第三十一章：葛大爺的第一次誇讚！(二合一求追讀！)
「蠢！」
看著教材上浮現出來的字跡，韓川扯了扯嘴角，沒敢反駁。
他捏著筆重新看向題目。
葛大爺的話向來都很犀利，雖然不會直接給他解答，但線索往往都隱藏在其中。看似罵他笨，實則是在點醒他，讓他跳出固有的解題思維。
想著，韓川的腦海中驀然浮現出了一個念頭。
「如果說10的冪次可以構造全0和1的數，那麼什麼樣的構造能產生全是奇數的數？」
當腦海中的想法浮現出來時，就如同破土的竹筍一般，瞬間在他腦海中紮根。
他拿起筆，在筆記本上寫下一行行試探性的數據。
10的冪次模20的餘數是有規律的——10^1≡ 10 (mod 20)，而10^2≡ 0 (mod 20)，後面全是0。
這說明單靠10的冪次是不夠的。
但如果換成11的冪次呢？
思索著，韓川又在筆記本上寫下了一行數據，11^1≡ 11 (mod 20)，11^2≡ 1 (mod 20)
不......不對.....方向偏了。
不是20，應該是模某個能讓每一位保持奇數的數。
腦海中的思緒轉動著，驀的，韓川忽然想起了周培源給他講電磁學時提到的一個概念：分離變量法。
分離變量法的核心思路是把一個複雜的偏微分方程拆成幾個獨立的常微分方程，分別求解然後再組合起來。
簡單地來說，就是用虛線把一個矩陣切成一條條橫線和豎線，然後再建立正確的坐標系將它們分開，每一根線只負責一個方向的變化，互不干擾。
坐標系、分離、獨立分量……
韓川呆呆地看著稿紙上的算式，眼神漸漸失焦，大腦卻陷入了一種沉浸式的思考狀態。
思緒如同高速運轉的齒輪，飛速碰撞、交織，將分離變量法的思維與眼前的數論題緊緊聯繫在一起。
也不知道過去了多久的時間，眼前稿紙上的算式和題目忽然跳動了起來。
那些字符漸漸在他眼中構建出了一個完整清晰的物理圖景。
這一次，他看見的似乎不再是單純的數學畫面，更像是一個數學物理結合的圖景。
知識具現化的技能再度浮現，在他眼前，一個物理圖景信號被分解成若干個獨立的頻率分量，每個分量都在自己的頻率上振動，互不干擾。
而這個信號的整體，正是這些分量的線性疊加。
它們每一個都是十進位數字、每一位都獨立、每一條都呈現出線性疊加....
如果放到物理的框架里看，就相當於要求一個信號的每一個頻率分量都必須滿足某種振幅條件。
現在的韓川還不懂這是什麼，但他看到了。
看到了如何構造一個n的倍數，看到了要求這個信號的整體滿足一個邊界的條件。
這跟他在物競課上做的那個分離變量法本質上是一回事。
知識具現化的技巧，將眼前的題目拆成了一個數學物理互相結合的圖像，然後再在每個分量上單獨滿足約束。
最後再組合起來。
.....
銀藍色的微光褪去，所有立體的、動態的物理圖景像退潮一樣消失。
韓川猛然回過神來，他拿起筆在草稿紙上重新開始推導。
這一次，他走的不是數學中的標準數論路線，而是自己開闢的一條新的方向。
他準備用數學物理結合的技巧，來解決這個問題！
當然，嚴格的來說，這道數論題不能用物理方法去解。
但物理思維可以幫他找到數學的切入點！
他需要的不是把物理公式搬過來，而是把「分離變量」這種思維方式帶進解題思路中。
把他在思維具象化中看到的『每一位都是奇數」這個條件拆成『每一位獨立滿足某個模條件』，然後組合起來。
找到切入點，利用中國剩餘定理，將n分解為2^a和奇數部分m的乘積，分別在模2^a和模m的條件下構造滿足條件的數，再用中國剩餘定理合併。
在模m的部分，他構造了一個全由奇數數字組成的周期序列；在模2^a的部分，他利用了一個巧妙的歸納構造。
筆尖在紙面上飛速划動，留下一行行工整而密集的推導。
整個過程不到十五分鐘，一頁草稿紙被寫滿了一大半的區域。
當他寫下最後一個符號的時候，韓川自己都沒有意識到自己在做什麼。
直到，數學教材上葛軍的字跡再度浮現了出來。
這一次，沒有罵人，也沒有毒舌，反而帶著一絲沉默和驚訝的意味。
「這個解法......是你自己想出來的？」
韓川想了下，道：「算不上吧，周老先生之前和我講物理的時候，跟我講物理的時候提到過分離變量法，就是把一個複雜系統拆成多個獨立自由度分別求解再組合。」
「剛才做題的時候，我腦子裡面忽然閃過這個概念，就覺得……這道題好像也能這麼看。」
「然後就嘗試了一下，沒想到真給解出來了。」
葛軍的字跡沉默了。沉默的時間比以往任何一次都長。
長到韓川差點以為自己用物理的思維解數學題是不是有什麼不對，準備開口解釋一句的時候，字跡才重新浮了出來。
「這道題的標準解法是構造一個全由奇數組成的周期列然後直接驗證，過程可以用數學歸納法寫得更簡潔。」
「但你創造了一條新的路線，至少我沒有了解過。」
「你把一個物理概念移植到數論構造題里，用物理思維找到了數學的切入點。」
「這道題....」
「你做得比標準解法更接近它的數學本質，甚至可能出題者都從未想過還有這種解題方法。」
說到這，字跡停了一下，然後以一種比之前更重的筆鋒緩緩浮現：
「從我開始教你到現在，這是你第一次，在一道題的解法上走到了我的前面，想到了一條全新的道路。」
「你做數論題，居然用上了物理里的分離變量法思維，這我是真沒想到的。」
「這道題，你解得很好！」
韓川盯著這行字看了好一會兒，臉上的笑容都快翹起來了。
葛大帝居然誇他了？！
臥槽！真不容易。
這可是兩個多月來葛軍第一次表揚他，這感覺，就像是.....
感動沒超過三秒，甚至他還沒想出合適的比喻，教材上葛軍的字跡又彈了出來，筆鋒重新恢復了那熟悉的凌厲。
「收收味，笑得跟個傻子樣。我誇你是因為你確實做到了，不要因為這兩句評價就得意忘形！」
「分離變量法解這道題雖然巧妙，但你的構造過程里有一組冗餘假設。若n含有平方因子，其中有一組獨立解的構造是過剩的，原因在於你第二步合併時漏判了互質性。」
「把這個冗餘分析給我補上，補不出來，以後我上數學課，你給我站著聽！」
韓川看著這行字，嘴角的弧度怎麼都按不下去：「O得K，沒問題，包在我身上！」
回復了一句，他重新看向了稿紙上算式，開始琢磨著按照葛軍的指點查漏補缺。
教材中，感應著韓川的認真，書靈葛軍的臉上露出了一抹笑容。
這小子，天賦還真不賴！
剛剛那道題，如果用數學的標準解法來解題，至少要寫上兩頁的過程，但他只用了大半頁就完成了。
全部推導過程簡潔無比，每一步都直指要害，沒有任何多餘的計算。
當然，在構造解析中漏判了互質性的問題另說。但這種結合了數學物理的方法，確實很巧妙，也是他從未想過的解題思路。
想著，書靈葛軍陷入了沉思。
如果他還能參與高考出題的話，說不定可以結合這種思路試試。
結合物理的數學題，難是難了點，但高考的壓軸題，不就是用來拉開差距判斷學生的思維邏輯和天賦的嘛。
......
與此同時，另一邊。
蘇省，金陵。
全封閉的教育考試院中，一群從蘇省各地召集而來的數學老師和數學教授這會正聚集在一間會議室中。
會議室很大，長長的實木桌上鋪著深綠色的絨布，窗簾拉得嚴嚴實實。
桌邊坐著十幾個人，每人面前都攤著一疊厚厚的試卷初稿。
這裡是2009年蘇省高考數學卷的命題封閉點，自命題工作啟動以來已經封閉了將近兩個月。
按照慣例，五月中旬是定稿的關鍵窗口時間。
高考考試的初稿、試做測試、集體研磨及層層審核，最終確定A卷（正式卷）和B卷（備用卷）都需要在最遲5月25日前完成。
而今天，已經是5月20號了。
再有四五天的時間，今年蘇省的高考試卷就將開始保密印刷保存，然後在高考前武裝押運送往各個考點。
辦公室的長條桌的另一頭，受邀參加今年高考命題的葛軍面前攤著一疊列印出來的初稿。
他已經盯著這份初稿看了將近一個小時，簽字筆夾在在指間，沒有動。
其他命題組成員偶爾交換幾句低語，翻動紙張，在稿紙邊緣寫寫劃劃，然後遞交給組長簽字。
沒有人注意到葛軍的異常——他本來就不愛說話，審稿的時候更是沉默得像一尊石像。
但只有葛軍自己知道，他不是在沉默，而是在困惑。
從今天上午開始，他的腦子裡就像有什麼東西被撬開了一條縫。
起初只是一個模糊的念頭，就像是靈感在遠處閃了一下，他試圖抓住它，但它躲開了。
但當然繼續審題的時候，那種感覺卻越來越清晰，越來越具體。
到現在，出現在他腦海中的已經不是靈感的碎片，而是一整套完整的、嚴密的題目構思。
是的，今天出現在他腦子裡面的，就是一道數學題的出題思路。
他拿起筆，在稿紙上快速寫下那道題的雛形，推導過程流暢得像是已經演算過無數遍。
寫完之後，他放下筆，盯著稿紙上的算式。
這是一道關於數列極限和概率論交叉的綜合題，借用物理中的運動、振動、能量等概念作為數學建模的背景。
同時還創造性地把多物體、多過程、運動的合成與分解、極值問題等與數學工具結合，構成了一道極其巧妙的大題。
這道題如果用傳統的數學方法，也就是特徵函數和特徵值分布的結合來求解的話，難度極高。
但是葛軍腦海中卻莫名浮現出了另一種解法，那就是結合高中物理中的簡諧振動來解題。
思索著，葛軍重新拾起筆，找了張空白的A4紙在上面寫下了兩種完全不同的解題過程。
第一種是傳統的數學解題思路，用特徵函數和特徵值分布的結合求解。
解題過程占據了大半張稿紙。
而另一種解題思路則是通過簡諧振動疊加後位移的極值來計算。
思路很巧妙，解法也很優美，可以說只要一步切入正確，整個解題過程就會像一把刀切進黃油裡面輕鬆寫意。
但葛軍盯著面前的題目和解題步驟看了很久。
久到他自己都開始有些懷疑自己了。
因為這道題和他以往出題風格中的任何一個方向都完全不同，它更跳躍，更大膽。
同時還在某個關鍵步驟上甚至隱約繞開了他慣用的嚴謹推進方式，直接從另一個角度抓住了問題的核心。
但它的數學內核又嚴謹得無懈可擊，難度極高的同時又能挑戰學生的極限。
老實說，他從來都沒想過數學大題還能這麼出。
但它就是出現了。
這讓葛軍很是詫異。
就像是有人把他從來沒有嘗試過的一種解題思路直接灌進了他的大腦里一樣。
「這道題，或許可以放進試卷里。」
看著面前的試題，葛軍腦海中忽然浮現了一個想法，他想把這道題放到今年的高考試卷裡面去！
正在這時，另一個端著保溫杯的出題組老師走了過來，打量了一下葛軍面前的稿紙，看到上面的數學題後有些好奇地問道。
「葛老師，今年的題目不是都確認好了嗎？」
「你怎麼還在出題？」
聽到這話，周圍幾個命題組成員感興趣的湊了過來。
其中一個人看了兩眼稿紙上的題目，眉毛頓時就挑了起來。
「葛老師，這道題....難度有點大吧？」
看著教材上浮現出來的字跡，韓川扯了扯嘴角，沒敢反駁。
他捏著筆重新看向題目。
葛大爺的話向來都很犀利，雖然不會直接給他解答，但線索往往都隱藏在其中。看似罵他笨，實則是在點醒他，讓他跳出固有的解題思維。
想著，韓川的腦海中驀然浮現出了一個念頭。
「如果說10的冪次可以構造全0和1的數，那麼什麼樣的構造能產生全是奇數的數？」
當腦海中的想法浮現出來時，就如同破土的竹筍一般，瞬間在他腦海中紮根。
他拿起筆，在筆記本上寫下一行行試探性的數據。
10的冪次模20的餘數是有規律的——10^1≡ 10 (mod 20)，而10^2≡ 0 (mod 20)，後面全是0。
這說明單靠10的冪次是不夠的。
但如果換成11的冪次呢？
思索著，韓川又在筆記本上寫下了一行數據，11^1≡ 11 (mod 20)，11^2≡ 1 (mod 20)
不......不對.....方向偏了。
不是20，應該是模某個能讓每一位保持奇數的數。
腦海中的思緒轉動著，驀的，韓川忽然想起了周培源給他講電磁學時提到的一個概念：分離變量法。
分離變量法的核心思路是把一個複雜的偏微分方程拆成幾個獨立的常微分方程，分別求解然後再組合起來。
簡單地來說，就是用虛線把一個矩陣切成一條條橫線和豎線，然後再建立正確的坐標系將它們分開，每一根線只負責一個方向的變化，互不干擾。
坐標系、分離、獨立分量……
韓川呆呆地看著稿紙上的算式，眼神漸漸失焦，大腦卻陷入了一種沉浸式的思考狀態。
思緒如同高速運轉的齒輪，飛速碰撞、交織，將分離變量法的思維與眼前的數論題緊緊聯繫在一起。
也不知道過去了多久的時間，眼前稿紙上的算式和題目忽然跳動了起來。
那些字符漸漸在他眼中構建出了一個完整清晰的物理圖景。
這一次，他看見的似乎不再是單純的數學畫面，更像是一個數學物理結合的圖景。
知識具現化的技能再度浮現，在他眼前，一個物理圖景信號被分解成若干個獨立的頻率分量，每個分量都在自己的頻率上振動，互不干擾。
而這個信號的整體，正是這些分量的線性疊加。
它們每一個都是十進位數字、每一位都獨立、每一條都呈現出線性疊加....
如果放到物理的框架里看，就相當於要求一個信號的每一個頻率分量都必須滿足某種振幅條件。
現在的韓川還不懂這是什麼，但他看到了。
看到了如何構造一個n的倍數，看到了要求這個信號的整體滿足一個邊界的條件。
這跟他在物競課上做的那個分離變量法本質上是一回事。
知識具現化的技巧，將眼前的題目拆成了一個數學物理互相結合的圖像，然後再在每個分量上單獨滿足約束。
最後再組合起來。
.....
銀藍色的微光褪去，所有立體的、動態的物理圖景像退潮一樣消失。
韓川猛然回過神來，他拿起筆在草稿紙上重新開始推導。
這一次，他走的不是數學中的標準數論路線，而是自己開闢的一條新的方向。
他準備用數學物理結合的技巧，來解決這個問題！
當然，嚴格的來說，這道數論題不能用物理方法去解。
但物理思維可以幫他找到數學的切入點！
他需要的不是把物理公式搬過來，而是把「分離變量」這種思維方式帶進解題思路中。
把他在思維具象化中看到的『每一位都是奇數」這個條件拆成『每一位獨立滿足某個模條件』，然後組合起來。
找到切入點，利用中國剩餘定理，將n分解為2^a和奇數部分m的乘積，分別在模2^a和模m的條件下構造滿足條件的數，再用中國剩餘定理合併。
在模m的部分，他構造了一個全由奇數數字組成的周期序列；在模2^a的部分，他利用了一個巧妙的歸納構造。
筆尖在紙面上飛速划動，留下一行行工整而密集的推導。
整個過程不到十五分鐘，一頁草稿紙被寫滿了一大半的區域。
當他寫下最後一個符號的時候，韓川自己都沒有意識到自己在做什麼。
直到，數學教材上葛軍的字跡再度浮現了出來。
這一次，沒有罵人，也沒有毒舌，反而帶著一絲沉默和驚訝的意味。
「這個解法......是你自己想出來的？」
韓川想了下，道：「算不上吧，周老先生之前和我講物理的時候，跟我講物理的時候提到過分離變量法，就是把一個複雜系統拆成多個獨立自由度分別求解再組合。」
「剛才做題的時候，我腦子裡面忽然閃過這個概念，就覺得……這道題好像也能這麼看。」
「然後就嘗試了一下，沒想到真給解出來了。」
葛軍的字跡沉默了。沉默的時間比以往任何一次都長。
長到韓川差點以為自己用物理的思維解數學題是不是有什麼不對，準備開口解釋一句的時候，字跡才重新浮了出來。
「這道題的標準解法是構造一個全由奇數組成的周期列然後直接驗證，過程可以用數學歸納法寫得更簡潔。」
「但你創造了一條新的路線，至少我沒有了解過。」
「你把一個物理概念移植到數論構造題里，用物理思維找到了數學的切入點。」
「這道題....」
「你做得比標準解法更接近它的數學本質，甚至可能出題者都從未想過還有這種解題方法。」
說到這，字跡停了一下，然後以一種比之前更重的筆鋒緩緩浮現：
「從我開始教你到現在，這是你第一次，在一道題的解法上走到了我的前面，想到了一條全新的道路。」
「你做數論題，居然用上了物理里的分離變量法思維，這我是真沒想到的。」
「這道題，你解得很好！」
韓川盯著這行字看了好一會兒，臉上的笑容都快翹起來了。
葛大帝居然誇他了？！
臥槽！真不容易。
這可是兩個多月來葛軍第一次表揚他，這感覺，就像是.....
感動沒超過三秒，甚至他還沒想出合適的比喻，教材上葛軍的字跡又彈了出來，筆鋒重新恢復了那熟悉的凌厲。
「收收味，笑得跟個傻子樣。我誇你是因為你確實做到了，不要因為這兩句評價就得意忘形！」
「分離變量法解這道題雖然巧妙，但你的構造過程里有一組冗餘假設。若n含有平方因子，其中有一組獨立解的構造是過剩的，原因在於你第二步合併時漏判了互質性。」
「把這個冗餘分析給我補上，補不出來，以後我上數學課，你給我站著聽！」
韓川看著這行字，嘴角的弧度怎麼都按不下去：「O得K，沒問題，包在我身上！」
回復了一句，他重新看向了稿紙上算式，開始琢磨著按照葛軍的指點查漏補缺。
教材中，感應著韓川的認真，書靈葛軍的臉上露出了一抹笑容。
這小子，天賦還真不賴！
剛剛那道題，如果用數學的標準解法來解題，至少要寫上兩頁的過程，但他只用了大半頁就完成了。
全部推導過程簡潔無比，每一步都直指要害，沒有任何多餘的計算。
當然，在構造解析中漏判了互質性的問題另說。但這種結合了數學物理的方法，確實很巧妙，也是他從未想過的解題思路。
想著，書靈葛軍陷入了沉思。
如果他還能參與高考出題的話，說不定可以結合這種思路試試。
結合物理的數學題，難是難了點，但高考的壓軸題，不就是用來拉開差距判斷學生的思維邏輯和天賦的嘛。
......
與此同時，另一邊。
蘇省，金陵。
全封閉的教育考試院中，一群從蘇省各地召集而來的數學老師和數學教授這會正聚集在一間會議室中。
會議室很大，長長的實木桌上鋪著深綠色的絨布，窗簾拉得嚴嚴實實。
桌邊坐著十幾個人，每人面前都攤著一疊厚厚的試卷初稿。
這裡是2009年蘇省高考數學卷的命題封閉點，自命題工作啟動以來已經封閉了將近兩個月。
按照慣例，五月中旬是定稿的關鍵窗口時間。
高考考試的初稿、試做測試、集體研磨及層層審核，最終確定A卷（正式卷）和B卷（備用卷）都需要在最遲5月25日前完成。
而今天，已經是5月20號了。
再有四五天的時間，今年蘇省的高考試卷就將開始保密印刷保存，然後在高考前武裝押運送往各個考點。
辦公室的長條桌的另一頭，受邀參加今年高考命題的葛軍面前攤著一疊列印出來的初稿。
他已經盯著這份初稿看了將近一個小時，簽字筆夾在在指間，沒有動。
其他命題組成員偶爾交換幾句低語，翻動紙張，在稿紙邊緣寫寫劃劃，然後遞交給組長簽字。
沒有人注意到葛軍的異常——他本來就不愛說話，審稿的時候更是沉默得像一尊石像。
但只有葛軍自己知道，他不是在沉默，而是在困惑。
從今天上午開始，他的腦子裡就像有什麼東西被撬開了一條縫。
起初只是一個模糊的念頭，就像是靈感在遠處閃了一下，他試圖抓住它，但它躲開了。
但當然繼續審題的時候，那種感覺卻越來越清晰，越來越具體。
到現在，出現在他腦海中的已經不是靈感的碎片，而是一整套完整的、嚴密的題目構思。
是的，今天出現在他腦子裡面的，就是一道數學題的出題思路。
他拿起筆，在稿紙上快速寫下那道題的雛形，推導過程流暢得像是已經演算過無數遍。
寫完之後，他放下筆，盯著稿紙上的算式。
這是一道關於數列極限和概率論交叉的綜合題，借用物理中的運動、振動、能量等概念作為數學建模的背景。
同時還創造性地把多物體、多過程、運動的合成與分解、極值問題等與數學工具結合，構成了一道極其巧妙的大題。
這道題如果用傳統的數學方法，也就是特徵函數和特徵值分布的結合來求解的話，難度極高。
但是葛軍腦海中卻莫名浮現出了另一種解法，那就是結合高中物理中的簡諧振動來解題。
思索著，葛軍重新拾起筆，找了張空白的A4紙在上面寫下了兩種完全不同的解題過程。
第一種是傳統的數學解題思路，用特徵函數和特徵值分布的結合求解。
解題過程占據了大半張稿紙。
而另一種解題思路則是通過簡諧振動疊加後位移的極值來計算。
思路很巧妙，解法也很優美，可以說只要一步切入正確，整個解題過程就會像一把刀切進黃油裡面輕鬆寫意。
但葛軍盯著面前的題目和解題步驟看了很久。
久到他自己都開始有些懷疑自己了。
因為這道題和他以往出題風格中的任何一個方向都完全不同，它更跳躍，更大膽。
同時還在某個關鍵步驟上甚至隱約繞開了他慣用的嚴謹推進方式，直接從另一個角度抓住了問題的核心。
但它的數學內核又嚴謹得無懈可擊，難度極高的同時又能挑戰學生的極限。
老實說，他從來都沒想過數學大題還能這麼出。
但它就是出現了。
這讓葛軍很是詫異。
就像是有人把他從來沒有嘗試過的一種解題思路直接灌進了他的大腦里一樣。
「這道題，或許可以放進試卷里。」
看著面前的試題，葛軍腦海中忽然浮現了一個想法，他想把這道題放到今年的高考試卷裡面去！
正在這時，另一個端著保溫杯的出題組老師走了過來，打量了一下葛軍面前的稿紙，看到上面的數學題後有些好奇地問道。
「葛老師，今年的題目不是都確認好了嗎？」
「你怎麼還在出題？」
聽到這話，周圍幾個命題組成員感興趣的湊了過來。
其中一個人看了兩眼稿紙上的題目，眉毛頓時就挑了起來。
「葛老師，這道題....難度有點大吧？」