第371章 還有一座大山要翻
周忠若有所思地點了點頭：
「這個相位因子，你們有沒有想過，它是不是正好對應了肖宿在第五篇論文裡處理的那個和樂跳變？」
葉臻和任長峰同時抬頭看他。
周忠從桌上的論文堆里翻出一本，翻到其中一頁，手指點在附錄B的一個引理上：
「你們看，肖宿在證明NS方程的和樂守恆性時，專門用了一節來討論格點截斷下的紫外行為。
他的結論是，只要截斷尺度大於一個由和樂不變量和耗散尺度共同定義的臨界長度，紫外截斷就不會破壞和樂群的拓撲結構。」
他推了推眼鏡，語氣微微有些發緊：
「如果我們把閔氏空間的威克旋轉當作一種特殊的紫外截斷來處理，那這個臨界長度的定義，是不是可以直接平移到規範場的情形？
換句話說，只要我們能證明威克旋轉的等效截斷尺度大於某個臨界值，規範場構型空間上的加權範數就能繼續保持緊嵌入性質，譜分解定理也就自然成立了。」
會議室里安靜了幾秒。
任長峰猛地一拍大腿：
「對！就是這個思路！肖宿在第六篇論文的第三部分還專門給了一個截斷尺度的嚴格下界估計，用的是和樂不變量的譜半徑和科爾莫戈羅夫尺度的倒數，這兩個量在規範場裡都有自然的對應物！」
葉臻已經在白板上飛速地寫了起來。
他寫了擦，擦了寫，來來回回改了三四次，終於停下來的時候，額頭已經沁出一層細汗。
「如果這個平移能走通，那曲率正則化定理的第一步推廣就完成了。」
他把馬克筆放下，轉過身來，表情卻沒有變得輕鬆，「但是問題來了，這一步，只是把肖宿論文裡已有的結論平移到了規範場，真正要證明定理在SU(3)非交換和樂群下依然成立，還有一座大山要翻。」
「Gribov拷貝。」顧長鈞接上了他的話，語氣沉下來。
會議室里的空氣忽然重了幾分。
Gribov拷貝，這個名字在量子色動力學的圈子裡，屬於那種提到就頭疼的存在。
在場的四個人，每一個都在這個問題上栽過跟頭。
所謂Gribov拷貝，簡單說就是規範固定不徹底留下的後遺症。
在量子場論里，要給規範場做計算，首先得把冗餘的自由度，也就是規範自由度固定下來，這叫規範固定。
問題在於，對於非阿貝爾規範場來說，傳統的朗道規範固定並不徹底，同一個物理構型會對應多個不同的規範場配置，這些多餘的配置就叫Gribov拷貝。
它們分布在構型空間的不同位置，像一面面真假難辨的鏡子，把一個物理態映射成了多個數學表象。
在傳統的變分框架里，這些Gribov拷貝會產生大量虛假的局部極小值。
你在能量泛函上找最低點，結果找到的不是真正的基態，而是Gribov拷貝造出來的假陷阱。
幾十年來，這個問題就像一堵透明的牆，看得見卻繞不過去。
做格點QCD的團隊想靠超級計算機的海量採樣來硬抗。
既然Gribov拷貝會產生假極小值，那我就採樣足夠多的構型，多到讓假極小值在統計上被平均掉。
但是這需要天文數字的計算資源，而且從原理上說，這不是一個嚴格的處理，只是一個數值上的權宜之計而已。
而做連續場論的理論家則嘗試用各種截斷條件來強行限制Gribov拷貝的區域，其中最著名的就是Gribov-Zwanziger方案。
它在泛函積分里加入一個限制條件，把構型空間的積分區域限制在所謂的「第一Gribov區域」內，在這個區域內朗道算子的本徵值都是正的。
這個方案在一定程度上抑制了Gribov拷貝，但是同時它又引入了一個非局域的規範固定項，而且第一Gribov區域本身也不是完全自由的，它仍然包含一部分Gribov拷貝，只是比原來少一些而已。
無論是哪一種方法，都沒有從根本上消除過Gribov拷貝問題，它們只是繞著走，或者把問題縮小到一個可控的範圍內，但從數學上說，問題本身的拓撲結構並沒有被改變。
「你們還記不記得，肖宿在講座上提了一句話，」周忠把眼鏡摘下來，用衣角擦了擦，又重新戴上，「他說用和樂群本身的上同調來重新定義商空間的截斷條件，就能把Gribov拷貝在進入變分泛函之前就會自動商掉。
我當時聽懂了每一個詞，但是真正在應用的時候，卻發現自己完全不知道該怎麼動手。」
葉臻苦笑了一聲，說道：
「我也差不多，之前我回去翻了肖宿的第四篇論文，他在那篇里處理了NS方程的離散截斷問題，裡面用到了一個高階群胚的骨架截斷技術。
我當時讀的時候就覺得很驚艷，但是那篇論文的數學門檻……說實話，我讀了三遍，每一遍都覺得自己懂了，動手一推又發現自己沒懂。」
聽他說完，顧長鈞回想了一下，說道：
「那個高階群胚骨架截斷，本質上是在商空間上重新定義了一個等價關係，傳統的方法是在構型空間上做截斷，先截斷再做商映射，這樣Gribov拷貝就會殘留。
小宿的做法是反過來的，他是先在高階群胚的層面上把所有的Gribov拷貝識別為同一個和樂等價類，然後再做截斷。
這樣一來，商空間上就只剩下物理上真正不同的構型，虛假極小值就不會出現了。」
周忠看著顧長鈞，眼神裡帶著一絲意外：「老顧，你這是把他的十篇論文全看完了？」
顧長鈞擺擺手，端起桌上的茶杯喝了一口，表情淡淡的：「也就看了五篇吧，第六篇啃了一半，剩下的實在啃不動了。」
葉臻靠在椅背上，長長地呼了一口氣：「老顧，你這進度夠快的啊。」
就在這時，任長峰忽然放下手機，表情變得有些微妙。
「剛才我收到一封郵件，普林斯頓高等研究院的，你們猜內容是什麼。」
葉臻和周忠對視了一眼，有點不明所以。
「他們組了一支八個人的團隊，三個理論物理方向的，兩個辛幾何方向的，還有三個是做格點規範場論的，領隊的是詹姆斯·杜邦，就是前年在《物理評論快報》上發表那篇Gribov拷貝上同調結構論文的那個法國人。」
任長峰把手機放在桌上，聲音里多了一絲緊迫感，「他們已經在普林斯頓開過一次啟動會了，課題方向就是基於肖宿和樂框架的楊-米爾斯質量間隙證明，對標的就是肖宿在講座上給出的方向。」
會議室里安靜了幾秒。
「詹姆斯·杜邦……」
葉臻沉吟了一下，「那傢伙在規範場拓撲結構上確實有兩把刷子。
他雖然不是菲爾茲獎級別的數學家，但是在Gribov問題的前沿探索上，全球能跟他比的人不超過一個巴掌。
而且他有一個特點，非常擅長把抽象的數學結構轉化成可以數值計算的具體方案，他前年那篇PRL論文，就是在解析論證的基礎上附了一個完整的格點計算驗證，解析和數值兩條腿走路，走得特別穩。」
他頓了頓，繼續說道：「這個組雖然是倉促組建的，但看這個配置，他們不是隨便拉幾個人湊數的，三個理論物理方向的，兩個辛幾何方向的，還有三個是做格點規範場論的，這分工和人數配比，跟我們的思路幾乎一模一樣。」
「這個相位因子，你們有沒有想過，它是不是正好對應了肖宿在第五篇論文裡處理的那個和樂跳變？」
葉臻和任長峰同時抬頭看他。
周忠從桌上的論文堆里翻出一本，翻到其中一頁，手指點在附錄B的一個引理上：
「你們看，肖宿在證明NS方程的和樂守恆性時，專門用了一節來討論格點截斷下的紫外行為。
他的結論是，只要截斷尺度大於一個由和樂不變量和耗散尺度共同定義的臨界長度，紫外截斷就不會破壞和樂群的拓撲結構。」
他推了推眼鏡，語氣微微有些發緊：
「如果我們把閔氏空間的威克旋轉當作一種特殊的紫外截斷來處理，那這個臨界長度的定義，是不是可以直接平移到規範場的情形？
換句話說，只要我們能證明威克旋轉的等效截斷尺度大於某個臨界值，規範場構型空間上的加權範數就能繼續保持緊嵌入性質，譜分解定理也就自然成立了。」
會議室里安靜了幾秒。
任長峰猛地一拍大腿：
「對！就是這個思路！肖宿在第六篇論文的第三部分還專門給了一個截斷尺度的嚴格下界估計，用的是和樂不變量的譜半徑和科爾莫戈羅夫尺度的倒數，這兩個量在規範場裡都有自然的對應物！」
葉臻已經在白板上飛速地寫了起來。
他寫了擦，擦了寫，來來回回改了三四次，終於停下來的時候，額頭已經沁出一層細汗。
「如果這個平移能走通，那曲率正則化定理的第一步推廣就完成了。」
他把馬克筆放下，轉過身來，表情卻沒有變得輕鬆，「但是問題來了，這一步，只是把肖宿論文裡已有的結論平移到了規範場，真正要證明定理在SU(3)非交換和樂群下依然成立，還有一座大山要翻。」
「Gribov拷貝。」顧長鈞接上了他的話，語氣沉下來。
會議室里的空氣忽然重了幾分。
Gribov拷貝，這個名字在量子色動力學的圈子裡，屬於那種提到就頭疼的存在。
在場的四個人，每一個都在這個問題上栽過跟頭。
所謂Gribov拷貝，簡單說就是規範固定不徹底留下的後遺症。
在量子場論里，要給規範場做計算，首先得把冗餘的自由度，也就是規範自由度固定下來，這叫規範固定。
問題在於，對於非阿貝爾規範場來說，傳統的朗道規範固定並不徹底，同一個物理構型會對應多個不同的規範場配置，這些多餘的配置就叫Gribov拷貝。
它們分布在構型空間的不同位置，像一面面真假難辨的鏡子，把一個物理態映射成了多個數學表象。
在傳統的變分框架里，這些Gribov拷貝會產生大量虛假的局部極小值。
你在能量泛函上找最低點，結果找到的不是真正的基態，而是Gribov拷貝造出來的假陷阱。
幾十年來，這個問題就像一堵透明的牆，看得見卻繞不過去。
做格點QCD的團隊想靠超級計算機的海量採樣來硬抗。
既然Gribov拷貝會產生假極小值，那我就採樣足夠多的構型，多到讓假極小值在統計上被平均掉。
但是這需要天文數字的計算資源，而且從原理上說，這不是一個嚴格的處理，只是一個數值上的權宜之計而已。
而做連續場論的理論家則嘗試用各種截斷條件來強行限制Gribov拷貝的區域，其中最著名的就是Gribov-Zwanziger方案。
它在泛函積分里加入一個限制條件，把構型空間的積分區域限制在所謂的「第一Gribov區域」內，在這個區域內朗道算子的本徵值都是正的。
這個方案在一定程度上抑制了Gribov拷貝，但是同時它又引入了一個非局域的規範固定項，而且第一Gribov區域本身也不是完全自由的，它仍然包含一部分Gribov拷貝，只是比原來少一些而已。
無論是哪一種方法，都沒有從根本上消除過Gribov拷貝問題，它們只是繞著走，或者把問題縮小到一個可控的範圍內，但從數學上說，問題本身的拓撲結構並沒有被改變。
「你們還記不記得，肖宿在講座上提了一句話，」周忠把眼鏡摘下來，用衣角擦了擦，又重新戴上，「他說用和樂群本身的上同調來重新定義商空間的截斷條件，就能把Gribov拷貝在進入變分泛函之前就會自動商掉。
我當時聽懂了每一個詞，但是真正在應用的時候，卻發現自己完全不知道該怎麼動手。」
葉臻苦笑了一聲，說道：
「我也差不多，之前我回去翻了肖宿的第四篇論文，他在那篇里處理了NS方程的離散截斷問題，裡面用到了一個高階群胚的骨架截斷技術。
我當時讀的時候就覺得很驚艷，但是那篇論文的數學門檻……說實話，我讀了三遍，每一遍都覺得自己懂了，動手一推又發現自己沒懂。」
聽他說完，顧長鈞回想了一下，說道：
「那個高階群胚骨架截斷，本質上是在商空間上重新定義了一個等價關係，傳統的方法是在構型空間上做截斷，先截斷再做商映射，這樣Gribov拷貝就會殘留。
小宿的做法是反過來的，他是先在高階群胚的層面上把所有的Gribov拷貝識別為同一個和樂等價類，然後再做截斷。
這樣一來，商空間上就只剩下物理上真正不同的構型，虛假極小值就不會出現了。」
周忠看著顧長鈞，眼神裡帶著一絲意外：「老顧，你這是把他的十篇論文全看完了？」
顧長鈞擺擺手，端起桌上的茶杯喝了一口，表情淡淡的：「也就看了五篇吧，第六篇啃了一半，剩下的實在啃不動了。」
葉臻靠在椅背上，長長地呼了一口氣：「老顧，你這進度夠快的啊。」
就在這時，任長峰忽然放下手機，表情變得有些微妙。
「剛才我收到一封郵件，普林斯頓高等研究院的，你們猜內容是什麼。」
葉臻和周忠對視了一眼，有點不明所以。
「他們組了一支八個人的團隊，三個理論物理方向的，兩個辛幾何方向的，還有三個是做格點規範場論的，領隊的是詹姆斯·杜邦，就是前年在《物理評論快報》上發表那篇Gribov拷貝上同調結構論文的那個法國人。」
任長峰把手機放在桌上，聲音里多了一絲緊迫感，「他們已經在普林斯頓開過一次啟動會了，課題方向就是基於肖宿和樂框架的楊-米爾斯質量間隙證明，對標的就是肖宿在講座上給出的方向。」
會議室里安靜了幾秒。
「詹姆斯·杜邦……」
葉臻沉吟了一下，「那傢伙在規範場拓撲結構上確實有兩把刷子。
他雖然不是菲爾茲獎級別的數學家，但是在Gribov問題的前沿探索上，全球能跟他比的人不超過一個巴掌。
而且他有一個特點，非常擅長把抽象的數學結構轉化成可以數值計算的具體方案，他前年那篇PRL論文，就是在解析論證的基礎上附了一個完整的格點計算驗證，解析和數值兩條腿走路，走得特別穩。」
他頓了頓，繼續說道：「這個組雖然是倉促組建的，但看這個配置，他們不是隨便拉幾個人湊數的，三個理論物理方向的，兩個辛幾何方向的，還有三個是做格點規範場論的，這分工和人數配比，跟我們的思路幾乎一模一樣。」