第45章 羅倫：能看懂吧？
「首先，我們注意到，這個積分的區間是從0到1，開閉無所謂，在這個區間裡的每一個數都一定可以寫成十進位的形式，也就是x=a1/10+a2/(10^2)+a3/(10^3)+……a∈（0-9）」
「不過，因為題目中的分子是2的冪，我們不妨寫成二進位，也就是x=a1/2+a2/(2^2)+a3/(2^3)+……a∈（0-1）。」
「這裡取二進位的優勢在於，乘完以後取整數部分時是十分容易的，比如說，假設x用這樣的一個二進位表示，x=∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），於是就有[(2^n)x]=2^(n-1)a1+2^(n-2)a2+……+an，第n項以後的所有數都小於1，取整以後就直接變成0了。」
「這一步能看懂吧？」
羅倫話到這裡看了眼西蒙娜，見她看得很認真，便順口問了一嘴。
什麼十進位二進位，這都什麼跟什麼啊，第一次聽說這類的概念，不過，看起來還挺像那麼回事的……西蒙娜心裡暗道。
此時此刻，她還在盯著羅倫寫的第二行關於二進位的式子看，並在心裡迅速驗算著是否正確。
至於第三行的內容，她還看都沒看過。
但對上羅倫的眼睛，見他一副『這很簡單你不會連這個都看不懂吧』的表情，西蒙娜也是個要面子的女士，又直接脫口道：
「懂啊，當然能看懂。」
羅倫見狀，還以為她真懂了，便又繼續往下講解：
「所以這時候，我們可以用二進位的係數a將原始的無窮求和直接寫出來，便有∑(n=1→∞)[(2^n)x]/(3^n)=∑(n=1→∞)(2^n)/(3^n)∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），接下來，再交換求和的順序，把係數a提取出來……」
「這裡，嗯，需要用到一個交換求和順序的式子，∑(k=1→n)∑(j=1→k)=∑(j=1→n)∑(k=j→n)……」
「接下來，就是計算換序后里面的求和，這實際上很簡單，是一個等比數列……化簡後，可以得到∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），到這裡，我們就將積分裡面的東西，轉化為了一個像是三進位的表達。」
「這一步能看懂吧？」羅倫習慣性地問了一嘴。
「能看懂……」
西蒙娜硬著頭皮嘴了一句，但心裡實際上已經開始在倒騰髒東西了。
這他媽的什麼跟什麼啊，憑什麼交換求和的順序可以這樣寫，這公式你怎麼得出來的，為什麼我在聖院的付費課程里沒有學到過這一塊？
羅倫繼續道：
「令S=∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），展開後便是a1/3+a2/(3^2)+a3/(3^3)+……這裡的S是x的函數。「
「這時，題目中的積分式子就變成了∫(0→1)(S(x))^2dx。」
「現在嘗試理解一下，在0到1上面隨便取一個x，那麼這個x一定會映射到S，所以S屬於一個隨機變量，而由於x是隨便取的，x必然滿足均勻分布，因此這個積分的意思是對隨機變量S平方求期望……」
「考慮這樣一個概率事件……所以，如果概率期望為p=1/2，那麼方差即為p（1-p）=1/4……」
「最終代入計算，再逆著用方差公式變換下……可以得到最終的值為27/32。」
寫到這裡，羅倫自己覺得一目了然，清清楚楚。
這道題的難度是有的，但不算太離譜，頂多考研水平，只要能熟練理解二進位+概率期望+雙重求和換序，解答起來基本算是手拿把掐。
當然，這是羅倫自己的看法，可放在西蒙娜眼裡，卻可能不太一樣了。
此時此刻，西蒙娜看著羅倫最後計算出來的值，表情一愣一愣的：
「所以，這樣就……解出來了？」
不等羅倫回答她的話，講台上，那位黑袍老師的聲音便先傳了過來：
「通過二進位展開將連續變量離散化，又通過期望值將離散問題概率化，有意思，真有意思，這道題居然還能有如此簡潔的做法……那位新來的同學，你，叫什麼名字？」
雖然看不清黑袍老師的面孔，但此刻，羅倫還是感覺對方的視線落在了自己的身上。
羅倫連忙起身回道：「老師，我叫羅倫。」
「嗯，羅倫，你這節課的表現很不錯，希望你在下面的課堂中，也能繼續保持。」黑袍老師說著，手一揮，聲音逐漸變得朦朧起來：「這一節課到此為止，下課……」
霎時，空間開始震盪，光線也在變得模糊。
教室里的其他學生，以及那名黑袍老師，頃刻消失，那一扇原本緊閉的教室大門，也在這時轟然敞開。
按照西蒙娜剛才的說法，解答完第五題，再走出教室這一關便算是過了。
但此刻的西蒙娜，卻依舊沉浸在羅倫第五道題的世界裡，目光死死盯著羅倫面前的草稿紙，臉上帶著嚴肅的思索神情。
羅倫等了好一陣，見她還沒有結束，還在看，便好心地開口道：
「還有哪裡不懂？」
「這裡，這裡，這裡……啊？沒有不懂啊，都懂，已經懂了，我還以為你在問別的呢。」
沉浸在思索中的西蒙娜，下意識抬手指了四五處地方，但隨後她又立馬回過神來，接著一臉嘴硬。
羅倫表情古怪地盯著她看，見她一副要強的模樣，心知她比較在乎自尊，於是趕忙轉移話題道：
「懂了就行，嗯，西蒙娜女士，現在這一關算是已經過了吧？我們要離開教室嗎？」
「當然。」
西蒙娜應了一聲，率先起身，快步朝著教室門口走去。
羅倫跟在她屁股後面，迅速隨她一起越過了那扇教室大門。
在穿過門口的瞬間，羅倫只覺感官正在被急劇重置，片刻後，他與西蒙娜的眼前都出現了一行醒目的赫拉語文字。
【算術迷宮第六關已通過，獎勵：夢維度信標+1，當前夢維度信標數量為6，請問是否結束闖關？】
「否！」西蒙娜趕忙道：「這才剛回本呢，結束什麼啊結束，繼續闖關！」
【下一關：第七關！】
【第七關：本關卡預計將有三道數學題攔路，題目尚在接引中，請於5小時59分59秒後進入算術迷宮答題。】
「六小時後才能繼續答題，走，先出去了。」
西蒙娜說話間，羅倫只覺眼前的景象開始快速模糊，一眨眼，他便回到了外界那間地下室內。
昏黃的螢光充斥著眼球，羅倫扭了扭身體，活動了下筋骨。
此番進入算術迷宮內，他本身並未耗費什麼精神能量，眼下的精氣神依然相當飽滿。
「羅倫，你先自由活動，可以去上面喝點蜂蜜茶或者休息下，我臨時有點事情，得去忙一會兒。」
「好。」
西蒙娜叮囑了羅倫一聲，見他沒別的要求，便起身扭著蠻腰與翹臀快步離開了地下研究室。
一路上到別墅二樓，西蒙娜進入自己的房間，立刻將意識沉入自己的私人計算屋內，仔仔細細地推敲起了第六關的第五題。
剛才在算術迷宮之內，她只是囫圇吞棗般地記憶下了那道題的解答過程，在羅倫面前，她不太好意思承認自己沒有看懂——作為一名要強的女士，她不允許自己起初說了懂，後面又反悔說沒懂，那樣太蠢了。
於是，要強的西蒙娜，便獨自一人在計算屋內，把羅倫的解答過程，翻來覆去研究了好幾遍。
除了那個雙重求和換序的公式她無法完成證明以外，其他的步驟她倒是全都弄懂了。
「精妙的證明，完美的思路，直接把微積分和概率論串起來了！」
「還有這個二進位，好奇妙的構思……」
「羅倫，羅倫，這小子不對勁，很不對勁，一個還沒考上聖院的十八歲少年，思維怎麼能靈活到這種程度啊？」
退出私人計算屋，西蒙娜眉梢微凝，而後素手拂過自己手腕的一隻銀環手鐲，手鐲上頃刻綻出一片幽幽綠光，將她那張略顯嚴肅的漂亮面孔映照得有幾分森然。
靜靜地等待中……
幾個呼吸之後，傳訊接通，莫利斯的嗓音從綠光中傳來：
「西蒙娜，你什麼事？」
「不過，因為題目中的分子是2的冪，我們不妨寫成二進位，也就是x=a1/2+a2/(2^2)+a3/(2^3)+……a∈（0-1）。」
「這裡取二進位的優勢在於，乘完以後取整數部分時是十分容易的，比如說，假設x用這樣的一個二進位表示，x=∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），於是就有[(2^n)x]=2^(n-1)a1+2^(n-2)a2+……+an，第n項以後的所有數都小於1，取整以後就直接變成0了。」
「這一步能看懂吧？」
羅倫話到這裡看了眼西蒙娜，見她看得很認真，便順口問了一嘴。
什麼十進位二進位，這都什麼跟什麼啊，第一次聽說這類的概念，不過，看起來還挺像那麼回事的……西蒙娜心裡暗道。
此時此刻，她還在盯著羅倫寫的第二行關於二進位的式子看，並在心裡迅速驗算著是否正確。
至於第三行的內容，她還看都沒看過。
但對上羅倫的眼睛，見他一副『這很簡單你不會連這個都看不懂吧』的表情，西蒙娜也是個要面子的女士，又直接脫口道：
「懂啊，當然能看懂。」
羅倫見狀，還以為她真懂了，便又繼續往下講解：
「所以這時候，我們可以用二進位的係數a將原始的無窮求和直接寫出來，便有∑(n=1→∞)[(2^n)x]/(3^n)=∑(n=1→∞)(2^n)/(3^n)∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），接下來，再交換求和的順序，把係數a提取出來……」
「這裡，嗯，需要用到一個交換求和順序的式子，∑(k=1→n)∑(j=1→k)=∑(j=1→n)∑(k=j→n)……」
「接下來，就是計算換序后里面的求和，這實際上很簡單，是一個等比數列……化簡後，可以得到∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），到這裡，我們就將積分裡面的東西，轉化為了一個像是三進位的表達。」
「這一步能看懂吧？」羅倫習慣性地問了一嘴。
「能看懂……」
西蒙娜硬著頭皮嘴了一句，但心裡實際上已經開始在倒騰髒東西了。
這他媽的什麼跟什麼啊，憑什麼交換求和的順序可以這樣寫，這公式你怎麼得出來的，為什麼我在聖院的付費課程里沒有學到過這一塊？
羅倫繼續道：
「令S=∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），展開後便是a1/3+a2/(3^2)+a3/(3^3)+……這裡的S是x的函數。「
「這時，題目中的積分式子就變成了∫(0→1)(S(x))^2dx。」
「現在嘗試理解一下，在0到1上面隨便取一個x，那麼這個x一定會映射到S，所以S屬於一個隨機變量，而由於x是隨便取的，x必然滿足均勻分布，因此這個積分的意思是對隨機變量S平方求期望……」
「考慮這樣一個概率事件……所以，如果概率期望為p=1/2，那麼方差即為p（1-p）=1/4……」
「最終代入計算，再逆著用方差公式變換下……可以得到最終的值為27/32。」
寫到這裡，羅倫自己覺得一目了然，清清楚楚。
這道題的難度是有的，但不算太離譜，頂多考研水平，只要能熟練理解二進位+概率期望+雙重求和換序，解答起來基本算是手拿把掐。
當然，這是羅倫自己的看法，可放在西蒙娜眼裡，卻可能不太一樣了。
此時此刻，西蒙娜看著羅倫最後計算出來的值，表情一愣一愣的：
「所以，這樣就……解出來了？」
不等羅倫回答她的話，講台上，那位黑袍老師的聲音便先傳了過來：
「通過二進位展開將連續變量離散化，又通過期望值將離散問題概率化，有意思，真有意思，這道題居然還能有如此簡潔的做法……那位新來的同學，你，叫什麼名字？」
雖然看不清黑袍老師的面孔，但此刻，羅倫還是感覺對方的視線落在了自己的身上。
羅倫連忙起身回道：「老師，我叫羅倫。」
「嗯，羅倫，你這節課的表現很不錯，希望你在下面的課堂中，也能繼續保持。」黑袍老師說著，手一揮，聲音逐漸變得朦朧起來：「這一節課到此為止，下課……」
霎時，空間開始震盪，光線也在變得模糊。
教室里的其他學生，以及那名黑袍老師，頃刻消失，那一扇原本緊閉的教室大門，也在這時轟然敞開。
按照西蒙娜剛才的說法，解答完第五題，再走出教室這一關便算是過了。
但此刻的西蒙娜，卻依舊沉浸在羅倫第五道題的世界裡，目光死死盯著羅倫面前的草稿紙，臉上帶著嚴肅的思索神情。
羅倫等了好一陣，見她還沒有結束，還在看，便好心地開口道：
「還有哪裡不懂？」
「這裡，這裡，這裡……啊？沒有不懂啊，都懂，已經懂了，我還以為你在問別的呢。」
沉浸在思索中的西蒙娜，下意識抬手指了四五處地方，但隨後她又立馬回過神來，接著一臉嘴硬。
羅倫表情古怪地盯著她看，見她一副要強的模樣，心知她比較在乎自尊，於是趕忙轉移話題道：
「懂了就行，嗯，西蒙娜女士，現在這一關算是已經過了吧？我們要離開教室嗎？」
「當然。」
西蒙娜應了一聲，率先起身，快步朝著教室門口走去。
羅倫跟在她屁股後面，迅速隨她一起越過了那扇教室大門。
在穿過門口的瞬間，羅倫只覺感官正在被急劇重置，片刻後，他與西蒙娜的眼前都出現了一行醒目的赫拉語文字。
【算術迷宮第六關已通過，獎勵：夢維度信標+1，當前夢維度信標數量為6，請問是否結束闖關？】
「否！」西蒙娜趕忙道：「這才剛回本呢，結束什麼啊結束，繼續闖關！」
【下一關：第七關！】
【第七關：本關卡預計將有三道數學題攔路，題目尚在接引中，請於5小時59分59秒後進入算術迷宮答題。】
「六小時後才能繼續答題，走，先出去了。」
西蒙娜說話間，羅倫只覺眼前的景象開始快速模糊，一眨眼，他便回到了外界那間地下室內。
昏黃的螢光充斥著眼球，羅倫扭了扭身體，活動了下筋骨。
此番進入算術迷宮內，他本身並未耗費什麼精神能量，眼下的精氣神依然相當飽滿。
「羅倫，你先自由活動，可以去上面喝點蜂蜜茶或者休息下，我臨時有點事情，得去忙一會兒。」
「好。」
西蒙娜叮囑了羅倫一聲，見他沒別的要求，便起身扭著蠻腰與翹臀快步離開了地下研究室。
一路上到別墅二樓，西蒙娜進入自己的房間，立刻將意識沉入自己的私人計算屋內，仔仔細細地推敲起了第六關的第五題。
剛才在算術迷宮之內，她只是囫圇吞棗般地記憶下了那道題的解答過程，在羅倫面前，她不太好意思承認自己沒有看懂——作為一名要強的女士，她不允許自己起初說了懂，後面又反悔說沒懂，那樣太蠢了。
於是，要強的西蒙娜，便獨自一人在計算屋內，把羅倫的解答過程，翻來覆去研究了好幾遍。
除了那個雙重求和換序的公式她無法完成證明以外，其他的步驟她倒是全都弄懂了。
「精妙的證明，完美的思路，直接把微積分和概率論串起來了！」
「還有這個二進位，好奇妙的構思……」
「羅倫，羅倫，這小子不對勁，很不對勁，一個還沒考上聖院的十八歲少年，思維怎麼能靈活到這種程度啊？」
退出私人計算屋，西蒙娜眉梢微凝，而後素手拂過自己手腕的一隻銀環手鐲，手鐲上頃刻綻出一片幽幽綠光，將她那張略顯嚴肅的漂亮面孔映照得有幾分森然。
靜靜地等待中……
幾個呼吸之後，傳訊接通，莫利斯的嗓音從綠光中傳來：
「西蒙娜，你什麼事？」