ΔAXE∽ΔCXF、ΔBYG∽ΔDYH。
可得，XE/XF=AX/CX，YG/YH=……」
「另一邊，我們可以看出ΔMXE和ΔMYG都是直角三角形，且∠XME=∠YMG，所以ΔMXE∽ΔMYG。同理ΔMXF∽ΔMYH。
可得XE/YG=MX/MY，XF/YH=MX/MY。
兩式相除，可得XE/XF=YG/YH。」
黑板上，已經被密密麻麻的Δ、角標和分數線填滿。
「最後，我們將前面的比例式代入，運用相交弦定理AX·XD=CX·XB，最終化簡後全部中間項消去，僅剩線段等量關係。
可證MX=MY。
即M為XY的中點。」
禮堂內陷入短暫的寂靜，而後響起掌聲。
「我靠，這種輔助線我死也想不出來。」
「四組相似三角形強行破局，邏輯閉環！」
「拿這種題目到蘭蒼縣來？郭老師你是不是對我們有什麼誤解？」
「報！二中學生沒一個會的，都在玩手機！」
……
郭達看著下面同學的表情，對蘭蒼縣教育水平的評價又下降了一個level。
都是驚嘆——
難道就沒人看出這種證法的不妥嗎？
「針對這道題，大家有什麼想問的嗎？」
郭達開始cue流程，「儘管暢所欲言。」
蘭蒼縣的尖子生們大多都是衝擊C9，很少接觸競賽題，所以對於這種題目毫無想法。
再說了，提問只是走過場罷了。
還真有愣頭青提問啊？
郭達暗暗搖頭，蘭蒼縣的學生思維固化，看來今天是很難發現好苗子了——
就在他有些失望之際……
驀地，
他餘光一閃，發現一隻手舉了起來。
嗯？
他連忙轉頭，發現在大禮堂中間靠後的位置，有一個男生舉起了手。
看位置，不是一中的……
「那位同學，你有什麼想問的嗎？」
郭達一出口，所有人「刷刷刷」看向大禮堂右後方。
卻見一個高高瘦瘦，穿著藍白校服的清秀男生站了起來。
「我靠，齊物，你幹啥呀！」
一旁的張凌光驚呆了，「你看得懂嗎？就提問！」
「別瞎搞！」
李飛將頭埋在凳子裡，「你代表二中！」
工作人員很快地上話筒。
齊物其實也很猶豫要不要提問，但是自從得到《近現代科學家圖鑑》之後，他仿佛化身真理的使者，看到錯誤不吐不快。
他接過話筒，平靜道：「郭老師，我覺得，你的證法，並不完美。」
「從數學的嚴謹性角度來說，有些死板。而且——」
「我至少可以找到三個證據，證明你的證法，其實是錯誤的。」