第44章 積分題
黑板上，原本第三道題的字跡一陣虛浮，如水波般蠕動蕩漾一陣後，很快化為了一道新的數學題。
【第四題：請用四種不同的方法，證明或證偽素數有無限個。】
「哦艹，怎麼又是純數題，真他媽……」
西蒙娜眉黛皺了起來，一臉不爽地咕噥，紅潤的嘴唇里下意識還夾雜著一些髒東西。
但隨後，意識到有人還在身側，她又迅速恢復了正常，說道：
「素數有無限個，這是肯定的，所以這道題是要進行證明，而非證偽，我知道有一種很簡潔的方法……」
西蒙娜思索了兩秒，提起寫字筆，迅速往稿紙上書寫起來。
[證法一：設2，3，5……，p是不大於p的所有素數組成的集合，並令S=（2×3×5×……×p）+1，則S不能被2，3，5……，p中的任何一個素數整除。於是，S要麼是一個素數，要麼是一個不能被已知素數整除的合數。無論哪一種情形，都會有一個大於p的素數存在，故不存在最大素數。因此，素數有無限個。]
羅倫掃了兩眼，微微點頭，很標準的歐幾里得式證法。
而後他也不說話，就只是靜靜地看著西蒙娜，等她的第二種證法。
然而，等了半天她也沒憋出一個字來。
儘管關於素數的無限性證明非常基礎、非常簡單，西蒙娜對純數研究並不擅長，卻也能很快給出一種證法。
但僅是一種證法而已。
若涉及到更多的證法，那便需要對素數在多角度、多方面具有深刻的研究，而這恰好是她的弱勢，一時半刻的，她還真想不出來其他的證明思路。
西蒙娜抬起素手摳了摳自己的腦門，看向羅倫，問道：「怎麼樣，你對另外的證法，有什麼思路嗎？」
「有。」
羅倫點了點頭，而後垂下目光，面前自動浮現出了空白稿紙與寫字筆。
他擺正稿紙，捏著寫字筆斟酌了片刻，在西蒙娜的注視下，不緊不慢地書寫起來：
[證法二：分析形如F(n)=(2^2^n)+1的數的基本性質……易知任意兩個F(n)必然互素。若F(n)是素數，則其自身是素因子，若F(n)是合數，由於任意兩個F(n)互素，所以其素因子必然是新的素數。因為每個F(n)對應至少一個新的素數，當n的取值趨於無窮時，可導出素數也有無限個]
[證法三：假設素數僅有k個，記為……]
[證法四：對任意n≥2，區間[n!+2，n!+n]含n−1個連續合數……令n=k!（k≥2），則區間[k!!+2，k!!+k!]的長度為k!−1，當k趨於無窮，k!-1也趨於無窮，即存在任意長的連續合數序列，分析端點素性……因此，素數無限。]
關於素數無限性的證明方法，在羅倫的前世資料庫里有一大堆，足足好幾十個，初等的，高數的，群論的，拓撲學的……都有。
其中，廣為人知的黎曼zeta函數的因式分解——歐拉乘積式，便可以直接從數據上給出素數無限的證明。
不過，羅倫在這裡並沒有使用太高深的知識，他給出的幾種方法，都沒有超過初等數論的範疇。
第二種證法是通過分析費馬數來證明。
第三種證法是通過無平方因子數的數量來導出矛盾，用到了反證的思路，與西蒙娜給出的第一種證法有異曲同工之妙，但角度選得比她的更刁鑽一些。
第四種證法是通過相鄰整數互素的性質，證明素數間隙可任意大，從而得出素數的無限性。
此時此刻，西蒙娜看羅倫的眼神里，充滿了驚奇之色。
原本，她詢問羅倫有沒有什麼思路，其實僅僅指的是第二種證法的思路。
結果萬萬沒想到，這小子在寫完第二種證法後，居然一口氣把第三種、第四種證法也給寫了出來。
而且，羅倫給出的這三種證法，還每一種都從不同的角度解析了素數的無限性……
這得什麼樣的腦子，才能把素數的無限性想得這麼透徹啊？
羅倫寫完第四種證法，停下筆後，抬頭瞥了眼近在咫尺的西蒙娜，見她表情驚詫地望著自己，趕忙問道：
「西蒙娜女士，你，怎麼了？」
西蒙娜眨了眨眼，悠悠說道：
「羅倫，你今天可真是給了我一個不小的驚喜啊……這第六關的第四道題，我原以為要耗上好一陣才能解決掉的，但沒想到，你居然一下子就給出了另外四種證法……」
「這難道不好嗎？」羅倫反問了一句。
「好，當然好，非常好！」西蒙娜展顏笑道。
但笑了沒一會兒，隨著四種證法集齊，第四題解答完成，這一關的第五題來了之後，她白皙臉蛋上的表情又瞬間凝固住了。
【第五題：求積分，∫(0→1){∑(n=1→∞)[(2^n)x]/(3^n)}^2dx，其中[(2^n)x]為取整函數。】
講台上，那位黑袍老師的聲音在這時響起：
「今天的你們，解題效率似乎提高了一個層次，這真的很讓我感到意外……既然如此，趁現在還沒下課，就再來看看這堂課的最後一題吧。」
台下，西蒙娜臉上的笑容已然消失，她皺眉盯著黑板上的第五題。
微積分這一塊，她自忖頗有造詣，平日裡也見過各種各樣的習題，但今天這一道題，她屬實是一次都沒遇到過。
不過，西蒙娜不是那種遇到困難就會放棄的人，她思索之餘，提筆唰唰唰在稿紙上演算起來。
然後她就發現……
取整函數的階梯性導致積分區間無限細分，級數平方展開後的多重求和與積分交換不可行，同時無窮級數逐項積分的計算量爆炸。
算著算著，西蒙娜面孔上白皙細嫩的肌膚抽抖了幾下，嘴裡下意識又含起了髒東西：
「不是……這什麼垃圾題，完全沒辦法正常積分，這他媽怎麼算啊？我XXX……」
在他右側的羅倫，聽到她那罵罵咧咧的聲音，不禁有些無語。
人長得挺漂亮的，身材也好得不得了，不說話時就是個媚態橫生的優雅御姐，但一說話，尤其是嘴裡含上髒東西時，本性就有點暴露了。
羅倫見她算不出來就一直在那裡罵，各種污言穢語層出不窮，實在是有些聽不下去了，趕忙打斷她：
「西蒙娜女士。」
「嗯？」西蒙娜看向羅倫，見他滿臉無奈之色，頓時尬笑了一聲：「抱歉，實在是這道題出得有點奇怪了，從未見過這種題型，所以一時間沒忍住……對了，你是懂微積分的吧，快幫我想想怎麼做。」
羅倫說：「這種涉及到取整函數的積分題目，最好別用常規算法，完全可以通過概率工具來解決。」
西蒙娜愣了愣：「概率工具？可我不會概率啊……等等，你還懂概率學？」
「略懂……」羅倫點了點頭，繼續道：「你就算不懂也沒關係，實際並不複雜，很簡單的。」
說話間，羅倫提筆往自己面前的稿紙上書寫起來。
【第四題：請用四種不同的方法，證明或證偽素數有無限個。】
「哦艹，怎麼又是純數題，真他媽……」
西蒙娜眉黛皺了起來，一臉不爽地咕噥，紅潤的嘴唇里下意識還夾雜著一些髒東西。
但隨後，意識到有人還在身側，她又迅速恢復了正常，說道：
「素數有無限個，這是肯定的，所以這道題是要進行證明，而非證偽，我知道有一種很簡潔的方法……」
西蒙娜思索了兩秒，提起寫字筆，迅速往稿紙上書寫起來。
[證法一：設2，3，5……，p是不大於p的所有素數組成的集合，並令S=（2×3×5×……×p）+1，則S不能被2，3，5……，p中的任何一個素數整除。於是，S要麼是一個素數，要麼是一個不能被已知素數整除的合數。無論哪一種情形，都會有一個大於p的素數存在，故不存在最大素數。因此，素數有無限個。]
羅倫掃了兩眼，微微點頭，很標準的歐幾里得式證法。
而後他也不說話，就只是靜靜地看著西蒙娜，等她的第二種證法。
然而，等了半天她也沒憋出一個字來。
儘管關於素數的無限性證明非常基礎、非常簡單，西蒙娜對純數研究並不擅長，卻也能很快給出一種證法。
但僅是一種證法而已。
若涉及到更多的證法，那便需要對素數在多角度、多方面具有深刻的研究，而這恰好是她的弱勢，一時半刻的，她還真想不出來其他的證明思路。
西蒙娜抬起素手摳了摳自己的腦門，看向羅倫，問道：「怎麼樣，你對另外的證法，有什麼思路嗎？」
「有。」
羅倫點了點頭，而後垂下目光，面前自動浮現出了空白稿紙與寫字筆。
他擺正稿紙，捏著寫字筆斟酌了片刻，在西蒙娜的注視下，不緊不慢地書寫起來：
[證法二：分析形如F(n)=(2^2^n)+1的數的基本性質……易知任意兩個F(n)必然互素。若F(n)是素數，則其自身是素因子，若F(n)是合數，由於任意兩個F(n)互素，所以其素因子必然是新的素數。因為每個F(n)對應至少一個新的素數，當n的取值趨於無窮時，可導出素數也有無限個]
[證法三：假設素數僅有k個，記為……]
[證法四：對任意n≥2，區間[n!+2，n!+n]含n−1個連續合數……令n=k!（k≥2），則區間[k!!+2，k!!+k!]的長度為k!−1，當k趨於無窮，k!-1也趨於無窮，即存在任意長的連續合數序列，分析端點素性……因此，素數無限。]
關於素數無限性的證明方法，在羅倫的前世資料庫里有一大堆，足足好幾十個，初等的，高數的，群論的，拓撲學的……都有。
其中，廣為人知的黎曼zeta函數的因式分解——歐拉乘積式，便可以直接從數據上給出素數無限的證明。
不過，羅倫在這裡並沒有使用太高深的知識，他給出的幾種方法，都沒有超過初等數論的範疇。
第二種證法是通過分析費馬數來證明。
第三種證法是通過無平方因子數的數量來導出矛盾，用到了反證的思路，與西蒙娜給出的第一種證法有異曲同工之妙，但角度選得比她的更刁鑽一些。
第四種證法是通過相鄰整數互素的性質，證明素數間隙可任意大，從而得出素數的無限性。
此時此刻，西蒙娜看羅倫的眼神里，充滿了驚奇之色。
原本，她詢問羅倫有沒有什麼思路，其實僅僅指的是第二種證法的思路。
結果萬萬沒想到，這小子在寫完第二種證法後，居然一口氣把第三種、第四種證法也給寫了出來。
而且，羅倫給出的這三種證法，還每一種都從不同的角度解析了素數的無限性……
這得什麼樣的腦子，才能把素數的無限性想得這麼透徹啊？
羅倫寫完第四種證法，停下筆後，抬頭瞥了眼近在咫尺的西蒙娜，見她表情驚詫地望著自己，趕忙問道：
「西蒙娜女士，你，怎麼了？」
西蒙娜眨了眨眼，悠悠說道：
「羅倫，你今天可真是給了我一個不小的驚喜啊……這第六關的第四道題，我原以為要耗上好一陣才能解決掉的，但沒想到，你居然一下子就給出了另外四種證法……」
「這難道不好嗎？」羅倫反問了一句。
「好，當然好，非常好！」西蒙娜展顏笑道。
但笑了沒一會兒，隨著四種證法集齊，第四題解答完成，這一關的第五題來了之後，她白皙臉蛋上的表情又瞬間凝固住了。
【第五題：求積分，∫(0→1){∑(n=1→∞)[(2^n)x]/(3^n)}^2dx，其中[(2^n)x]為取整函數。】
講台上，那位黑袍老師的聲音在這時響起：
「今天的你們，解題效率似乎提高了一個層次，這真的很讓我感到意外……既然如此，趁現在還沒下課，就再來看看這堂課的最後一題吧。」
台下，西蒙娜臉上的笑容已然消失，她皺眉盯著黑板上的第五題。
微積分這一塊，她自忖頗有造詣，平日裡也見過各種各樣的習題，但今天這一道題，她屬實是一次都沒遇到過。
不過，西蒙娜不是那種遇到困難就會放棄的人，她思索之餘，提筆唰唰唰在稿紙上演算起來。
然後她就發現……
取整函數的階梯性導致積分區間無限細分，級數平方展開後的多重求和與積分交換不可行，同時無窮級數逐項積分的計算量爆炸。
算著算著，西蒙娜面孔上白皙細嫩的肌膚抽抖了幾下，嘴裡下意識又含起了髒東西：
「不是……這什麼垃圾題，完全沒辦法正常積分，這他媽怎麼算啊？我XXX……」
在他右側的羅倫，聽到她那罵罵咧咧的聲音，不禁有些無語。
人長得挺漂亮的，身材也好得不得了，不說話時就是個媚態橫生的優雅御姐，但一說話，尤其是嘴裡含上髒東西時，本性就有點暴露了。
羅倫見她算不出來就一直在那裡罵，各種污言穢語層出不窮，實在是有些聽不下去了，趕忙打斷她：
「西蒙娜女士。」
「嗯？」西蒙娜看向羅倫，見他滿臉無奈之色，頓時尬笑了一聲：「抱歉，實在是這道題出得有點奇怪了，從未見過這種題型，所以一時間沒忍住……對了，你是懂微積分的吧，快幫我想想怎麼做。」
羅倫說：「這種涉及到取整函數的積分題目，最好別用常規算法，完全可以通過概率工具來解決。」
西蒙娜愣了愣：「概率工具？可我不會概率啊……等等，你還懂概率學？」
「略懂……」羅倫點了點頭，繼續道：「你就算不懂也沒關係，實際並不複雜，很簡單的。」
說話間，羅倫提筆往自己面前的稿紙上書寫起來。