第三十章 ：數競訓練！（第二更求追讀月票）
PS：大佬們，今天周二了，又是評推薦的關鍵日子，求追讀！求追讀！求追讀！重要的事情說三遍，感恩！
五月，巴陵的天氣已經熱得不像話了。
教室天花板上的吊扇轉得嗡嗡作響，吹出來的風帶著一股子熱浪混著粉筆灰的味道，悶得讓人昏昏欲睡。
韓川的座位靠窗，稍微好一點，距離他同時報名數競和物競已經過了半個多月的時間。
這半個月，他的生活就像是生日蛋糕一樣，被切割成一塊一塊的，數學老師一塊，物理老師一塊，葛軍一塊，周培源一塊......
晚自習的鈴聲響起，韓川拿著書，朝教學樓對面的實驗樓走去。
一三五的時間歸數學，二四六歸物理。
今天正好是周三，他得去實驗樓跟著尖子班那些參加競賽的學霸們一起上課培訓競賽相關的難題。
實驗樓的二樓，數競班的教室中，已經有十幾個學生提前到了，這會正坐在自己的位置上安靜地看著書。
韓川找到自己的位置坐下，從書包中摸出來一本競賽專用的教材看了起來。
過了一小會，負責帶他們的數競教練龔勤握著保溫杯走了進來。
他沒有說話，也沒有上課，而是直接拾起粉筆在教室的小黑板上寫下了兩道題目。
寫完，龔勤將手裡的粉筆頭往講台上一扔，拍了拍手上的粉筆灰，掃視了一圈教室里的學生，語氣平淡得像在說今天食堂吃什麼。
「今天的訓練，兩道數論競賽題。」
「限時一節晚自習，能做出來的第二節晚自習自由活動。做不出來的，第二節繼續做！」
這是他的教學風格，和其他的競賽老師喜歡講課不同，他更傾向於讓學生自己理解。
有獎有懲，能做出來就可以自由活動，做不出來就繼續坐板凳。
教室中，聽到龔勤的話，參與競賽的學生中響起一陣輕微的騷動，所有人抬頭看向了黑板。
韓川也一樣，抬頭看向黑板上的兩道題。
一、求證：對於任意正整數n，存在一個n的倍數，其所有數字均為0或1。
二、證明：對任意正整數 n，總存在一個 n的倍數，其十進位表示中每一位數字都是奇數（即只包含 1， 3， 5， 7， 9中的數字）。
看了一遍題目，韓川先拾起筆，將黑板上的題目抄到了筆記本上，然後才開始思索。
這兩道題目都是數論題，而數論是競賽數學裡最不講道理的分支之一。
它不像幾何那樣可以靠輔助線打開局面，也不像代數那樣有固定的公式可以套。數論靠的是數感、是靈感、是對數字結構那種近乎神秘的洞察力。
有時候一道題卡住了，不是因為知識不夠，而是因為你沒有站在正確的角度去看它。
韓川先看向了第一問。
【求證對於任意正整數n，存在一個n的倍數，其所有數字均為0或1。】
盯著它看了一會，韓川腦海中的第一反應是直接尋找一個由0和1組成的數，並讓它被 n整除。
但下一刻，他就迅速將這個解題思路排除了。
因為 n是任意正整數，沒有規律可循。
這種基礎版的湊數和構造倍數，除非他能有一台超算，否則靠純算尋找答案的思路很顯然行不通。
「有意思，這個命題看起來平平無奇，但實際上難度還不小的樣子。」
看著題目，韓川念叨了一句，眼中帶上了感興趣和興奮的神色。
經過這些天的學習，他現在愈發喜歡用已有的知識挑戰自己的極限了。
若是能解開以前做不到的難題，那麼收穫就像是直接注射了內啡肽一樣快樂。
思索著，他重新閱讀了一遍題目。
如果構造倍數行不通，那麼將它和同餘掛鉤起來行嗎？
想著，他捏著筆迅速在潔白的稿紙上寫下了一行算式。
【考慮序列ak=11...1{k個1}其中 k=1，2，…，n+1，這 n+1個數模n的餘數只可能取0，1…，n−1。】
【由鴿巢原理，存在兩個不同的下標 i<j使得a i≡a j(mod n).】
【計算差aj-a i=....】
看著稿紙上的算式，韓川思索著。
如果一個數要同時是n的倍數，並且所有數字都是0或1，那麼它可以寫成若干個10的冪次之和的形式。
但這裡的問題轉化為：能否在10的冪次中找到若干個數，它們的和恰好被n整除。
「10的冪次模n的餘數...」
這個短語在他腦子裡一閃，像一根火柴劃亮了一片黑暗讓他幡然醒悟了過來。
拾筆，落筆。
一行行的算式快速地在稿紙上寫下。
「如果考慮數列10^1， 10^2， 10^3……一直到10^(n+1)，這n+1個數分別模n取餘數。」
「而模n的餘數只有n種可能——0到n-1。n+1個數放進n個盒子裡，根據鴿巢原理，至少有兩個數的餘數相同。」
「將 n+1個全1數模 n的餘數作為物體，餘數的可能取值（0，1，…，n−1）作為抽屜，再對其進行整除性處理，就可以了。」
很快，答案就計算了出來。
由於 gcd(n，10)=1，n與 10 ^i互質，因此n∣R。而 R的每一位都是 1，故 R即為所求的 n的倍數！
「搞定！」
筆鋒落下，韓川咧嘴笑了笑。
這題還真是有迷惑性，核心難度在於構造一個輔助數列。
如果用一般的構造倍數法來解題，他就算是解上一個晚上也算不出來。
但如果先構造輔助數列，再將『存在性』問題轉化為『重複餘數』問題，就很容易證明了！
解決了第一題，韓川迅速看向第二題。
【證明：對任意正整數 n，總存在一個 n的倍數，其十進位表示中每一位數字都是奇數（即只包含 1， 3， 5， 7， 9中的數字）。】
這道題與「僅由 0和 1組成」的結論類似，但限制為全奇數數字。
韓川嘗試用鴿巢原理解答了一下，但很快就遇到了困難。
因為兩個形如 111…1的數之差會產生末尾的 0，而 0是偶數。
很顯然，相比第一題，這道題目的難度上升了不止一星半點。
他隱隱約約感覺到，第二題的思路跟第一題應該有某種對稱性。
如果說第一題用的是10的冪次，第二題可能需要用到某種變形。
思索著，他在心裡把這個命題拆開、重組、從不同的角度去嘗試。
然後....然後他就卡住了。
看著稿紙上亂七八糟的算式，韓川有些頭疼地揉了揉太陽穴。
他感覺做出來了一半，能感覺到答案就在前面不遠的地方，但中間隔著一層薄霧，他看不清路。
就在這時，他帶過來放在桌角的數學教材微微亮了一下，一行字跡浮現了出來。
是葛軍的，筆鋒銳利如刀。
「你可真是個狗腦子，都想到了10的冪次可以構造全0的數，為什麼就不會轉彎！」
「蠢！」
很顯然看著韓川被第二題卡住這麼久，課本中的書靈葛大爺開始耐不住了，浮現出一行字跡『教育』他。
.....
五月，巴陵的天氣已經熱得不像話了。
教室天花板上的吊扇轉得嗡嗡作響，吹出來的風帶著一股子熱浪混著粉筆灰的味道，悶得讓人昏昏欲睡。
韓川的座位靠窗，稍微好一點，距離他同時報名數競和物競已經過了半個多月的時間。
這半個月，他的生活就像是生日蛋糕一樣，被切割成一塊一塊的，數學老師一塊，物理老師一塊，葛軍一塊，周培源一塊......
晚自習的鈴聲響起，韓川拿著書，朝教學樓對面的實驗樓走去。
一三五的時間歸數學，二四六歸物理。
今天正好是周三，他得去實驗樓跟著尖子班那些參加競賽的學霸們一起上課培訓競賽相關的難題。
實驗樓的二樓，數競班的教室中，已經有十幾個學生提前到了，這會正坐在自己的位置上安靜地看著書。
韓川找到自己的位置坐下，從書包中摸出來一本競賽專用的教材看了起來。
過了一小會，負責帶他們的數競教練龔勤握著保溫杯走了進來。
他沒有說話，也沒有上課，而是直接拾起粉筆在教室的小黑板上寫下了兩道題目。
寫完，龔勤將手裡的粉筆頭往講台上一扔，拍了拍手上的粉筆灰，掃視了一圈教室里的學生，語氣平淡得像在說今天食堂吃什麼。
「今天的訓練，兩道數論競賽題。」
「限時一節晚自習，能做出來的第二節晚自習自由活動。做不出來的，第二節繼續做！」
這是他的教學風格，和其他的競賽老師喜歡講課不同，他更傾向於讓學生自己理解。
有獎有懲，能做出來就可以自由活動，做不出來就繼續坐板凳。
教室中，聽到龔勤的話，參與競賽的學生中響起一陣輕微的騷動，所有人抬頭看向了黑板。
韓川也一樣，抬頭看向黑板上的兩道題。
一、求證：對於任意正整數n，存在一個n的倍數，其所有數字均為0或1。
二、證明：對任意正整數 n，總存在一個 n的倍數，其十進位表示中每一位數字都是奇數（即只包含 1， 3， 5， 7， 9中的數字）。
看了一遍題目，韓川先拾起筆，將黑板上的題目抄到了筆記本上，然後才開始思索。
這兩道題目都是數論題，而數論是競賽數學裡最不講道理的分支之一。
它不像幾何那樣可以靠輔助線打開局面，也不像代數那樣有固定的公式可以套。數論靠的是數感、是靈感、是對數字結構那種近乎神秘的洞察力。
有時候一道題卡住了，不是因為知識不夠，而是因為你沒有站在正確的角度去看它。
韓川先看向了第一問。
【求證對於任意正整數n，存在一個n的倍數，其所有數字均為0或1。】
盯著它看了一會，韓川腦海中的第一反應是直接尋找一個由0和1組成的數，並讓它被 n整除。
但下一刻，他就迅速將這個解題思路排除了。
因為 n是任意正整數，沒有規律可循。
這種基礎版的湊數和構造倍數，除非他能有一台超算，否則靠純算尋找答案的思路很顯然行不通。
「有意思，這個命題看起來平平無奇，但實際上難度還不小的樣子。」
看著題目，韓川念叨了一句，眼中帶上了感興趣和興奮的神色。
經過這些天的學習，他現在愈發喜歡用已有的知識挑戰自己的極限了。
若是能解開以前做不到的難題，那麼收穫就像是直接注射了內啡肽一樣快樂。
思索著，他重新閱讀了一遍題目。
如果構造倍數行不通，那麼將它和同餘掛鉤起來行嗎？
想著，他捏著筆迅速在潔白的稿紙上寫下了一行算式。
【考慮序列ak=11...1{k個1}其中 k=1，2，…，n+1，這 n+1個數模n的餘數只可能取0，1…，n−1。】
【由鴿巢原理，存在兩個不同的下標 i<j使得a i≡a j(mod n).】
【計算差aj-a i=....】
看著稿紙上的算式，韓川思索著。
如果一個數要同時是n的倍數，並且所有數字都是0或1，那麼它可以寫成若干個10的冪次之和的形式。
但這裡的問題轉化為：能否在10的冪次中找到若干個數，它們的和恰好被n整除。
「10的冪次模n的餘數...」
這個短語在他腦子裡一閃，像一根火柴劃亮了一片黑暗讓他幡然醒悟了過來。
拾筆，落筆。
一行行的算式快速地在稿紙上寫下。
「如果考慮數列10^1， 10^2， 10^3……一直到10^(n+1)，這n+1個數分別模n取餘數。」
「而模n的餘數只有n種可能——0到n-1。n+1個數放進n個盒子裡，根據鴿巢原理，至少有兩個數的餘數相同。」
「將 n+1個全1數模 n的餘數作為物體，餘數的可能取值（0，1，…，n−1）作為抽屜，再對其進行整除性處理，就可以了。」
很快，答案就計算了出來。
由於 gcd(n，10)=1，n與 10 ^i互質，因此n∣R。而 R的每一位都是 1，故 R即為所求的 n的倍數！
「搞定！」
筆鋒落下，韓川咧嘴笑了笑。
這題還真是有迷惑性，核心難度在於構造一個輔助數列。
如果用一般的構造倍數法來解題，他就算是解上一個晚上也算不出來。
但如果先構造輔助數列，再將『存在性』問題轉化為『重複餘數』問題，就很容易證明了！
解決了第一題，韓川迅速看向第二題。
【證明：對任意正整數 n，總存在一個 n的倍數，其十進位表示中每一位數字都是奇數（即只包含 1， 3， 5， 7， 9中的數字）。】
這道題與「僅由 0和 1組成」的結論類似，但限制為全奇數數字。
韓川嘗試用鴿巢原理解答了一下，但很快就遇到了困難。
因為兩個形如 111…1的數之差會產生末尾的 0，而 0是偶數。
很顯然，相比第一題，這道題目的難度上升了不止一星半點。
他隱隱約約感覺到，第二題的思路跟第一題應該有某種對稱性。
如果說第一題用的是10的冪次，第二題可能需要用到某種變形。
思索著，他在心裡把這個命題拆開、重組、從不同的角度去嘗試。
然後....然後他就卡住了。
看著稿紙上亂七八糟的算式，韓川有些頭疼地揉了揉太陽穴。
他感覺做出來了一半，能感覺到答案就在前面不遠的地方，但中間隔著一層薄霧，他看不清路。
就在這時，他帶過來放在桌角的數學教材微微亮了一下，一行字跡浮現了出來。
是葛軍的，筆鋒銳利如刀。
「你可真是個狗腦子，都想到了10的冪次可以構造全0的數，為什麼就不會轉彎！」
「蠢！」
很顯然看著韓川被第二題卡住這麼久，課本中的書靈葛大爺開始耐不住了，浮現出一行字跡『教育』他。
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