第五十章 ：服了沒？（三更求追讀月票~）
等到掌聲漸漸停歇下來，李慶國端著搪瓷杯從講台側面走上來，看了眼韓川，笑著誇讚了一句。
「講得不錯！」
說完，他轉身面對教室中數學分析研討班的學生：「剛剛韓川的報告裡，有沒有沒聽懂的同學，現在可以舉手提問了。」
話音落下，教室里瞬間舉起了五六隻手。
李慶國教授掃了眼，笑著看向韓川。那意思很明顯，交給你了。
韓川倒也沒在意，點點頭，直接挑了一個前排將手舉得老高的學生。
從髮型來看，這是個數學領域的強者！
這個還未畢業，就已然半禿的博士生師兄站起來，盯著黑板上的算式推了推鼻樑上的眼鏡開口問道：
「我想問一下，你在非自反空間的推廣中用對偶基分解時，隱式地假設了對偶空間是可分的。如果原空間本身不可分，對偶基的存在性如何保證？」
教室里安靜了一瞬。
這個問題很顯然比之前和Frenet標架相關的問題更刁鑽。
因為它直接戳中了論文最深層的技術難點，對偶基在不可分空間中的構造。
講台上，韓川沒有立刻回答。
他拾起黑板刷將身後幾乎寫滿了的黑板擦出來一部分乾淨的區域，然後落下了一行粉筆字。
「設X為Banach空間，X為其對偶空間。若X可分，則單位球B_{X}在拓撲下是緊度量空間。」
隨即，他轉身看向站起來的博士生，笑道：「師兄說得對，如果去掉可分性，對偶基的構造就會失效。這是整片論文中的核心難點之一。」
說著，他繼續在黑板上寫道：「但這個問題並非不可解決。」
【設{E_α}_{α∈I}為X的不可分閉子空間族，滿足∪E_α在X中稠密，且每個E_α可分。由Hahn-Banach定理，限制映射R_α: X→ E_α是滿射。】
【取π_α: E_α→ E_α為投影算子，定義φ_α=π_α∘ R_α。則族{φ_α}構成X上的一個「局部對偶框架」。】
【......那麼，在不可分Banach空間上，控制列框架的成立等價於存在一族可分閉子空間，其並稠密，且控制列在每個子空間上一致收斂！】
手中的粉筆落下最後一個符號，韓川轉身看向這位提問的博士學長，笑著開口道。
「懂了嗎？」
教室中，提問的博士生盯著黑板上的算式看了好一會，才緩緩點了點頭，坐了下去。
很快，在這位博士生坐下去後，教室中又一隻手臂舉了起來。
「非自反空間的推廣那一步，你用Banach-Steinhaus定理保證了範數一致有界性。但Banach-Steinhaus定理的前提是『逐點有界』。這個『逐點有界』的條件，你是怎麼從前面的假設里導出來的？」
韓川轉過身，拿起粉筆，在黑板上寫下了兩行推導。
「原函數列{fₙ}一致收斂，意味著對每個x∈E，{fₙ(x)}是一個收斂數列。收斂數列必有界，所以存在一個常數M_x，使得對所有n，|fₙ(x)|≤M_x。」
「用這個M_x構造對偶基的逐點有界性，再用Banach-Steinhaus導出範數一致有界。邏輯鏈條是：一致收斂→逐點有界→範數一致有界→控制列存在。」
「明白了嗎？」
.....
提問還在繼續。
一個接一個的問題被拋過來，韓川一個接一個地回答。
從Banach空間的自反性討論到控制列的構造唯一性，從Frenet標架的退化條件追問到狄利克雷判別法的邊界情形。
一堂課，將近五十分鐘的時間漸漸過去。
講台上，韓川的嗓子已經有些沙啞了，但眼睛卻很亮。
看了下時間後，李慶國教授端著搪瓷杯重新走上講台，目光掃了一圈台下的學生，語氣裡帶著不加掩飾的欣慰。
「怎麼樣，服了嗎？」
這話一出，教室中頓時響起一陣鬨笑聲。
「服了！」
「牛逼！」
有人在大喊『服了』，也有人在高喝『牛逼』，還有人從兜里掏出了手機，對準講台上的韓川和身後的黑板開始拍照。
李慶國環顧了一圈台下的學生，笑著開口道：「今天的討論班就到這裡，韓川同學的報告你們可以慢慢消化。」
「對了，他的論文預計下個月就會刊登在SIMA最新一期的刊文上，感興趣的同學可以下載看看。」
......
討論班散場後，學生們陸陸續續離開了教室。
教室中，那個第一個提問，穿格子衫的博士生走到講台前，朝韓川伸出了手。
「丁兆豐，李教授帶的博二。」
他推了推眼鏡：「導師昨天給我看了一下你那篇論文，比我博士開題報告的水準高很多！」
韓川笑著伸出手：「謝謝，我也只是機緣巧合下獲得的靈感而已。」
丁兆豐搖搖頭，語氣很是認真地說道：「數學從來都不講運氣，靈感是靈感，但是要將靈感轉變成論文解決實際問題只能靠本事。」
說著，他自嘲的笑了笑，補了一句：「我要是有你這本事，也不至於研究方向一直卡著了。」
韓川笑了笑，隨口問了一句：「丁師兄的博士研究方向是什麼？」
丁兆豐笑著道：「我的研究方向和導師的類似，數學分析和解析數論領域的東西。」
停頓了一下，他補充道：「準確地來說，是在做『維諾格拉多夫三素數定理中充分大下界的數值改進』。」
說到這，他搖了搖頭，嘆息道：「可惜的是，目前我還沒什麼進展。」
聽到這，韓川的目光微微動了一下。
對於這個研究方向，他再熟悉不過了。
維諾格拉多夫的三素數定理是弱·哥德巴赫猜想（任一大於5的奇數可表為三個素數之和）的「前身」。
但維諾格拉多夫只證明了對於「充分大」的奇數成立，而將這個『充分大』的具體界限算出來，是證明完整哥德巴赫猜想的必經之路。
目前來說，這個研究方向最前沿的成果還是2002年劉建亞與王天澤兩個華國數學家做出來的。
他們在一篇長達40多頁的論文中，通過精密的區間劃分、改進的指數和估計以及顯式的誤差項，首次在不依賴任何未證明猜想（如廣義黎曼猜想）的前提下，將常數降至e³¹⁰⁰大小。
相比此前由陳景潤和王天澤在1989年得到的e⁴³⁰⁰⁰來說，是一次數量級上的巨大飛躍。
而在另一個時空中，華羅庚老先生已經將這個問題解決了。
......
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說完，他轉身面對教室中數學分析研討班的學生：「剛剛韓川的報告裡，有沒有沒聽懂的同學，現在可以舉手提問了。」
話音落下，教室里瞬間舉起了五六隻手。
李慶國教授掃了眼，笑著看向韓川。那意思很明顯，交給你了。
韓川倒也沒在意，點點頭，直接挑了一個前排將手舉得老高的學生。
從髮型來看，這是個數學領域的強者！
這個還未畢業，就已然半禿的博士生師兄站起來，盯著黑板上的算式推了推鼻樑上的眼鏡開口問道：
「我想問一下，你在非自反空間的推廣中用對偶基分解時，隱式地假設了對偶空間是可分的。如果原空間本身不可分，對偶基的存在性如何保證？」
教室里安靜了一瞬。
這個問題很顯然比之前和Frenet標架相關的問題更刁鑽。
因為它直接戳中了論文最深層的技術難點，對偶基在不可分空間中的構造。
講台上，韓川沒有立刻回答。
他拾起黑板刷將身後幾乎寫滿了的黑板擦出來一部分乾淨的區域，然後落下了一行粉筆字。
「設X為Banach空間，X為其對偶空間。若X可分，則單位球B_{X}在拓撲下是緊度量空間。」
隨即，他轉身看向站起來的博士生，笑道：「師兄說得對，如果去掉可分性，對偶基的構造就會失效。這是整片論文中的核心難點之一。」
說著，他繼續在黑板上寫道：「但這個問題並非不可解決。」
【設{E_α}_{α∈I}為X的不可分閉子空間族，滿足∪E_α在X中稠密，且每個E_α可分。由Hahn-Banach定理，限制映射R_α: X→ E_α是滿射。】
【取π_α: E_α→ E_α為投影算子，定義φ_α=π_α∘ R_α。則族{φ_α}構成X上的一個「局部對偶框架」。】
【......那麼，在不可分Banach空間上，控制列框架的成立等價於存在一族可分閉子空間，其並稠密，且控制列在每個子空間上一致收斂！】
手中的粉筆落下最後一個符號，韓川轉身看向這位提問的博士學長，笑著開口道。
「懂了嗎？」
教室中，提問的博士生盯著黑板上的算式看了好一會，才緩緩點了點頭，坐了下去。
很快，在這位博士生坐下去後，教室中又一隻手臂舉了起來。
「非自反空間的推廣那一步，你用Banach-Steinhaus定理保證了範數一致有界性。但Banach-Steinhaus定理的前提是『逐點有界』。這個『逐點有界』的條件，你是怎麼從前面的假設里導出來的？」
韓川轉過身，拿起粉筆，在黑板上寫下了兩行推導。
「原函數列{fₙ}一致收斂，意味著對每個x∈E，{fₙ(x)}是一個收斂數列。收斂數列必有界，所以存在一個常數M_x，使得對所有n，|fₙ(x)|≤M_x。」
「用這個M_x構造對偶基的逐點有界性，再用Banach-Steinhaus導出範數一致有界。邏輯鏈條是：一致收斂→逐點有界→範數一致有界→控制列存在。」
「明白了嗎？」
.....
提問還在繼續。
一個接一個的問題被拋過來，韓川一個接一個地回答。
從Banach空間的自反性討論到控制列的構造唯一性，從Frenet標架的退化條件追問到狄利克雷判別法的邊界情形。
一堂課，將近五十分鐘的時間漸漸過去。
講台上，韓川的嗓子已經有些沙啞了，但眼睛卻很亮。
看了下時間後，李慶國教授端著搪瓷杯重新走上講台，目光掃了一圈台下的學生，語氣裡帶著不加掩飾的欣慰。
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這話一出，教室中頓時響起一陣鬨笑聲。
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討論班散場後，學生們陸陸續續離開了教室。
教室中，那個第一個提問，穿格子衫的博士生走到講台前，朝韓川伸出了手。
「丁兆豐，李教授帶的博二。」
他推了推眼鏡：「導師昨天給我看了一下你那篇論文，比我博士開題報告的水準高很多！」
韓川笑著伸出手：「謝謝，我也只是機緣巧合下獲得的靈感而已。」
丁兆豐搖搖頭，語氣很是認真地說道：「數學從來都不講運氣，靈感是靈感，但是要將靈感轉變成論文解決實際問題只能靠本事。」
說著，他自嘲的笑了笑，補了一句：「我要是有你這本事，也不至於研究方向一直卡著了。」
韓川笑了笑，隨口問了一句：「丁師兄的博士研究方向是什麼？」
丁兆豐笑著道：「我的研究方向和導師的類似，數學分析和解析數論領域的東西。」
停頓了一下，他補充道：「準確地來說，是在做『維諾格拉多夫三素數定理中充分大下界的數值改進』。」
說到這，他搖了搖頭，嘆息道：「可惜的是，目前我還沒什麼進展。」
聽到這，韓川的目光微微動了一下。
對於這個研究方向，他再熟悉不過了。
維諾格拉多夫的三素數定理是弱·哥德巴赫猜想（任一大於5的奇數可表為三個素數之和）的「前身」。
但維諾格拉多夫只證明了對於「充分大」的奇數成立，而將這個『充分大』的具體界限算出來，是證明完整哥德巴赫猜想的必經之路。
目前來說，這個研究方向最前沿的成果還是2002年劉建亞與王天澤兩個華國數學家做出來的。
他們在一篇長達40多頁的論文中，通過精密的區間劃分、改進的指數和估計以及顯式的誤差項，首次在不依賴任何未證明猜想（如廣義黎曼猜想）的前提下，將常數降至e³¹⁰⁰大小。
相比此前由陳景潤和王天澤在1989年得到的e⁴³⁰⁰⁰來說，是一次數量級上的巨大飛躍。
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