第七章 ：筆來！（二更求追讀）
「不是，你還沒走啊？」
看到依舊還坐在自己身邊的桑凱，韓川愣了一下，下意識地問道：「你又不補考，有必要這樣窩在這裡卷嗎？」
桑凱：「....」
什麼叫『還沒走啊？』
他從早上七點跟過來到現在，屁股就沒離開過這張椅子。韓川居然壓根沒注意到他還在？
嘴角抽了抽，他把手中的練習冊往這邊推了推，道：「我這裡有道題做不出來，你幫我看看？」
「喲？」
聞言，韓川挑了挑眉，調侃道：「大學霸也會問我這個學渣問題？」
桑凱「惱羞成怒」地反駁道：「就說你會不會吧。」
韓川伸出手，拿過練習冊，掃了眼上面的題目，有一道被畫了個圈。
「畫圈的這道？」
「嗯。」
「ok，我看看。」
低頭，韓川看向題目。
【設f(x)在[0，1]上二階可導，f(0)=f(1)=0，且當x∈(0，1)時，f″(x)≤0。證明：對於任意x∈(0，1)，有f(x)≥0。】
題干很短，就兩行。
但在數學分析的範疇里，越是題干精簡的證明題，內里的邏輯陷阱和推導難度往往越高。
韓川盯著題目看了一會，下意識地琢磨起來。
這道題在數學分析里屬於中值定理的應用題，但和普通的課後習題完全不是一個量級。
題面上給的條件是二階導數非正：也就是函數是「凹的」，兩端點值為零，要證明中間任意點的函數值非負。
如果是單純的憑直覺來看，他覺得這道題的證明是對的。
因為一個兩端落地、中間不會向上凸起的曲線，確實不可能跑到地底下去。
但直覺是直覺，數學論證講究嚴謹的邏輯推導，光靠直覺遠遠不夠，必須一步步推演，做到環環相扣、無懈可擊。
一旁的桑凱靠在椅背上，悄悄觀察著韓川的神情，心中思緒翻湧。
這道題的難度不小，是前兩年大學生數學競賽的一道證明大題。
他自己剛剛試著做了兩個小時，結果連解題的門都沒摸到。
當然，真要說，這道題在練習冊的最後其實是有答案的。
他也看了，但他問韓川的目的就是想看看這個宿友到底是個什麼水平。
當然，也有點較勁的意思。
畢竟在401宿舍中，所有人都知道韓川是數學保送生，是CMO省賽一等獎，差一點就近國決的天才。
但一學期以來，誰都沒見過他認真學習，誰都不知道現在這個天才到底是個什麼水平。
桑凱也想看看。
圖書館中，韓川不知道桑凱腦子裡這些彎彎繞。他只是盯著題目，腦子裡正在飛速地翻找相關的知識點。
假設存在某點函數值為負，然後利用導數條件推出矛盾.....不行，反證法行不通。
拉格朗日中值定理呢？
好像可以，但這需要處理兩個區間上的一階導數關係，還要引入二階導數來刻畫一階導數的單調性。因為f″≤0意味著f′單調遞減。
這有點太麻煩，有沒有更簡單的方法？
桑凱靠在椅背上，看著韓川皺眉的樣子，心裡的憋悶稍微散了一點，懸著的心也放鬆了不少，笑著開口道。
「不會就算了，沒事，我看看答案研究一下。」
看樣子上學期打了一學期的遊戲，這個室友的水平已經遠不如他了。
書桌前，韓川沒理會桑凱，思索了一會後，他忽然想到了什麼，快速地開口道。
「逼來！」
桑凱愣了一下，下意識地遞上了筆。
握著筆，韓川拉過稿紙，畫了一條凹函數的草圖。
【令x₀∈(0，1)為任意一點。因為f″(x)≤0，所以f′(x)在[0，1]上單調遞減。由拉格朗日中值定理，在(0，x₀)上存在ξ₁，使得f(x₀)−f(0)=f′(ξ₁)(x₀−0)，即f(x₀)=f′(ξ₁)x₀。】
【在(x₀，1)上存在ξ₂，使得f(1)−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)，即−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)。所以f(x₀)=−f′(ξ₂)(1−x₀)。】
【因為f′單調遞減，而ξ₁<x₀<ξ₂，所以f′(ξ₁)≥f′(x₀)≥f′(ξ₂)。】
【若f(x₀)<0，則f′(ξ₁)<0且f′(ξ₂)>0。由f′的單調遞減性，f′(ξ₁)≥f′(ξ₂)，即f′(ξ₁)−f′(ξ₂)≥0。但f′(ξ₁)<0，f′(ξ₂)>0，故f′(ξ₁)−f′(ξ₂)<0。矛盾。】
【因此假設不成立。故f(x₀)≥0！】
「搞定了！」
寫完最後一個符號，韓川把筆往桌上一放，將稿紙遞給了桑凱。
「搞...搞定？」
桑凱瞪大了雙眼，驚詫的下巴都快掉地上了。
他原以為對方會卡在這道競賽難題上，結果萬萬沒想到不過片刻思索，韓川就完整寫出了全部證明過程。
「嗯。」
韓川笑著點點頭，道：「這道題確實有點難度，不過用中值定理結合單調性還是比較容易解開的。」
聞言，桑凱嘴角抽了抽。
他拿起那兩張寫滿推導過程的稿紙，從頭到尾看了一遍，然後又看了一遍，皺著眉頭問道
「這一步反證法的矛盾構造，你是怎麼推導出來的？」
韓川湊過來，看了眼稿紙，開口道：「普通反證法是直接假設結論不成立，也就是假設存在某個點x₀讓f(x₀)<0，然後硬推矛盾。」
「但光有這個假設不夠，因為f(x₀)<0本身推不出太多東西。」
說著，他用筆在稿紙上點了點。
「所以不要盯著f(x₀)<0死磕，而是先用拉格朗日中值定理把f(x₀)表達成兩個不同的形式。一個用左邊的端點0，一個用右邊的端點1，這樣就可以得到兩個等式，f′(ξ₁)和f′(ξ₂)。」
桑凱盯著那兩個等式看了幾秒，瞳孔微微放大：「所以f′(ξ₁)必須是負的。因為x₀>0，f′(ξ₁)x₀要等於一個負數，那f′(ξ₁)只能是負的？」
「繽購！」
韓川打了個響指，笑道：「對！由此同理，−f′(ξ₂)(1−x₀)要等於一個負數，而(1−x₀)>0，所以−f′(ξ₂)必須是負的，也就是f′(ξ₂)必須是正的。」
聽完韓川的講解，桑凱盯著手中稿紙上的算式慢慢吐出一口氣。
「原來如此....」
話音未落，他似乎就想起了什麼，迅速拿過了一旁的訓練本，翻到了最後的答案頁。
「等會，你這個解法，好像和標準答案上的解法不一樣！」
看到依舊還坐在自己身邊的桑凱，韓川愣了一下，下意識地問道：「你又不補考，有必要這樣窩在這裡卷嗎？」
桑凱：「....」
什麼叫『還沒走啊？』
他從早上七點跟過來到現在，屁股就沒離開過這張椅子。韓川居然壓根沒注意到他還在？
嘴角抽了抽，他把手中的練習冊往這邊推了推，道：「我這裡有道題做不出來，你幫我看看？」
「喲？」
聞言，韓川挑了挑眉，調侃道：「大學霸也會問我這個學渣問題？」
桑凱「惱羞成怒」地反駁道：「就說你會不會吧。」
韓川伸出手，拿過練習冊，掃了眼上面的題目，有一道被畫了個圈。
「畫圈的這道？」
「嗯。」
「ok，我看看。」
低頭，韓川看向題目。
【設f(x)在[0，1]上二階可導，f(0)=f(1)=0，且當x∈(0，1)時，f″(x)≤0。證明：對於任意x∈(0，1)，有f(x)≥0。】
題干很短，就兩行。
但在數學分析的範疇里，越是題干精簡的證明題，內里的邏輯陷阱和推導難度往往越高。
韓川盯著題目看了一會，下意識地琢磨起來。
這道題在數學分析里屬於中值定理的應用題，但和普通的課後習題完全不是一個量級。
題面上給的條件是二階導數非正：也就是函數是「凹的」，兩端點值為零，要證明中間任意點的函數值非負。
如果是單純的憑直覺來看，他覺得這道題的證明是對的。
因為一個兩端落地、中間不會向上凸起的曲線，確實不可能跑到地底下去。
但直覺是直覺，數學論證講究嚴謹的邏輯推導，光靠直覺遠遠不夠，必須一步步推演，做到環環相扣、無懈可擊。
一旁的桑凱靠在椅背上，悄悄觀察著韓川的神情，心中思緒翻湧。
這道題的難度不小，是前兩年大學生數學競賽的一道證明大題。
他自己剛剛試著做了兩個小時，結果連解題的門都沒摸到。
當然，真要說，這道題在練習冊的最後其實是有答案的。
他也看了，但他問韓川的目的就是想看看這個宿友到底是個什麼水平。
當然，也有點較勁的意思。
畢竟在401宿舍中，所有人都知道韓川是數學保送生，是CMO省賽一等獎，差一點就近國決的天才。
但一學期以來，誰都沒見過他認真學習，誰都不知道現在這個天才到底是個什麼水平。
桑凱也想看看。
圖書館中，韓川不知道桑凱腦子裡這些彎彎繞。他只是盯著題目，腦子裡正在飛速地翻找相關的知識點。
假設存在某點函數值為負，然後利用導數條件推出矛盾.....不行，反證法行不通。
拉格朗日中值定理呢？
好像可以，但這需要處理兩個區間上的一階導數關係，還要引入二階導數來刻畫一階導數的單調性。因為f″≤0意味著f′單調遞減。
這有點太麻煩，有沒有更簡單的方法？
桑凱靠在椅背上，看著韓川皺眉的樣子，心裡的憋悶稍微散了一點，懸著的心也放鬆了不少，笑著開口道。
「不會就算了，沒事，我看看答案研究一下。」
看樣子上學期打了一學期的遊戲，這個室友的水平已經遠不如他了。
書桌前，韓川沒理會桑凱，思索了一會後，他忽然想到了什麼，快速地開口道。
「逼來！」
桑凱愣了一下，下意識地遞上了筆。
握著筆，韓川拉過稿紙，畫了一條凹函數的草圖。
【令x₀∈(0，1)為任意一點。因為f″(x)≤0，所以f′(x)在[0，1]上單調遞減。由拉格朗日中值定理，在(0，x₀)上存在ξ₁，使得f(x₀)−f(0)=f′(ξ₁)(x₀−0)，即f(x₀)=f′(ξ₁)x₀。】
【在(x₀，1)上存在ξ₂，使得f(1)−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)，即−f(x₀)=f′(ξ₂)(1−x₀)。所以f(x₀)=−f′(ξ₂)(1−x₀)。】
【因為f′單調遞減，而ξ₁<x₀<ξ₂，所以f′(ξ₁)≥f′(x₀)≥f′(ξ₂)。】
【若f(x₀)<0，則f′(ξ₁)<0且f′(ξ₂)>0。由f′的單調遞減性，f′(ξ₁)≥f′(ξ₂)，即f′(ξ₁)−f′(ξ₂)≥0。但f′(ξ₁)<0，f′(ξ₂)>0，故f′(ξ₁)−f′(ξ₂)<0。矛盾。】
【因此假設不成立。故f(x₀)≥0！】
「搞定了！」
寫完最後一個符號，韓川把筆往桌上一放，將稿紙遞給了桑凱。
「搞...搞定？」
桑凱瞪大了雙眼，驚詫的下巴都快掉地上了。
他原以為對方會卡在這道競賽難題上，結果萬萬沒想到不過片刻思索，韓川就完整寫出了全部證明過程。
「嗯。」
韓川笑著點點頭，道：「這道題確實有點難度，不過用中值定理結合單調性還是比較容易解開的。」
聞言，桑凱嘴角抽了抽。
他拿起那兩張寫滿推導過程的稿紙，從頭到尾看了一遍，然後又看了一遍，皺著眉頭問道
「這一步反證法的矛盾構造，你是怎麼推導出來的？」
韓川湊過來，看了眼稿紙，開口道：「普通反證法是直接假設結論不成立，也就是假設存在某個點x₀讓f(x₀)<0，然後硬推矛盾。」
「但光有這個假設不夠，因為f(x₀)<0本身推不出太多東西。」
說著，他用筆在稿紙上點了點。
「所以不要盯著f(x₀)<0死磕，而是先用拉格朗日中值定理把f(x₀)表達成兩個不同的形式。一個用左邊的端點0，一個用右邊的端點1，這樣就可以得到兩個等式，f′(ξ₁)和f′(ξ₂)。」
桑凱盯著那兩個等式看了幾秒，瞳孔微微放大：「所以f′(ξ₁)必須是負的。因為x₀>0，f′(ξ₁)x₀要等於一個負數，那f′(ξ₁)只能是負的？」
「繽購！」
韓川打了個響指，笑道：「對！由此同理，−f′(ξ₂)(1−x₀)要等於一個負數，而(1−x₀)>0，所以−f′(ξ₂)必須是負的，也就是f′(ξ₂)必須是正的。」
聽完韓川的講解，桑凱盯著手中稿紙上的算式慢慢吐出一口氣。
「原來如此....」
話音未落，他似乎就想起了什麼，迅速拿過了一旁的訓練本，翻到了最後的答案頁。
「等會，你這個解法，好像和標準答案上的解法不一樣！」