第13章 好像也沒有特別難？
屋內安靜了下來，只有老媽魏淑華剁肉餡的聲音。
齊物打開試卷，看向第一道題。
【1.已知橢圓 C: x²/a²+ y²/b²= 1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F1，F2，點P在橢圓C上，且∠F₁PF₂=60°。若△F₁PF₂的面積為√3b²，則橢圓C的離心率e為？】
A. 1/2
B.√2/2
C.√3/2
D.√3/3
就這？
齊物愣了一下，也沒有很難哦。
對於普通高三學生來說，這道題可能要設點P的坐標，聯立橢圓方程，或者利用餘弦定理和焦點三角形公式推導離心率e。
但是對於齊物來說——
「根據焦點三角形面積的萬能公式S= b²tan(θ/2)，題目已知∠F₁PF₂=60°，那麼面積S=b² tan30°=√3/3 b²。」
「但題目給的面積是√3b²……等等，出題人在這裡設了個陷阱？」
「有點意思。」
齊物已然看穿題目的本質：「不對，根本不需要算。
面積S的最大值是當點P在短軸頂點時取得，此時 Smax=bc。要想讓∠F₁PF₂=60°成立，且面積條件滿足，直接利用餘弦定理4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos 60°，結合|PF₁|+|PF₂|=2a，知：c/a=√3/2。
選C。」
用時一分鐘。
「題目是比蘭蒼二中的摸底考試卷質量高。」
齊物一邊做一邊評價，「不愧是省城，但是……好像也沒有很難。」
齊物繼續翻看，單選、多選沒啥難度，來到了最後一道填空題：
【14.已知定義在 R上的函數 f(x)滿足 f(x+2)=-f(x)，且當x∈[-1，1]時，f'(x)+ f(x)> 0。若a=f(1)，b = ef(2)，c= e²f(3)，則 a，b，c的大小關係是？】
「經典的構造輔助函數題型。」
「看到 f'(x)+f(x)> 0，必然構造 g(x)=e^x f(x)，求導得到g'(x)=e^x [f'(x)+f(x)]> 0，所以g(x)在[-1，1]上單調遞增。」
「由f(x+2)=-f(x)可知，函數的周期T=4，且關於點(1，0)中心對稱。」
「代入自變量，將b和c通過周期性和奇偶性轉化到[-1，1]區間內進行比較……
f(2)=-f(0)，f(3)=-f(1)，直接得出c<b
<a。」
「不是很難啊。」
齊物沒有被挑戰的感覺。
齊鵬叔走的時候說，這套摸底考試卷，難度堪比高考真題——
難道我現在的水平已經三層樓那麼高了嗎？
三下五除二，齊物就推土機一樣來到了最後一道壓軸題。
【20.已知拋物線 E: y²=2px(p>0)的焦點為F，過點F且斜率不為零的直線l交拋物線E於A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸於點N。
（1）若△AOB的外心在拋物線的準線上，求拋物線E的方程；
（2）在（1）的條件下，設點 M(m，0)，直線 MA與 MB分別交拋物線於C，D兩點。證明：直線 CD過定點，並求出該定點坐標。】
「省城的卷子還是有些水平的，第二問考的是經典的極點極線模型變種。」
齊物轉了轉手中的筆。
傳統的做法，是設直線方程，聯立拋物線，得出韋達定理公式，然後進行繁瑣的斜率相乘化簡。
很容易在繁蕪的代數運算中算錯正負號。
齊物可不會用這麼愚笨的方法。
「引入齊次坐標，在射影幾何的視角下，拋物線y²= 2px可表示為二次型矩陣。」
「設點M為極點，那麼它的極線方程就是直線CD。根據配極原則，過拋物線上兩點A，B的直線l過焦點 F(p/2}， 0)，則交點弦CD必過與之對應的極點。」
「直接寫出極點-極線的映射變換矩陣方程，代入點 M(m，0)的坐標。」
只用了短短三行公式，齊物就完成了普通學生需要寫滿一整頁的證明過程，並在最後乾脆利落地寫下：
「定點坐標為(-pm/2，0)。
Q.E.D.」
伸了個懶腰，不知不覺就做完了一套卷子。
齊物看了看鐘表——
才過去40分鐘？
這就是鵬叔嘴裡有些難的省城的卷子嗎？
看樣子鵬叔還要一會才能回來，齊物便想繼續學學《黎曼幾何》，恰在此時，目光一撇，看到鵬叔的電腦還亮著。
是個類似於pdf的頁面，上面有很多數學公式？
齊物一下子來了興致。
數學公式，好玩。
他湊過去，發現似乎是一篇——
論文？
「《中國科學：數學》在線審稿系統。」
鵬叔在審論文？
這還是齊物第一次接觸論文，他好奇地看向待審論文的題目：
《一類卡拉比-丘三維流形上Bridgeland穩定條件的存在性與模空間構造》
卡拉比-丘流形？
Bridgeland穩定條件？
齊物現在是【代數幾何3級】，他認識這些詞彙。
現代代數幾何與理論物理（弦理論）交叉的最前沿領域。
齊物滑動滑鼠，看得津津有味。
這篇論文的作者野心有點大，他試圖在某個特定的卡拉比-丘三維流形X上，通過傾斜導範疇的心（heart），來構造一個全新的Bridgeland穩定條件，並藉此研究穩定對象的模空間。
思路很華麗，也看了大量的文獻，甚至用到了極為複雜的導出範疇同調代數。
但是，
當齊物翻看到第三節的【引理3.4】及其證明過程時，手指停住了。
這裡沒有齊鵬的批註，說明齊鵬覺得這一段沒問題？
但是齊物覺得有些不對勁。
作者在引理3.4中，試圖證明傾斜後的範疇A^ω，B中的對象E滿足廣義的Bogomolov-Gieseker (BG)不等式。
這位作者給出的核心證明公式是：
△ω(E)=1/2(ω²)ch1(E)²-ω²ch0(E)ch2(E)≥0
而且，作者利用這個不等式，直接推導出了中心電荷Z(E)的虛部嚴格為正，從而宣稱穩定條件構造成功。
「胡鬧！」
齊物忍不住喊了一聲。
「咋了小物？」
老媽魏淑華從廚房探出頭來問道。
「哦，沒事！」
齊物已然發現了證明里的錯誤，可以說很隱蔽。
鵬叔雖然優秀，但也只是一位青年學者，而且研究方向似乎不是代數幾何。
如果缺乏對最新前沿理論的敏銳嗅覺，極容易被前面兩頁密密麻麻的同調代數推導給繞進去，從而默認這個經典不等式是成立的。
鵬叔很顯然沒看出這個錯誤。
「這位作者把代數曲面（二維）上的經典BG不等式，強行套用在了三維流形上。
在三維流形上，僅僅傾斜一次導範疇的心，根本無法保證二階陳特徵ch2(E)的正定性！
作者完全忽略了極化類ω變化時引發的壁越現象呀。」
這是這篇論文的致命傷。
「要讓三維流形上的BG不等式成立，必須引入由 Toda或Bayer-Macrì提出的關於第三陳特徵ch3(E)的修正項！
如果沒有ch3(E)的約束，範疇中的某些對象在穿過臨界壁時，會瞬間失穩，導致整個模空間的拓撲結構發生坍縮！」
就好比建造一座大樓，用二維受力公式去模擬三維空間的抗震——
「一旦引理3.4的BG不等式失效，由它支撐的整個第三節的中心電荷構造就全是偽命題，後續第四節的所有模空間積分計算，全都是建立在空中樓閣上的數字遊戲！」
齊物搖了搖頭，論文作者怎麼這麼粗心呢？
齊物打開試卷，看向第一道題。
【1.已知橢圓 C: x²/a²+ y²/b²= 1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F1，F2，點P在橢圓C上，且∠F₁PF₂=60°。若△F₁PF₂的面積為√3b²，則橢圓C的離心率e為？】
A. 1/2
B.√2/2
C.√3/2
D.√3/3
就這？
齊物愣了一下，也沒有很難哦。
對於普通高三學生來說，這道題可能要設點P的坐標，聯立橢圓方程，或者利用餘弦定理和焦點三角形公式推導離心率e。
但是對於齊物來說——
「根據焦點三角形面積的萬能公式S= b²tan(θ/2)，題目已知∠F₁PF₂=60°，那麼面積S=b² tan30°=√3/3 b²。」
「但題目給的面積是√3b²……等等，出題人在這裡設了個陷阱？」
「有點意思。」
齊物已然看穿題目的本質：「不對，根本不需要算。
面積S的最大值是當點P在短軸頂點時取得，此時 Smax=bc。要想讓∠F₁PF₂=60°成立，且面積條件滿足，直接利用餘弦定理4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos 60°，結合|PF₁|+|PF₂|=2a，知：c/a=√3/2。
選C。」
用時一分鐘。
「題目是比蘭蒼二中的摸底考試卷質量高。」
齊物一邊做一邊評價，「不愧是省城，但是……好像也沒有很難。」
齊物繼續翻看，單選、多選沒啥難度，來到了最後一道填空題：
【14.已知定義在 R上的函數 f(x)滿足 f(x+2)=-f(x)，且當x∈[-1，1]時，f'(x)+ f(x)> 0。若a=f(1)，b = ef(2)，c= e²f(3)，則 a，b，c的大小關係是？】
「經典的構造輔助函數題型。」
「看到 f'(x)+f(x)> 0，必然構造 g(x)=e^x f(x)，求導得到g'(x)=e^x [f'(x)+f(x)]> 0，所以g(x)在[-1，1]上單調遞增。」
「由f(x+2)=-f(x)可知，函數的周期T=4，且關於點(1，0)中心對稱。」
「代入自變量，將b和c通過周期性和奇偶性轉化到[-1，1]區間內進行比較……
f(2)=-f(0)，f(3)=-f(1)，直接得出c<b
<a。」
「不是很難啊。」
齊物沒有被挑戰的感覺。
齊鵬叔走的時候說，這套摸底考試卷，難度堪比高考真題——
難道我現在的水平已經三層樓那麼高了嗎？
三下五除二，齊物就推土機一樣來到了最後一道壓軸題。
【20.已知拋物線 E: y²=2px(p>0)的焦點為F，過點F且斜率不為零的直線l交拋物線E於A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸於點N。
（1）若△AOB的外心在拋物線的準線上，求拋物線E的方程；
（2）在（1）的條件下，設點 M(m，0)，直線 MA與 MB分別交拋物線於C，D兩點。證明：直線 CD過定點，並求出該定點坐標。】
「省城的卷子還是有些水平的，第二問考的是經典的極點極線模型變種。」
齊物轉了轉手中的筆。
傳統的做法，是設直線方程，聯立拋物線，得出韋達定理公式，然後進行繁瑣的斜率相乘化簡。
很容易在繁蕪的代數運算中算錯正負號。
齊物可不會用這麼愚笨的方法。
「引入齊次坐標，在射影幾何的視角下，拋物線y²= 2px可表示為二次型矩陣。」
「設點M為極點，那麼它的極線方程就是直線CD。根據配極原則，過拋物線上兩點A，B的直線l過焦點 F(p/2}， 0)，則交點弦CD必過與之對應的極點。」
「直接寫出極點-極線的映射變換矩陣方程，代入點 M(m，0)的坐標。」
只用了短短三行公式，齊物就完成了普通學生需要寫滿一整頁的證明過程，並在最後乾脆利落地寫下：
「定點坐標為(-pm/2，0)。
Q.E.D.」
伸了個懶腰，不知不覺就做完了一套卷子。
齊物看了看鐘表——
才過去40分鐘？
這就是鵬叔嘴裡有些難的省城的卷子嗎？
看樣子鵬叔還要一會才能回來，齊物便想繼續學學《黎曼幾何》，恰在此時，目光一撇，看到鵬叔的電腦還亮著。
是個類似於pdf的頁面，上面有很多數學公式？
齊物一下子來了興致。
數學公式，好玩。
他湊過去，發現似乎是一篇——
論文？
「《中國科學：數學》在線審稿系統。」
鵬叔在審論文？
這還是齊物第一次接觸論文，他好奇地看向待審論文的題目：
《一類卡拉比-丘三維流形上Bridgeland穩定條件的存在性與模空間構造》
卡拉比-丘流形？
Bridgeland穩定條件？
齊物現在是【代數幾何3級】，他認識這些詞彙。
現代代數幾何與理論物理（弦理論）交叉的最前沿領域。
齊物滑動滑鼠，看得津津有味。
這篇論文的作者野心有點大，他試圖在某個特定的卡拉比-丘三維流形X上，通過傾斜導範疇的心（heart），來構造一個全新的Bridgeland穩定條件，並藉此研究穩定對象的模空間。
思路很華麗，也看了大量的文獻，甚至用到了極為複雜的導出範疇同調代數。
但是，
當齊物翻看到第三節的【引理3.4】及其證明過程時，手指停住了。
這裡沒有齊鵬的批註，說明齊鵬覺得這一段沒問題？
但是齊物覺得有些不對勁。
作者在引理3.4中，試圖證明傾斜後的範疇A^ω，B中的對象E滿足廣義的Bogomolov-Gieseker (BG)不等式。
這位作者給出的核心證明公式是：
△ω(E)=1/2(ω²)ch1(E)²-ω²ch0(E)ch2(E)≥0
而且，作者利用這個不等式，直接推導出了中心電荷Z(E)的虛部嚴格為正，從而宣稱穩定條件構造成功。
「胡鬧！」
齊物忍不住喊了一聲。
「咋了小物？」
老媽魏淑華從廚房探出頭來問道。
「哦，沒事！」
齊物已然發現了證明里的錯誤，可以說很隱蔽。
鵬叔雖然優秀，但也只是一位青年學者，而且研究方向似乎不是代數幾何。
如果缺乏對最新前沿理論的敏銳嗅覺，極容易被前面兩頁密密麻麻的同調代數推導給繞進去，從而默認這個經典不等式是成立的。
鵬叔很顯然沒看出這個錯誤。
「這位作者把代數曲面（二維）上的經典BG不等式，強行套用在了三維流形上。
在三維流形上，僅僅傾斜一次導範疇的心，根本無法保證二階陳特徵ch2(E)的正定性！
作者完全忽略了極化類ω變化時引發的壁越現象呀。」
這是這篇論文的致命傷。
「要讓三維流形上的BG不等式成立，必須引入由 Toda或Bayer-Macrì提出的關於第三陳特徵ch3(E)的修正項！
如果沒有ch3(E)的約束，範疇中的某些對象在穿過臨界壁時，會瞬間失穩，導致整個模空間的拓撲結構發生坍縮！」
就好比建造一座大樓，用二維受力公式去模擬三維空間的抗震——
「一旦引理3.4的BG不等式失效，由它支撐的整個第三節的中心電荷構造就全是偽命題，後續第四節的所有模空間積分計算，全都是建立在空中樓閣上的數字遊戲！」
齊物搖了搖頭，論文作者怎麼這麼粗心呢？