第二十一章：兩種解法！
聽到韓川說會一點點，方劍宇眼中閃過一絲訝異，遞過了一支粉筆。
韓川順手接過粉筆，在黑板上書寫了起來。
他沒有按照常規的解法步驟先建立微分方程，而是在那個巨大的三維坐標系旁邊，重新開闢了一塊空白區域。
【在電磁場中，帶電粒子的哈密頓量為H =(1/(2m))*(P - qA)²+ qφ+ mgz。】
【選取合適的規範。對於沿 z軸的勻強磁場 B，可取對稱規範：
A =(-By/2， Bx/2， 0)。】
【而電場 E沿-z方向，取電勢φ=-Ez。進一步將重力勢能 mgz與電勢能 qφ合併：V(z)= mgz - qEz =(mg - qE)z = 4qEz。】
【哈密頓量寫為：H =(1/(2m))*[(Px + qBy/2)²+(Py - qBx/2)²+ Pz²]+ 4qEz。】
【....在一個周期內，Pz與速度 vz的關係為 Pz = m * vz。小球在上下反彈點間速度由 V(z)決定。利用恆定加速度運動學，可以求得：Jz =(2√(2m)/(3π))* 4qE *(Δz/2)^(3/2)...】
....
講台上，韓川沿著哈密頓系統，先寫出系統的哈密頓量，然後拆解變量與作用量一步步的推導著。
教室中鴉雀無聲一片寂靜，大部分的同學都愣愣的看著台上的韓川不知道他在寫些什麼。
唯有坐在前排的那麼一兩個提前自學過部分大學內容和選修書籍，或者是嘗試參加過物理競賽的學霸盯著台上皺著眉頭思索著。
當然，這再正常不過了。
畢竟哈密頓量不是高中物理課程的常規學習內容，並不在高中生必修的知識中。
利用哈密頓量來解這種題目，是周培源老先生最近才教他的。
而在韓川不斷書寫著解題步驟的時候，講台上，方劍宇愣愣的看著黑板上的算式眼中滿是驚詫和不敢置信。
這道題對於一個普通的高中生來說是嚴重超綱的。
本來他喊韓川上來解題，只是想看看這個被曹穩稱讚的學生，在真正的難題面前會如何反應。
是胡寫一通，還是直接放棄？
老實說他根本就沒想過韓川能解答出來。
但現在，這個學生不僅在解答，而且用的居然還是普通高中生不會學的哈密頓量來進行解題。
這怎麼可能！？
一個上上次月考才51分，哪怕上次月考進步很快也才91分的學生，居然能解出來一道足夠放到競賽省賽上的大題？
不是，這學習天賦，這麼恐怖的嗎？！
講台上，韓川還在繼續，黑板上的算式已經寫得密密麻麻的一大片了。
【.....經過量綱匹配和代入已知條件 mg=5qE以及 qB = m√(g/R)，可以將上述變分方程簡化為：(4qE *Δz)=(qB)²/(2m)* R²，這與解法一中的核心比例式完全等價。】
【.....最後代入數據後解得：Δz = R/2，T = 2π√(R/g)。】
【.....】
一張黑板，小半邊是物理老師方劍宇寫的題目，而另外大半邊則是韓川完成的答案。
得到了最終答案後，他並沒有第一時間向方劍宇匯報，而是捏著粉筆頭退後了兩步，看了一下自己的解題成果。
「方老師。」
教室中鴉雀無聲，韓川輕喊了一聲愣在一旁的方劍宇。
回過神來，方劍宇看了一眼黑板上的答案，眼中和臉上滿是藏不住的激動和高興，一時間竟不知道該說什麼。
黑板上那密密麻麻的哈密頓量、正則動量、磁矢勢、作用量-角變量、絕熱不變量.....
這道競賽題，別說高二的學生，就是他這個物理老師，也不是一眼就能看出答案的，得用稿紙推導一下才行。
而眼前這個學生，這個兩個月前物理才考51分的學生，就這麼雲淡風輕地寫出來了。
「好好好！」
念叨了一句後，他深吸了口氣，看向韓川，開口問道：「這道題的常規解法哈密頓量是大學物理系才會學習的內容，你學過大學的內容？」
放下粉筆，韓川想了想，簡單地回答：「學過一些，這道題用高中力學解太麻煩了。」
「小球在磁場裡被洛倫茲力偏轉，加上邊界的彈性碰撞，軌跡會非常複雜，而且每次碰撞後方向都不同。」
「但如果把它放進哈密頓框架里，把系統寫成一個整體，再去找系統的守恆量和絕熱不變量，就不會被中間那些亂七八糟的軌跡干擾了。」
「周....呃，我自學的教材上講過，對於這種帶電磁場和邊界約束的動力學問題，分析力學比矢量力學好用很多。」
聽到這，方劍宇臉上露出了驚詫的神色，他追問道：「也就是說，你還能用其他的方法解這道題？」
韓川露出一個略帶靦腆的笑容，道：「其實我覺得還有另一種更簡單的方法。」
「嗯？」
這一次方劍宇是真的驚訝到了：「更簡單的方法？不用哈密頓量？」
韓川點了點頭，道：「可以不用。」
停頓了一下，他轉身接著在黑板上空白的區域上書寫了起來。
「這個題如果用分析力學來處理，雖然嚴謹，但過程太長。」
「而它要求的是最終的穩定振幅和周期，那麼看這一點，其實可以換一個更直接的思路的。」
「也就是不去追蹤粒子在磁場裡怎麼拐彎，怎麼碰撞，只看它最終進入的那個穩定運動狀態。」
「因為在能量關係里，洛倫茲力只負責改變運動方向，不改變動能大小。驅動小球在豎直方向往返的核心，是重力與電場力的合力。」
「而豎直方向的合力是mg - qE，代入題目給的mg = 5qE，得到Fz = 4qE，方向向下。這個力在整個運動過程中是恆定的。」
「也就是驅動功率∝(4qE·Δz)/ T，磁約束功率∝[(qB)²/ m]· R²/ T。」
「然後兩者在穩定狀態時相等，T消去，可以得到4qE·Δz = C·(qB)²/ m· R².....」
一邊在黑板上書寫著算式，韓川一邊簡單的介紹了一下自己的解題思路。
粉筆在黑板上發出清脆的嗒嗒聲，相對比之前使用哈密頓量解題的步驟來說，這一種方法的解題步驟幾乎只有不到三分之一。
寥寥數行，韓川就已經計算出來了周期T就是磁場中的迴旋周期：【T = 2πm/(qB)= 2π√(R/g)】
......
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韓川順手接過粉筆，在黑板上書寫了起來。
他沒有按照常規的解法步驟先建立微分方程，而是在那個巨大的三維坐標系旁邊，重新開闢了一塊空白區域。
【在電磁場中，帶電粒子的哈密頓量為H =(1/(2m))*(P - qA)²+ qφ+ mgz。】
【選取合適的規範。對於沿 z軸的勻強磁場 B，可取對稱規範：
A =(-By/2， Bx/2， 0)。】
【而電場 E沿-z方向，取電勢φ=-Ez。進一步將重力勢能 mgz與電勢能 qφ合併：V(z)= mgz - qEz =(mg - qE)z = 4qEz。】
【哈密頓量寫為：H =(1/(2m))*[(Px + qBy/2)²+(Py - qBx/2)²+ Pz²]+ 4qEz。】
【....在一個周期內，Pz與速度 vz的關係為 Pz = m * vz。小球在上下反彈點間速度由 V(z)決定。利用恆定加速度運動學，可以求得：Jz =(2√(2m)/(3π))* 4qE *(Δz/2)^(3/2)...】
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講台上，韓川沿著哈密頓系統，先寫出系統的哈密頓量，然後拆解變量與作用量一步步的推導著。
教室中鴉雀無聲一片寂靜，大部分的同學都愣愣的看著台上的韓川不知道他在寫些什麼。
唯有坐在前排的那麼一兩個提前自學過部分大學內容和選修書籍，或者是嘗試參加過物理競賽的學霸盯著台上皺著眉頭思索著。
當然，這再正常不過了。
畢竟哈密頓量不是高中物理課程的常規學習內容，並不在高中生必修的知識中。
利用哈密頓量來解這種題目，是周培源老先生最近才教他的。
而在韓川不斷書寫著解題步驟的時候，講台上，方劍宇愣愣的看著黑板上的算式眼中滿是驚詫和不敢置信。
這道題對於一個普通的高中生來說是嚴重超綱的。
本來他喊韓川上來解題，只是想看看這個被曹穩稱讚的學生，在真正的難題面前會如何反應。
是胡寫一通，還是直接放棄？
老實說他根本就沒想過韓川能解答出來。
但現在，這個學生不僅在解答，而且用的居然還是普通高中生不會學的哈密頓量來進行解題。
這怎麼可能！？
一個上上次月考才51分，哪怕上次月考進步很快也才91分的學生，居然能解出來一道足夠放到競賽省賽上的大題？
不是，這學習天賦，這麼恐怖的嗎？！
講台上，韓川還在繼續，黑板上的算式已經寫得密密麻麻的一大片了。
【.....經過量綱匹配和代入已知條件 mg=5qE以及 qB = m√(g/R)，可以將上述變分方程簡化為：(4qE *Δz)=(qB)²/(2m)* R²，這與解法一中的核心比例式完全等價。】
【.....最後代入數據後解得：Δz = R/2，T = 2π√(R/g)。】
【.....】
一張黑板，小半邊是物理老師方劍宇寫的題目，而另外大半邊則是韓川完成的答案。
得到了最終答案後，他並沒有第一時間向方劍宇匯報，而是捏著粉筆頭退後了兩步，看了一下自己的解題成果。
「方老師。」
教室中鴉雀無聲，韓川輕喊了一聲愣在一旁的方劍宇。
回過神來，方劍宇看了一眼黑板上的答案，眼中和臉上滿是藏不住的激動和高興，一時間竟不知道該說什麼。
黑板上那密密麻麻的哈密頓量、正則動量、磁矢勢、作用量-角變量、絕熱不變量.....
這道競賽題，別說高二的學生，就是他這個物理老師，也不是一眼就能看出答案的，得用稿紙推導一下才行。
而眼前這個學生，這個兩個月前物理才考51分的學生，就這麼雲淡風輕地寫出來了。
「好好好！」
念叨了一句後，他深吸了口氣，看向韓川，開口問道：「這道題的常規解法哈密頓量是大學物理系才會學習的內容，你學過大學的內容？」
放下粉筆，韓川想了想，簡單地回答：「學過一些，這道題用高中力學解太麻煩了。」
「小球在磁場裡被洛倫茲力偏轉，加上邊界的彈性碰撞，軌跡會非常複雜，而且每次碰撞後方向都不同。」
「但如果把它放進哈密頓框架里，把系統寫成一個整體，再去找系統的守恆量和絕熱不變量，就不會被中間那些亂七八糟的軌跡干擾了。」
「周....呃，我自學的教材上講過，對於這種帶電磁場和邊界約束的動力學問題，分析力學比矢量力學好用很多。」
聽到這，方劍宇臉上露出了驚詫的神色，他追問道：「也就是說，你還能用其他的方法解這道題？」
韓川露出一個略帶靦腆的笑容，道：「其實我覺得還有另一種更簡單的方法。」
「嗯？」
這一次方劍宇是真的驚訝到了：「更簡單的方法？不用哈密頓量？」
韓川點了點頭，道：「可以不用。」
停頓了一下，他轉身接著在黑板上空白的區域上書寫了起來。
「這個題如果用分析力學來處理，雖然嚴謹，但過程太長。」
「而它要求的是最終的穩定振幅和周期，那麼看這一點，其實可以換一個更直接的思路的。」
「也就是不去追蹤粒子在磁場裡怎麼拐彎，怎麼碰撞，只看它最終進入的那個穩定運動狀態。」
「因為在能量關係里，洛倫茲力只負責改變運動方向，不改變動能大小。驅動小球在豎直方向往返的核心，是重力與電場力的合力。」
「而豎直方向的合力是mg - qE，代入題目給的mg = 5qE，得到Fz = 4qE，方向向下。這個力在整個運動過程中是恆定的。」
「也就是驅動功率∝(4qE·Δz)/ T，磁約束功率∝[(qB)²/ m]· R²/ T。」
「然後兩者在穩定狀態時相等，T消去，可以得到4qE·Δz = C·(qB)²/ m· R².....」
一邊在黑板上書寫著算式，韓川一邊簡單的介紹了一下自己的解題思路。
粉筆在黑板上發出清脆的嗒嗒聲，相對比之前使用哈密頓量解題的步驟來說，這一種方法的解題步驟幾乎只有不到三分之一。
寥寥數行，韓川就已經計算出來了周期T就是磁場中的迴旋周期：【T = 2πm/(qB)= 2π√(R/g)】
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