第48章 霸榜五十年的難題
莫利斯與西蒙娜的神情都變得有些蔫巴，兩人看著黑板上那道數學證明題，陷入了沉默之中。
在他倆中間，羅倫此刻也在看那道數學證明題。
【有一個神奇的無窮乘積：π/2=∏（n=1→∞）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))=（2×2×4×4×6×6×……）/（1×3×3×5×5×7……），請試著證明它成立。】
「這不就是沃利斯乘積麼？嗯，在這個世界，似乎是叫做什麼沃特乘積。」
他眨了眨眼，而後想到關於該乘積的一些東西，也是情不自禁地皺起了眉：
「這玩意兒證明起來並不難，但要保證其嚴謹性，卻比較麻煩……」
關於π的這個無窮乘積，在羅倫的記憶中非常知名，他腦子一轉，就能找出來關於該乘積的四五種證法，若深思一下，再開拓更多的證法也不是什麼難事。
但就像他心裡暗忖的那樣，這個乘積證明起來很簡單，可那是建立在完備微積分體系的基礎上的。
而這個世界的微積分體系，好像並不是那麼完善——從之前的雙重求和換序問題上，羅倫就能窺得一些端倪。
現在，看莫利斯與西蒙娜的表現，羅倫幾乎可以斷定，這個世界的微積分體系，不僅不完善，甚至連許多地基性的概念都還沒提出，否則不至於連一個π的無窮乘積都解決不了。
當然，也或許是莫利斯與西蒙娜的階層不夠，接觸不到最前沿的數學知識。
一時間，羅倫思索了很多。
一旁，莫利斯與西蒙娜自己琢磨了一陣，覺得這道題不可能是他們二人能證出來的，於是又不約而同地將目光移向了羅倫。
西蒙娜直接問道：「哎，羅倫，這道題你能證出來嗎？」
「你別一上來就問這麼直接，羅倫在數學上的天賦，確實很強，但這種年度級，且是常年霸榜年度榜的難題，哪是那麼容易解決的？」
莫利斯先是瞪了眼西蒙娜，然後他自己則問：「羅倫，你對這道題，有什麼解答的思路嗎？」
「嘁，你這問法與我的問法，有什麼區別嗎？」
「比你的更柔和。」
「柔個屁，你一個大男人家家的，還柔和，比我一個女人還娘們，你乾脆變性做女人算了。」西蒙娜嘲笑道。
「滾蛋，懶得和你多說。」莫利斯罵了一聲，然後不理她了，看向羅倫道：「怎麼樣羅倫？」
面對二人的詢問，羅倫第一時間並未直接回答，而是問了些其他事情。
「剛才聽你們二位所言，這個乘積，好像是什麼年度級的難題，不知那指的是什麼？」
「你說這個啊。」莫利斯解釋道：「是這樣的，在聖院求索院的數學大殿，有一個年度數學難題榜，之前的弗根猜想位列年度榜第十三名，當然，弗根猜想是年初才上榜的，現在已經被你給解決了，至於現在的沃特乘積……」
莫利斯停頓了一下，繼而面色嚴肅道：
「沃特乘積是五十年前由沃特教授提出來的一個關於π的無窮乘積式，也是迄今為止最為著名、最為優雅的可以通過有理數乘積來描述π的無窮式子……」
當時的沃特教授，實際是在計算圓的時候，通過對式子√(x-x^2)在0到1上進行積分，並使用插值法和亂猜法發現的這個乘積式。
那時，這個發現也算是轟動了整個數學界，因為它將有理數與π結合了起來。
莫利斯道：「其實在數學界，大家都知道這個式子成立，因為一些高階超凡存在遨遊夢維度時，通過這個式子獲得過切實的超凡機緣，只可惜，卻沒人能給出一個正確且合理的證明方法來。」
西蒙娜接過莫利斯的話，說道：「是的，從五十年前開始，沃特乘積就登上了年度數學難題榜，常年位列前五，並在眼下位列第二，僅次於倒平方和問題。」
羅倫聽得若有所思，而後再問：「這個乘積，真的沒有一個人證明出來過嗎……包括銀霜聖院內那些強大的超凡存在？」
西蒙娜搖頭道：「沒有，反正在我和莫利斯的認知中，肯定是沒人證出來過的，至於在我們的認知之外，有沒有人將沃特乘積證明出來那就不得而知了。」
莫利斯在旁邊補充道：「至少，我導師所在的那個圈子裡也沒人證明出來……嗯，幾個月前他還專門對我提及過，說是微積分的發展，已經基本停滯下來了，而要推動微積分的發展，得先把沃特乘積給證明了，而且……」
他嘆了口氣，面露無奈之色：
「而且微積分真正被廣泛普及的時間太短了，也就三十多年，再者，在異變期以上的超凡群體中，能沉下心來研究數學的存在，只有極少一部分，數學在他們的心目中占比並不重。」
聽到莫利斯這番話，羅倫卻皺了皺眉，覺得有些不太對勁，
既然數學在那群強大存在心目中的占比不重，那為什麼銀月聯邦要極力推行數學呢，甚至在超凡小考中，數學還成了唯一考核的科目，這已經夠重視了吧？
但看莫利斯那模樣，又不像是在無的放矢。
羅倫只覺得這裡面的水恐怕有點深。
不過，按照他的說法，羅倫之前覺得比較奇怪的很多現象，就能解釋得通了。
較上層的那一撮人，對數學不太感冒，餘下對數學感興趣的人，或因數量太少，或因數感不夠，或因思維固化，總之不夠天才且天才不夠多，自然就無法挑起微積分往前發展了。
兩人和羅倫聊了好一陣，見他始終沒提關於沃特乘積的解答思路，一時還以為他也被這道題難住了。
莫利斯拍了拍他的肩膀道：「沃特乘積確實難了點，畢竟是霸榜了五十年的難題，沒有思路很正常，我曾經也想過要攻克沃特乘積，一舉名揚聯邦的數學界，但死磕了大半年，卻始終找不到正確的解答思路，最終也只能作罷。」
西蒙娜起身扭了扭翹臀道：「走了走了，這有病的第八關根本過不了，去把累積的闖關獎勵結算掉，結束這個課題算了，反正已經回本小賺了，不虧。」
莫利斯點點頭，也站起了身。
這時，已經基本想好用哪一種方法證明這個乘積的羅倫，卻是出聲說道：
「先不急，我感覺，我可以試試。」
「羅倫你想到怎麼證明了？」西蒙娜眼前一亮，急忙坐了回去，眼巴巴地望著他。
羅倫也不給肯定的回答，而是模稜兩可地說：「只是有一些大致的思路，具體能不能走通，是否可以證明出來，我也不太確定，但可以嘗試下。」
聽聞此言，西蒙娜面露喜色，素手一邊放到羅倫的肩膀上，殷勤地幫他扭著肩，一邊說：
「好好好，那你試一試。」
鑑於羅倫之前的表現，西蒙娜對他的期待值已然拉得很高了，覺得這小子既然說有思路，沒準兒還真能行呢？
一旁的莫利斯，此刻也坐了下來，望著羅倫的眼神里同樣充滿期待。
自從認識羅倫以來，沒少從他身上發現驚喜，或許，這一次還有驚喜？
如果真是這樣，那回頭給羅倫的報酬，就不能只是精神能量了，還得送他一些拿得出手的東西才行……莫利斯心裡兀自琢磨著。
羅倫手掌拂過面前的書桌，空白稿紙與寫字筆憑空浮現。
他捏起寫字筆，低頭緩緩往稿紙上書寫起來，邊寫還邊說道：
「看到和π有關的乘積式時，我第一時間想到了一個東西，單位圓，以及與單位圓存在密切關聯的三角函數，sinx、cosx、tanx。」
「而根據沃特乘積π/2=∏（n=1→∞）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，注意到，分子和分母當中有三個連續的數，2n-1，2n，2n+1，所以，我們可以想辦法構造一個能與其產生關聯的遞推公式。」
「然後，再在合適的區間內對公式進行積分，就有很大概率可以得到我們想要的結果。」
西蒙娜沒吱聲。
莫利斯則若有所思，說道：「構造遞推公式來解決嗎？這倒是我以前沒有設想過的道路，該怎麼做？」
羅倫邊寫邊說：「可以設一個積分，Pn=∫(0→π/2)(sinx)^ndx，通過分部積分法……最終移項後可得公式，Pn=(n-1)/n·P(n-2)。」
西蒙娜看得眉梢緊鎖，一言不發。
莫利斯卻眼前大亮，出聲贊道：「妙，精妙的構造，居然還能這樣設計，這樣變換過來，實在是令人大開眼界……然後呢羅倫，你繼續！」
在他倆中間，羅倫此刻也在看那道數學證明題。
【有一個神奇的無窮乘積：π/2=∏（n=1→∞）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))=（2×2×4×4×6×6×……）/（1×3×3×5×5×7……），請試著證明它成立。】
「這不就是沃利斯乘積麼？嗯，在這個世界，似乎是叫做什麼沃特乘積。」
他眨了眨眼，而後想到關於該乘積的一些東西，也是情不自禁地皺起了眉：
「這玩意兒證明起來並不難，但要保證其嚴謹性，卻比較麻煩……」
關於π的這個無窮乘積，在羅倫的記憶中非常知名，他腦子一轉，就能找出來關於該乘積的四五種證法，若深思一下，再開拓更多的證法也不是什麼難事。
但就像他心裡暗忖的那樣，這個乘積證明起來很簡單，可那是建立在完備微積分體系的基礎上的。
而這個世界的微積分體系，好像並不是那麼完善——從之前的雙重求和換序問題上，羅倫就能窺得一些端倪。
現在，看莫利斯與西蒙娜的表現，羅倫幾乎可以斷定，這個世界的微積分體系，不僅不完善，甚至連許多地基性的概念都還沒提出，否則不至於連一個π的無窮乘積都解決不了。
當然，也或許是莫利斯與西蒙娜的階層不夠，接觸不到最前沿的數學知識。
一時間，羅倫思索了很多。
一旁，莫利斯與西蒙娜自己琢磨了一陣，覺得這道題不可能是他們二人能證出來的，於是又不約而同地將目光移向了羅倫。
西蒙娜直接問道：「哎，羅倫，這道題你能證出來嗎？」
「你別一上來就問這麼直接，羅倫在數學上的天賦，確實很強，但這種年度級，且是常年霸榜年度榜的難題，哪是那麼容易解決的？」
莫利斯先是瞪了眼西蒙娜，然後他自己則問：「羅倫，你對這道題，有什麼解答的思路嗎？」
「嘁，你這問法與我的問法，有什麼區別嗎？」
「比你的更柔和。」
「柔個屁，你一個大男人家家的，還柔和，比我一個女人還娘們，你乾脆變性做女人算了。」西蒙娜嘲笑道。
「滾蛋，懶得和你多說。」莫利斯罵了一聲，然後不理她了，看向羅倫道：「怎麼樣羅倫？」
面對二人的詢問，羅倫第一時間並未直接回答，而是問了些其他事情。
「剛才聽你們二位所言，這個乘積，好像是什麼年度級的難題，不知那指的是什麼？」
「你說這個啊。」莫利斯解釋道：「是這樣的，在聖院求索院的數學大殿，有一個年度數學難題榜，之前的弗根猜想位列年度榜第十三名，當然，弗根猜想是年初才上榜的，現在已經被你給解決了，至於現在的沃特乘積……」
莫利斯停頓了一下，繼而面色嚴肅道：
「沃特乘積是五十年前由沃特教授提出來的一個關於π的無窮乘積式，也是迄今為止最為著名、最為優雅的可以通過有理數乘積來描述π的無窮式子……」
當時的沃特教授，實際是在計算圓的時候，通過對式子√(x-x^2)在0到1上進行積分，並使用插值法和亂猜法發現的這個乘積式。
那時，這個發現也算是轟動了整個數學界，因為它將有理數與π結合了起來。
莫利斯道：「其實在數學界，大家都知道這個式子成立，因為一些高階超凡存在遨遊夢維度時，通過這個式子獲得過切實的超凡機緣，只可惜，卻沒人能給出一個正確且合理的證明方法來。」
西蒙娜接過莫利斯的話，說道：「是的，從五十年前開始，沃特乘積就登上了年度數學難題榜，常年位列前五，並在眼下位列第二，僅次於倒平方和問題。」
羅倫聽得若有所思，而後再問：「這個乘積，真的沒有一個人證明出來過嗎……包括銀霜聖院內那些強大的超凡存在？」
西蒙娜搖頭道：「沒有，反正在我和莫利斯的認知中，肯定是沒人證出來過的，至於在我們的認知之外，有沒有人將沃特乘積證明出來那就不得而知了。」
莫利斯在旁邊補充道：「至少，我導師所在的那個圈子裡也沒人證明出來……嗯，幾個月前他還專門對我提及過，說是微積分的發展，已經基本停滯下來了，而要推動微積分的發展，得先把沃特乘積給證明了，而且……」
他嘆了口氣，面露無奈之色：
「而且微積分真正被廣泛普及的時間太短了，也就三十多年，再者，在異變期以上的超凡群體中，能沉下心來研究數學的存在，只有極少一部分，數學在他們的心目中占比並不重。」
聽到莫利斯這番話，羅倫卻皺了皺眉，覺得有些不太對勁，
既然數學在那群強大存在心目中的占比不重，那為什麼銀月聯邦要極力推行數學呢，甚至在超凡小考中，數學還成了唯一考核的科目，這已經夠重視了吧？
但看莫利斯那模樣，又不像是在無的放矢。
羅倫只覺得這裡面的水恐怕有點深。
不過，按照他的說法，羅倫之前覺得比較奇怪的很多現象，就能解釋得通了。
較上層的那一撮人，對數學不太感冒，餘下對數學感興趣的人，或因數量太少，或因數感不夠，或因思維固化，總之不夠天才且天才不夠多，自然就無法挑起微積分往前發展了。
兩人和羅倫聊了好一陣，見他始終沒提關於沃特乘積的解答思路，一時還以為他也被這道題難住了。
莫利斯拍了拍他的肩膀道：「沃特乘積確實難了點，畢竟是霸榜了五十年的難題，沒有思路很正常，我曾經也想過要攻克沃特乘積，一舉名揚聯邦的數學界，但死磕了大半年，卻始終找不到正確的解答思路，最終也只能作罷。」
西蒙娜起身扭了扭翹臀道：「走了走了，這有病的第八關根本過不了，去把累積的闖關獎勵結算掉，結束這個課題算了，反正已經回本小賺了，不虧。」
莫利斯點點頭，也站起了身。
這時，已經基本想好用哪一種方法證明這個乘積的羅倫，卻是出聲說道：
「先不急，我感覺，我可以試試。」
「羅倫你想到怎麼證明了？」西蒙娜眼前一亮，急忙坐了回去，眼巴巴地望著他。
羅倫也不給肯定的回答，而是模稜兩可地說：「只是有一些大致的思路，具體能不能走通，是否可以證明出來，我也不太確定，但可以嘗試下。」
聽聞此言，西蒙娜面露喜色，素手一邊放到羅倫的肩膀上，殷勤地幫他扭著肩，一邊說：
「好好好，那你試一試。」
鑑於羅倫之前的表現，西蒙娜對他的期待值已然拉得很高了，覺得這小子既然說有思路，沒準兒還真能行呢？
一旁的莫利斯，此刻也坐了下來，望著羅倫的眼神里同樣充滿期待。
自從認識羅倫以來，沒少從他身上發現驚喜，或許，這一次還有驚喜？
如果真是這樣，那回頭給羅倫的報酬，就不能只是精神能量了，還得送他一些拿得出手的東西才行……莫利斯心裡兀自琢磨著。
羅倫手掌拂過面前的書桌，空白稿紙與寫字筆憑空浮現。
他捏起寫字筆，低頭緩緩往稿紙上書寫起來，邊寫還邊說道：
「看到和π有關的乘積式時，我第一時間想到了一個東西，單位圓，以及與單位圓存在密切關聯的三角函數，sinx、cosx、tanx。」
「而根據沃特乘積π/2=∏（n=1→∞）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，注意到，分子和分母當中有三個連續的數，2n-1，2n，2n+1，所以，我們可以想辦法構造一個能與其產生關聯的遞推公式。」
「然後，再在合適的區間內對公式進行積分，就有很大概率可以得到我們想要的結果。」
西蒙娜沒吱聲。
莫利斯則若有所思，說道：「構造遞推公式來解決嗎？這倒是我以前沒有設想過的道路，該怎麼做？」
羅倫邊寫邊說：「可以設一個積分，Pn=∫(0→π/2)(sinx)^ndx，通過分部積分法……最終移項後可得公式，Pn=(n-1)/n·P(n-2)。」
西蒙娜看得眉梢緊鎖，一言不發。
莫利斯卻眼前大亮，出聲贊道：「妙，精妙的構造，居然還能這樣設計，這樣變換過來，實在是令人大開眼界……然後呢羅倫，你繼續！」