第28章 這就是競賽生的實力嗎？
緊接著，錢峰在黑板上快速的寫下一道題目。
【在8×8的西洋棋棋盤上放置若干個「車」，使得：
1.每個格子至少被一個車控制（車可橫向或縱向攻擊）；
2.任何兩個車互不攻擊。
求最少需要多少個車？證明你的結論。】
這道題目的結果並不難得出，徐曉也是略微的思考了一會兒，就知道最少應該8個車，每個車放在主對角線上就可以了。
不過想要準確的證明出這個結論，並沒有想像中的那麼容易。
正在徐曉思考著要如何證明的時候，只見前排的一名學生說道：
「用貪心算法很容易得出，至少8個車就可以了。證明的話，我們假設可以放k個車，這個k是小於8的正整數，這樣就會同時剩下8-k行和8-k列沒有車……」
聽著這個同學的證明思路，徐曉也是一副恍然大悟的樣子。
這個同學採取的思路是反證法，如果假設成立，那麼就會存在至少一個沒有任何車控制的格子，從而與假設矛盾。
如果給徐曉足夠多的時間，他也許也能想到同樣的方法，但絕對沒法有這麼快的思考速度。
「這就是競賽生的實力嗎？真是強得有些可怕了。」
哪怕徐曉已經在全神貫注的思考了，似乎還是要跟他們差出了一些。
「何慕舟同學說得很好，這個思路是完全正確的。」
得到錢峰的表揚，何慕舟的臉上卻沒有什麼高興的表情，似乎對此早就習以為常了。
作為本屆育才數競隊實力最強的學生之一，何慕舟幾乎已經鎖定了一個競賽的參賽名額，甚至未來進入省隊也是有很大希望的。
昨天錢峰布置的那些題目，除了一道非常難的之外，其他何慕舟全都做對了。
而另一邊，徐曉的思維依然留在了上一道題目上。
「其實這種題目，用代碼的方法也是可以做出來的。」
作為前世的程式設計師，用代碼解決問題算是徐曉的職業習慣了。
像這種相對簡單的問題，用代碼似乎有些沒有必要，但代碼的好處就是具有較強的推廣性，哪怕問題變得複雜，也同樣可以使用類似的代碼去解決。
只是高中數競應該是不允許使用計算機的，這讓徐曉的這項技能就顯得有些沒有用武之地了。
「當然，像剛才那道西洋棋的題目，我們也可以繼續進行推廣，比如說把車換成象、馬，或是皇后等等。
「因為這些問題的計算量太大，大家回去思考一下建模思路就可以，不需要計算出具體的結果。」
何慕舟當場便思考了起來，這其中，把車換成象的問題，相對來說要比較容易思考一些。
之前的車是橫豎移動，可以使用二分圖匹配的思路進行建模，而象沿斜線移動，同樣可以用二分圖的思路，只是需要再格外區分一下黑白格。
可是當把棋子換成皇后的話，問題就馬上變得完全不同了。
因為皇后是既可以橫豎移動，又可以沿斜線移動，這讓問題的複雜程度直接提升了不只一個數量級。
思考了一會兒，何慕舟還是不得不將這些問題暫時擱置下來。
而另一邊，徐曉已經在草稿紙上寫出了每種問題的處理思路。
「皇后問題可以用算法思維逼近，寫一個DFS搜索程序，再用剪枝優化就可以了。」
「馬的話，就用圖論著色的建模方式，屬於四色定理的變體，代碼應該也不難寫。」
只可惜自己手頭並沒有電腦，要不然徐曉分分鐘就能把這些問題都給算出來。
接下來的課程，徐曉基本上都能聽得大差不差，能夠跟得上錢峰的節奏。
雖然徐曉自認為自己的天賦一般，但至少在專注狀態下，他還不至於被這些競賽生給拉開差距。
這個時候，錢峰又在黑板上寫下一道新的題目。
【設S是{1，2，...，2005}的一個子集，且S中任意兩個不同的元素之和不被9整除。求S的最大可能元素個數。】
「這是一道競賽原題，大家先看一下題，然後我講一下解題思路。」
這次徐曉的反應要比之前快很多，聽過前面的課之後，他對於這類題目的解題技巧已經有了一定的了解。
「先根據除以9的餘數，將這些數分成9類，然後計算每一類的元素個數……」
還沒等錢峰開講，徐曉已經在草稿紙上寫下了「893」這個結果。
在徐曉完成計算過後的幾秒，何慕舟這才得出了同樣的結果。
錢峰並沒有給學生們留出太多的思考時間，一兩分鐘後便馬上講解了起來。
不出意外的是，錢峰的思路跟徐曉基本是一致的，最終的計算結果也完全相同。
…………
結束了一上午的數競集訓，徐曉還是感覺到有些疲憊了。
本來數競的訓練強度就比較大，更何況這一上午徐曉基本一直都處於專注狀態中，大腦就沒怎麼休息過。
要是下午再這麼來一次的話，徐曉恐怕是很難吃得消的。
下課後，徐曉來到了講台前。
「老師，能打擾您一下嗎？」
「啊，小同學，你有什麼事情就說吧。」
錢峰對徐曉還是挺感興趣的，在之前的高中數競教學之中，他確實還沒有教過這么小的孩子。
「我想了解一下，備考數競都需要學習哪些教材？」
「沒問題，要學習的教材還挺多的，你最好拿筆記一下吧。」
「嗯，好的。」
徐曉拿出剛剛課上用的本子，隨便翻開一頁做好了記錄的準備。
「數競主要分四大模塊，分別是代數、數論、組合與幾何。
「代數部分，你先看一下《高中數學競賽培優教程》和《不等式的秘密》。
「數論的話，我推薦《初等數論》，先看前四章的內容就可以……」
錢峰一連串推薦了十多本教材，而這些也只是基礎的部分而已。
「如果能夠學透這些的話，一試應該就沒太大問題了，二試也差不多能做出一兩道題。
「但要是想做二試的難題，或是衝擊省隊的話，要學的東西就更多、更複雜了。」
【在8×8的西洋棋棋盤上放置若干個「車」，使得：
1.每個格子至少被一個車控制（車可橫向或縱向攻擊）；
2.任何兩個車互不攻擊。
求最少需要多少個車？證明你的結論。】
這道題目的結果並不難得出，徐曉也是略微的思考了一會兒，就知道最少應該8個車，每個車放在主對角線上就可以了。
不過想要準確的證明出這個結論，並沒有想像中的那麼容易。
正在徐曉思考著要如何證明的時候，只見前排的一名學生說道：
「用貪心算法很容易得出，至少8個車就可以了。證明的話，我們假設可以放k個車，這個k是小於8的正整數，這樣就會同時剩下8-k行和8-k列沒有車……」
聽著這個同學的證明思路，徐曉也是一副恍然大悟的樣子。
這個同學採取的思路是反證法，如果假設成立，那麼就會存在至少一個沒有任何車控制的格子，從而與假設矛盾。
如果給徐曉足夠多的時間，他也許也能想到同樣的方法，但絕對沒法有這麼快的思考速度。
「這就是競賽生的實力嗎？真是強得有些可怕了。」
哪怕徐曉已經在全神貫注的思考了，似乎還是要跟他們差出了一些。
「何慕舟同學說得很好，這個思路是完全正確的。」
得到錢峰的表揚，何慕舟的臉上卻沒有什麼高興的表情，似乎對此早就習以為常了。
作為本屆育才數競隊實力最強的學生之一，何慕舟幾乎已經鎖定了一個競賽的參賽名額，甚至未來進入省隊也是有很大希望的。
昨天錢峰布置的那些題目，除了一道非常難的之外，其他何慕舟全都做對了。
而另一邊，徐曉的思維依然留在了上一道題目上。
「其實這種題目，用代碼的方法也是可以做出來的。」
作為前世的程式設計師，用代碼解決問題算是徐曉的職業習慣了。
像這種相對簡單的問題，用代碼似乎有些沒有必要，但代碼的好處就是具有較強的推廣性，哪怕問題變得複雜，也同樣可以使用類似的代碼去解決。
只是高中數競應該是不允許使用計算機的，這讓徐曉的這項技能就顯得有些沒有用武之地了。
「當然，像剛才那道西洋棋的題目，我們也可以繼續進行推廣，比如說把車換成象、馬，或是皇后等等。
「因為這些問題的計算量太大，大家回去思考一下建模思路就可以，不需要計算出具體的結果。」
何慕舟當場便思考了起來，這其中，把車換成象的問題，相對來說要比較容易思考一些。
之前的車是橫豎移動，可以使用二分圖匹配的思路進行建模，而象沿斜線移動，同樣可以用二分圖的思路，只是需要再格外區分一下黑白格。
可是當把棋子換成皇后的話，問題就馬上變得完全不同了。
因為皇后是既可以橫豎移動，又可以沿斜線移動，這讓問題的複雜程度直接提升了不只一個數量級。
思考了一會兒，何慕舟還是不得不將這些問題暫時擱置下來。
而另一邊，徐曉已經在草稿紙上寫出了每種問題的處理思路。
「皇后問題可以用算法思維逼近，寫一個DFS搜索程序，再用剪枝優化就可以了。」
「馬的話，就用圖論著色的建模方式，屬於四色定理的變體，代碼應該也不難寫。」
只可惜自己手頭並沒有電腦，要不然徐曉分分鐘就能把這些問題都給算出來。
接下來的課程，徐曉基本上都能聽得大差不差，能夠跟得上錢峰的節奏。
雖然徐曉自認為自己的天賦一般，但至少在專注狀態下，他還不至於被這些競賽生給拉開差距。
這個時候，錢峰又在黑板上寫下一道新的題目。
【設S是{1，2，...，2005}的一個子集，且S中任意兩個不同的元素之和不被9整除。求S的最大可能元素個數。】
「這是一道競賽原題，大家先看一下題，然後我講一下解題思路。」
這次徐曉的反應要比之前快很多，聽過前面的課之後，他對於這類題目的解題技巧已經有了一定的了解。
「先根據除以9的餘數，將這些數分成9類，然後計算每一類的元素個數……」
還沒等錢峰開講，徐曉已經在草稿紙上寫下了「893」這個結果。
在徐曉完成計算過後的幾秒，何慕舟這才得出了同樣的結果。
錢峰並沒有給學生們留出太多的思考時間，一兩分鐘後便馬上講解了起來。
不出意外的是，錢峰的思路跟徐曉基本是一致的，最終的計算結果也完全相同。
…………
結束了一上午的數競集訓，徐曉還是感覺到有些疲憊了。
本來數競的訓練強度就比較大，更何況這一上午徐曉基本一直都處於專注狀態中，大腦就沒怎麼休息過。
要是下午再這麼來一次的話，徐曉恐怕是很難吃得消的。
下課後，徐曉來到了講台前。
「老師，能打擾您一下嗎？」
「啊，小同學，你有什麼事情就說吧。」
錢峰對徐曉還是挺感興趣的，在之前的高中數競教學之中，他確實還沒有教過這么小的孩子。
「我想了解一下，備考數競都需要學習哪些教材？」
「沒問題，要學習的教材還挺多的，你最好拿筆記一下吧。」
「嗯，好的。」
徐曉拿出剛剛課上用的本子，隨便翻開一頁做好了記錄的準備。
「數競主要分四大模塊，分別是代數、數論、組合與幾何。
「代數部分，你先看一下《高中數學競賽培優教程》和《不等式的秘密》。
「數論的話，我推薦《初等數論》，先看前四章的內容就可以……」
錢峰一連串推薦了十多本教材，而這些也只是基礎的部分而已。
「如果能夠學透這些的話，一試應該就沒太大問題了，二試也差不多能做出一兩道題。
「但要是想做二試的難題，或是衝擊省隊的話，要學的東西就更多、更複雜了。」