第49章 得證
「現在，需要的遞推公式出來了，接下來就是進一步的區分、驗算、締造，看看一開始的想法是否行得通。」
「在這裡，我們需要分情況討論。當n是偶數項，n=2m，m是正整數時，通過不斷使用遞推公式可得：P2m=(2m-1)/2m×(2m-3)/(2m-2)×……×1/2×P0，且P0=∫(0→π/2)dx=π/2。」
「當n是奇數項……P2m+1……P1=1。」
「這時，因0≤sinx≤1在（0，π/2）上成立，可知P2m+1≤P2m≤P2m-1，然後，再計算當m趨於無窮時P2m+1/P2m-1的情況，並將兩者的表達式代入簡化……」
「最終可得，當m趨於正無窮時，π/2=∏（n=1→m）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，由此，原式得證。」
寫到這裡，羅倫停了筆。
其實正常情況下，證明關於π/2的無窮乘積的常規思維邏輯，是要通過歐拉正弦乘積公式來解決的，那才是標誌性的微積分思維鏈。
也就是對sinx/x進行無窮乘積展開，然後進行變換。
不過，正弦乘積無窮展開的方法，涉及到一些比較麻煩的東西——正弦函數的無窮乘積收斂性與零點問題。
羅倫的做法，則是先基於積分的分部積分法得到遞推關係，隨後再利用函數的單調性，並通過求極限來推導出最終的乘積公式。
他這樣做，在微積分體系完善的情況下，算是完美的證法，可在微積分體系不完善的情況下，那肯定是有瑕疵的，但好歹是規避了零點問題，把瑕疵與不嚴謹限定在了一個問題上——極限的概念。
這個問題說大也大，大到可以把微積分打成錯誤學說的地步。
說小也小，小到即便不用管它微積分依舊能蓬勃發展。
現在，就看算術迷宮的規則，給不給判定通過了。
看題目上所寫的『請試著證明』的字眼，羅倫覺得給判定通過的可能性很大。
果不其然。
他停筆之後，當西蒙娜與莫利斯還在盯著他書寫的內容進行思索與甄別之時，這片空間已然嗡嗡震動起來。
緊接著，教室大門轟然打開，意味著這一關過了，同時也代表著他的證明被判定通過。
「門開了，這，這就證出來了嗎？」
西蒙娜喃喃說道，目光在教室門口與羅倫的身上晃了晃，然後又落到那份證明之上，有些不可思議。
莫利斯此刻卻死死盯著羅倫寫的證明內容，好半晌都沒發出聲音，但當他開始發出聲音之時，語調已然是激動到帶了一絲顫抖：
「沃特乘積，這可是在難題榜上呆了五十年的沃特乘積啊，居然，居然就這樣被證明出來了……」
他說著，腦袋陡然轉向羅倫，眼中染上了一絲炙熱之意：
「天才，天才，羅倫，你一定是個數學天才！」
「你到底是怎麼想到這種證明思路的？」
「別敷衍我說是因為夢中所得，我不信，這種標誌性的數學知識，如果是得自夢中，那一定會伴隨著龐大的精神能量或其他精神寶物，而你沒有！」
「……」羅倫對上莫利斯的視線，一陣語塞。
話都讓你給堵死了，還要讓我怎麼說？
於是，羅倫乾脆做出一臉無辜狀，並帶上了一絲害怕之意，但就是不吱聲。
莫利斯笑道：「別怕別怕，我沒有別的意思，我就是太激動了，呼，親眼見證了沃特乘積被證明，實在是有些情難自禁……」
此時此刻，莫利斯心頭的激動與亢奮，唯有他自己才能明白。
他從霧森市將羅倫『發掘』出來，聘請他加入算術迷宮課題組，然後看著他先解決弗根猜想，又證明沃特乘積，這等同於見證了一個數學天才的崛起，並且自己還深度參與其中，這讓他只覺與有榮焉，倍感光彩。
這是他的談資，是他無論走到何處，都能驕傲地拿出來向人展示的光輝事跡。
而且最關鍵的是，以羅倫眼下所展現出來的數學潛力，莫利斯還沒看到他的上限……
天知道這小子以後還能在數學上搞出什麼名堂來？
左側，西蒙娜還顯得呆兮兮的。
直到她基本將羅倫的證明過程看懂，然後也跟著歡欣鼓舞地嚎了起來：
「莫利斯說得對，天才，羅倫你他喵就是個數學天才，這才多久啊，別人幾十年都證不出來的沃特乘積，你這才十幾分鐘就給它證出來了，你怎麼那麼厲害啊你，莫利斯遇到你真是遇到寶了！」
西蒙娜那雙漂亮的狐媚眼一眨不眨，目光灼灼地盯著羅倫，毫不吝嗇地誇讚了他一通，而後又盈笑著蠱惑道：
「要不然，你以後來跟著我混吧，我認識很多漂亮姑娘哦，回頭都介紹給你認識，你想和哪個交往就……」
「哎哎，西蒙娜你幹嘛呢，這還當著我的面你就挖我的人？」莫利斯一臉無語地打斷了她。
「嗯，也對，那回頭背著你的面挖。」
「做夢吧你。」莫利斯瞪了她一眼，然後結束了這個話題，起身說道：「走，這一關結束了，先出去再說。」
……
銀霜聖院東部，有一座占地寬闊、高大宏偉的塔樓。
塔樓前方有一座黑色的石碑，碑上有幾個遒勁有力的赫拉語文字——數學大殿。
此時，數學大殿後殿，高爾德正在自己的辦公室內，埋頭用筆在紙頁上寫寫畫畫。
以他的位階與實力，大可將意識沉入精神計算屋進行演算，但他還是更喜歡筆尖划過紙張的感覺。
此刻，高爾德正在對著一系列關於火系法術的微分方程，進行推演與求解。
但因該方程的函數自變量不止一個，與常規的單變量微分方程存在著不小的區別，不管高爾德如何演算，都沒法得到自己想看到的那個結果。
又一次的推演失敗，將思路走進死胡同後，高爾德擱下筆，手指頭一邊揪著自己顎下的鬍鬚，一邊喃喃道：
「解不出來，初始值與邊界條件會隨時間變化，用常規微分方程的思路去解，根本不適用……」
「另外，熱擴散的效率，也需要先通過不同變量下的實驗確定下來才行。」
「真是麻煩，區區一個火系法術，在與數學牽扯上關係後，居然會變得如此複雜。」
高爾德皺起了眉，有些無奈。
自古以來，超凡群體施展法術與編織法術圖依靠的都是天賦、直覺與悟性。
將法術與自然連接起來，再以數學的形式進行邏輯鏈的完善，是近期剛掀起沒多少年的風潮，而且只局限於高爾德所在的圈子群體中，熱衷的人並不多。
而且，隨著法術的數學化+自然化的道路屢屢碰壁，難以走通，已經有越來越多的人，對這件事喪失興趣了。
許多人都覺得，有那時間，還不如老老實實靠悟性和直覺調整法術，從而增大法術威能。
不過，高爾德與一部分志同道合的人，卻堅信數學化+自然化的法術才是未來。
儘管這條路很難走，但這才剛開始呢，他們一個個都是固執的求索者，一旦認定了一件事情是對的，那就會下定決心去干。
至少要先幹上一百年，發現確實走不通後，才會考慮罷手。
「必須要開發新的數學工具，尤其是新的微積分工具，否則，法術的數學化+自然化根本不可能走得通……」
話雖如此，但新的微積分工具，哪是那麼容易開發的？
不是隨便想一想、算一算，或者動一動嘴皮子，新的微積分工具，就能開發出來的。
那得需要靈感、需要創造性的思維，是天才者的領域。
「要是五年前那個天賦異稟的小子，加入了我求索派，投身於數學研究之中，或許局面就不一樣了，只可惜，他加入了天理派……溝槽的湯普森，耽誤了那麼好一個數學苗子，可惡！可恨！」
一念及數學天才，高爾德便不免想起了那個叫做阿諾的小子，以及將阿諾蠱惑去天理派走感應與參悟之道的湯普森。
當時，高爾德本人，以及求索派的其他骨幹，都對阿諾那小子非常看好，覺得他天生就是搞數學的人，只可惜，後面天理派的湯普森許以重金，並通過美人計，將阿諾給拐走了。
這件事雖已經過去了好幾年，但每每想起，還是讓高爾德有些難以釋懷，總覺得內心卡了一根刺。
忽在這時。
一陣嗒嗒嗒的腳步聲在門外的走廊上響起，緊接著，急促的叩門聲隨著一名青年的喊聲傳來：
「教授，高爾德教授，您在裡面嗎？」
高爾德聞聲收斂了下腦海中的思緒，出聲道：
「門沒鎖，進來說話。」
「在這裡，我們需要分情況討論。當n是偶數項，n=2m，m是正整數時，通過不斷使用遞推公式可得：P2m=(2m-1)/2m×(2m-3)/(2m-2)×……×1/2×P0，且P0=∫(0→π/2)dx=π/2。」
「當n是奇數項……P2m+1……P1=1。」
「這時，因0≤sinx≤1在（0，π/2）上成立，可知P2m+1≤P2m≤P2m-1，然後，再計算當m趨於無窮時P2m+1/P2m-1的情況，並將兩者的表達式代入簡化……」
「最終可得，當m趨於正無窮時，π/2=∏（n=1→m）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，由此，原式得證。」
寫到這裡，羅倫停了筆。
其實正常情況下，證明關於π/2的無窮乘積的常規思維邏輯，是要通過歐拉正弦乘積公式來解決的，那才是標誌性的微積分思維鏈。
也就是對sinx/x進行無窮乘積展開，然後進行變換。
不過，正弦乘積無窮展開的方法，涉及到一些比較麻煩的東西——正弦函數的無窮乘積收斂性與零點問題。
羅倫的做法，則是先基於積分的分部積分法得到遞推關係，隨後再利用函數的單調性，並通過求極限來推導出最終的乘積公式。
他這樣做，在微積分體系完善的情況下，算是完美的證法，可在微積分體系不完善的情況下，那肯定是有瑕疵的，但好歹是規避了零點問題，把瑕疵與不嚴謹限定在了一個問題上——極限的概念。
這個問題說大也大，大到可以把微積分打成錯誤學說的地步。
說小也小，小到即便不用管它微積分依舊能蓬勃發展。
現在，就看算術迷宮的規則，給不給判定通過了。
看題目上所寫的『請試著證明』的字眼，羅倫覺得給判定通過的可能性很大。
果不其然。
他停筆之後，當西蒙娜與莫利斯還在盯著他書寫的內容進行思索與甄別之時，這片空間已然嗡嗡震動起來。
緊接著，教室大門轟然打開，意味著這一關過了，同時也代表著他的證明被判定通過。
「門開了，這，這就證出來了嗎？」
西蒙娜喃喃說道，目光在教室門口與羅倫的身上晃了晃，然後又落到那份證明之上，有些不可思議。
莫利斯此刻卻死死盯著羅倫寫的證明內容，好半晌都沒發出聲音，但當他開始發出聲音之時，語調已然是激動到帶了一絲顫抖：
「沃特乘積，這可是在難題榜上呆了五十年的沃特乘積啊，居然，居然就這樣被證明出來了……」
他說著，腦袋陡然轉向羅倫，眼中染上了一絲炙熱之意：
「天才，天才，羅倫，你一定是個數學天才！」
「你到底是怎麼想到這種證明思路的？」
「別敷衍我說是因為夢中所得，我不信，這種標誌性的數學知識，如果是得自夢中，那一定會伴隨著龐大的精神能量或其他精神寶物，而你沒有！」
「……」羅倫對上莫利斯的視線，一陣語塞。
話都讓你給堵死了，還要讓我怎麼說？
於是，羅倫乾脆做出一臉無辜狀，並帶上了一絲害怕之意，但就是不吱聲。
莫利斯笑道：「別怕別怕，我沒有別的意思，我就是太激動了，呼，親眼見證了沃特乘積被證明，實在是有些情難自禁……」
此時此刻，莫利斯心頭的激動與亢奮，唯有他自己才能明白。
他從霧森市將羅倫『發掘』出來，聘請他加入算術迷宮課題組，然後看著他先解決弗根猜想，又證明沃特乘積，這等同於見證了一個數學天才的崛起，並且自己還深度參與其中，這讓他只覺與有榮焉，倍感光彩。
這是他的談資，是他無論走到何處，都能驕傲地拿出來向人展示的光輝事跡。
而且最關鍵的是，以羅倫眼下所展現出來的數學潛力，莫利斯還沒看到他的上限……
天知道這小子以後還能在數學上搞出什麼名堂來？
左側，西蒙娜還顯得呆兮兮的。
直到她基本將羅倫的證明過程看懂，然後也跟著歡欣鼓舞地嚎了起來：
「莫利斯說得對，天才，羅倫你他喵就是個數學天才，這才多久啊，別人幾十年都證不出來的沃特乘積，你這才十幾分鐘就給它證出來了，你怎麼那麼厲害啊你，莫利斯遇到你真是遇到寶了！」
西蒙娜那雙漂亮的狐媚眼一眨不眨，目光灼灼地盯著羅倫，毫不吝嗇地誇讚了他一通，而後又盈笑著蠱惑道：
「要不然，你以後來跟著我混吧，我認識很多漂亮姑娘哦，回頭都介紹給你認識，你想和哪個交往就……」
「哎哎，西蒙娜你幹嘛呢，這還當著我的面你就挖我的人？」莫利斯一臉無語地打斷了她。
「嗯，也對，那回頭背著你的面挖。」
「做夢吧你。」莫利斯瞪了她一眼，然後結束了這個話題，起身說道：「走，這一關結束了，先出去再說。」
……
銀霜聖院東部，有一座占地寬闊、高大宏偉的塔樓。
塔樓前方有一座黑色的石碑，碑上有幾個遒勁有力的赫拉語文字——數學大殿。
此時，數學大殿後殿，高爾德正在自己的辦公室內，埋頭用筆在紙頁上寫寫畫畫。
以他的位階與實力，大可將意識沉入精神計算屋進行演算，但他還是更喜歡筆尖划過紙張的感覺。
此刻，高爾德正在對著一系列關於火系法術的微分方程，進行推演與求解。
但因該方程的函數自變量不止一個，與常規的單變量微分方程存在著不小的區別，不管高爾德如何演算，都沒法得到自己想看到的那個結果。
又一次的推演失敗，將思路走進死胡同後，高爾德擱下筆，手指頭一邊揪著自己顎下的鬍鬚，一邊喃喃道：
「解不出來，初始值與邊界條件會隨時間變化，用常規微分方程的思路去解，根本不適用……」
「另外，熱擴散的效率，也需要先通過不同變量下的實驗確定下來才行。」
「真是麻煩，區區一個火系法術，在與數學牽扯上關係後，居然會變得如此複雜。」
高爾德皺起了眉，有些無奈。
自古以來，超凡群體施展法術與編織法術圖依靠的都是天賦、直覺與悟性。
將法術與自然連接起來，再以數學的形式進行邏輯鏈的完善，是近期剛掀起沒多少年的風潮，而且只局限於高爾德所在的圈子群體中，熱衷的人並不多。
而且，隨著法術的數學化+自然化的道路屢屢碰壁，難以走通，已經有越來越多的人，對這件事喪失興趣了。
許多人都覺得，有那時間，還不如老老實實靠悟性和直覺調整法術，從而增大法術威能。
不過，高爾德與一部分志同道合的人，卻堅信數學化+自然化的法術才是未來。
儘管這條路很難走，但這才剛開始呢，他們一個個都是固執的求索者，一旦認定了一件事情是對的，那就會下定決心去干。
至少要先幹上一百年，發現確實走不通後，才會考慮罷手。
「必須要開發新的數學工具，尤其是新的微積分工具，否則，法術的數學化+自然化根本不可能走得通……」
話雖如此，但新的微積分工具，哪是那麼容易開發的？
不是隨便想一想、算一算，或者動一動嘴皮子，新的微積分工具，就能開發出來的。
那得需要靈感、需要創造性的思維，是天才者的領域。
「要是五年前那個天賦異稟的小子，加入了我求索派，投身於數學研究之中，或許局面就不一樣了，只可惜，他加入了天理派……溝槽的湯普森，耽誤了那麼好一個數學苗子，可惡！可恨！」
一念及數學天才，高爾德便不免想起了那個叫做阿諾的小子，以及將阿諾蠱惑去天理派走感應與參悟之道的湯普森。
當時，高爾德本人，以及求索派的其他骨幹，都對阿諾那小子非常看好，覺得他天生就是搞數學的人，只可惜，後面天理派的湯普森許以重金，並通過美人計，將阿諾給拐走了。
這件事雖已經過去了好幾年，但每每想起，還是讓高爾德有些難以釋懷，總覺得內心卡了一根刺。
忽在這時。
一陣嗒嗒嗒的腳步聲在門外的走廊上響起，緊接著，急促的叩門聲隨著一名青年的喊聲傳來：
「教授，高爾德教授，您在裡面嗎？」
高爾德聞聲收斂了下腦海中的思緒，出聲道：
「門沒鎖，進來說話。」