第246章 公開勾搭
肖宿看了他一眼，說道：
「連續分層的方案我考慮過，但它在鞍點估計中會引入一個額外的退化源。
離散分層的優勢在於每一層獨立控制誤差，連續化之後，不同尺度的誤差會通過參數空間的曲率耦合在一起。
更具體的說，如果把層數l變成連續參數λ，那麼在鞍點方程中會出現一個關於λ的二階導數項，這個項的符號是不確定的，在某些鞍點附近會導致積分路徑偏離最速下降方向。」
他在黑板上快速寫了一個二階導數的估計式。
「所以離散分層不是妥協，而是保證鞍點估計穩定性的必要條件。」
沈殊青若有所思地點了點頭，旁邊另一位老院士偏過頭小聲對他笑道：「殊青，你這是想給肖宿遞論文選題呢？」
沈殊青回了一句：「我這叫合理嘗試。」
可惜剛出了個苗，就被肖宿拔了個乾淨。
接下來提問的是工程院信息部的院士顏士傑，他在數論應用與晶片算法設計交叉領域深耕了三十年，是國內少有的能把純數學理論和硬體架構同時搞通的學者。
顏士傑問的問題也很有個人特色：
「肖宿同學，我對你的鞍點圓法在計算複雜度方面的應用潛力非常感興趣。
在傳統圓法中，主弧和余弧的劃分高度依賴指數和估計的精度，而這個精度瓶頸直接影響到將圓法寫成可並行算法時的負載均衡。
你的鞍點圓法把主項的計算歸結到了鞍點處的局部貢獻，那我有一個很實際的問題想問問你，那就是鞍點的定位計算，能不能並行化呢？如果能，並行化後的加速比大概是什麼量級？」
肖宿思索了幾秒。
這個問題不是在問他證明對不對，而是在問他這個數學工具能不能變成一個好用的算法。
顏士傑讀論文的時候腦子轉的方向顯然和純粹搞數學的院士們不太一樣，但他問到的點恰好是肖宿自己在優化小智框架時也琢磨過的。
「鞍點的定位是一個複平面上的優化問題，對於給定精度ε，鞍點的定位可以歸約為一個在log N尺度上的網格搜索。
因為鞍點方程是凸的，在複平面的適當區域內，它的解是唯一的。
網格搜索天然就是可以並行化的。
從理論上看，如果使用P個處理單元，加速比可以線性增長到P，直到P接近log N的量級後才會開始退化。
對於N等於10的100次方這個量級，log N就約等於230，所以在實際應用中它可以做到接近兩百倍的並行加速。」
「兩百倍。」
顏士傑重複了一遍這個數字，臉上露出了一個滿意的笑容。
「很好，很好，肖宿同學，等你忙完這段時間，誠摯邀請你來我們工程院坐一坐，我們非常期待能和你合作。」
台下的劉浩然笑瘋了，忍不住低聲對旁邊的陳林說：「顏院士真牛啊，竟然在答辯現場公開勾搭肖神，你看到前面那幾個大佬的臉色了嗎，瞬間就黑了。」
陳林也忍不住笑了一下，很快就用手擋住了。
答辯委員會的提問一個接一個地繼續下去，學術性的對話在報告廳里有條不紊地進行著。
「肖宿同學，請問你對弗洛爾同調群計算中拉格朗日子流形的選取是不是唯一的呢？」
「肖宿同學，你論文中鞍點估計中餘項的衰減速率在大N下真的能壓住嗎？」
「肖宿同學，你覺得傅立葉-米庫辛變換在複平面上的亞純延拓是不是完全依賴於黎曼猜想的隱含假設呢？」
這些問題看上去很深奧，其實都只需要一些簡單的論證就能解決，肖宿幾乎不用思考就給了每個問題一個完美的解釋。
整個問答環節像是被按了兩倍速一樣，進展飛快。
屏幕前的觀眾已經徹底放棄理解了。
「每個字我都認識，連在一起我真的不行了。」
「本人數論博四，誠實地說，現在台上討論的問題，一個都看不懂。但我的導師在筆記本上寫了半頁了，他的眼睛都在發光。」
終於，十五分鐘之後，答辯委員會的提問結束了。
主持人重新走上台來：「接下來，請現場所有的嘉賓提問。」
報告廳里齊刷刷舉起了數千雙手。
肖宿不太想回答一些弱智的問題，他很保險的直接點了德利涅提問。
德利涅站起來的時候，一頭銀髮在燈光下晃了一下，整排的注意力都被他拉了過去。
「肖，我有一個關於奇異級數的問題。」
他調整了一下耳麥，聲音帶著法語的尾音，「在你的證明中，奇異級數S(n)的下界是一個絕對常數C，但在物理學的某些散射問題中，類似結構的奇異級數會出現共振增強效應，也就是說在某些特殊的n值上，奇異級數會遠遠大於這個下界。
那你的框架能不能對S(n)的漲落行為給出更精確的刻畫呢，而不僅僅局限在下界？如果可以的話，這個漲落的統計分布是什麼樣的呢？」
肖宿想了想，給出了肯定的回答：「可以，這也是分層篩法的一個額外收穫。
S(n)的漲落由n的素因子結構決定，當n的所有素因子都很大時，S(n)接近下界。
當n有很多小素因子時，S(n)就會顯著增大。
用分層篩法的語言來說就是每一個小素因子會在某一層產生一個疊加增強，不同層之間的增強是獨立的。
因此S(n)的歸一化對數漲落在統計上近似服從一個複合泊松分布，它的參數由素因子的分布決定，具體的分布函數我在論文的附錄B里給出了詳細的推導。」
德利涅點了點頭：「複合泊松分布，非常合理。」
他坐下去的時候還側頭對舒爾茨比了個拇指。
舒爾茨緊接著舉起了手，肖宿點了點頭。
「肖，我關注的是你論文裡對傅立葉-米庫辛變換在無窮遠處的漸進行為的處理。
你把積分路徑選在最速下降曲線上，這個選擇依賴於鞍點附近函數的解析性，但我們都知道，在某些具有高度振盪的積分核中，最速下降路徑可能會穿過本質奇點，導致路徑變形變得不可行，你的構造中是不是也會存在這個風險呢？你是怎麼規避的？」
「連續分層的方案我考慮過，但它在鞍點估計中會引入一個額外的退化源。
離散分層的優勢在於每一層獨立控制誤差，連續化之後，不同尺度的誤差會通過參數空間的曲率耦合在一起。
更具體的說，如果把層數l變成連續參數λ，那麼在鞍點方程中會出現一個關於λ的二階導數項，這個項的符號是不確定的，在某些鞍點附近會導致積分路徑偏離最速下降方向。」
他在黑板上快速寫了一個二階導數的估計式。
「所以離散分層不是妥協，而是保證鞍點估計穩定性的必要條件。」
沈殊青若有所思地點了點頭，旁邊另一位老院士偏過頭小聲對他笑道：「殊青，你這是想給肖宿遞論文選題呢？」
沈殊青回了一句：「我這叫合理嘗試。」
可惜剛出了個苗，就被肖宿拔了個乾淨。
接下來提問的是工程院信息部的院士顏士傑，他在數論應用與晶片算法設計交叉領域深耕了三十年，是國內少有的能把純數學理論和硬體架構同時搞通的學者。
顏士傑問的問題也很有個人特色：
「肖宿同學，我對你的鞍點圓法在計算複雜度方面的應用潛力非常感興趣。
在傳統圓法中，主弧和余弧的劃分高度依賴指數和估計的精度，而這個精度瓶頸直接影響到將圓法寫成可並行算法時的負載均衡。
你的鞍點圓法把主項的計算歸結到了鞍點處的局部貢獻，那我有一個很實際的問題想問問你，那就是鞍點的定位計算，能不能並行化呢？如果能，並行化後的加速比大概是什麼量級？」
肖宿思索了幾秒。
這個問題不是在問他證明對不對，而是在問他這個數學工具能不能變成一個好用的算法。
顏士傑讀論文的時候腦子轉的方向顯然和純粹搞數學的院士們不太一樣，但他問到的點恰好是肖宿自己在優化小智框架時也琢磨過的。
「鞍點的定位是一個複平面上的優化問題，對於給定精度ε，鞍點的定位可以歸約為一個在log N尺度上的網格搜索。
因為鞍點方程是凸的，在複平面的適當區域內，它的解是唯一的。
網格搜索天然就是可以並行化的。
從理論上看，如果使用P個處理單元，加速比可以線性增長到P，直到P接近log N的量級後才會開始退化。
對於N等於10的100次方這個量級，log N就約等於230，所以在實際應用中它可以做到接近兩百倍的並行加速。」
「兩百倍。」
顏士傑重複了一遍這個數字，臉上露出了一個滿意的笑容。
「很好，很好，肖宿同學，等你忙完這段時間，誠摯邀請你來我們工程院坐一坐，我們非常期待能和你合作。」
台下的劉浩然笑瘋了，忍不住低聲對旁邊的陳林說：「顏院士真牛啊，竟然在答辯現場公開勾搭肖神，你看到前面那幾個大佬的臉色了嗎，瞬間就黑了。」
陳林也忍不住笑了一下，很快就用手擋住了。
答辯委員會的提問一個接一個地繼續下去，學術性的對話在報告廳里有條不紊地進行著。
「肖宿同學，請問你對弗洛爾同調群計算中拉格朗日子流形的選取是不是唯一的呢？」
「肖宿同學，你論文中鞍點估計中餘項的衰減速率在大N下真的能壓住嗎？」
「肖宿同學，你覺得傅立葉-米庫辛變換在複平面上的亞純延拓是不是完全依賴於黎曼猜想的隱含假設呢？」
這些問題看上去很深奧，其實都只需要一些簡單的論證就能解決，肖宿幾乎不用思考就給了每個問題一個完美的解釋。
整個問答環節像是被按了兩倍速一樣，進展飛快。
屏幕前的觀眾已經徹底放棄理解了。
「每個字我都認識，連在一起我真的不行了。」
「本人數論博四，誠實地說，現在台上討論的問題，一個都看不懂。但我的導師在筆記本上寫了半頁了，他的眼睛都在發光。」
終於，十五分鐘之後，答辯委員會的提問結束了。
主持人重新走上台來：「接下來，請現場所有的嘉賓提問。」
報告廳里齊刷刷舉起了數千雙手。
肖宿不太想回答一些弱智的問題，他很保險的直接點了德利涅提問。
德利涅站起來的時候，一頭銀髮在燈光下晃了一下，整排的注意力都被他拉了過去。
「肖，我有一個關於奇異級數的問題。」
他調整了一下耳麥，聲音帶著法語的尾音，「在你的證明中，奇異級數S(n)的下界是一個絕對常數C，但在物理學的某些散射問題中，類似結構的奇異級數會出現共振增強效應，也就是說在某些特殊的n值上，奇異級數會遠遠大於這個下界。
那你的框架能不能對S(n)的漲落行為給出更精確的刻畫呢，而不僅僅局限在下界？如果可以的話，這個漲落的統計分布是什麼樣的呢？」
肖宿想了想，給出了肯定的回答：「可以，這也是分層篩法的一個額外收穫。
S(n)的漲落由n的素因子結構決定，當n的所有素因子都很大時，S(n)接近下界。
當n有很多小素因子時，S(n)就會顯著增大。
用分層篩法的語言來說就是每一個小素因子會在某一層產生一個疊加增強，不同層之間的增強是獨立的。
因此S(n)的歸一化對數漲落在統計上近似服從一個複合泊松分布，它的參數由素因子的分布決定，具體的分布函數我在論文的附錄B里給出了詳細的推導。」
德利涅點了點頭：「複合泊松分布，非常合理。」
他坐下去的時候還側頭對舒爾茨比了個拇指。
舒爾茨緊接著舉起了手，肖宿點了點頭。
「肖，我關注的是你論文裡對傅立葉-米庫辛變換在無窮遠處的漸進行為的處理。
你把積分路徑選在最速下降曲線上，這個選擇依賴於鞍點附近函數的解析性，但我們都知道，在某些具有高度振盪的積分核中，最速下降路徑可能會穿過本質奇點，導致路徑變形變得不可行，你的構造中是不是也會存在這個風險呢？你是怎麼規避的？」