第53章 剛才我算到哪來了
第二道題是幾何題，關於圓內接四邊形的性質。
陳末沒有使用解析幾何建系，以他現在的屬性，幾乎一眼就看出了這道題的本質。
在數學直覺和洞察力的雙重加持下，他只用了五分鐘，就通過幾何的方式給出了證明。
然後是第三道題。
陳末翻開試卷最後一頁，看到題目時，眉頭微微皺起。
【題3】設n是大於1的整數。定義
（1）證明：當n為奇數時，F(n)=2^−φ(n)。
（2）設p是奇素數，證明：
（3）利用上述結果，證明：對於任意正整數n>1，有F(n)=√n/2^φ(n)⋅μ(n)
其中μ(n)是莫比烏斯函數，並討論μ(n)取值為0，±1的情況與F(n)的關係。
果然，一試的題目簡單，二試的題目必定會上難度，尤其是這第三題，跟之前做過的題已經幾乎不是一個檔次的題目了。
這道數論的題目，考的知識點極深，即便是普通數學系的大學生來，恐怕也不一定能做得出來。
在陳末前方不遠處，林知遠興奮的搓了搓手，作為一個去年就拿到過CMO金牌的選手，前面做的那些題都讓他很不過癮。
因為這些題他會做，其他人也會做。
但看到這道題，他終於開心的笑了，他知道，重頭戲終於來了，省賽應該就是通過這道題來篩選進入冬令營的名額。
反覆讀了好幾次題目，林知遠才開始在草稿紙上推導，
第一問還算比較簡單，只需要利用復根法，考慮 x^{2n}-1=0的根ω_k=e^{πik/n}，則sin(kπ/2n)=∣ωk−1∣/2，然後通過分解 x^{2n}-1=(x^n-1)(x^n+1)，提取與gcd(k，n)=1對應的因子，就能得到F(n)=2^−φ(n)。
花了二十多分鐘，做完第一問，林知遠只覺得神清氣爽，挺直了腰背，在原地得意了好一會兒，這才看向第二小問。
這一次，他思考了一會兒，然後開始動筆，利用x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+……+ 1)，令x=1得到p=∏_{k=1}^{p−1}∣1−e^{2πik/p}∣，只需要將這個式子換成正弦表示，就能得到第二問的結果。
做完這道題，林知遠額頭上已經冒出了幾滴細密的汗珠，就連他也感到有些吃力了。
「看得出來，今年這題還真是北大的老師出的!」
林知遠在心中腹誹，這難度，跟他去年做的完全不一樣了，如果不是去年經過CMO的磨礪，又多學習了一年，他恐怕也會在這道題上栽跟頭。
他下意識的往回看了眼，可惜他的位置因為角度問題，看不到後方的陳末和邱明遠，他也不好做得太過分，否則被監考老師認為是作弊，那可就沒地說理了。
但他不用看也知道，那兩個傢伙必定也被這道題困住了。
沒有耽擱時間，他看向了第三小問。
經過一番推導後，林知遠很快來了靈感。
「只需要利用容斥原理，將F(n)寫成F(n)=∏_d∣nG(d)^μ(d)的形式，G(d)是某個已知乘積，然後代入計算……」
嘴裡念念有詞，林知遠眼睛越來越亮，雙手運行如飛，在草稿紙上寫下一行又一行的推導過程。
嘩嘩嘩……
一連寫了好幾張草稿紙，林知遠還沒能算出結果，這個證明過程需要大量代數運算和分類討論。
林知遠額頭已經開始冒出豆大的汗珠，但他徹底沉浸在了其中，做得酣暢淋漓。
這一刻他根本沒有任何爭勝的念頭，沒有任何其他的念頭，只有眼前這道題!
同一考室中，其他同學看向林知遠的方向，暗暗心驚，「不愧是學霸，竟然文思泉湧。」
他們看著題目腦子裡卻是一片空白，根本沒有半點思路。
好絕望。
另一邊，陳末也正在運筆如飛的推導第三小問的證明過程。
如果這是學校的考核，此時他或許已經放棄了推導，因為他覺得這道題的難度已經超過了他所學的知識點，所以才會有如此複雜的推導過程。
數學，不應該如此複雜才對。
根據陳末這些天對數學的了解，他覺得，數學應該是簡潔優雅的存在。
如果某個結論過於繁瑣複雜，那麼一定是得出這個結論的人沒有找到正確的方法。
他的直覺一直告訴他，快停下來，不應該是這樣的。
但這是省賽，所以他決定推導試試看。
再次推導了一會兒，陳末忽然停筆，在推導過程中，他忽然發現，如果把F(n)寫成F(n)=1/2φ(n)∏_{1≤k≤ngcd(k，n)=1}∣1−e^{πik/n}∣，那麼就可以引入特徵和。
設χ是模n的Dirichlet特徵，定義高斯和G(χ)=∑_{k=1}^nχ(k)e^{πik/n}。
然後經過一系列推導，就能得到一個恆等式，對於任意正整數m，χ_m是模m的某個特徵，則∑^mχ_m(k)e^{πik/m}=√m⋅(某個值為±1或0的因子).
最後驗證小n的情況，就能得到，這個求和實際上等於μ(n)⋅√n。
這樣根本就不用去進行大量繁瑣的代數運算和分類討論，就能完成最後一小問的證明。
看了看時間，還剩一個半小時。
想到周老師的囑咐，陳末再次埋頭，又仔細的檢查了一遍三道題目。
十分鐘過去，陳末再次抬起頭。
沒什麼問題。
於是，他收拾好文具，起身往教室外走去。
如果是其他時候，他或許也不會如此草率，上午他也沒有提前交卷，但現在不一樣，他激發的【頭腦清晰】效果還在。
這是一次性的增益，還剩一個多小時，要是就在考室里干坐著，那也太浪費了，他決定先回去學習。
「誒，同學……」
監考老師還準備詢問一番，但看到那張寫得滿滿的試卷，他選擇了閉嘴。
同一個考室的考生們卻睜大了眼睛。
「我還在做第二道大題，他就交卷了？」
「難道這次的題很簡單，是自己做的方法不對？」
不少同學心頭有些慌神，一時間心慌意亂，都沒辦法集中注意力做題。
「省賽還耍帥？」
「真是太兒戲了！」
也有一些同學認為陳末只是在裝，這次的題目他們正在做，怎麼會不知道難度，不要說一個小時，就算是兩個半小時，也不一定能做得完。
林知遠和邱明遠也都抬頭，兩人眼中滿是迷惑。
經過這兩天的接觸，他們知道陳末不是一個高調的人，他們也認可陳末的實力，認為陳末不可能做不出來第三道大題。
所以，他這就做完了?
怎麼會這麼快？
以這道題的計算量，沒有一個小時根本搞不定，這傢伙怎麼就提前交卷了？
難道他放棄了？
林知遠心中不斷猜測，但他還是搖了搖頭，他不認為陳末是不會做放棄了。
那麼，就只有一種可能，陳末真的做完了。
林知遠如臨大敵，感覺到了一絲壓力。
他再次收回注意力，回到草稿紙上。
下一秒，林知遠心態差點爆炸。
「艹，剛才我算到哪來了？」
「陳末誤我啊！」
陳末沒有使用解析幾何建系，以他現在的屬性，幾乎一眼就看出了這道題的本質。
在數學直覺和洞察力的雙重加持下，他只用了五分鐘，就通過幾何的方式給出了證明。
然後是第三道題。
陳末翻開試卷最後一頁，看到題目時，眉頭微微皺起。
【題3】設n是大於1的整數。定義
（1）證明：當n為奇數時，F(n)=2^−φ(n)。
（2）設p是奇素數，證明：
（3）利用上述結果，證明：對於任意正整數n>1，有F(n)=√n/2^φ(n)⋅μ(n)
其中μ(n)是莫比烏斯函數，並討論μ(n)取值為0，±1的情況與F(n)的關係。
果然，一試的題目簡單，二試的題目必定會上難度，尤其是這第三題，跟之前做過的題已經幾乎不是一個檔次的題目了。
這道數論的題目，考的知識點極深，即便是普通數學系的大學生來，恐怕也不一定能做得出來。
在陳末前方不遠處，林知遠興奮的搓了搓手，作為一個去年就拿到過CMO金牌的選手，前面做的那些題都讓他很不過癮。
因為這些題他會做，其他人也會做。
但看到這道題，他終於開心的笑了，他知道，重頭戲終於來了，省賽應該就是通過這道題來篩選進入冬令營的名額。
反覆讀了好幾次題目，林知遠才開始在草稿紙上推導，
第一問還算比較簡單，只需要利用復根法，考慮 x^{2n}-1=0的根ω_k=e^{πik/n}，則sin(kπ/2n)=∣ωk−1∣/2，然後通過分解 x^{2n}-1=(x^n-1)(x^n+1)，提取與gcd(k，n)=1對應的因子，就能得到F(n)=2^−φ(n)。
花了二十多分鐘，做完第一問，林知遠只覺得神清氣爽，挺直了腰背，在原地得意了好一會兒，這才看向第二小問。
這一次，他思考了一會兒，然後開始動筆，利用x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+……+ 1)，令x=1得到p=∏_{k=1}^{p−1}∣1−e^{2πik/p}∣，只需要將這個式子換成正弦表示，就能得到第二問的結果。
做完這道題，林知遠額頭上已經冒出了幾滴細密的汗珠，就連他也感到有些吃力了。
「看得出來，今年這題還真是北大的老師出的!」
林知遠在心中腹誹，這難度，跟他去年做的完全不一樣了，如果不是去年經過CMO的磨礪，又多學習了一年，他恐怕也會在這道題上栽跟頭。
他下意識的往回看了眼，可惜他的位置因為角度問題，看不到後方的陳末和邱明遠，他也不好做得太過分，否則被監考老師認為是作弊，那可就沒地說理了。
但他不用看也知道，那兩個傢伙必定也被這道題困住了。
沒有耽擱時間，他看向了第三小問。
經過一番推導後，林知遠很快來了靈感。
「只需要利用容斥原理，將F(n)寫成F(n)=∏_d∣nG(d)^μ(d)的形式，G(d)是某個已知乘積，然後代入計算……」
嘴裡念念有詞，林知遠眼睛越來越亮，雙手運行如飛，在草稿紙上寫下一行又一行的推導過程。
嘩嘩嘩……
一連寫了好幾張草稿紙，林知遠還沒能算出結果，這個證明過程需要大量代數運算和分類討論。
林知遠額頭已經開始冒出豆大的汗珠，但他徹底沉浸在了其中，做得酣暢淋漓。
這一刻他根本沒有任何爭勝的念頭，沒有任何其他的念頭，只有眼前這道題!
同一考室中，其他同學看向林知遠的方向，暗暗心驚，「不愧是學霸，竟然文思泉湧。」
他們看著題目腦子裡卻是一片空白，根本沒有半點思路。
好絕望。
另一邊，陳末也正在運筆如飛的推導第三小問的證明過程。
如果這是學校的考核，此時他或許已經放棄了推導，因為他覺得這道題的難度已經超過了他所學的知識點，所以才會有如此複雜的推導過程。
數學，不應該如此複雜才對。
根據陳末這些天對數學的了解，他覺得，數學應該是簡潔優雅的存在。
如果某個結論過於繁瑣複雜，那麼一定是得出這個結論的人沒有找到正確的方法。
他的直覺一直告訴他，快停下來，不應該是這樣的。
但這是省賽，所以他決定推導試試看。
再次推導了一會兒，陳末忽然停筆，在推導過程中，他忽然發現，如果把F(n)寫成F(n)=1/2φ(n)∏_{1≤k≤ngcd(k，n)=1}∣1−e^{πik/n}∣，那麼就可以引入特徵和。
設χ是模n的Dirichlet特徵，定義高斯和G(χ)=∑_{k=1}^nχ(k)e^{πik/n}。
然後經過一系列推導，就能得到一個恆等式，對於任意正整數m，χ_m是模m的某個特徵，則∑^mχ_m(k)e^{πik/m}=√m⋅(某個值為±1或0的因子).
最後驗證小n的情況，就能得到，這個求和實際上等於μ(n)⋅√n。
這樣根本就不用去進行大量繁瑣的代數運算和分類討論，就能完成最後一小問的證明。
看了看時間，還剩一個半小時。
想到周老師的囑咐，陳末再次埋頭，又仔細的檢查了一遍三道題目。
十分鐘過去，陳末再次抬起頭。
沒什麼問題。
於是，他收拾好文具，起身往教室外走去。
如果是其他時候，他或許也不會如此草率，上午他也沒有提前交卷，但現在不一樣，他激發的【頭腦清晰】效果還在。
這是一次性的增益，還剩一個多小時，要是就在考室里干坐著，那也太浪費了，他決定先回去學習。
「誒，同學……」
監考老師還準備詢問一番，但看到那張寫得滿滿的試卷，他選擇了閉嘴。
同一個考室的考生們卻睜大了眼睛。
「我還在做第二道大題，他就交卷了？」
「難道這次的題很簡單，是自己做的方法不對？」
不少同學心頭有些慌神，一時間心慌意亂，都沒辦法集中注意力做題。
「省賽還耍帥？」
「真是太兒戲了！」
也有一些同學認為陳末只是在裝，這次的題目他們正在做，怎麼會不知道難度，不要說一個小時，就算是兩個半小時，也不一定能做得完。
林知遠和邱明遠也都抬頭，兩人眼中滿是迷惑。
經過這兩天的接觸，他們知道陳末不是一個高調的人，他們也認可陳末的實力，認為陳末不可能做不出來第三道大題。
所以，他這就做完了?
怎麼會這麼快？
以這道題的計算量，沒有一個小時根本搞不定，這傢伙怎麼就提前交卷了？
難道他放棄了？
林知遠心中不斷猜測，但他還是搖了搖頭，他不認為陳末是不會做放棄了。
那麼，就只有一種可能，陳末真的做完了。
林知遠如臨大敵，感覺到了一絲壓力。
他再次收回注意力，回到草稿紙上。
下一秒，林知遠心態差點爆炸。
「艹，剛才我算到哪來了？」
「陳末誤我啊！」