第35章 第二種解法
陳文跟著隊伍走出考場教學樓，午後的陽光有些刺眼，他微微眯了眯眼。
劉強湊過來，手裡晃著餐券：
「文哥，餓了吧？聽說華師大一附的食堂不錯，咱們趕緊去嘗嘗。」
中午十二點到一點，各省隊隊員們，中午可以憑藉餐券在華師大一附的學生食堂二樓餐廳用餐。
陳文點點頭，和劉強一起跟著隊伍往食堂方向走。
路上，人群中偶爾傳來幾句各地方言的交談聲，夾雜著對上午開幕式的吐槽和對食堂的期待。
陳文側耳聽了聽，隱約辨認出川渝口音和東北腔調。
這倒不是因為他只聽到了這兩種口音，而是因為他只聽出了這兩種口音。
下午一點，各省隊的隊員在學校的南大門集合，十分鐘後停在這裡的大巴車會把他們送回各自的酒店。
「諾，這位就是陳文。」
就在隊員們等著上車的時候，吳教授和周正清來到陳文面前。
「這是魔都省隊的領隊周正清周教授，周教授是復旦大學數學系的教授，也是國內數論方向的知名專家。」吳遠向陳文介紹道。
陳文禮貌地點頭致意：「周教授好。」
因為先前吳遠和他說過陳文的事情，所以周正清也帶著好奇和探究的眼神打量著眼前這個少年。
中等身材，戴著一副黑框眼鏡，面容清秀，看起來和普通高中生沒什麼區別。
「那是魔都中學的林嶼舟，他的聯賽成績是兩百九十多分，你們可以聊聊。」
陳文順著周正清的目光看去，只見一個身形瘦高的少年正站在不遠處，正低頭看著手機。
那少年穿著普通，神情淡漠，似乎對周圍的熱鬧並不在意。
「林嶼舟，過來一下。」周正清招了招手。
林嶼舟抬起頭，收起手機，緩步走了過來。
他的目光在陳文身上停留了一瞬，隨即移開，落在周正清身上：「周老師，有什麼事？」
「這位是江南省隊的陳文，聯賽滿分。」周正清介紹道，「你們可以交流交流。」
林嶼舟這才重新看向陳文，眼神中閃過一絲意外，但很快恢復了平靜。
他伸出手，聲音清冷：「林嶼舟，292分，比你少8分。」
陳文握住對方的手，感受到對方指尖傳來的力道不輕不重，恰到好處：「陳文。」
或許是年齡比陳文小了好幾歲的原因，也或許是不善於和陌生人說話，陳文和林嶼舟兩人並沒有過多的交談。
「周老師，沒什麼事的話我先上車了。」
很快便到了上大巴車的時間，林嶼舟說道。
「你去吧。」
周正清原本覺得林嶼舟和陳文兩人都是數學天才，應該有很多話題，所以才讓他們互相認識一下。
可誰知道，兩人除了見面打了個招呼，並沒有聊起了，他也沒什麼辦法了。
下午回到酒店之後便是是備考、自主學習時間。
說是這麼說，其實就是沒什麼事。
陳文昨天都還沒玩夠，還想著今天下午繼續出去玩，但明天畢竟就要開始考試了，趙飛鴻他們還想再學一學。
沒辦法，陳文只能待在酒店，和趙飛鴻他們一起學習。
第二天，早上吃過早飯後，大家便坐上了前往考場的車。
七點二十分到七點四十五分，是考生們安檢入場的時間。
七點四十五到七點五十的五分鐘，是考官們宣讀考試規則的時間。
然後是發放試卷、發放草稿紙。
八點正式開考，中午十二點半考試結束。
三道大題，四個半小時的考試時間。
陳文打開初級專注強化，立刻進入考試狀態。
這第一題是一道不等式與最值問題，陳文掃了眼題干，心中已有了大致的判斷方向。
他也沒急著動筆，而是先在腦海中順著已有的方向，開始演算。
直到在心裡演算了二十分鐘，有了把握之後他這才下筆。
【解法一：
首先可以看出，滿足題目條件的序列(ai)構成凸集。
也就是說，若序列ai，bi，1≤i≤40分別滿足條件，0≤λ≤1，則序列ci=λai+(1−λ)bi，1≤i≤40也滿足條件。
利用這個性質可以證明，極值可以在滿足一些對稱性的序列(ai)上取到。
毋庸置疑，滿足題目條件的數列集合是閉集，因此兩個小題中的目標函數確實能取到最大值。
（1）設序列(ai)使a+b+c+d取到最大，令ci=[ai+a（i+10）+a（i+20）+a（i+30）]/4……
等號在a（10k+i）=max(2.5−i，2.5−(10−i))，i=1，⋯，10，k=0，⋯，3時成立。
（2）……】
寫完這題兩問的解題步驟，陳文沒繼續看下一題，而是開始思考這題的第二種解法。
剛才在想第一種解法的時候，他對這題的第二種解法便有了想法。
這也是他一開始，就寫上解法一的原因。
想了一會後，陳文再次動筆。
【解法二：
（1）令 T_k=a_（5+k）+a_（15+k）+a_（25+k）+a_（35+k）（1≤k≤10，a_（40+j）=aj，1≤j≤5），則0=k=……（2）……】
寫完這第一題的第二種解法後，陳文抬頭看了看背板上方的圓形時鐘。
這第一題他花了四十多分鐘。
「還行，時間還來得及。」
陳文低下頭，繼續看卷子。
【題2.已知：△ABC中，AD為角平分線，E為AD上一點，EF、EG為△ABD、△ACD外接圓切線，F、G分別為切點，CF交BG於J。過J的BC平行線交DF、DG、DE於H、I、K。求證：HK=IJ。
圖
】
這第二題是一道平面幾何題，題干雖然不長，但圖形構造頗為複雜。
陳文快速在圖片上標註出各個點的位置關係，隨後他盯著圖形看了約莫兩分鐘，目光在角平分線和外接圓切線間來回移動。
這類涉及多個圓和切線的題目，往往需要找到關鍵的相似或共圓關係。
「先理清基本性質。」陳文喃喃自語道。
「AD是角平分線……可以先設BF、CG、交AD於T1、T2，那麼……T1、T2重合於T……」
這次寫完第二題後，陳文倒是沒再急著想它的第二種解法，而是繼續做第三題。
直到他做完第三題後，這才又回過頭來，想第二題的第二種解法。
四個半小時說長不長，說短不短。
如果是連續上四個半小時的課，那肯定是很長的。
但如果這四個半小時，你全程都在做卷子，想題目，那麼時間便會過得很快。
陳文便是這般。
當廣播裡的鈴聲響起時，這場持續四個半小時的考試終於結束。
陳文放下手中的筆，眉頭緊鎖地看著草稿紙上未完成的解題步驟。
「這題按照這種思路應該也能解決啊，我為什麼推到這一步就推不下去了呢？」
陳文心裡想著。
他想的是今天的第三題，那是一道關於映射與函數疊代的組合數學題，核心是研究集合上的映射集合滿足的性質 P(k)，並尋找最小的正整數m，使得滿足 P(2019)的映射集合F必然滿足P(m)。
他的第一種解題思路，是引入「等價類」與「疊代函數」，第二種解題思路是通過構造「軌道分解」與「周期分析」來建立映射集合的結構性約束。
第一種思路陳文完整地算出來了，但他的第二種思路卻卡住了，想了半天都沒想出來。
好在從第二題開始，這解題過程他都是寫在草稿紙上的。
這要是寫在答題卷上，第三題恐怕就要扣分了，限時任務差一點就失敗。
交完試卷，監考老師們確認試卷數量沒問題後，考生們這才被允許離開。
走出考場，在去食堂的路上，陳文還在想第三題的第二種解法。
「文哥，怎麼了？你也被難到了？」
最先找到陳文的是劉強，他看到陳文眉頭緊鎖時，便湊近來打量著陳文的臉色。
在他印象里，陳文做題向來從容，之前在濱湖一中集訓的那兩周，他很少看到陳文露出這樣一副表情。
「第三題第二種解法卡住了。」陳文如實說道，語氣裡帶著幾分不甘。
劉強愣了一下，隨即笑道：
「文哥，你這也太拼了。第一種解法做出來不就行了，還非得想第二種？」
陳文搖搖頭，道：「考試時間那麼長，閒著也是閒著。」
劉強張了張嘴，一時竟不知道怎麼接話。
四個半小時的競賽考試，別人爭分奪秒都嫌不夠，陳文居然還覺得閒著也是閒著？
「文哥，你這話說得……」劉強苦笑著搖搖頭，「我第三題第一種解法都沒寫完，你倒好，第二種解法都卡住了。」
陳文沒再接話，只是低頭看著腳下的路面，腦海里還在推演著那道未完成的組合數學題。
劉強湊過來，手裡晃著餐券：
「文哥，餓了吧？聽說華師大一附的食堂不錯，咱們趕緊去嘗嘗。」
中午十二點到一點，各省隊隊員們，中午可以憑藉餐券在華師大一附的學生食堂二樓餐廳用餐。
陳文點點頭，和劉強一起跟著隊伍往食堂方向走。
路上，人群中偶爾傳來幾句各地方言的交談聲，夾雜著對上午開幕式的吐槽和對食堂的期待。
陳文側耳聽了聽，隱約辨認出川渝口音和東北腔調。
這倒不是因為他只聽到了這兩種口音，而是因為他只聽出了這兩種口音。
下午一點，各省隊的隊員在學校的南大門集合，十分鐘後停在這裡的大巴車會把他們送回各自的酒店。
「諾，這位就是陳文。」
就在隊員們等著上車的時候，吳教授和周正清來到陳文面前。
「這是魔都省隊的領隊周正清周教授，周教授是復旦大學數學系的教授，也是國內數論方向的知名專家。」吳遠向陳文介紹道。
陳文禮貌地點頭致意：「周教授好。」
因為先前吳遠和他說過陳文的事情，所以周正清也帶著好奇和探究的眼神打量著眼前這個少年。
中等身材，戴著一副黑框眼鏡，面容清秀，看起來和普通高中生沒什麼區別。
「那是魔都中學的林嶼舟，他的聯賽成績是兩百九十多分，你們可以聊聊。」
陳文順著周正清的目光看去，只見一個身形瘦高的少年正站在不遠處，正低頭看著手機。
那少年穿著普通，神情淡漠，似乎對周圍的熱鬧並不在意。
「林嶼舟，過來一下。」周正清招了招手。
林嶼舟抬起頭，收起手機，緩步走了過來。
他的目光在陳文身上停留了一瞬，隨即移開，落在周正清身上：「周老師，有什麼事？」
「這位是江南省隊的陳文，聯賽滿分。」周正清介紹道，「你們可以交流交流。」
林嶼舟這才重新看向陳文，眼神中閃過一絲意外，但很快恢復了平靜。
他伸出手，聲音清冷：「林嶼舟，292分，比你少8分。」
陳文握住對方的手，感受到對方指尖傳來的力道不輕不重，恰到好處：「陳文。」
或許是年齡比陳文小了好幾歲的原因，也或許是不善於和陌生人說話，陳文和林嶼舟兩人並沒有過多的交談。
「周老師，沒什麼事的話我先上車了。」
很快便到了上大巴車的時間，林嶼舟說道。
「你去吧。」
周正清原本覺得林嶼舟和陳文兩人都是數學天才，應該有很多話題，所以才讓他們互相認識一下。
可誰知道，兩人除了見面打了個招呼，並沒有聊起了，他也沒什麼辦法了。
下午回到酒店之後便是是備考、自主學習時間。
說是這麼說，其實就是沒什麼事。
陳文昨天都還沒玩夠，還想著今天下午繼續出去玩，但明天畢竟就要開始考試了，趙飛鴻他們還想再學一學。
沒辦法，陳文只能待在酒店，和趙飛鴻他們一起學習。
第二天，早上吃過早飯後，大家便坐上了前往考場的車。
七點二十分到七點四十五分，是考生們安檢入場的時間。
七點四十五到七點五十的五分鐘，是考官們宣讀考試規則的時間。
然後是發放試卷、發放草稿紙。
八點正式開考，中午十二點半考試結束。
三道大題，四個半小時的考試時間。
陳文打開初級專注強化，立刻進入考試狀態。
這第一題是一道不等式與最值問題，陳文掃了眼題干，心中已有了大致的判斷方向。
他也沒急著動筆，而是先在腦海中順著已有的方向，開始演算。
直到在心裡演算了二十分鐘，有了把握之後他這才下筆。
【解法一：
首先可以看出，滿足題目條件的序列(ai)構成凸集。
也就是說，若序列ai，bi，1≤i≤40分別滿足條件，0≤λ≤1，則序列ci=λai+(1−λ)bi，1≤i≤40也滿足條件。
利用這個性質可以證明，極值可以在滿足一些對稱性的序列(ai)上取到。
毋庸置疑，滿足題目條件的數列集合是閉集，因此兩個小題中的目標函數確實能取到最大值。
（1）設序列(ai)使a+b+c+d取到最大，令ci=[ai+a（i+10）+a（i+20）+a（i+30）]/4……
等號在a（10k+i）=max(2.5−i，2.5−(10−i))，i=1，⋯，10，k=0，⋯，3時成立。
（2）……】
寫完這題兩問的解題步驟，陳文沒繼續看下一題，而是開始思考這題的第二種解法。
剛才在想第一種解法的時候，他對這題的第二種解法便有了想法。
這也是他一開始，就寫上解法一的原因。
想了一會後，陳文再次動筆。
【解法二：
（1）令 T_k=a_（5+k）+a_（15+k）+a_（25+k）+a_（35+k）（1≤k≤10，a_（40+j）=aj，1≤j≤5），則0=k=……（2）……】
寫完這第一題的第二種解法後，陳文抬頭看了看背板上方的圓形時鐘。
這第一題他花了四十多分鐘。
「還行，時間還來得及。」
陳文低下頭，繼續看卷子。
【題2.已知：△ABC中，AD為角平分線，E為AD上一點，EF、EG為△ABD、△ACD外接圓切線，F、G分別為切點，CF交BG於J。過J的BC平行線交DF、DG、DE於H、I、K。求證：HK=IJ。
圖
】
這第二題是一道平面幾何題，題干雖然不長，但圖形構造頗為複雜。
陳文快速在圖片上標註出各個點的位置關係，隨後他盯著圖形看了約莫兩分鐘，目光在角平分線和外接圓切線間來回移動。
這類涉及多個圓和切線的題目，往往需要找到關鍵的相似或共圓關係。
「先理清基本性質。」陳文喃喃自語道。
「AD是角平分線……可以先設BF、CG、交AD於T1、T2，那麼……T1、T2重合於T……」
這次寫完第二題後，陳文倒是沒再急著想它的第二種解法，而是繼續做第三題。
直到他做完第三題後，這才又回過頭來，想第二題的第二種解法。
四個半小時說長不長，說短不短。
如果是連續上四個半小時的課，那肯定是很長的。
但如果這四個半小時，你全程都在做卷子，想題目，那麼時間便會過得很快。
陳文便是這般。
當廣播裡的鈴聲響起時，這場持續四個半小時的考試終於結束。
陳文放下手中的筆，眉頭緊鎖地看著草稿紙上未完成的解題步驟。
「這題按照這種思路應該也能解決啊，我為什麼推到這一步就推不下去了呢？」
陳文心裡想著。
他想的是今天的第三題，那是一道關於映射與函數疊代的組合數學題，核心是研究集合上的映射集合滿足的性質 P(k)，並尋找最小的正整數m，使得滿足 P(2019)的映射集合F必然滿足P(m)。
他的第一種解題思路，是引入「等價類」與「疊代函數」，第二種解題思路是通過構造「軌道分解」與「周期分析」來建立映射集合的結構性約束。
第一種思路陳文完整地算出來了，但他的第二種思路卻卡住了，想了半天都沒想出來。
好在從第二題開始，這解題過程他都是寫在草稿紙上的。
這要是寫在答題卷上，第三題恐怕就要扣分了，限時任務差一點就失敗。
交完試卷，監考老師們確認試卷數量沒問題後，考生們這才被允許離開。
走出考場，在去食堂的路上，陳文還在想第三題的第二種解法。
「文哥，怎麼了？你也被難到了？」
最先找到陳文的是劉強，他看到陳文眉頭緊鎖時，便湊近來打量著陳文的臉色。
在他印象里，陳文做題向來從容，之前在濱湖一中集訓的那兩周，他很少看到陳文露出這樣一副表情。
「第三題第二種解法卡住了。」陳文如實說道，語氣裡帶著幾分不甘。
劉強愣了一下，隨即笑道：
「文哥，你這也太拼了。第一種解法做出來不就行了，還非得想第二種？」
陳文搖搖頭，道：「考試時間那麼長，閒著也是閒著。」
劉強張了張嘴，一時竟不知道怎麼接話。
四個半小時的競賽考試，別人爭分奪秒都嫌不夠，陳文居然還覺得閒著也是閒著？
「文哥，你這話說得……」劉強苦笑著搖搖頭，「我第三題第一種解法都沒寫完，你倒好，第二種解法都卡住了。」
陳文沒再接話，只是低頭看著腳下的路面，腦海里還在推演著那道未完成的組合數學題。