第84章 p進數（求追讀求月票）
發現被叫上黑板的人不是自己，班傑明稍稍有些遺憾。
這道題他其實已經有了思路。
不過他很快轉頭看向講台上的李傲，他也想看看，李傲會怎麼處理這道題。
座位上，麥可往凱文那邊傾了傾身子，瞥了一眼對方草稿紙上寫了一半的推導過程，壓低聲音問：「怎麼樣，你有思路了沒？」
「有了一點，還在推。」凱文搖搖頭，視線轉向講台，「不過以李傲的數論水平，這題應該難不住他。」
黑板前，李傲拿著粉筆，從頭掃了一遍題目條件。
幾秒鐘的功夫，幾種解法已經在腦海里過了個大概。
他沒在意背後的竊竊私語，直接抬手落筆。
「先令 u=a^(p-1)。題設等價於 u=1+p^2c。在 p進數中取對數，可得 v_p(log u)≥2……」
粉筆在黑板上敲出輕響。他直接越過了繁雜的同餘展開，寫下結論：
「因此，u^(p^(n-1))-1至少含有因子 p^(n+1)。也就是說，a^(p^(n-1)(p-1))≡1 mod p^(n+1)。」
「如果把指數中的 p^(n-1)縮小，並取 c不能被 p整除的情況，賦值會下降一階，結論就不再成立。」
這就是數論中的 p進數理論——直接用高等數學的標準工具來降維處理競賽題。
寫完最後一行，李傲轉過身：
「寫完了。」
教室里安靜了片刻。
除了卡爾森教授，底下的幾個隊員基本只看懂了前半段的同餘條件，到了 p進對數那幾行，就看不明白了。
班傑明盯著黑板上的推導，眉頭微微皺起。
雖然看不太懂，但憑他的數學直覺，也知道這個思路繞開了大段繁瑣的同餘展開，比他自己想到的方法簡練得多。
「這是什麼方法……居然繞開了繁瑣的同餘展開，比我的做法省了太多步驟。」
他正琢磨著，講台旁的卡爾森教授開了口。
卡爾森其實有些意外。
他原以為這道題能難住李傲，藉機敲打一下這個上課走神的學員，沒料到對方不僅證得輕鬆，用的還是 p進數理論。
畢竟怎麼看，這都不像是一個高中競賽生該掌握的知識。
「這孩子以前系統學過代數數論？」卡爾森暗自思忖。
他輕咳了兩聲掩飾意外，隨即收起隨意的神色，向眾人強調起 IMO解題工具的邊界：
「Leo，你這套證明邏輯上確實沒問題。但是，用p進數理論解題不符合 IMO的規範。在正賽里，像 p進數、群論這種超綱的高數工具是被禁用的。如果你在考場上這麼寫，一分也拿不到。」
對於接觸過高等數學的學生來說，遇到難題的第一反應往往是直接調用合理的工具，而不是去思考技巧。
就像中學生做小學奧數題，總會下意識地列方程一樣。
但 IMO畢竟不是大學期末考試，參賽者必須用初等數學的方法把問題講透。
李傲聽罷，停下正要走下講台的腳步，點點頭：「這樣啊。」
說完，他沒怎麼遲疑，當即轉過身，在黑板的另一側寫起初等解法。
「設 a^(p-1)=1+p^2t。那麼 a^(p^(n-1)(p-1))就等於(1+p^2t)^(p^(n-1))……」
粉筆字寫得飛快。
作二項展開後，常數項之後的第一項正好是 1+p^(n+1)t，後面的各項都含有更高次的 p，因此模 p^(n+1)仍然余 1。
同理，如果指數里少一個 p，且 t本身不能被 p整除，那麼第一個非平凡項只能到 p^n，結論就未必成立。
這套初等解法寫下來，耗時比剛才也長不了多少。
卡爾森教授迅速檢查了一遍。
確認沒有任何漏洞後，他愣了一下。
他完全沒想到，李傲不僅會用代數數論的方法，換回初等方法後依舊寫得這麼幹淨利落。
能在短時間內用兩種截然不同的思路解同一道題，說明這學生對數論的理解非常紮實。
據卡爾森所知，哪怕是一些高年級本科生，也很難迅速做到這一步。
「怪不得他不怎麼聽課。」
他心裡有了底，緊接著又想起一件事，順口問李傲：「你系統學過代數數論？」
他這麼猜並不奇怪。
一個高中生能熟練寫出 p進數證明，多半是提前上過高等數論課。
畢竟國家隊中，每年學有餘力提前接觸高等數學的競賽生不在少數。
李傲放下粉筆，如實回答：「沒系統學過，只是了解過 p進數這套理論。」
說完，他走下講台，回到了座位。
能進美國 IMO國家隊，會的東西多一些自然正常。
可連 p進數這種大學高年級甚至研究生階段才會接觸的工具都能用，那天賦就多少有些離譜了。
單靠每天學上十幾二十個小時，恐怕也未必能堆出來。
麥可和丹尼爾還是第一次看到李傲完整展示解題過程。
兩人對視了一眼，都從對方眼裡看到了驚訝。
「太強了，不愧是 Leo。」
凱文則更直接，李傲剛坐下，他就豎起了大拇指。
旁邊的班傑明忍不住問：「Leo，你不會是一邊學常微分方程，一邊還在自學代數數論吧？」
「那倒沒有。」李傲搖頭。
還沒等班傑明鬆口氣，李傲又隨口補了一句：「p進數理論是前幾天在一場學術報告上偶然聽到的，覺得有點意思，就找了些文獻翻了翻。」
聽見這個回答，班傑明一下子被噎住了。
他原以為自己才是這屆國家隊裡最有天賦的那個，但現在看著李傲，他忽然覺得自己之前的驕傲有些站不住腳。
明明剛來夏令營的時候，被人稱作數學天才的還是他。
可現在跟李傲一比，怎麼自己反倒顯得很平庸了？
麥可昨天見識過李傲的水平，此時反而容易接受得多。
他看著李傲感嘆了一句：「你是真厲害，以後有不懂的題還得向你請教。」
國家隊就六個人，大家每天都在一起集訓。
隊伍里有這種水平的隊員，他也能受益良多，而且對整個團隊衝擊 IMO總分第一肯定是件好事。
講台上的卡爾森聽完李傲的話，也有些發怔。
直到李傲回到座位坐下，他才回過神來。
最終，暗自下了決心：
「不行，得把這孩子挖到普林斯頓來。」
他幾乎已經能想像，如果其他教練們知道國家隊裡有這樣一個天賦驚人的高中生，一定會想盡辦法挖人。
普林斯頓數學系固然名聲在外，但和 MIT、斯坦福這些強校相比，也沒有什麼優勢。
先下手為強，才是正理。
班傑明則久久沒有開口，只是看著黑板上的字跡發呆。
從夏令營摸底考試開始，他就一直把李傲看作最重要的競爭對手，想在正式集訓和 IMO正賽上，重新找回屬於金牌選手的優勢。
可現在無論怎麼看，兩人之間的差距，好像反而越來越明顯了。
而坐在另一邊的娜塔莉婭，在後半節課里也時不時看向李傲的位置。
她那雙深邃的藍眼睛裡，浮起了難以遮掩的好奇。
她有些想不通。
剛進夏令營時，還沒覺得李傲這麼突出，怎麼才過了不到一個暑假，他就強到了這種地步。
……
這道題他其實已經有了思路。
不過他很快轉頭看向講台上的李傲，他也想看看，李傲會怎麼處理這道題。
座位上，麥可往凱文那邊傾了傾身子，瞥了一眼對方草稿紙上寫了一半的推導過程，壓低聲音問：「怎麼樣，你有思路了沒？」
「有了一點，還在推。」凱文搖搖頭，視線轉向講台，「不過以李傲的數論水平，這題應該難不住他。」
黑板前，李傲拿著粉筆，從頭掃了一遍題目條件。
幾秒鐘的功夫，幾種解法已經在腦海里過了個大概。
他沒在意背後的竊竊私語，直接抬手落筆。
「先令 u=a^(p-1)。題設等價於 u=1+p^2c。在 p進數中取對數，可得 v_p(log u)≥2……」
粉筆在黑板上敲出輕響。他直接越過了繁雜的同餘展開，寫下結論：
「因此，u^(p^(n-1))-1至少含有因子 p^(n+1)。也就是說，a^(p^(n-1)(p-1))≡1 mod p^(n+1)。」
「如果把指數中的 p^(n-1)縮小，並取 c不能被 p整除的情況，賦值會下降一階，結論就不再成立。」
這就是數論中的 p進數理論——直接用高等數學的標準工具來降維處理競賽題。
寫完最後一行，李傲轉過身：
「寫完了。」
教室里安靜了片刻。
除了卡爾森教授，底下的幾個隊員基本只看懂了前半段的同餘條件，到了 p進對數那幾行，就看不明白了。
班傑明盯著黑板上的推導，眉頭微微皺起。
雖然看不太懂，但憑他的數學直覺，也知道這個思路繞開了大段繁瑣的同餘展開，比他自己想到的方法簡練得多。
「這是什麼方法……居然繞開了繁瑣的同餘展開，比我的做法省了太多步驟。」
他正琢磨著，講台旁的卡爾森教授開了口。
卡爾森其實有些意外。
他原以為這道題能難住李傲，藉機敲打一下這個上課走神的學員，沒料到對方不僅證得輕鬆，用的還是 p進數理論。
畢竟怎麼看，這都不像是一個高中競賽生該掌握的知識。
「這孩子以前系統學過代數數論？」卡爾森暗自思忖。
他輕咳了兩聲掩飾意外，隨即收起隨意的神色，向眾人強調起 IMO解題工具的邊界：
「Leo，你這套證明邏輯上確實沒問題。但是，用p進數理論解題不符合 IMO的規範。在正賽里，像 p進數、群論這種超綱的高數工具是被禁用的。如果你在考場上這麼寫，一分也拿不到。」
對於接觸過高等數學的學生來說，遇到難題的第一反應往往是直接調用合理的工具，而不是去思考技巧。
就像中學生做小學奧數題，總會下意識地列方程一樣。
但 IMO畢竟不是大學期末考試，參賽者必須用初等數學的方法把問題講透。
李傲聽罷，停下正要走下講台的腳步，點點頭：「這樣啊。」
說完，他沒怎麼遲疑，當即轉過身，在黑板的另一側寫起初等解法。
「設 a^(p-1)=1+p^2t。那麼 a^(p^(n-1)(p-1))就等於(1+p^2t)^(p^(n-1))……」
粉筆字寫得飛快。
作二項展開後，常數項之後的第一項正好是 1+p^(n+1)t，後面的各項都含有更高次的 p，因此模 p^(n+1)仍然余 1。
同理，如果指數里少一個 p，且 t本身不能被 p整除，那麼第一個非平凡項只能到 p^n，結論就未必成立。
這套初等解法寫下來，耗時比剛才也長不了多少。
卡爾森教授迅速檢查了一遍。
確認沒有任何漏洞後，他愣了一下。
他完全沒想到，李傲不僅會用代數數論的方法，換回初等方法後依舊寫得這麼幹淨利落。
能在短時間內用兩種截然不同的思路解同一道題，說明這學生對數論的理解非常紮實。
據卡爾森所知，哪怕是一些高年級本科生，也很難迅速做到這一步。
「怪不得他不怎麼聽課。」
他心裡有了底，緊接著又想起一件事，順口問李傲：「你系統學過代數數論？」
他這麼猜並不奇怪。
一個高中生能熟練寫出 p進數證明，多半是提前上過高等數論課。
畢竟國家隊中，每年學有餘力提前接觸高等數學的競賽生不在少數。
李傲放下粉筆，如實回答：「沒系統學過，只是了解過 p進數這套理論。」
說完，他走下講台，回到了座位。
能進美國 IMO國家隊，會的東西多一些自然正常。
可連 p進數這種大學高年級甚至研究生階段才會接觸的工具都能用，那天賦就多少有些離譜了。
單靠每天學上十幾二十個小時，恐怕也未必能堆出來。
麥可和丹尼爾還是第一次看到李傲完整展示解題過程。
兩人對視了一眼，都從對方眼裡看到了驚訝。
「太強了，不愧是 Leo。」
凱文則更直接，李傲剛坐下，他就豎起了大拇指。
旁邊的班傑明忍不住問：「Leo，你不會是一邊學常微分方程，一邊還在自學代數數論吧？」
「那倒沒有。」李傲搖頭。
還沒等班傑明鬆口氣，李傲又隨口補了一句：「p進數理論是前幾天在一場學術報告上偶然聽到的，覺得有點意思，就找了些文獻翻了翻。」
聽見這個回答，班傑明一下子被噎住了。
他原以為自己才是這屆國家隊裡最有天賦的那個，但現在看著李傲，他忽然覺得自己之前的驕傲有些站不住腳。
明明剛來夏令營的時候，被人稱作數學天才的還是他。
可現在跟李傲一比，怎麼自己反倒顯得很平庸了？
麥可昨天見識過李傲的水平，此時反而容易接受得多。
他看著李傲感嘆了一句：「你是真厲害，以後有不懂的題還得向你請教。」
國家隊就六個人，大家每天都在一起集訓。
隊伍里有這種水平的隊員，他也能受益良多，而且對整個團隊衝擊 IMO總分第一肯定是件好事。
講台上的卡爾森聽完李傲的話，也有些發怔。
直到李傲回到座位坐下，他才回過神來。
最終，暗自下了決心：
「不行，得把這孩子挖到普林斯頓來。」
他幾乎已經能想像，如果其他教練們知道國家隊裡有這樣一個天賦驚人的高中生，一定會想盡辦法挖人。
普林斯頓數學系固然名聲在外，但和 MIT、斯坦福這些強校相比，也沒有什麼優勢。
先下手為強，才是正理。
班傑明則久久沒有開口，只是看著黑板上的字跡發呆。
從夏令營摸底考試開始，他就一直把李傲看作最重要的競爭對手，想在正式集訓和 IMO正賽上，重新找回屬於金牌選手的優勢。
可現在無論怎麼看，兩人之間的差距，好像反而越來越明顯了。
而坐在另一邊的娜塔莉婭，在後半節課里也時不時看向李傲的位置。
她那雙深邃的藍眼睛裡，浮起了難以遮掩的好奇。
她有些想不通。
剛進夏令營時，還沒覺得李傲這麼突出，怎麼才過了不到一個暑假，他就強到了這種地步。
……