第351章 看完了再來找我
「這兩個課題做出來之後，你們就可以畢業了。」
辦公室里安靜了整整五秒。
「啊？」
兩人同時張大了嘴。
不是吧，直接就給畢業論文題目了嗎，那要是做不出來呢？
陳林忍不住在心裡仰天長嘯，怎麼還沒開學就疑似要延畢了啊！
他轉頭看向陸奇，看他什麼反應。
陸奇是那種越難的題目越不想認輸的人，不過現在他的表情也不輕鬆，嘴巴張了張，擠出一句：「老師，這個題目……能不能給我一點時間，讓我再準備準備。」
陳林也連忙跟著點頭，聲音發虛：「是啊老師，這個……這個可能得再學學。」
肖宿微微歪了一下頭，有些意外：「學什麼？書不是都看完了嗎？」
陳林的臉騰一下紅了，有些支支吾吾地解釋道：
「看是看了……但是看得不太徹底，很多地方……還需要再補補。」
肖宿蹙了蹙眉。
他想了想，決定先確認一下兩人的實際水平。
「那我先問你們幾個問題。」
陳林和陸奇同時繃緊了脊背。
肖宿先看向陸奇：「緊李群G上的不變調和式在軌道空間G/H上的正交分解，需要H滿足什麼條件？」
陸奇愣了一下，隨即飛快地回答：「H必須是閉子群，而且G/H上的不變測度必須滿足韋伊積分公式的可分解條件，如果H不是緊緻的，還需要額外加一個麼模條件保證左不變測度和右不變測度的等價性。」
肖宿點了點頭，又問：「雙軸向列相中，指向場的取值空間是SO(3)，它的基本群是什麼？對應的萬有覆蓋是什麼？」
「基本群是Z₂，萬有覆蓋是SU(2)。」
陸奇幾乎沒有停頓，「SO(3)和SU(2)之間有一個二對一的同態映射，SU(2)的單位元和一個二階元素都映射到SO(3)的單位元上，這就是為什麼Z₂分類只有兩種。」
「嗯，」肖宿的語氣依然很平淡，聽不出滿不滿意，「在商掉和樂群等價關係的辛流形上，極小能量軌跡的存在唯一性由什麼保證？」
陸奇眼睛一亮，這個問題他剛被點撥過，記憶還熱乎著：
「曲率正則化定理給出的嚴格凸能量泛函，只要和樂群的表示是非平凡的，極小值點就必然存在且唯一。」
「嗯，Berry相因子在參數空間裡的跳變，在數學上對應的是什麼幾何結構？」
「商空間上聯絡的和樂非平凡性，它不是局部的相位突變，是底流形上曲率張量的整體拓撲效應。」
「量子漲落作用下，Z₂分類的和樂不變量取值從經典的正負一擴展到哪裡？」
陸奇頓了一下。
這個問題他之前和肖宿在走廊里討論過一次，當時肖宿提過一嘴，但他沒有完全消化。
他擰著眉頭想了十幾秒，不太確定地說：「正負一和……正負i？」
「對，量子疊加態下的和樂不變量取值是單位根的四次方根。」
肖宿點了點頭，沒有繼續追問，轉向陳林。
陳林的後背已經出了一層薄汗了。
「代數疊對模空間問題的處理，比概形多解決了什麼？」
陳林聽到「代數疊」三個字，繃緊的神經稍微鬆了那麼一絲。
這個他還真看過，之前和陸奇討論的時候他還專門去翻了。
哈茨霍恩的《代數幾何》第二章專門講的就是概形，德利涅那篇經典論文的引言他也硬啃過兩遍。
他在腦子裡飛快地組織了一下語言，開口道：
「概形可以構造模空間的粗模空間，但當模問題本身帶有非平凡的自同構群時，粗模空間會丟失軌形信息，而代數疊通過把群作用直接編碼進範疇結構里，保留了這些信息，所以能處理細模空間問題。」
說完他在心裡給自己擦了把汗。
還行，第一問穩住了。
肖宿點了點頭。
「如果一個Deligne-Mumford疊的穩定化子群在閉子疊上不平凡，它的粗模空間沿著這個閉子疊的奇異性，如何通過Keel-Mori定理的剛性化步驟被消解掉？」
陳林腦子裡的弦「啪」一下斷了。
不是，等一下。
剛才不還在問代數疊比概形多解決了什麼嗎？
怎麼第二問直接就跳到Keel-Mori剛性化了？
中間呢？
中間不應該有個過渡嗎？
比如問問疊上擬凝聚層的上同調，或者問問穩定化子群的定義，好歹讓人有個緩衝啊！
Keel-Mori定理他確實在文獻里掃到過，知道是處理疊的粗模空間存在性的核心工具，但是具體怎麼消解閉子疊上的奇異性，那個定理的證明過程太繁複了，不僅涉及疊的平展局部結構、穩定化子群的有限性條件，還有一套叫做「剛性化」的操作，他根本沒看懂啊。
陳林咬了咬牙：「Keel-Mori定理保證了……在一定條件下，疊的粗模空間存在，剛性化步驟通過商掉穩定化子群的作用來消除局部的疊結構，但是具體沿著閉子疊怎麼消解奇異性，我……我沒讀到那裡。」
肖宿表情平靜，沒說對也沒說錯，又問出了第三個問題。
「Deligne-Mumford疊的平展上同調與它的粗模空間的奇異上同調之間，在穩定化子群非平凡的纖維上，差別由什麼控制？」
陳林徹底沉默了。
他是真不知道。
他只記得在某篇論文的腳註里見過有人提了一句，說這兩套上同調理論在穩定化子群非平凡的纖維上會有分歧，分歧的大小和穩定化子群的上同調有關。但是具體怎麼描述這個分歧，用什麼工具來刻畫，他根本不明白，他甚至不能確定這個問題的答案是不是藏在Keel-Mori剛性化步驟的某個推論里。
他低下頭，不敢看肖宿的眼睛。
肖宿看著陳林那副樣子，又看了看陸奇，忍不住蹙了蹙眉。
他之前以為兩人把書單上的內容都消化得差不多了，才會給他們出那兩個課題。
現在看來，情況和他判斷的不太一樣。
陸奇的基礎還算紮實，缺的是經驗，但陳林的問題就大了，他甚至都沒看明白。
「那你們現在卡在哪裡？有什麼問題，今天一併問了吧。」
陸奇和陳林同時眼前一亮，沒想到肖宿不僅不罵人，還這麼有耐心的給他們解答問題，連忙拿出了自己的筆記本。
「老師，雙軸向列相序參量空間從S²推廣到SO(3)之後，同倫群結構變了，線缺陷的分類從整數變成Z₂，我原來的同倫分類方案在Z₂上還能直接用嗎？需要怎麼調整？」
「老師，關於自守形式在代數疊上的跡公式，我看論文裡提到需要處理疊上軌道積分的穩定化，這個穩定化的過程和普通代數群上的穩定化是不是一個意思？代數疊上多出來的那些自同構群，會不會讓穩定化步驟多出一些額外的障礙？」
「老師，我在推隧穿振幅的路徑積分時，發現鞍點分解之後，不同鞍點之間的干涉項在零溫極限下會怎麼衰減？這個衰減速率是和缺陷環的長度有關，還是只和拓撲荷有關啊？」
「老師……」
等回答完最後一個問題，肖宿把筆擱下，看了看兩人，語重心長的說道：回去繼續把書看看，看完了再來找我。」
那語氣搭上肖宿的年紀實在是太奇怪了，陳林和陸奇互相看了看，想說些什麼，可腦子轉了半天都沒想到什麼話可以回應肖宿，只能麻溜的退了出去。
辦公室里安靜了整整五秒。
「啊？」
兩人同時張大了嘴。
不是吧，直接就給畢業論文題目了嗎，那要是做不出來呢？
陳林忍不住在心裡仰天長嘯，怎麼還沒開學就疑似要延畢了啊！
他轉頭看向陸奇，看他什麼反應。
陸奇是那種越難的題目越不想認輸的人，不過現在他的表情也不輕鬆，嘴巴張了張，擠出一句：「老師，這個題目……能不能給我一點時間，讓我再準備準備。」
陳林也連忙跟著點頭，聲音發虛：「是啊老師，這個……這個可能得再學學。」
肖宿微微歪了一下頭，有些意外：「學什麼？書不是都看完了嗎？」
陳林的臉騰一下紅了，有些支支吾吾地解釋道：
「看是看了……但是看得不太徹底，很多地方……還需要再補補。」
肖宿蹙了蹙眉。
他想了想，決定先確認一下兩人的實際水平。
「那我先問你們幾個問題。」
陳林和陸奇同時繃緊了脊背。
肖宿先看向陸奇：「緊李群G上的不變調和式在軌道空間G/H上的正交分解，需要H滿足什麼條件？」
陸奇愣了一下，隨即飛快地回答：「H必須是閉子群，而且G/H上的不變測度必須滿足韋伊積分公式的可分解條件，如果H不是緊緻的，還需要額外加一個麼模條件保證左不變測度和右不變測度的等價性。」
肖宿點了點頭，又問：「雙軸向列相中，指向場的取值空間是SO(3)，它的基本群是什麼？對應的萬有覆蓋是什麼？」
「基本群是Z₂，萬有覆蓋是SU(2)。」
陸奇幾乎沒有停頓，「SO(3)和SU(2)之間有一個二對一的同態映射，SU(2)的單位元和一個二階元素都映射到SO(3)的單位元上，這就是為什麼Z₂分類只有兩種。」
「嗯，」肖宿的語氣依然很平淡，聽不出滿不滿意，「在商掉和樂群等價關係的辛流形上，極小能量軌跡的存在唯一性由什麼保證？」
陸奇眼睛一亮，這個問題他剛被點撥過，記憶還熱乎著：
「曲率正則化定理給出的嚴格凸能量泛函，只要和樂群的表示是非平凡的，極小值點就必然存在且唯一。」
「嗯，Berry相因子在參數空間裡的跳變，在數學上對應的是什麼幾何結構？」
「商空間上聯絡的和樂非平凡性，它不是局部的相位突變，是底流形上曲率張量的整體拓撲效應。」
「量子漲落作用下，Z₂分類的和樂不變量取值從經典的正負一擴展到哪裡？」
陸奇頓了一下。
這個問題他之前和肖宿在走廊里討論過一次，當時肖宿提過一嘴，但他沒有完全消化。
他擰著眉頭想了十幾秒，不太確定地說：「正負一和……正負i？」
「對，量子疊加態下的和樂不變量取值是單位根的四次方根。」
肖宿點了點頭，沒有繼續追問，轉向陳林。
陳林的後背已經出了一層薄汗了。
「代數疊對模空間問題的處理，比概形多解決了什麼？」
陳林聽到「代數疊」三個字，繃緊的神經稍微鬆了那麼一絲。
這個他還真看過，之前和陸奇討論的時候他還專門去翻了。
哈茨霍恩的《代數幾何》第二章專門講的就是概形，德利涅那篇經典論文的引言他也硬啃過兩遍。
他在腦子裡飛快地組織了一下語言，開口道：
「概形可以構造模空間的粗模空間，但當模問題本身帶有非平凡的自同構群時，粗模空間會丟失軌形信息，而代數疊通過把群作用直接編碼進範疇結構里，保留了這些信息，所以能處理細模空間問題。」
說完他在心裡給自己擦了把汗。
還行，第一問穩住了。
肖宿點了點頭。
「如果一個Deligne-Mumford疊的穩定化子群在閉子疊上不平凡，它的粗模空間沿著這個閉子疊的奇異性，如何通過Keel-Mori定理的剛性化步驟被消解掉？」
陳林腦子裡的弦「啪」一下斷了。
不是，等一下。
剛才不還在問代數疊比概形多解決了什麼嗎？
怎麼第二問直接就跳到Keel-Mori剛性化了？
中間呢？
中間不應該有個過渡嗎？
比如問問疊上擬凝聚層的上同調，或者問問穩定化子群的定義，好歹讓人有個緩衝啊！
Keel-Mori定理他確實在文獻里掃到過，知道是處理疊的粗模空間存在性的核心工具，但是具體怎麼消解閉子疊上的奇異性，那個定理的證明過程太繁複了，不僅涉及疊的平展局部結構、穩定化子群的有限性條件，還有一套叫做「剛性化」的操作，他根本沒看懂啊。
陳林咬了咬牙：「Keel-Mori定理保證了……在一定條件下，疊的粗模空間存在，剛性化步驟通過商掉穩定化子群的作用來消除局部的疊結構，但是具體沿著閉子疊怎麼消解奇異性，我……我沒讀到那裡。」
肖宿表情平靜，沒說對也沒說錯，又問出了第三個問題。
「Deligne-Mumford疊的平展上同調與它的粗模空間的奇異上同調之間，在穩定化子群非平凡的纖維上，差別由什麼控制？」
陳林徹底沉默了。
他是真不知道。
他只記得在某篇論文的腳註里見過有人提了一句，說這兩套上同調理論在穩定化子群非平凡的纖維上會有分歧，分歧的大小和穩定化子群的上同調有關。但是具體怎麼描述這個分歧，用什麼工具來刻畫，他根本不明白，他甚至不能確定這個問題的答案是不是藏在Keel-Mori剛性化步驟的某個推論里。
他低下頭，不敢看肖宿的眼睛。
肖宿看著陳林那副樣子，又看了看陸奇，忍不住蹙了蹙眉。
他之前以為兩人把書單上的內容都消化得差不多了，才會給他們出那兩個課題。
現在看來，情況和他判斷的不太一樣。
陸奇的基礎還算紮實，缺的是經驗，但陳林的問題就大了，他甚至都沒看明白。
「那你們現在卡在哪裡？有什麼問題，今天一併問了吧。」
陸奇和陳林同時眼前一亮，沒想到肖宿不僅不罵人，還這麼有耐心的給他們解答問題，連忙拿出了自己的筆記本。
「老師，雙軸向列相序參量空間從S²推廣到SO(3)之後，同倫群結構變了，線缺陷的分類從整數變成Z₂，我原來的同倫分類方案在Z₂上還能直接用嗎？需要怎麼調整？」
「老師，關於自守形式在代數疊上的跡公式，我看論文裡提到需要處理疊上軌道積分的穩定化，這個穩定化的過程和普通代數群上的穩定化是不是一個意思？代數疊上多出來的那些自同構群，會不會讓穩定化步驟多出一些額外的障礙？」
「老師，我在推隧穿振幅的路徑積分時，發現鞍點分解之後，不同鞍點之間的干涉項在零溫極限下會怎麼衰減？這個衰減速率是和缺陷環的長度有關，還是只和拓撲荷有關啊？」
「老師……」
等回答完最後一個問題，肖宿把筆擱下，看了看兩人，語重心長的說道：回去繼續把書看看，看完了再來找我。」
那語氣搭上肖宿的年紀實在是太奇怪了，陳林和陸奇互相看了看，想說些什麼，可腦子轉了半天都沒想到什麼話可以回應肖宿，只能麻溜的退了出去。