第20章 超難的壓軸題
齊物看向第一道選擇題：
【題目1（選擇題）：已知A，B均為n階實對稱正定矩陣，則下列關於矩陣跡（Trace）的不等式中，恆成立的是？】
A. tr((AB)²)≤tr(A²B²)
B. tr((AB)²)≥tr(A²B²)
C. tr((AB)²)=tr(A²B²)
D.大小關係與矩陣的具體特徵值分布有關。
有點意思……
考察實對稱正定矩陣、矩陣跡、乘積跡不等式，是《線性代數》的進階內容。
看到矩陣的跡和乘積，很多人的第一反應可能是去湊低階矩陣的特例來排除選項。
但齊物筆都沒動，就選擇了A。
「實對稱正定矩陣，意味著存在正交矩陣可以將其對角化，並且可以開平方。
所謂求跡，本質上就是求內積空間中的柯西-施瓦茨不等式。」
齊物瞬間完成了代數結構的同構映射。
「令M=A^(1/2)BA^(1/2)，因為A，B正定，所以 M也是對稱正定矩陣。
原不等式的左邊tr((AB)²)=tr(ABAB)=tr(A^(1/2)BA^(1/2)A^(1/2)BA^(1/2))=tr(M²)。
原不等式的右邊tr(A²B²)=tr(AB²A)=……不，更直接一點，將其看作Frobenius內積。
根據矩陣的奇異值分解和範數性質，tr(X^T Y)≤√tr(X^T X)√tr(Y^T Y)
代入特徵值基底，很明顯，左邊必定小於等於右邊。」
「選A。」
用時2分30秒。
題目有難度，但是沒那麼難。
接著是第二題，考點是解析數論中的狄利克雷級數與黎曼Zeta函數的零點區域放縮。
齊物快速寫下兩行阿貝爾求和公式，選出答案。
第三題，考察隨機微分方程（SDE）在帶跳躍的馬爾可夫過程中的伊藤引理應用。
齊物心算了一下漂移項和擴散項的積分，得出結論。
每道題用時都在五分鐘之內。
選擇題幾乎是摧枯拉朽般地被平推過去。
第22分鐘，齊物就已經來到了第一道解答題。
【設p為一個奇素數。證明：在有限域Fp上的多項式環Fp[x]中，多項式f(x)=x^p²-x的所有不可約因子的度數要麼是1，要麼是2，要麼是p。請給出這些因子的確切數量表達式。】
齊物微微挑眉。
解答題難度一下子就上來了哈。
一道非常標準的抽象代數與有限域伽羅瓦理論的題目。
很多人面對這道題，很容易繞到分裂域的嵌套里出不來。
齊物略微思考了兩分鐘，雙手已經在鍵盤上飛速敲擊，LaTeX代碼如行雲流水般輸入：
「根據有限域的性質，x^p²-x是有限域Fp²中所有元素的根多項式。
因為Fp²是Fp的二次擴張，其子域只有Fp本身。
因此，任何在Fp上不可約且整除x^p²-x的多項式，其根必在Fp²中。
這意味著該不可約多項式的度數d必須整除2，即d=1或d=2。
題目中描述的度數為p是一個典型的障眼法誘導項（因為度數必須整除擴張階數2，奇素數p絕不可能是其度數，除非特指某種特徵不可分擴張的偽命題，但在本域下不成立）。
度數為1的因子對應Fp中的元素，數量為p。
總度數為p²，因此度數為2的不可約多項式數量為(p²-p)/2。」
提交。
用時10分鐘。
「阿力八八全球數學競賽的題目果然涵蓋現代數學的各個分支。」
齊物順手解答了下一道帶有一點群論色彩的代數數論題。
終於來到了最後一道壓軸題。
此時總用時：40分鐘。
當看清壓軸題的題干時，齊物神色一緊，坐直了身子。
這道題……
【壓軸題（本題40分）】
【背景描述：考慮一個定義在緊緻黎曼流形M上的高維非凸能量泛函ε(x)=∫M(‖▽x‖²+V(x)) dμ。在標準的梯度流動力系統∂x/∂t=-▽ε(x)演化下，已知系統中存在一個龐大的退化臨界子流形S⊂M，在該子流形S的鄰域內，泛函的Hessian矩陣▽²ε在其法向叢上出現大量的零特徵值，且伴隨及其微弱的非凸擾動。
【問題：系統在演化至S附近時，會發生嚴重的「臨界滯留」現象，且逃逸時間期望趨近於無窮大。請問，是否能在原梯度流方程中引入一個純幾何的「拓撲補償項Ω(x)」，在不改變系統全局極小值點的前提下，使得修正後的動力系統方程：
∂x/∂t=-▽ε(x)+Ω(x)
能夠以流形內蘊曲率為驅動，以指數速率逃逸該退化子流形S？若存在，請給出Ω(x)的嚴密解析構造，並證明其逃逸收斂性。若不存在，請說明理由。】
emmm……
這道題不對勁。
太難了！
以齊物的修為，竟然也讀了兩遍題目才讀懂。
涉及的知識點太多了。
緊緻黎曼流形、Sobolev空間、能量泛函分析、弱導數、梯度流、Morse理論破缺、退化臨界子流形、Hessian算子、法叢、臨界滯留、拓撲項的幾何意義、Lyapunov穩定性、指數收斂速率估計、泛函能量估計……
這完全不是預賽應該出現的題目！
據齊物所知，阿力八八全球數學競賽的預賽，一般只考本科基礎的線代、數論、組合、初等概率等，絕對不會涉及流形、梯度流和退化臨界這種知識點。
而這道題，無論是深度和廣度，都應該是屬於決賽中，幾何拓撲和分析與方程的壓軸題。
幾乎相當於頂級985數學系博士的複試加試題了。
阿力是瘋了嗎？
拿這種題來當預賽壓軸題？
不過剛剛學完黎曼幾何的齊物覺得自己可以挑戰一下。
他最喜歡做難題了。
他再次精讀了一遍題目。
這一次他發現了一絲不尋常的地方。
「乍一看，這是一道硬核的微分幾何與偏微分方程（PDE）交叉的純數學題，但是描述的是物理圖景？」
齊物忖思，「屬於計算機科學，貌似是超大規模人工神經網絡在進行梯度訓練時，陷入的多維鞍點的死鎖現象？」
齊物很快察覺到違和感。
「出題人為何要特意強調【極高維】？」
齊物在草稿紙上寫下了一個M，並畫了一個圈，「在純粹的幾何拓撲里，維度的具體數值往往並不決定方程的定性行為，除非——」
齊物心思一轉：「除非這個維度本身，具有現實的物理意義。」
阿力八八不會無緣無故出這麼一道超綱的題。
他再次看向題干，開始抽絲剝繭。
【如果把黎曼流形M上的坐標點x視為一個參數矩陣W，那麼，「極高維」的流形空間，其實是一個包含了千億乃至萬億個權重的網絡參數空間？】
【能量泛函ε(x)，非凸性質……在參數空間裡，非凸的能量評價標準是什麼？】
【Loss（損失）函數！】
【動力系統∂x/∂t，不就是連續時間下的梯度下降算法？】
齊物筆尖猛地停住，這題目，影射的是AI大語言模型在訓練過程中，最難解決的梯度消失和Loss停滯現象！
他有些明白了——
阿力八八是在AI大模型的開發中遇到了問題，然後把問題轉換成了數學難題，穿上代數幾何以及微分拓撲的馬甲，脫敏之後放在預賽壓軸？
希望全球的參賽者能給予他們破局的靈感！
【題目1（選擇題）：已知A，B均為n階實對稱正定矩陣，則下列關於矩陣跡（Trace）的不等式中，恆成立的是？】
A. tr((AB)²)≤tr(A²B²)
B. tr((AB)²)≥tr(A²B²)
C. tr((AB)²)=tr(A²B²)
D.大小關係與矩陣的具體特徵值分布有關。
有點意思……
考察實對稱正定矩陣、矩陣跡、乘積跡不等式，是《線性代數》的進階內容。
看到矩陣的跡和乘積，很多人的第一反應可能是去湊低階矩陣的特例來排除選項。
但齊物筆都沒動，就選擇了A。
「實對稱正定矩陣，意味著存在正交矩陣可以將其對角化，並且可以開平方。
所謂求跡，本質上就是求內積空間中的柯西-施瓦茨不等式。」
齊物瞬間完成了代數結構的同構映射。
「令M=A^(1/2)BA^(1/2)，因為A，B正定，所以 M也是對稱正定矩陣。
原不等式的左邊tr((AB)²)=tr(ABAB)=tr(A^(1/2)BA^(1/2)A^(1/2)BA^(1/2))=tr(M²)。
原不等式的右邊tr(A²B²)=tr(AB²A)=……不，更直接一點，將其看作Frobenius內積。
根據矩陣的奇異值分解和範數性質，tr(X^T Y)≤√tr(X^T X)√tr(Y^T Y)
代入特徵值基底，很明顯，左邊必定小於等於右邊。」
「選A。」
用時2分30秒。
題目有難度，但是沒那麼難。
接著是第二題，考點是解析數論中的狄利克雷級數與黎曼Zeta函數的零點區域放縮。
齊物快速寫下兩行阿貝爾求和公式，選出答案。
第三題，考察隨機微分方程（SDE）在帶跳躍的馬爾可夫過程中的伊藤引理應用。
齊物心算了一下漂移項和擴散項的積分，得出結論。
每道題用時都在五分鐘之內。
選擇題幾乎是摧枯拉朽般地被平推過去。
第22分鐘，齊物就已經來到了第一道解答題。
【設p為一個奇素數。證明：在有限域Fp上的多項式環Fp[x]中，多項式f(x)=x^p²-x的所有不可約因子的度數要麼是1，要麼是2，要麼是p。請給出這些因子的確切數量表達式。】
齊物微微挑眉。
解答題難度一下子就上來了哈。
一道非常標準的抽象代數與有限域伽羅瓦理論的題目。
很多人面對這道題，很容易繞到分裂域的嵌套里出不來。
齊物略微思考了兩分鐘，雙手已經在鍵盤上飛速敲擊，LaTeX代碼如行雲流水般輸入：
「根據有限域的性質，x^p²-x是有限域Fp²中所有元素的根多項式。
因為Fp²是Fp的二次擴張，其子域只有Fp本身。
因此，任何在Fp上不可約且整除x^p²-x的多項式，其根必在Fp²中。
這意味著該不可約多項式的度數d必須整除2，即d=1或d=2。
題目中描述的度數為p是一個典型的障眼法誘導項（因為度數必須整除擴張階數2，奇素數p絕不可能是其度數，除非特指某種特徵不可分擴張的偽命題，但在本域下不成立）。
度數為1的因子對應Fp中的元素，數量為p。
總度數為p²，因此度數為2的不可約多項式數量為(p²-p)/2。」
提交。
用時10分鐘。
「阿力八八全球數學競賽的題目果然涵蓋現代數學的各個分支。」
齊物順手解答了下一道帶有一點群論色彩的代數數論題。
終於來到了最後一道壓軸題。
此時總用時：40分鐘。
當看清壓軸題的題干時，齊物神色一緊，坐直了身子。
這道題……
【壓軸題（本題40分）】
【背景描述：考慮一個定義在緊緻黎曼流形M上的高維非凸能量泛函ε(x)=∫M(‖▽x‖²+V(x)) dμ。在標準的梯度流動力系統∂x/∂t=-▽ε(x)演化下，已知系統中存在一個龐大的退化臨界子流形S⊂M，在該子流形S的鄰域內，泛函的Hessian矩陣▽²ε在其法向叢上出現大量的零特徵值，且伴隨及其微弱的非凸擾動。
【問題：系統在演化至S附近時，會發生嚴重的「臨界滯留」現象，且逃逸時間期望趨近於無窮大。請問，是否能在原梯度流方程中引入一個純幾何的「拓撲補償項Ω(x)」，在不改變系統全局極小值點的前提下，使得修正後的動力系統方程：
∂x/∂t=-▽ε(x)+Ω(x)
能夠以流形內蘊曲率為驅動，以指數速率逃逸該退化子流形S？若存在，請給出Ω(x)的嚴密解析構造，並證明其逃逸收斂性。若不存在，請說明理由。】
emmm……
這道題不對勁。
太難了！
以齊物的修為，竟然也讀了兩遍題目才讀懂。
涉及的知識點太多了。
緊緻黎曼流形、Sobolev空間、能量泛函分析、弱導數、梯度流、Morse理論破缺、退化臨界子流形、Hessian算子、法叢、臨界滯留、拓撲項的幾何意義、Lyapunov穩定性、指數收斂速率估計、泛函能量估計……
這完全不是預賽應該出現的題目！
據齊物所知，阿力八八全球數學競賽的預賽，一般只考本科基礎的線代、數論、組合、初等概率等，絕對不會涉及流形、梯度流和退化臨界這種知識點。
而這道題，無論是深度和廣度，都應該是屬於決賽中，幾何拓撲和分析與方程的壓軸題。
幾乎相當於頂級985數學系博士的複試加試題了。
阿力是瘋了嗎？
拿這種題來當預賽壓軸題？
不過剛剛學完黎曼幾何的齊物覺得自己可以挑戰一下。
他最喜歡做難題了。
他再次精讀了一遍題目。
這一次他發現了一絲不尋常的地方。
「乍一看，這是一道硬核的微分幾何與偏微分方程（PDE）交叉的純數學題，但是描述的是物理圖景？」
齊物忖思，「屬於計算機科學，貌似是超大規模人工神經網絡在進行梯度訓練時，陷入的多維鞍點的死鎖現象？」
齊物很快察覺到違和感。
「出題人為何要特意強調【極高維】？」
齊物在草稿紙上寫下了一個M，並畫了一個圈，「在純粹的幾何拓撲里，維度的具體數值往往並不決定方程的定性行為，除非——」
齊物心思一轉：「除非這個維度本身，具有現實的物理意義。」
阿力八八不會無緣無故出這麼一道超綱的題。
他再次看向題干，開始抽絲剝繭。
【如果把黎曼流形M上的坐標點x視為一個參數矩陣W，那麼，「極高維」的流形空間，其實是一個包含了千億乃至萬億個權重的網絡參數空間？】
【能量泛函ε(x)，非凸性質……在參數空間裡，非凸的能量評價標準是什麼？】
【Loss（損失）函數！】
【動力系統∂x/∂t，不就是連續時間下的梯度下降算法？】
齊物筆尖猛地停住，這題目，影射的是AI大語言模型在訓練過程中，最難解決的梯度消失和Loss停滯現象！
他有些明白了——
阿力八八是在AI大模型的開發中遇到了問題，然後把問題轉換成了數學難題，穿上代數幾何以及微分拓撲的馬甲，脫敏之後放在預賽壓軸？
希望全球的參賽者能給予他們破局的靈感！