第339章 學術交流
飛機落地燕京的時候是上午十點。趙陽和王文淵教授在出站口等他。德利涅推著登機箱走出來，他比上次在國際數學家大會上見到的時候瘦了一些，頭髮也白了不少，但那雙眼睛還是跟以前一樣銳利。
「德利涅教授，歡迎來燕京。」
王文淵迎上去握住了他的手。
「王教授，趙博士。」德利涅跟兩人分別握了手，然後看向趙陽。
「我老師這幾天一直在等你。他把我當年跟他的通信都翻了出來，說裡面有幾段關於概形論在計算機科學中應用的討論，跟你論文的思路不謀而合。」
趙陽點了點頭。他讓王海把車開到航站樓門口，三人上了車，直接去燕大。路上德利涅把格羅滕迪克最近的身體情況簡單說了一下肺癌，發現的時候已經擴散了，目前的治療以控制疼痛為主，醫生給出的時間窗口不會太長。
到了燕大，王文淵安排了一間安靜的會議室。德利涅把隨身帶的資料攤在桌上厚厚一沓草稿紙，上面是格羅滕迪克特有的那種傾斜的筆跡，有些地方畫了交換圖，有些地方用紅筆圈了好幾層。
趙陽翻了幾頁，看到其中一個關於有限域上多項式理想維數估計的引理推導，跟他自己在附錄里提出的子問題幾乎完全重合。
「老師在這條路上走了很多年。」
德利涅指著其中一處標註。
「他說你那個布爾函數到代數簇的映射構造，是他這輩子見過最漂亮的代數化方案。但他覺得你在處理正特徵域的時候可以借鑑他在六十年代做的幾個關於概形平坦性的工作。那邊的幾個引理跟你現在遇到的障礙有關。」
趙陽翻到德利涅指的那一頁，上面的交換圖畫得很複雜，但核心邏輯跟他在思考有限域推廣問題時隱約觸碰過的某個方向是相通的。
他之前一直覺得概形平坦性在處理邏輯門的多項式表示時過於繁瑣，不願意在這上面花太多篇幅。但格羅滕迪克的草稿清楚地告訴他，這不是繁瑣，而是非常有必要的！
第二天上午，皮埃爾從巴黎撥通了視頻電話。他提前在病房裡布置了攝像機，讓畫面儘量穩定。
信號接通的那一刻，大屏幕上出現了格羅滕迪克的病房。他半躺在病床上，背後墊著幾個枕頭，頭髮已經幾乎全白了，但那雙眼睛透過老花鏡看過來的時候依然有一種深邃的智慧。
「格羅滕迪克教授。」
趙陽微微往前坐了一點。
「您對概形平坦性的理解，我看了您給德利涅教授的幾個引理。您在處理正特徵域上多項式理想的消元問題時，是不是用到了余維數大於等於二的子簇上正規錐的構造？」
格羅滕迪克聽到這個問題，嘴角動了一下。面上帶著一絲微笑，把老花鏡往鼻樑上推了推，身體稍微往上坐了一點。
「你對布爾函數代數化的處理，我已經拆解過了。你用希爾伯特零點定理來保證理想生成嚴格性，這對特徵為零的代數閉域完全成立。但想要推廣到正特徵域上，你缺少一個關鍵的步驟。正特徵域上加法不是單射，多項式表示會退化。你需要在表示邏輯門之前，先對基底做一次概形的平坦化處理。」
趙陽迅速把格羅滕迪克說的幾個要點在腦海里過了一遍。他想起自己在處理有限域推廣時遇到的那個具體障礙代數閉域上的消元定理在特徵為正的有限域上不適用，當時他嘗試了幾種繞道方案都沒走通。格羅滕迪克提到的概形平坦化處理，正好對應了那個障礙的核心。
「具體怎麼平坦化？」趙陽問。
「你需要先證明正特徵域上任意布爾電路的多項式表示都可以被提升為一個特徵為零的概形上的平坦態射。然後用你已經在特徵為零的代數閉域上建立的那套零點集下界估計方法。最後再用跡映射把結果拉回到正特徵域上。」
格羅滕迪克說到這裡停了一下，呼吸有些不穩。皮埃爾從旁邊遞過水杯，他喝了一口，緩了緩，然後繼續說：「這個思路在六七十年代做韋伊猜想的時候德利涅用過類似的手法，但他當時處理的不是多項式理想，而是étale上同調。你的情況比他的簡單，因為你不必考慮所有素理想上的分歧。」
趙陽靠在椅背上，腦子裡那幾塊一直拼不上的拼圖忽然嚴絲合縫地咬在了一起。有限域的推廣障礙，最核心的就是消元定理的失效而格羅滕迪克的方案是從特徵為零的域上做一個提升，把問題拉到已知的領域裡解決，再通過跡映射拉回來。
繞開了有限域上消元定理本身的不完備性。他之前不是沒想過類似的思路，但一直沒想到用跡映射來做拉回，因為他對正特徵域上的平坦態射沒有足夠的經驗。這正是格羅滕迪克幾十年來深耕的領域。
「您這個引理直接補上了我論文附錄里最大的缺口。」
趙陽感嘆的說到。
「這就是我想跟你說的話。」
格羅滕迪克靠在枕頭上，聲音比剛才輕了些。
「你不需要從頭做正特徵域上的平坦態射。我做過的東西你可以直接用。我活了這麼久，留下的那些工具概形、平坦性、跡映射當時很多人說它們太抽象了，沒有實際用途。現在你用它們去架構一個千禧年問題的結論，我會很高興的。」
接下來幾天，趙陽和格羅滕迪克又進行了四五次視頻通話。每次通話持續的時間不算太長格羅滕迪克的體力只能支撐大概四十分鐘到一個小時的高強度討論，但他的思路始終清晰得不像一個晚期病人。
他們討論的範圍從有限域上的平坦態射逐步延伸到多項式理想的正規錐構造，從代數簇維數下界到消元定理失效的繞道策略。每一次討論的錄音和視頻都被皮埃爾認真保存下來。
這件事很快被法國媒體注意到了。格羅滕迪克隱居了幾十年，幾乎從公眾視野里徹底消失，他破例進行持續的視頻通話這件事本身就足夠引人注目。
一家法國科學雜誌的記者聯繫了皮埃爾，問是否可以在徵得雙方同意的情況下公開部分視頻內容。皮埃爾先問了格羅滕迪克，老人說只要趙陽不反對就可以。
趙陽這邊也沒什麼意見。畢竟只是純粹的學術交流，不涉及任何敏感信息。
幾段經過剪輯的視頻和文字記錄很快被放到了社交媒體和網絡上。內容對普通大眾來說過於艱深，但在數學圈子裡引起了不小的轟動。
「德利涅教授，歡迎來燕京。」
王文淵迎上去握住了他的手。
「王教授，趙博士。」德利涅跟兩人分別握了手，然後看向趙陽。
「我老師這幾天一直在等你。他把我當年跟他的通信都翻了出來，說裡面有幾段關於概形論在計算機科學中應用的討論，跟你論文的思路不謀而合。」
趙陽點了點頭。他讓王海把車開到航站樓門口，三人上了車，直接去燕大。路上德利涅把格羅滕迪克最近的身體情況簡單說了一下肺癌，發現的時候已經擴散了，目前的治療以控制疼痛為主，醫生給出的時間窗口不會太長。
到了燕大，王文淵安排了一間安靜的會議室。德利涅把隨身帶的資料攤在桌上厚厚一沓草稿紙，上面是格羅滕迪克特有的那種傾斜的筆跡，有些地方畫了交換圖，有些地方用紅筆圈了好幾層。
趙陽翻了幾頁，看到其中一個關於有限域上多項式理想維數估計的引理推導，跟他自己在附錄里提出的子問題幾乎完全重合。
「老師在這條路上走了很多年。」
德利涅指著其中一處標註。
「他說你那個布爾函數到代數簇的映射構造，是他這輩子見過最漂亮的代數化方案。但他覺得你在處理正特徵域的時候可以借鑑他在六十年代做的幾個關於概形平坦性的工作。那邊的幾個引理跟你現在遇到的障礙有關。」
趙陽翻到德利涅指的那一頁，上面的交換圖畫得很複雜，但核心邏輯跟他在思考有限域推廣問題時隱約觸碰過的某個方向是相通的。
他之前一直覺得概形平坦性在處理邏輯門的多項式表示時過於繁瑣，不願意在這上面花太多篇幅。但格羅滕迪克的草稿清楚地告訴他，這不是繁瑣，而是非常有必要的！
第二天上午，皮埃爾從巴黎撥通了視頻電話。他提前在病房裡布置了攝像機，讓畫面儘量穩定。
信號接通的那一刻，大屏幕上出現了格羅滕迪克的病房。他半躺在病床上，背後墊著幾個枕頭，頭髮已經幾乎全白了，但那雙眼睛透過老花鏡看過來的時候依然有一種深邃的智慧。
「格羅滕迪克教授。」
趙陽微微往前坐了一點。
「您對概形平坦性的理解，我看了您給德利涅教授的幾個引理。您在處理正特徵域上多項式理想的消元問題時，是不是用到了余維數大於等於二的子簇上正規錐的構造？」
格羅滕迪克聽到這個問題，嘴角動了一下。面上帶著一絲微笑，把老花鏡往鼻樑上推了推，身體稍微往上坐了一點。
「你對布爾函數代數化的處理，我已經拆解過了。你用希爾伯特零點定理來保證理想生成嚴格性，這對特徵為零的代數閉域完全成立。但想要推廣到正特徵域上，你缺少一個關鍵的步驟。正特徵域上加法不是單射，多項式表示會退化。你需要在表示邏輯門之前，先對基底做一次概形的平坦化處理。」
趙陽迅速把格羅滕迪克說的幾個要點在腦海里過了一遍。他想起自己在處理有限域推廣時遇到的那個具體障礙代數閉域上的消元定理在特徵為正的有限域上不適用，當時他嘗試了幾種繞道方案都沒走通。格羅滕迪克提到的概形平坦化處理，正好對應了那個障礙的核心。
「具體怎麼平坦化？」趙陽問。
「你需要先證明正特徵域上任意布爾電路的多項式表示都可以被提升為一個特徵為零的概形上的平坦態射。然後用你已經在特徵為零的代數閉域上建立的那套零點集下界估計方法。最後再用跡映射把結果拉回到正特徵域上。」
格羅滕迪克說到這裡停了一下，呼吸有些不穩。皮埃爾從旁邊遞過水杯，他喝了一口，緩了緩，然後繼續說：「這個思路在六七十年代做韋伊猜想的時候德利涅用過類似的手法，但他當時處理的不是多項式理想，而是étale上同調。你的情況比他的簡單，因為你不必考慮所有素理想上的分歧。」
趙陽靠在椅背上，腦子裡那幾塊一直拼不上的拼圖忽然嚴絲合縫地咬在了一起。有限域的推廣障礙，最核心的就是消元定理的失效而格羅滕迪克的方案是從特徵為零的域上做一個提升，把問題拉到已知的領域裡解決，再通過跡映射拉回來。
繞開了有限域上消元定理本身的不完備性。他之前不是沒想過類似的思路，但一直沒想到用跡映射來做拉回，因為他對正特徵域上的平坦態射沒有足夠的經驗。這正是格羅滕迪克幾十年來深耕的領域。
「您這個引理直接補上了我論文附錄里最大的缺口。」
趙陽感嘆的說到。
「這就是我想跟你說的話。」
格羅滕迪克靠在枕頭上，聲音比剛才輕了些。
「你不需要從頭做正特徵域上的平坦態射。我做過的東西你可以直接用。我活了這麼久，留下的那些工具概形、平坦性、跡映射當時很多人說它們太抽象了，沒有實際用途。現在你用它們去架構一個千禧年問題的結論，我會很高興的。」
接下來幾天，趙陽和格羅滕迪克又進行了四五次視頻通話。每次通話持續的時間不算太長格羅滕迪克的體力只能支撐大概四十分鐘到一個小時的高強度討論，但他的思路始終清晰得不像一個晚期病人。
他們討論的範圍從有限域上的平坦態射逐步延伸到多項式理想的正規錐構造，從代數簇維數下界到消元定理失效的繞道策略。每一次討論的錄音和視頻都被皮埃爾認真保存下來。
這件事很快被法國媒體注意到了。格羅滕迪克隱居了幾十年，幾乎從公眾視野里徹底消失，他破例進行持續的視頻通話這件事本身就足夠引人注目。
一家法國科學雜誌的記者聯繫了皮埃爾，問是否可以在徵得雙方同意的情況下公開部分視頻內容。皮埃爾先問了格羅滕迪克，老人說只要趙陽不反對就可以。
趙陽這邊也沒什麼意見。畢竟只是純粹的學術交流，不涉及任何敏感信息。
幾段經過剪輯的視頻和文字記錄很快被放到了社交媒體和網絡上。內容對普通大眾來說過於艱深，但在數學圈子裡引起了不小的轟動。