第55章 初稿出爐
當然了，去證明完整的、全局的經典N-S方程，齊物還辦不到。
但是，面對老媽的煎餅糊糊，他的腦中生出了一個選題：
N-S方程的一個子項：
【在非牛頓流體（剪切增稠）邊界條件下，三維廣義N-S方程的局部正則性與爆破準則。】
廣義N-S+非牛頓邊界的局部正則性。
用來衝擊丘獎完全可以！
明確了靶點，
齊物立刻回想起了目前學術界對於這個子項的一些困惑。
傳統的分析數學家（如陶哲軒）在處理N-S方程時，通常使用傅立葉分析、能量不等式和調和分析。
但是他們都卡在了一個瓶頸：
能量不等式∫|▽u|²無法有效控制方程中那個極度狂暴的非線性對流項(u·▽)u。
一旦流體發生剪切增稠，傳統的分析方法就會失效，奇點就會幽靈般出現。
「誰規定的流體力學只能用分析的方法去解？」
齊物思維發散，忽然覺得【代數幾何】未嘗不可！
在偏微分方程中，解趨於無窮大被稱為「爆破」（Blow-up）。
在代數幾何中，也存在一個詞叫做「拉伸變換」（Blowing-up），它是廣中平佑獲得菲爾茲獎時，提出的奇點消除定理中的核心手段：
即通過在幾何奇點處插入一個高維的「例外除子」，
將糾結在一起的奇點在更高維度的空間裡吹大、拉平，從而變得光滑。
「把偏微分方程里發生的分析奇點，同胚映射到一個高維的代數簇上，把它變成一個幾何奇點！
然後用代數幾何里的blowing-up，去磨平PDE里的Blow-up！」
邏輯完美閉環……
從PDE跨越到代數幾何，這絕對可以剖開N-S方程的局部正則性……
只是短短的兩分鐘，齊物的腦海中宛如經歷了一場風暴。
「小物，幹啥呢？」
魏淑華見兒子拿著他的勺子，時而快時而慢地攪動糊糊，自己鏊子都燒的冒煙了，必須得上糊糊了。
「哦，愛你老媽！」
齊物開心地跳起來，把勺子遞給魏淑華，「我要去研究數學了，晚飯你和爸先吃！」
說完，齊物風一樣衝進了自己的臥室。
在一旁掰蒜種的齊峰和魏淑華對視一眼，兒子現在是真愛學習啊。
房間內。
齊物將六十多張卷子直接扔在地上，然後掏出一疊從老周那裡順來的空白A4紙，拿出簽字筆，在第一頁的正上方，鄭重其事地寫下了參加丘獎的數學論文題目：
《基於代數幾何奇點消除的廣義Navier-Stokes方程局部正則性初探——以非牛頓流體邊界條件為例》
然後他開始了沒日沒夜的研究。
第一天。
構建廣義N-S方程與拓撲映射。
齊物在紙上寫下經典的三維不可壓縮N-S方程，隨後，他果斷將其中那個帶邊常數動力黏度的μ劃掉，引入了非牛頓流體的本構方程，將其替換成一個依賴於應變率張量第二不變量的非線性函數μ(|γ|)。
這好比一輛原本平穩行駛的汽車，
安裝上了一個隨時會暴走的火箭推進器。
方程的非線性耦合程度會瞬間呈指數級飆升。
然後，他並沒有使用傳統的傅立葉變換，而是構造了一個從流體所在的歐幾里得空間R³×［0，T）到高維復射影空間P^n的平滑流形映射。
這是將流體的速度場u(x，t)勢函數，大膽地定義為一個代數簇上的截面。
第二天、第三天。
追蹤爆破點。
經過一天的運算，草稿紙已經鋪滿了整個書桌，地板上也撒得到處都是。
齊物雙眼布滿血絲，頭髮凌亂，神情亢奮。
「爆破點……Blowing-up……在哪裡……」
他喃喃自語著，通過極其複雜的張量驗算，他已經發現，在極高的剪切率下，偏微分方程的解在有限時間內逼近無窮大的那個瞬間（即動能爆破點），在代數幾何的映射域中，恰好完美地對應著一個非既約的理想層所生成的代數奇點！
「找到了，就是你！」
齊物看著紙上單邊奇點的符號，發出癲狂的大笑。
第四天。
雙重爆破，奇點消除。
這是整篇論文的核心創新點所在。
用的是純粹的幾何進行暴力拆解。
面對這個導致流體力學崩潰的奇點，齊物發散思維，對那個包含了奇點的奇異子簇進行了一系列的拉回操作（Pull-back）。
他精妙地構造了一個拉伸變換映射(Blow-up)：
π：X~→X
他就像一個幾何世界的外科醫生，在奇點處強行插入了一個「例外除子」。
原本在三維空間糾纏成一團、導致能量密度無限大、即將引發湍流崩潰的幾何結構，被他強行在高維空間裡撐開了。
在新的平滑流形X~上，非線性黏度帶來的奇異性，被例外除子的幾何代數性質完美吸收並抵消。
第五天。
收網與正則性證明。
有了光滑的高維流形作支撐，齊物順水推舟，利用索伯列夫空間的嵌入定理，嚴密地證明了：在特定的剪切增稠邊界條件下，經過幾何拉伸後的速度場，依然保持著勒貝格空間L^p中的局部平滑。
也就是說，在局部範圍內，N-S方程的解是存在的，且不會爆破！
……
五天內，齊物除了吃喝拉撒，沒有踏出過臥室一步。
他切斷了與外界的聯繫，極致專注全力運轉，進入了絕對的心流狀態。
有時候甚至忘了吃飯。
魏淑華每天按時送飯進去，卻發現兒子一口都沒吃。
兒子一直在紙上寫寫畫畫，像是一個——
額，像瘋子。
魏淑華和齊峰也不敢打擾兒子，他們覺得兒子似乎在干某件大事。
第五天深夜，凌晨三點半。
「呼！」
原本嶄新的簽字筆已經耗盡了所有的墨水，齊物重重靠在椅背上，長長吐出一口濁氣。
他的面前，是幾十張寫滿了符號的A4紙。
推導結束了。
他揉了揉酸痛的脖頸和布滿紅血絲的眼睛，抽出幾張空白A4紙，將論文整理了一下。
丘獎的論文必須用LaTex編輯。
他還不太會用。
先把初稿手寫下來，然後讓鵬叔給初審一下。
《基於代數幾何奇點消除的廣義Navier-Stokes方程局部正則性初探——以非牛頓流體邊界條件為例》
蘭蒼二中齊物
Abstract (摘要)
1. Introduction (引言)
2. Cross-disciplinary Framework (跨學科數學框架的幾何重構)
3. Identification of the Blow-up Ideal Sheaf (爆破理想層的幾何判定)
4. Resolution of Singularities via Blow-up (基於拉伸變換的奇點消除——核心創新)
5. Proof of Local Regularity (局部正則性的嚴格證明與 Sobolev嵌入)
6. Conclusion & Physical Significance (結論與物理學意義展望)
「搞定了。」
齊物拍了幾張照片，用微信發給了鵬叔。
然後就一頭栽進了柔軟的床上，呼呼大睡。
但是，面對老媽的煎餅糊糊，他的腦中生出了一個選題：
N-S方程的一個子項：
【在非牛頓流體（剪切增稠）邊界條件下，三維廣義N-S方程的局部正則性與爆破準則。】
廣義N-S+非牛頓邊界的局部正則性。
用來衝擊丘獎完全可以！
明確了靶點，
齊物立刻回想起了目前學術界對於這個子項的一些困惑。
傳統的分析數學家（如陶哲軒）在處理N-S方程時，通常使用傅立葉分析、能量不等式和調和分析。
但是他們都卡在了一個瓶頸：
能量不等式∫|▽u|²無法有效控制方程中那個極度狂暴的非線性對流項(u·▽)u。
一旦流體發生剪切增稠，傳統的分析方法就會失效，奇點就會幽靈般出現。
「誰規定的流體力學只能用分析的方法去解？」
齊物思維發散，忽然覺得【代數幾何】未嘗不可！
在偏微分方程中，解趨於無窮大被稱為「爆破」（Blow-up）。
在代數幾何中，也存在一個詞叫做「拉伸變換」（Blowing-up），它是廣中平佑獲得菲爾茲獎時，提出的奇點消除定理中的核心手段：
即通過在幾何奇點處插入一個高維的「例外除子」，
將糾結在一起的奇點在更高維度的空間裡吹大、拉平，從而變得光滑。
「把偏微分方程里發生的分析奇點，同胚映射到一個高維的代數簇上，把它變成一個幾何奇點！
然後用代數幾何里的blowing-up，去磨平PDE里的Blow-up！」
邏輯完美閉環……
從PDE跨越到代數幾何，這絕對可以剖開N-S方程的局部正則性……
只是短短的兩分鐘，齊物的腦海中宛如經歷了一場風暴。
「小物，幹啥呢？」
魏淑華見兒子拿著他的勺子，時而快時而慢地攪動糊糊，自己鏊子都燒的冒煙了，必須得上糊糊了。
「哦，愛你老媽！」
齊物開心地跳起來，把勺子遞給魏淑華，「我要去研究數學了，晚飯你和爸先吃！」
說完，齊物風一樣衝進了自己的臥室。
在一旁掰蒜種的齊峰和魏淑華對視一眼，兒子現在是真愛學習啊。
房間內。
齊物將六十多張卷子直接扔在地上，然後掏出一疊從老周那裡順來的空白A4紙，拿出簽字筆，在第一頁的正上方，鄭重其事地寫下了參加丘獎的數學論文題目：
《基於代數幾何奇點消除的廣義Navier-Stokes方程局部正則性初探——以非牛頓流體邊界條件為例》
然後他開始了沒日沒夜的研究。
第一天。
構建廣義N-S方程與拓撲映射。
齊物在紙上寫下經典的三維不可壓縮N-S方程，隨後，他果斷將其中那個帶邊常數動力黏度的μ劃掉，引入了非牛頓流體的本構方程，將其替換成一個依賴於應變率張量第二不變量的非線性函數μ(|γ|)。
這好比一輛原本平穩行駛的汽車，
安裝上了一個隨時會暴走的火箭推進器。
方程的非線性耦合程度會瞬間呈指數級飆升。
然後，他並沒有使用傳統的傅立葉變換，而是構造了一個從流體所在的歐幾里得空間R³×［0，T）到高維復射影空間P^n的平滑流形映射。
這是將流體的速度場u(x，t)勢函數，大膽地定義為一個代數簇上的截面。
第二天、第三天。
追蹤爆破點。
經過一天的運算，草稿紙已經鋪滿了整個書桌，地板上也撒得到處都是。
齊物雙眼布滿血絲，頭髮凌亂，神情亢奮。
「爆破點……Blowing-up……在哪裡……」
他喃喃自語著，通過極其複雜的張量驗算，他已經發現，在極高的剪切率下，偏微分方程的解在有限時間內逼近無窮大的那個瞬間（即動能爆破點），在代數幾何的映射域中，恰好完美地對應著一個非既約的理想層所生成的代數奇點！
「找到了，就是你！」
齊物看著紙上單邊奇點的符號，發出癲狂的大笑。
第四天。
雙重爆破，奇點消除。
這是整篇論文的核心創新點所在。
用的是純粹的幾何進行暴力拆解。
面對這個導致流體力學崩潰的奇點，齊物發散思維，對那個包含了奇點的奇異子簇進行了一系列的拉回操作（Pull-back）。
他精妙地構造了一個拉伸變換映射(Blow-up)：
π：X~→X
他就像一個幾何世界的外科醫生，在奇點處強行插入了一個「例外除子」。
原本在三維空間糾纏成一團、導致能量密度無限大、即將引發湍流崩潰的幾何結構，被他強行在高維空間裡撐開了。
在新的平滑流形X~上，非線性黏度帶來的奇異性，被例外除子的幾何代數性質完美吸收並抵消。
第五天。
收網與正則性證明。
有了光滑的高維流形作支撐，齊物順水推舟，利用索伯列夫空間的嵌入定理，嚴密地證明了：在特定的剪切增稠邊界條件下，經過幾何拉伸後的速度場，依然保持著勒貝格空間L^p中的局部平滑。
也就是說，在局部範圍內，N-S方程的解是存在的，且不會爆破！
……
五天內，齊物除了吃喝拉撒，沒有踏出過臥室一步。
他切斷了與外界的聯繫，極致專注全力運轉，進入了絕對的心流狀態。
有時候甚至忘了吃飯。
魏淑華每天按時送飯進去，卻發現兒子一口都沒吃。
兒子一直在紙上寫寫畫畫，像是一個——
額，像瘋子。
魏淑華和齊峰也不敢打擾兒子，他們覺得兒子似乎在干某件大事。
第五天深夜，凌晨三點半。
「呼！」
原本嶄新的簽字筆已經耗盡了所有的墨水，齊物重重靠在椅背上，長長吐出一口濁氣。
他的面前，是幾十張寫滿了符號的A4紙。
推導結束了。
他揉了揉酸痛的脖頸和布滿紅血絲的眼睛，抽出幾張空白A4紙，將論文整理了一下。
丘獎的論文必須用LaTex編輯。
他還不太會用。
先把初稿手寫下來，然後讓鵬叔給初審一下。
《基於代數幾何奇點消除的廣義Navier-Stokes方程局部正則性初探——以非牛頓流體邊界條件為例》
蘭蒼二中齊物
Abstract (摘要)
1. Introduction (引言)
2. Cross-disciplinary Framework (跨學科數學框架的幾何重構)
3. Identification of the Blow-up Ideal Sheaf (爆破理想層的幾何判定)
4. Resolution of Singularities via Blow-up (基於拉伸變換的奇點消除——核心創新)
5. Proof of Local Regularity (局部正則性的嚴格證明與 Sobolev嵌入)
6. Conclusion & Physical Significance (結論與物理學意義展望)
「搞定了。」
齊物拍了幾張照片，用微信發給了鵬叔。
然後就一頭栽進了柔軟的床上，呼呼大睡。