第20章 一試
進入考場前，考場外便圍了不少人。
這些能進入聯賽的，至少在數學方面都是各自學校的天之驕子了。
畢竟大部分學校的學生，連聯賽都進不了呢。
「放平心態，不要緊張。」
考場警戒線外，帶隊老師吳老師對陳文他們做著最後的叮囑。
不過，在說這句話的時候吳冰主要還是看向陳文。
畢竟昨天在出發之前，校長可是專門囑咐過他，讓他務必照顧好陳文，陳文提出什麼需求儘量都滿足。
就算後續的競賽，陳文沒激起太大浪花，他也是明年縣一中衝擊清北最好的苗子。
「知道了，老師。」陳文和其他人一樣都點了點頭，倒是看不出緊張。
吳冰看著陳文這副沉穩的模樣，心裡暗暗點頭。
別的學生來參加這種省級聯賽，多少都有些緊張，可陳文從昨天到現在，該看書看書，該休息休息，完全看不出任何焦慮。
他甚至都覺得，陳文有些過於平靜了。
就好像這參加的不是什麼聯賽，而是班級里的一場普通測驗。
順著准考證號上的考場號，找到自己所在的考場後，這場考試很快便開始了。
試捲髮到手後，陳文先前後看了一遍，看看有沒有哪裡錯印漏印的。
發現沒什麼問題後，他這才從第一題開始做。
一試八十分鐘，十一道題，其中八道選擇題，三道解答題，時間比初始要緊張。
【一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分。
1.已知正實數a滿足a^a=(9a)^(8a)，則loga(3a)的值為________。】
第一道選擇題是一道指數方程題，陳文掃了一眼題干，筆尖在草稿紙上圈重點。
這種形式的方程，常規做法是先取對數。
兩邊同時取以a為底的對數（a>0且a≠1），得：a=8a·logₐ(9a)。
logₐ(9a)=1/8。
logₐ(9a)=logₐ9+logₐa=logₐ9+1……9/16
這畢竟只是填空題，不需要寫解題步驟，所以大部分步驟陳文都是在腦海里完成。
畢竟有中級記憶強化，也不容易把前面的步驟遺忘掉。
這樣的話速度就很快，他只需要偶爾在草稿紙上寫下幾個關鍵步驟。
因此，這第一道填空題從他看題目到最後寫上9/16這個答案，總共花費不到三分鐘的時間。
很快，便來到了第二題。
【2.若實數集合{1，2，3，x}的最大元素與最小元素之差等於該集合的所有元素之和，則x的值為________。】
這第二題是一道集合與方程的綜合題。
陳文讀完題目，眉頭微微一皺，但很快便舒展開來。
「最大元素與最小元素之差等於所有元素之和……」他在心裡默念著條件，開始分析各種可能的情況。
集合是{1，2，3，x}，四個元素，需要考慮x在不同位置時對最大值和最小值的影響。
如果x是最小值，那麼最大值是3，差為3-x，和為6+x，方程為3-x=6+x，解得x=-3/2。
再驗證一遍，此時集合為{-3/2，1，2，3}，最小值確實是-3/2，符合條件。
如果x是最大值，那麼最小值是1，差為x-1，和為6+x，方程為x-1=6+x，化簡得-1=6，矛盾，無解。
如果x在中間，即1<x<3，那麼最大值是3，最小值是1，差為2，和為6+x，方程為2=6+x，解得x=-4，但這與1<x<3矛盾，捨去。
綜上，x=-3/2。
這第二題的這一連串分類討論過程都只在陳文腦海中存在，他這次甚至都沒怎麼落筆，只在第一種情況的時候寫下了x=-3/2。
另外兩種沒有結果的情況，他就沒寫。
得出正確答案後，陳文迅速在答題紙上寫下答案，整個過程十分流暢，從他看題到在試卷上寫下答案，都不到一分鐘的時間。
接著是第三題、第四題……
填空的八道題寫完，陳文只花了不到半個小時的時間，這第一場考試還剩五十多分鐘和三道大題。
接下來是解答題。
【二、解答題：本大題共3小題，滿分56分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
9.（本題滿分16分）
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c。若b是a與c的等比中項，且sin A是sin(B−A)與sin C的等差中項，求cosB的值。】
這是一道三角函數與解三角形綜合題，難度明顯比前面的填空題高出一個層次。
陳文將題目又讀了一遍，確保沒有遺漏任何條件。
「等比中項，等差中項……」他在草稿紙上寫下兩個核心條件，開始思考這題的解題思路。
第一個條件很直接：b是a與c的等比中項，即b²=ac。
想到這裡，陳文在草稿紙寫下b²=ac。
第二個條件需要仔細拆解：sin A是sin(B−A)與sin C的等差中項，意味著2sinA=sin(B−A)+sinC。
陳文又在草稿紙上寫下第二個等式，他盯著這個等式，立刻想到了和差化積公式。
sin(A+B)+sin(B−A)= 2sinBcosA。
所以2sinA =2sinBcosA，即tanA=sinB。
……
故cosB =(√5-1)/2。
寫完最後的答案，陳文掃了一眼時間，這道題用了將近十分鐘。
很快，他的目光投向了第十題。
接下來的第十題和第十一題，陳文花費的時間稍長一些，一共花費了三十五分鐘。
最後，距離這場考試結束還剩下八分鐘，陳文又檢查了一遍。
檢查不費什麼時間，他只花了五分鐘。
待這第一場考試的時間結束，交完試捲去上衛生間的時候，陳文還聽到有考生在討論這場考試的題目難度。
「填空題你寫了多少？」一個男生問道。
「我就寫了五道，另外三道題實在不會，而且也沒太多時間思考。」
一個戴著眼鏡的男生苦著臉說道。
「我比你強點，寫了六道。」另一個男生嘆了口氣，「不過最後一道填空題，那個求不等式的，我算出來是個帶根號的數，也不知道對不對。」
陳文站在洗手台前，默默地洗了把手，沒有參與他們的討論。
從衛生間出來，他回到考場外的走廊上，周興磊正靠在牆邊等他。
「陳文，你……你寫得怎麼樣？」周興磊有些猶豫地問道，臉色不太好看。
「還行，都寫完了，你呢？」陳文語氣平淡。
「不愧是你，我就猜到以你的實力應該都寫完了。唉，我只寫了幾道題，填空題我只寫完了四道，大題也只寫了一題。」
「大題第一題，你的答案是(-1+√5)/2嗎？」
最後對答案的時候，周興磊語氣中帶著期待和緊張。
「嗯。」
陳文又和周興磊對了下填空題的答案。
「你寫完的那四道填空題答案沒什麼問題，大題答案也對，只要步驟沒什麼大問題，單單這一試的分數，就夠你拿個省三了。」
陳文道。
對完答案，周興磊的臉色比剛才好了許多。
這些能進入聯賽的，至少在數學方面都是各自學校的天之驕子了。
畢竟大部分學校的學生，連聯賽都進不了呢。
「放平心態，不要緊張。」
考場警戒線外，帶隊老師吳老師對陳文他們做著最後的叮囑。
不過，在說這句話的時候吳冰主要還是看向陳文。
畢竟昨天在出發之前，校長可是專門囑咐過他，讓他務必照顧好陳文，陳文提出什麼需求儘量都滿足。
就算後續的競賽，陳文沒激起太大浪花，他也是明年縣一中衝擊清北最好的苗子。
「知道了，老師。」陳文和其他人一樣都點了點頭，倒是看不出緊張。
吳冰看著陳文這副沉穩的模樣，心裡暗暗點頭。
別的學生來參加這種省級聯賽，多少都有些緊張，可陳文從昨天到現在，該看書看書，該休息休息，完全看不出任何焦慮。
他甚至都覺得，陳文有些過於平靜了。
就好像這參加的不是什麼聯賽，而是班級里的一場普通測驗。
順著准考證號上的考場號，找到自己所在的考場後，這場考試很快便開始了。
試捲髮到手後，陳文先前後看了一遍，看看有沒有哪裡錯印漏印的。
發現沒什麼問題後，他這才從第一題開始做。
一試八十分鐘，十一道題，其中八道選擇題，三道解答題，時間比初始要緊張。
【一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分。
1.已知正實數a滿足a^a=(9a)^(8a)，則loga(3a)的值為________。】
第一道選擇題是一道指數方程題，陳文掃了一眼題干，筆尖在草稿紙上圈重點。
這種形式的方程，常規做法是先取對數。
兩邊同時取以a為底的對數（a>0且a≠1），得：a=8a·logₐ(9a)。
logₐ(9a)=1/8。
logₐ(9a)=logₐ9+logₐa=logₐ9+1……9/16
這畢竟只是填空題，不需要寫解題步驟，所以大部分步驟陳文都是在腦海里完成。
畢竟有中級記憶強化，也不容易把前面的步驟遺忘掉。
這樣的話速度就很快，他只需要偶爾在草稿紙上寫下幾個關鍵步驟。
因此，這第一道填空題從他看題目到最後寫上9/16這個答案，總共花費不到三分鐘的時間。
很快，便來到了第二題。
【2.若實數集合{1，2，3，x}的最大元素與最小元素之差等於該集合的所有元素之和，則x的值為________。】
這第二題是一道集合與方程的綜合題。
陳文讀完題目，眉頭微微一皺，但很快便舒展開來。
「最大元素與最小元素之差等於所有元素之和……」他在心裡默念著條件，開始分析各種可能的情況。
集合是{1，2，3，x}，四個元素，需要考慮x在不同位置時對最大值和最小值的影響。
如果x是最小值，那麼最大值是3，差為3-x，和為6+x，方程為3-x=6+x，解得x=-3/2。
再驗證一遍，此時集合為{-3/2，1，2，3}，最小值確實是-3/2，符合條件。
如果x是最大值，那麼最小值是1，差為x-1，和為6+x，方程為x-1=6+x，化簡得-1=6，矛盾，無解。
如果x在中間，即1<x<3，那麼最大值是3，最小值是1，差為2，和為6+x，方程為2=6+x，解得x=-4，但這與1<x<3矛盾，捨去。
綜上，x=-3/2。
這第二題的這一連串分類討論過程都只在陳文腦海中存在，他這次甚至都沒怎麼落筆，只在第一種情況的時候寫下了x=-3/2。
另外兩種沒有結果的情況，他就沒寫。
得出正確答案後，陳文迅速在答題紙上寫下答案，整個過程十分流暢，從他看題到在試卷上寫下答案，都不到一分鐘的時間。
接著是第三題、第四題……
填空的八道題寫完，陳文只花了不到半個小時的時間，這第一場考試還剩五十多分鐘和三道大題。
接下來是解答題。
【二、解答題：本大題共3小題，滿分56分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
9.（本題滿分16分）
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c。若b是a與c的等比中項，且sin A是sin(B−A)與sin C的等差中項，求cosB的值。】
這是一道三角函數與解三角形綜合題，難度明顯比前面的填空題高出一個層次。
陳文將題目又讀了一遍，確保沒有遺漏任何條件。
「等比中項，等差中項……」他在草稿紙上寫下兩個核心條件，開始思考這題的解題思路。
第一個條件很直接：b是a與c的等比中項，即b²=ac。
想到這裡，陳文在草稿紙寫下b²=ac。
第二個條件需要仔細拆解：sin A是sin(B−A)與sin C的等差中項，意味著2sinA=sin(B−A)+sinC。
陳文又在草稿紙上寫下第二個等式，他盯著這個等式，立刻想到了和差化積公式。
sin(A+B)+sin(B−A)= 2sinBcosA。
所以2sinA =2sinBcosA，即tanA=sinB。
……
故cosB =(√5-1)/2。
寫完最後的答案，陳文掃了一眼時間，這道題用了將近十分鐘。
很快，他的目光投向了第十題。
接下來的第十題和第十一題，陳文花費的時間稍長一些，一共花費了三十五分鐘。
最後，距離這場考試結束還剩下八分鐘，陳文又檢查了一遍。
檢查不費什麼時間，他只花了五分鐘。
待這第一場考試的時間結束，交完試捲去上衛生間的時候，陳文還聽到有考生在討論這場考試的題目難度。
「填空題你寫了多少？」一個男生問道。
「我就寫了五道，另外三道題實在不會，而且也沒太多時間思考。」
一個戴著眼鏡的男生苦著臉說道。
「我比你強點，寫了六道。」另一個男生嘆了口氣，「不過最後一道填空題，那個求不等式的，我算出來是個帶根號的數，也不知道對不對。」
陳文站在洗手台前，默默地洗了把手，沒有參與他們的討論。
從衛生間出來，他回到考場外的走廊上，周興磊正靠在牆邊等他。
「陳文，你……你寫得怎麼樣？」周興磊有些猶豫地問道，臉色不太好看。
「還行，都寫完了，你呢？」陳文語氣平淡。
「不愧是你，我就猜到以你的實力應該都寫完了。唉，我只寫了幾道題，填空題我只寫完了四道，大題也只寫了一題。」
「大題第一題，你的答案是(-1+√5)/2嗎？」
最後對答案的時候，周興磊語氣中帶著期待和緊張。
「嗯。」
陳文又和周興磊對了下填空題的答案。
「你寫完的那四道填空題答案沒什麼問題，大題答案也對，只要步驟沒什麼大問題，單單這一試的分數，就夠你拿個省三了。」
陳文道。
對完答案，周興磊的臉色比剛才好了許多。