第23章 數學之美
午休過去，下午第一節課是數學。
這時候已經接近五月下旬，午後的教室比上午還要悶熱，天花板上吱呀吱呀轉的吊扇也無濟於事。
上課沒幾分鐘，中央空調「滴」的一聲，同學們神色一震。
「開空調了！」
「快開空調！」
「吳熠，把窗戶關了！」
講台上的李丹笑呵呵地看著忙碌的眾人，擦了把額頭上的汗，她也快熱得受不了了。
今天講三模的試卷，她只是寫了幾分鐘的板書就感覺後背的衣服都濕透了。
吳熠將後排的窗戶關上，回到位置上繼續刷數學五三。
五三是分單元進行排版的，前三個單元分別是集合與常用邏輯用語、不等式、函數的概念與初等函數，基本都是填空選擇題，所以寫得很快。
不過現在他進入了第四單元，一元函數的導數及其應用，難度直接陡增。
擺在他眼前的就是一道很麻煩的導數大題，題目給了一個含參函數，第一問求單調區間，第二問需要證明一個不等式恆成立。
第一問很常規，求個導、分個類就過了。
第二問有點意思了，標準思路是把不等式移項構造新函數，然後求導找最值。
但他沒有這樣做，因為他一眼就看出來構造出來的新函數分式結構太複雜，直接求導會出來一大坨。
現在他的右手很金貴，能少寫點步驟就少寫點。
除非沒有更好的思路，否則他不想用這種最原始、最繁瑣的方法。
能不能換個方向？
從代數的角度來看這是個最值問題，但他也可以從幾何的角度來考慮。
他把草稿紙翻到新的一頁，把原函數的圖像大致描了出來，曲線在x軸上下穿過。
他盯著那條曲線看了一會兒，忽然想到如果不用移項，而是用切線放縮呢？
他在草稿紙上重新列式，先找到原函數的拐點，再證明這個拐點處的切線恰好在目標直線的上方。
如果這個關係成立，不等式就能直接用函數的凹凸性證明，不需要構造那個複雜的分式函數。
筆尖在紙面上緩緩划過，一行一行往下推。
中間有一步需要判斷二階導的符號，他又繞回去做了個分類討論。
寫到第六行的時候，整個思路豁然開朗，所有條件剛好卡在臨界值上，不多不少，嚴絲合縫。
吳熠微微點頭，心中給出題人點了個贊：「這道題目的出題人有點水平。」
他把最後一行不等號寫完，擱下筆，盯著草稿紙上那一串推導看了好一會兒，心裡湧上來一種說不清的感覺。
就像拼一塊很難的拼圖，最後一片按下去的時候，那個「咔嗒」一聲讓人特別有成就感。
這是之前的英語比不了的，數學顯然比英語更具有挑戰性。
以前他學數學是硬著頭皮往腦子裡塞，公式是公式，題目是題目，兩個東西各是各的怎麼也搭不上橋。
現在他每做一道題，解題思路就在腦子裡自動歸檔，他真正理解了為什麼要這麼做。
那些散落的知識點自己串成了線，他每看到一道題，腦子裡會自動跳出好幾種可能的路徑，然後一條一條試過去，哪條路好走就走哪條。
這種感覺，有點上癮。
講台上的李丹基本上都在寫板書，偶爾會掃一眼同學們。
她早就注意到吳熠沒在聽課，不過這一回她心裡倒沒有什麼特別的感覺，吳熠三模的英語成績讓她徹底轉變了對吳熠的印象。
她相信一個能在短時間取得如此重大進步的學生一定有非常好的自學方法，這比單純聽課更重要。
下課鈴響的時候吳熠又寫出了一道大題，他活動了一下右手手腕，準備換左手抄一會兒生物知識點，餘光看到講台上李丹朝他這邊走了過來。
「吳熠。」
李丹站在他桌邊，目光落在他攤開的數學五三上，眉毛微微往上挑了一下：「在做五三？」
「嗯。」吳熠把筆放下。
李丹笑著說：「你這次英語進步這麼大，數學能不能也跟著提一提？不用英語那麼多，提個十幾二十分也行啊。」
吳熠點點頭：「我盡力。」
「五三是本不錯的資料，不過三模的試卷其實更有參考價值，」李丹的語氣不算嚴肅，更像是關心，「你卷子上的錯題都改了嗎？」
「改了。」
「拿來我看看。」
吳熠從那摞書里抽出三模數學卷子遞給她。
李丹接過來從頭到尾翻了一遍，選擇題和填空題旁邊都有訂正的痕跡，每道錯題都在旁邊寫了解題過程，看得出來很認真。
直到她翻到最後一道導數大題的時候，目光停住了。
這道題吳熠寫的步驟和參考答案不一樣，但是更簡潔。
李丹盯著那幾行推導看了好一會兒，然後抬頭看向吳熠，好奇道：「你最後一題的過程怎麼和參考答案不一樣？」
「這是我自己寫的，沒看參考答案。」
「什麼時候寫的？」
「考試完之後，」吳熠說，「我把這道題重新做了一遍。」
李丹又低頭看了一遍，設輔助函數不算稀奇，但吳熠這個輔助函數設得很巧。
他把原函數和一個線性函數做差，然後用二階導的符號判斷凹凸性，正好套上了題目給的那個不等式條件，幾步推導下來行雲流水，比參考答案的計算量小了很多。
雖然說只要能做出來就是好方法，但李丹心裡還是覺得吳熠的方法更勝一籌。
數學有五種經典美，分別是對稱美、簡潔美、統一美、奇異美和邏輯美。
顯然，吳熠的解法更美。
她抬頭重新看了看吳熠，眼神變得很欣賞：「你這個方法很好，你是怎麼想到的？」
吳熠沉吟片刻，回道：「因為一般導數大題的過程都很繁瑣，我覺得用幾何意義會更簡單，所以我就把不等式兩邊看成兩個函數，一個曲線一個直線，只要能證明曲線在直線上方就行，然後就想到了用凹凸性來放縮。」
「這個思路非常好，」李丹由衷地說，「特別是你選輔助函數這一步，正好卡在最關鍵的位置上，很厲害。」
她頓了頓，繼續說：「這樣吧，下節課你上去講一下這道題。雖然能聽懂的估計不多，但能給同學們開拓思維。」
吳熠自然不會拒絕。
李丹走回講台，而目睹這一切的林峰則像見鬼了一樣看著吳熠：「你用放縮寫出了這道導數題？」
「嗯。」
「你英語一個月提升了四十多分？」
「嗯。」
「你等下還要上去講題？」
「嗯。」
「嗯什麼嗯，你到底還有什麼瞞著我？」
吳熠猶豫了會兒，認真地說：「我還要考浙大。」
「滾蛋！」林峰翻了個白眼。
浙大？
浙大城市學院還差不多！
這時候已經接近五月下旬，午後的教室比上午還要悶熱，天花板上吱呀吱呀轉的吊扇也無濟於事。
上課沒幾分鐘，中央空調「滴」的一聲，同學們神色一震。
「開空調了！」
「快開空調！」
「吳熠，把窗戶關了！」
講台上的李丹笑呵呵地看著忙碌的眾人，擦了把額頭上的汗，她也快熱得受不了了。
今天講三模的試卷，她只是寫了幾分鐘的板書就感覺後背的衣服都濕透了。
吳熠將後排的窗戶關上，回到位置上繼續刷數學五三。
五三是分單元進行排版的，前三個單元分別是集合與常用邏輯用語、不等式、函數的概念與初等函數，基本都是填空選擇題，所以寫得很快。
不過現在他進入了第四單元，一元函數的導數及其應用，難度直接陡增。
擺在他眼前的就是一道很麻煩的導數大題，題目給了一個含參函數，第一問求單調區間，第二問需要證明一個不等式恆成立。
第一問很常規，求個導、分個類就過了。
第二問有點意思了，標準思路是把不等式移項構造新函數，然後求導找最值。
但他沒有這樣做，因為他一眼就看出來構造出來的新函數分式結構太複雜，直接求導會出來一大坨。
現在他的右手很金貴，能少寫點步驟就少寫點。
除非沒有更好的思路，否則他不想用這種最原始、最繁瑣的方法。
能不能換個方向？
從代數的角度來看這是個最值問題，但他也可以從幾何的角度來考慮。
他把草稿紙翻到新的一頁，把原函數的圖像大致描了出來，曲線在x軸上下穿過。
他盯著那條曲線看了一會兒，忽然想到如果不用移項，而是用切線放縮呢？
他在草稿紙上重新列式，先找到原函數的拐點，再證明這個拐點處的切線恰好在目標直線的上方。
如果這個關係成立，不等式就能直接用函數的凹凸性證明，不需要構造那個複雜的分式函數。
筆尖在紙面上緩緩划過，一行一行往下推。
中間有一步需要判斷二階導的符號，他又繞回去做了個分類討論。
寫到第六行的時候，整個思路豁然開朗，所有條件剛好卡在臨界值上，不多不少，嚴絲合縫。
吳熠微微點頭，心中給出題人點了個贊：「這道題目的出題人有點水平。」
他把最後一行不等號寫完，擱下筆，盯著草稿紙上那一串推導看了好一會兒，心裡湧上來一種說不清的感覺。
就像拼一塊很難的拼圖，最後一片按下去的時候，那個「咔嗒」一聲讓人特別有成就感。
這是之前的英語比不了的，數學顯然比英語更具有挑戰性。
以前他學數學是硬著頭皮往腦子裡塞，公式是公式，題目是題目，兩個東西各是各的怎麼也搭不上橋。
現在他每做一道題，解題思路就在腦子裡自動歸檔，他真正理解了為什麼要這麼做。
那些散落的知識點自己串成了線，他每看到一道題，腦子裡會自動跳出好幾種可能的路徑，然後一條一條試過去，哪條路好走就走哪條。
這種感覺，有點上癮。
講台上的李丹基本上都在寫板書，偶爾會掃一眼同學們。
她早就注意到吳熠沒在聽課，不過這一回她心裡倒沒有什麼特別的感覺，吳熠三模的英語成績讓她徹底轉變了對吳熠的印象。
她相信一個能在短時間取得如此重大進步的學生一定有非常好的自學方法，這比單純聽課更重要。
下課鈴響的時候吳熠又寫出了一道大題，他活動了一下右手手腕，準備換左手抄一會兒生物知識點，餘光看到講台上李丹朝他這邊走了過來。
「吳熠。」
李丹站在他桌邊，目光落在他攤開的數學五三上，眉毛微微往上挑了一下：「在做五三？」
「嗯。」吳熠把筆放下。
李丹笑著說：「你這次英語進步這麼大，數學能不能也跟著提一提？不用英語那麼多，提個十幾二十分也行啊。」
吳熠點點頭：「我盡力。」
「五三是本不錯的資料，不過三模的試卷其實更有參考價值，」李丹的語氣不算嚴肅，更像是關心，「你卷子上的錯題都改了嗎？」
「改了。」
「拿來我看看。」
吳熠從那摞書里抽出三模數學卷子遞給她。
李丹接過來從頭到尾翻了一遍，選擇題和填空題旁邊都有訂正的痕跡，每道錯題都在旁邊寫了解題過程，看得出來很認真。
直到她翻到最後一道導數大題的時候，目光停住了。
這道題吳熠寫的步驟和參考答案不一樣，但是更簡潔。
李丹盯著那幾行推導看了好一會兒，然後抬頭看向吳熠，好奇道：「你最後一題的過程怎麼和參考答案不一樣？」
「這是我自己寫的，沒看參考答案。」
「什麼時候寫的？」
「考試完之後，」吳熠說，「我把這道題重新做了一遍。」
李丹又低頭看了一遍，設輔助函數不算稀奇，但吳熠這個輔助函數設得很巧。
他把原函數和一個線性函數做差，然後用二階導的符號判斷凹凸性，正好套上了題目給的那個不等式條件，幾步推導下來行雲流水，比參考答案的計算量小了很多。
雖然說只要能做出來就是好方法，但李丹心裡還是覺得吳熠的方法更勝一籌。
數學有五種經典美，分別是對稱美、簡潔美、統一美、奇異美和邏輯美。
顯然，吳熠的解法更美。
她抬頭重新看了看吳熠，眼神變得很欣賞：「你這個方法很好，你是怎麼想到的？」
吳熠沉吟片刻，回道：「因為一般導數大題的過程都很繁瑣，我覺得用幾何意義會更簡單，所以我就把不等式兩邊看成兩個函數，一個曲線一個直線，只要能證明曲線在直線上方就行，然後就想到了用凹凸性來放縮。」
「這個思路非常好，」李丹由衷地說，「特別是你選輔助函數這一步，正好卡在最關鍵的位置上，很厲害。」
她頓了頓，繼續說：「這樣吧，下節課你上去講一下這道題。雖然能聽懂的估計不多，但能給同學們開拓思維。」
吳熠自然不會拒絕。
李丹走回講台，而目睹這一切的林峰則像見鬼了一樣看著吳熠：「你用放縮寫出了這道導數題？」
「嗯。」
「你英語一個月提升了四十多分？」
「嗯。」
「你等下還要上去講題？」
「嗯。」
「嗯什麼嗯，你到底還有什麼瞞著我？」
吳熠猶豫了會兒，認真地說：「我還要考浙大。」
「滾蛋！」林峰翻了個白眼。
浙大？
浙大城市學院還差不多！