第24章 微積分創立元年
17世紀的英國，一如既往地陰冷潮濕。
齊物醒來時，發現自己正躺在一個雜亂無章的書房裡。
1666年的伍爾索普莊園裡，暴風雪正在肆虐。
他看到，昏黃的燈光下，牛頓正趴在一張巨大的橡木桌前，頭髮亂得像個鳥窩，雙眼熬得通紅。
他的腳邊，散落著一地的、畫滿圖形的草稿紙。
「該死的歐幾里得，欺騙了我們！靜態的幾何是死的……宇宙是活的……」
牛頓嘴裡念念有詞地像個神經病。
「艾薩克。」
齊物起身走上前，隨手撿起地上一張畫著內接多邊形的圖紙，「都17世紀了，怎麼還能用古希臘時代的窮竭法，研究連續變化的宇宙呢？
這無異於用石斧雕刻鑽石。」
「齊，噢，天吶，我的朋友，你終於來了！」
牛頓猛地跳起來，狠狠擁抱齊物，「你上次在蘋果樹下告訴我的引力模型太完美了！
但是我證明不了！
我沒辦法計算一個連續變化曲線上的瞬時變化率，你懂嗎？
瞬時！
我也沒辦法把無限個無限小的量求和。」
齊物拍了拍牛頓的肩膀，撿起一張乾淨的紙，拿起鵝毛筆，笑道：「艾薩克，你需要一種全新的工具，一種能計算『連續變化』的數學工具！
既然傳統的歐幾里得幾何走不通，我們就拋棄靜態，引入時間和流動的概念。」
牛頓陷入思考。
齊物在紙上畫了一條平滑的曲線。
「把變量看作是隨時間流動的量。你可以叫他流變量，比如x、y，而他們流動的速度，或者說變化率，你可以叫它流數。可以用x˙、y˙表示。」（注1）
牛頓眼睛陡然睜大，他的數學直覺在這一刻充分爆發，只需要齊物稍微點撥，他就明白了大概：「流動的量……變化率！對，這才是符合宇宙規則的，宇宙中的一切都在流動！」
「艾薩克，你說得對。」
「假設有一個極小極小的時間增量，我們叫它O。」
齊物繼續在曲線上取了兩個緊鄰的點，「在這段無限小的時間O里，變量x變成了x+x˙O，變量y變成了y+y˙O。」
然後他在紙上寫了一個公式：
y=x^n。
「把增量代入，展開它，艾薩克。」
牛頓搶過鵝毛筆，迫不及待地開始推導：
y+y˙O=(x+x˙O)^n
利用二項式展開，可得
y+y˙O=x^n+nx^n-1(x˙O)+n(n-1)x^n-2(x˙O)²/2+……
因為y=x^n，兩邊消去，接下來兩邊同時除以極小時間O，可得
y˙=nx^n-1x˙+n(n-1)x^n-2(x˙)²O/2+……
「因為O是個無限趨於零的無窮小量，所以所有含有O的項，都可以近似地為零，直接抹去！」
牛頓興奮地喊道，「所以我們可以得到……」
y˙/x˙=nx^n-1
這是足以改變人類文明進程的公式。
「這就是瞬時變化率，曲線的切線斜率。」
牛頓手舞足蹈地仰天長嘯，「這樣的話，我就不用畫幾萬個三角形了，只需要這一個代數規則，就能瞬間求出任何曲線的瞬時速度！
親愛的齊，你簡直是太棒了！」
「開心得太早了，艾薩克。」
齊物道，「這只是一半哦。」
他拿起鵝毛筆，在紙的反面畫了一個坐標系以及一條曲線下面的陰影面積。
「你剛才找到了求解瞬時變化率的方法，也就是微分，但是你還面臨另一個問題：怎麼把無限小的量加起來求和？我們可以稱之為積分。」
牛頓停下慶祝，喃喃道：「切線是求變化率，面積是求積累量，這是兩個完全相反的運算呢。」
「看似相反，但是——」
齊物在切線和面積之間畫了一個雙向箭頭，「從另一個角度來看，求面積，不就是求切線的逆運算嗎？」
一道閃電劈入腦海。
「上帝啊……」
牛頓癱坐在藤椅上，在此刻他完成了人類歷史上最偉大的【頓悟】。
「求變化率和求累積量，是互逆的？也就是說，只要我求出一個函數的反導數，我就能不費吹灰之力地計算出任何不規則圖形的面積！」
「天吶！齊，你的數學天賦簡直讓人嘆為觀止！這個數學工具我命名為流數術，我覺得這是解開宇宙運轉規律的鑰匙！」
「有了它，別說是蘋果，就算是彗星的軌道，我也能算得清清楚楚！」
牛頓癲狂的模樣開始扭曲淡化、逐步消散。
叮！
齊物的腦海中響起清脆的提示音。
【你指導牛頓創立了流數術（微積分），賦予了人類解析連續運動的數學工具，完成了科學史的史詩級跨越式發展。】
【你獲得艾薩卡牛頓的智慧饋贈】
【微積分本源探析+3：您的微積分與分析學知識體系水平達到3級（教授級），不僅精通現代微積分，更能洞悉實分析、複分析與泛函分析的底層同源架構。】
【盲盒碎片（進度2/7）。】
齊物緩緩睜開眼睛，發現外界的時間剛過去一節課。
他感受著大腦里湧入的磅礴分析學知識。
「牛爵爺的羊毛果然豐厚。」
就是不知道這個盲盒最後能開出什麼呢？
現在他的代數幾何微積分都到了3級，可以說，在蘭蒼縣可以橫著走了。
「齊物！」
就在這時，講台上響起喊聲。
齊物抬起頭，看清楚老師後，暗暗咂舌，完蛋了——
是語文課。
「一節課四十分鐘，你睡了三十五分鐘了，總算是醒了。」
高三七班的語文老師是個五十歲的小老太王甜甜，同學們稱之為王姐。
「這次摸底考你數理進步很大，但是語文也不能落下啊！」
王姐諄諄教導，「高考是3+3，木桶效應！拿出你學數學的那個勁，提提語文的分行不行啊。」
「如果你語文提30分，英語提30分，你算算這是多少分了？」
「672分！你能上985！」
王姐走下講台，越看齊物越覺得可惜，怎麼能這麼偏科呢？
「拿出你的摸底考試卷，看看這道古詩詞鑑賞，蘇軾的《定風波》！
題目問詞人雨中獨行體現了怎樣的人生態度，這題難嗎？妥妥的基礎送分題！」
王姐拿起齊物的卷子看了看，「嘖嘖嘖，齊物啊齊物，你那聰明的小腦袋能記住那麼複雜的公式，怎麼就記不住得分點呢？」
「我說過是多少次了？看見蘇軾你就寫豁達樂觀、寵辱不驚，你看看你寫的啥？」
「蘇軾淋雨不躲，純屬故意裝酷耍帥，喜歡凹人設？」
「還有張偉，你居然能解讀成蘇軾心情不好，故意淋雨發泄情緒，跟現代人淋雨emo一模一樣？」
「我真要被你們氣死了！」
齊物很頭疼。
面對閱讀理解，他這沒辦法，他覺得這玩意純屬臆測。
不像數學，1就是1，永遠變不成0。
————
注1：這是歷史上牛頓最初創立微積分時使用的流數術記號，不同於萊布尼茨的dx/dy。
齊物醒來時，發現自己正躺在一個雜亂無章的書房裡。
1666年的伍爾索普莊園裡，暴風雪正在肆虐。
他看到，昏黃的燈光下，牛頓正趴在一張巨大的橡木桌前，頭髮亂得像個鳥窩，雙眼熬得通紅。
他的腳邊，散落著一地的、畫滿圖形的草稿紙。
「該死的歐幾里得，欺騙了我們！靜態的幾何是死的……宇宙是活的……」
牛頓嘴裡念念有詞地像個神經病。
「艾薩克。」
齊物起身走上前，隨手撿起地上一張畫著內接多邊形的圖紙，「都17世紀了，怎麼還能用古希臘時代的窮竭法，研究連續變化的宇宙呢？
這無異於用石斧雕刻鑽石。」
「齊，噢，天吶，我的朋友，你終於來了！」
牛頓猛地跳起來，狠狠擁抱齊物，「你上次在蘋果樹下告訴我的引力模型太完美了！
但是我證明不了！
我沒辦法計算一個連續變化曲線上的瞬時變化率，你懂嗎？
瞬時！
我也沒辦法把無限個無限小的量求和。」
齊物拍了拍牛頓的肩膀，撿起一張乾淨的紙，拿起鵝毛筆，笑道：「艾薩克，你需要一種全新的工具，一種能計算『連續變化』的數學工具！
既然傳統的歐幾里得幾何走不通，我們就拋棄靜態，引入時間和流動的概念。」
牛頓陷入思考。
齊物在紙上畫了一條平滑的曲線。
「把變量看作是隨時間流動的量。你可以叫他流變量，比如x、y，而他們流動的速度，或者說變化率，你可以叫它流數。可以用x˙、y˙表示。」（注1）
牛頓眼睛陡然睜大，他的數學直覺在這一刻充分爆發，只需要齊物稍微點撥，他就明白了大概：「流動的量……變化率！對，這才是符合宇宙規則的，宇宙中的一切都在流動！」
「艾薩克，你說得對。」
「假設有一個極小極小的時間增量，我們叫它O。」
齊物繼續在曲線上取了兩個緊鄰的點，「在這段無限小的時間O里，變量x變成了x+x˙O，變量y變成了y+y˙O。」
然後他在紙上寫了一個公式：
y=x^n。
「把增量代入，展開它，艾薩克。」
牛頓搶過鵝毛筆，迫不及待地開始推導：
y+y˙O=(x+x˙O)^n
利用二項式展開，可得
y+y˙O=x^n+nx^n-1(x˙O)+n(n-1)x^n-2(x˙O)²/2+……
因為y=x^n，兩邊消去，接下來兩邊同時除以極小時間O，可得
y˙=nx^n-1x˙+n(n-1)x^n-2(x˙)²O/2+……
「因為O是個無限趨於零的無窮小量，所以所有含有O的項，都可以近似地為零，直接抹去！」
牛頓興奮地喊道，「所以我們可以得到……」
y˙/x˙=nx^n-1
這是足以改變人類文明進程的公式。
「這就是瞬時變化率，曲線的切線斜率。」
牛頓手舞足蹈地仰天長嘯，「這樣的話，我就不用畫幾萬個三角形了，只需要這一個代數規則，就能瞬間求出任何曲線的瞬時速度！
親愛的齊，你簡直是太棒了！」
「開心得太早了，艾薩克。」
齊物道，「這只是一半哦。」
他拿起鵝毛筆，在紙的反面畫了一個坐標系以及一條曲線下面的陰影面積。
「你剛才找到了求解瞬時變化率的方法，也就是微分，但是你還面臨另一個問題：怎麼把無限小的量加起來求和？我們可以稱之為積分。」
牛頓停下慶祝，喃喃道：「切線是求變化率，面積是求積累量，這是兩個完全相反的運算呢。」
「看似相反，但是——」
齊物在切線和面積之間畫了一個雙向箭頭，「從另一個角度來看，求面積，不就是求切線的逆運算嗎？」
一道閃電劈入腦海。
「上帝啊……」
牛頓癱坐在藤椅上，在此刻他完成了人類歷史上最偉大的【頓悟】。
「求變化率和求累積量，是互逆的？也就是說，只要我求出一個函數的反導數，我就能不費吹灰之力地計算出任何不規則圖形的面積！」
「天吶！齊，你的數學天賦簡直讓人嘆為觀止！這個數學工具我命名為流數術，我覺得這是解開宇宙運轉規律的鑰匙！」
「有了它，別說是蘋果，就算是彗星的軌道，我也能算得清清楚楚！」
牛頓癲狂的模樣開始扭曲淡化、逐步消散。
叮！
齊物的腦海中響起清脆的提示音。
【你指導牛頓創立了流數術（微積分），賦予了人類解析連續運動的數學工具，完成了科學史的史詩級跨越式發展。】
【你獲得艾薩卡牛頓的智慧饋贈】
【微積分本源探析+3：您的微積分與分析學知識體系水平達到3級（教授級），不僅精通現代微積分，更能洞悉實分析、複分析與泛函分析的底層同源架構。】
【盲盒碎片（進度2/7）。】
齊物緩緩睜開眼睛，發現外界的時間剛過去一節課。
他感受著大腦里湧入的磅礴分析學知識。
「牛爵爺的羊毛果然豐厚。」
就是不知道這個盲盒最後能開出什麼呢？
現在他的代數幾何微積分都到了3級，可以說，在蘭蒼縣可以橫著走了。
「齊物！」
就在這時，講台上響起喊聲。
齊物抬起頭，看清楚老師後，暗暗咂舌，完蛋了——
是語文課。
「一節課四十分鐘，你睡了三十五分鐘了，總算是醒了。」
高三七班的語文老師是個五十歲的小老太王甜甜，同學們稱之為王姐。
「這次摸底考你數理進步很大，但是語文也不能落下啊！」
王姐諄諄教導，「高考是3+3，木桶效應！拿出你學數學的那個勁，提提語文的分行不行啊。」
「如果你語文提30分，英語提30分，你算算這是多少分了？」
「672分！你能上985！」
王姐走下講台，越看齊物越覺得可惜，怎麼能這麼偏科呢？
「拿出你的摸底考試卷，看看這道古詩詞鑑賞，蘇軾的《定風波》！
題目問詞人雨中獨行體現了怎樣的人生態度，這題難嗎？妥妥的基礎送分題！」
王姐拿起齊物的卷子看了看，「嘖嘖嘖，齊物啊齊物，你那聰明的小腦袋能記住那麼複雜的公式，怎麼就記不住得分點呢？」
「我說過是多少次了？看見蘇軾你就寫豁達樂觀、寵辱不驚，你看看你寫的啥？」
「蘇軾淋雨不躲，純屬故意裝酷耍帥，喜歡凹人設？」
「還有張偉，你居然能解讀成蘇軾心情不好，故意淋雨發泄情緒，跟現代人淋雨emo一模一樣？」
「我真要被你們氣死了！」
齊物很頭疼。
面對閱讀理解，他這沒辦法，他覺得這玩意純屬臆測。
不像數學，1就是1，永遠變不成0。
————
注1：這是歷史上牛頓最初創立微積分時使用的流數術記號，不同於萊布尼茨的dx/dy。