第4章 看不懂……就要扣分嗎？
啊？
數學老師們一愣。
好小眾的問題啊。
什麼叫只有145分？
二中的學生，本次摸底考，數學最高分不過120分，平均分五六十分，你考了145分，還嫌少？
數學教研組長方明拿著齊物的卷子道：「咳咳，齊物同學，是最後一道導數壓軸題的第二問扣了5分。」
壓軸題？
齊物回憶了一下，沒覺得哪裡做錯了。
「你的答案是對的，但是步驟不太對，連基本的輔助函數都沒構造，跨度太大了，所以我們扣了你5分的步驟分。」
老師們紛紛吃瓜，
翻出了本次摸底考最後一道壓軸題：
【已知函數f（x）=lnx-a/x。
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）存在兩個零點x1、x2，且x1<x2，證明，x1·x2>e²。】
一道經典的極值點偏移問題。
方組長道：「正確的解法應該是先求導，再找到極值點x0，然後構造一個對稱的輔助函數F（x）=f（x）-f（e²/x）或者F（x）=f（x）-f（2x0-x）。
然後，利用導數證明F(x)的單調性，結合零點定理，放縮不等式，經過嚴密計算，可以推導出x1·x2>e²。」
齊物點了點頭，說的沒錯。
「齊同學，你的答案，沒有構造輔助函數，沒有求導放縮，上來你就進行換元，令t=lnx，然後得出了一個什麼W（a）……雖然結論正確，但這本就是證明題，步驟缺失，我們扣了5分。」
原來是這樣——
齊物又默默把白板抽了出來，拿起馬克筆，緩緩道：「各位老師，我認為，構造輔助函數去強行證明，是很愚蠢的方法。」
？？
老師們皺眉，沒辦法求出精確的解析解時，構造輔助函數是常用的方法啊。
「為什麼不直接把根求出來呢？」
齊物此刻倒像是老師，下面排排坐的老師是學生。
有年輕老師問道：「這個方程怎麼可能求出解析解呢？」
齊物聞言道：「水平不夠的人，當然求不出。」
？？
我擦嘞？
倒反天罡？
你說誰水平不夠？
雖然我們是中下游二本畢業，但好歹是老師啊。
齊物轉過身，開始在白板上書寫：
「題干里的f（x）=lnx-a/x，稍微變形一下，就是xlnx=a。
令t=lnx，那麼原方程就變成了te^t=a。」
齊物停了一下筆，看了一眼「求知若渴」的數學老師們：「看到這種方程，很明顯，我們注意到，完全可以引入朗博W函數。」
？？
啥？
數學老師們一愣。
「朗……什麼函數？」
「注意到？怎麼注意到的？」
……
「朗博W函數。」
齊物在白板上寫出來，「也就是函數f（w）=we^w的泛函數呀。
引入它，方程te^t=a的解就可以直接寫成t=W(a)。
帶回原式，我們就得到了兩個零點x1、x2的精確表達式：
x=e^W(a).」
？？
數學老師們目瞪口呆。
他們似乎想起來了，朗博W函數在《特殊函數》、《複變函數》等課本里學過！
但是早忘了！
這種數學工具，怎麼會從一個高中生嘴裡說出來？
只聽齊物繼續道：
「因為題目中說有兩個零點，這在複變函數里，對應了朗博W函數的兩個實數分支：
主分支W0（a）和負分支W-1（a），所以x1=e^W-1（a），x2=e^W0（a）。
我們來看題目，要求證明x1·x2>e²，帶入，也就是證明：
e^W-1（a）+W0（a）>e²，取對數，即證明W-1（a）+W0（a）>2。」
「答案，已經很明顯了吧。」
老師們面無表情。
很明顯？
哪裡很明顯？
有些想不起來W-1（a）和W0（a）有什麼玄機了呢。
「根據朗博W函數在漸近線處的級數展開性質，當變量a滿足存在雙根的條件時，這個不等式，很顯然是成立的。
Q·E·D（證畢）。」
啊？
證明完了？
畢業於琅琊大學數學系、年輕的小劉數學老師很想舉手問一下。
但是——
還是忍住了。
老師問學生，有點丟人呀。
不如問問豆寶。
拍照，發給豆寶。
「豆寶，你看看這道題，用朗博W函數的解法，正確嗎？」
小劉小聲問道。
但是他忘了——
他沒有關閉音量鍵！
於是下一刻，一個清脆的AI女聲，在寂靜的閱卷室里突兀響起——
「我直接給你最真實、最準確、最不忽悠人的回答！該解答步驟完全正確，堪稱完美！」
臥槽——
小劉臉刷的一下紅了，想要關閉豆寶，但是手忙腳亂之下，手機飛了出去，掉在地上。
「這位同學的解法非常高明，沒有採用冗長的構造輔助函數和導數放縮，而是敏銳的洞察到極值點的偏移問題，本質上是一個超越方程！
繼而引入高等數學裡復變分析領域的朗博W函數，這種解法，猶如達摩克利斯之劍，靈性十足，邏輯嚴密！
我覺得這絕非普通高中生能寫出的答案。
推測這種數學直覺只有985大學數學系本科生才能擁有。」
985……
在場的老師們都驚呆了。
二中是和985完全絕緣的！
建校以來，沒出過985！
齊物的水平堪比985大學數學系本科？
這什麼概念？
「這……這……」
數學教研組長方明也終於從該死的回憶里，想起了朗博W函數是什麼。
是用來解決超越方程的大學解析分析工具。
太超綱了。
這TM是二中學生懂得東西？
齊物不會是被牛頓奪舍重生了吧！
「方老師，我覺得我這5分不該扣。」
齊物開口道，「閱卷老師既然覺得我的步驟跳躍，那麼我想問問，在剛剛的推導中，朗博W函數的主分支W0（z）和負分支W-1（z）在複平面上的解析延拓是以哪條曲線為割線的？
它的收斂半徑又是多少？」
啊？
方明組長腦子一片空白。
什麼？
解析延拓？
複平面？
收斂半徑？
割線？
這是啥？
早忘了！
成為中學老師之後，每天研究的都是立體幾何、圓錐曲線、數列導數微積分，哪裡還記得複變函數的解析延拓？
下面的數學老師們瑟瑟發抖，根本沒人敢和齊物對視。
不是我扣得分，別找我！
齊物繼續道：「方老師，如果連多值複變函數的分支切割都無法理解，那麼閱卷老師又怎麼能看懂我這四行公式里的邏輯呢？」
「看不懂……就要扣分嗎？」
老師們徹底呆滯了。
「不扣了！」
方明組長連忙拿起紅筆，打了一個大大的對號，然後激動地對齊物道，「齊物同學說得對，不扣分了！滿分150分！」
他有點怕……怕齊物再提問。
「謝謝老師。」
齊物在老師們複雜的眼光中離開了閱卷室。
他可沒空和老師們掰扯，他還要去攻略笛卡爾呢！
上完晚自習，齊物回到宿舍。
拒絕了室友開黑的邀請，爬上床躺好，深吸一口氣，意識沉入腦海。
古銅色的羊皮卷依舊懸浮著。
《近現代科學家圖鑑》翻到了第二頁。
笛卡爾。
說起笛卡爾，齊物的第一印象就是那句著名的「我思故我在」。
他在數學上的成就同樣無與倫比：
他創立了坐標系！
他讓一切圖形都能變成數學題，一切數學題都能畫成圖，把幾何和代數完美結合，創立了解析幾何。
這套工具同樣是微積分創立的重要基礎。
他的意識輕輕觸動第二頁上的笛卡爾畫像，「嗡」，一陣水波蕩漾開來，畫像上飄出了一行字：
【瑞典的冬天太冷了，我可能熬不過去了。我的《幾何學》還有遺憾……】
嗯？
《近現代科學家圖鑑》是完成科學家的求助，就會獲得饋贈。
這個求助不一定是學術，就比如現在的笛卡爾——
1649年，笛卡爾應瑞典女王克里斯蒂娜邀請赴斯德哥爾摩講學，因在嚴寒環境下的清晨授課，感染肺炎，次年病逝。
所以，此次的任務是：
【拯救笛卡爾的生命。】
數學老師們一愣。
好小眾的問題啊。
什麼叫只有145分？
二中的學生，本次摸底考，數學最高分不過120分，平均分五六十分，你考了145分，還嫌少？
數學教研組長方明拿著齊物的卷子道：「咳咳，齊物同學，是最後一道導數壓軸題的第二問扣了5分。」
壓軸題？
齊物回憶了一下，沒覺得哪裡做錯了。
「你的答案是對的，但是步驟不太對，連基本的輔助函數都沒構造，跨度太大了，所以我們扣了你5分的步驟分。」
老師們紛紛吃瓜，
翻出了本次摸底考最後一道壓軸題：
【已知函數f（x）=lnx-a/x。
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）存在兩個零點x1、x2，且x1<x2，證明，x1·x2>e²。】
一道經典的極值點偏移問題。
方組長道：「正確的解法應該是先求導，再找到極值點x0，然後構造一個對稱的輔助函數F（x）=f（x）-f（e²/x）或者F（x）=f（x）-f（2x0-x）。
然後，利用導數證明F(x)的單調性，結合零點定理，放縮不等式，經過嚴密計算，可以推導出x1·x2>e²。」
齊物點了點頭，說的沒錯。
「齊同學，你的答案，沒有構造輔助函數，沒有求導放縮，上來你就進行換元，令t=lnx，然後得出了一個什麼W（a）……雖然結論正確，但這本就是證明題，步驟缺失，我們扣了5分。」
原來是這樣——
齊物又默默把白板抽了出來，拿起馬克筆，緩緩道：「各位老師，我認為，構造輔助函數去強行證明，是很愚蠢的方法。」
？？
老師們皺眉，沒辦法求出精確的解析解時，構造輔助函數是常用的方法啊。
「為什麼不直接把根求出來呢？」
齊物此刻倒像是老師，下面排排坐的老師是學生。
有年輕老師問道：「這個方程怎麼可能求出解析解呢？」
齊物聞言道：「水平不夠的人，當然求不出。」
？？
我擦嘞？
倒反天罡？
你說誰水平不夠？
雖然我們是中下游二本畢業，但好歹是老師啊。
齊物轉過身，開始在白板上書寫：
「題干里的f（x）=lnx-a/x，稍微變形一下，就是xlnx=a。
令t=lnx，那麼原方程就變成了te^t=a。」
齊物停了一下筆，看了一眼「求知若渴」的數學老師們：「看到這種方程，很明顯，我們注意到，完全可以引入朗博W函數。」
？？
啥？
數學老師們一愣。
「朗……什麼函數？」
「注意到？怎麼注意到的？」
……
「朗博W函數。」
齊物在白板上寫出來，「也就是函數f（w）=we^w的泛函數呀。
引入它，方程te^t=a的解就可以直接寫成t=W(a)。
帶回原式，我們就得到了兩個零點x1、x2的精確表達式：
x=e^W(a).」
？？
數學老師們目瞪口呆。
他們似乎想起來了，朗博W函數在《特殊函數》、《複變函數》等課本里學過！
但是早忘了！
這種數學工具，怎麼會從一個高中生嘴裡說出來？
只聽齊物繼續道：
「因為題目中說有兩個零點，這在複變函數里，對應了朗博W函數的兩個實數分支：
主分支W0（a）和負分支W-1（a），所以x1=e^W-1（a），x2=e^W0（a）。
我們來看題目，要求證明x1·x2>e²，帶入，也就是證明：
e^W-1（a）+W0（a）>e²，取對數，即證明W-1（a）+W0（a）>2。」
「答案，已經很明顯了吧。」
老師們面無表情。
很明顯？
哪裡很明顯？
有些想不起來W-1（a）和W0（a）有什麼玄機了呢。
「根據朗博W函數在漸近線處的級數展開性質，當變量a滿足存在雙根的條件時，這個不等式，很顯然是成立的。
Q·E·D（證畢）。」
啊？
證明完了？
畢業於琅琊大學數學系、年輕的小劉數學老師很想舉手問一下。
但是——
還是忍住了。
老師問學生，有點丟人呀。
不如問問豆寶。
拍照，發給豆寶。
「豆寶，你看看這道題，用朗博W函數的解法，正確嗎？」
小劉小聲問道。
但是他忘了——
他沒有關閉音量鍵！
於是下一刻，一個清脆的AI女聲，在寂靜的閱卷室里突兀響起——
「我直接給你最真實、最準確、最不忽悠人的回答！該解答步驟完全正確，堪稱完美！」
臥槽——
小劉臉刷的一下紅了，想要關閉豆寶，但是手忙腳亂之下，手機飛了出去，掉在地上。
「這位同學的解法非常高明，沒有採用冗長的構造輔助函數和導數放縮，而是敏銳的洞察到極值點的偏移問題，本質上是一個超越方程！
繼而引入高等數學裡復變分析領域的朗博W函數，這種解法，猶如達摩克利斯之劍，靈性十足，邏輯嚴密！
我覺得這絕非普通高中生能寫出的答案。
推測這種數學直覺只有985大學數學系本科生才能擁有。」
985……
在場的老師們都驚呆了。
二中是和985完全絕緣的！
建校以來，沒出過985！
齊物的水平堪比985大學數學系本科？
這什麼概念？
「這……這……」
數學教研組長方明也終於從該死的回憶里，想起了朗博W函數是什麼。
是用來解決超越方程的大學解析分析工具。
太超綱了。
這TM是二中學生懂得東西？
齊物不會是被牛頓奪舍重生了吧！
「方老師，我覺得我這5分不該扣。」
齊物開口道，「閱卷老師既然覺得我的步驟跳躍，那麼我想問問，在剛剛的推導中，朗博W函數的主分支W0（z）和負分支W-1（z）在複平面上的解析延拓是以哪條曲線為割線的？
它的收斂半徑又是多少？」
啊？
方明組長腦子一片空白。
什麼？
解析延拓？
複平面？
收斂半徑？
割線？
這是啥？
早忘了！
成為中學老師之後，每天研究的都是立體幾何、圓錐曲線、數列導數微積分，哪裡還記得複變函數的解析延拓？
下面的數學老師們瑟瑟發抖，根本沒人敢和齊物對視。
不是我扣得分，別找我！
齊物繼續道：「方老師，如果連多值複變函數的分支切割都無法理解，那麼閱卷老師又怎麼能看懂我這四行公式里的邏輯呢？」
「看不懂……就要扣分嗎？」
老師們徹底呆滯了。
「不扣了！」
方明組長連忙拿起紅筆，打了一個大大的對號，然後激動地對齊物道，「齊物同學說得對，不扣分了！滿分150分！」
他有點怕……怕齊物再提問。
「謝謝老師。」
齊物在老師們複雜的眼光中離開了閱卷室。
他可沒空和老師們掰扯，他還要去攻略笛卡爾呢！
上完晚自習，齊物回到宿舍。
拒絕了室友開黑的邀請，爬上床躺好，深吸一口氣，意識沉入腦海。
古銅色的羊皮卷依舊懸浮著。
《近現代科學家圖鑑》翻到了第二頁。
笛卡爾。
說起笛卡爾，齊物的第一印象就是那句著名的「我思故我在」。
他在數學上的成就同樣無與倫比：
他創立了坐標系！
他讓一切圖形都能變成數學題，一切數學題都能畫成圖，把幾何和代數完美結合，創立了解析幾何。
這套工具同樣是微積分創立的重要基礎。
他的意識輕輕觸動第二頁上的笛卡爾畫像，「嗡」，一陣水波蕩漾開來，畫像上飄出了一行字：
【瑞典的冬天太冷了，我可能熬不過去了。我的《幾何學》還有遺憾……】
嗯？
《近現代科學家圖鑑》是完成科學家的求助，就會獲得饋贈。
這個求助不一定是學術，就比如現在的笛卡爾——
1649年，笛卡爾應瑞典女王克里斯蒂娜邀請赴斯德哥爾摩講學，因在嚴寒環境下的清晨授課，感染肺炎，次年病逝。
所以，此次的任務是：
【拯救笛卡爾的生命。】