第259章 課後習題
肖宿想了幾秒，在白板上寫下了一個速率泛函I(f)，又在旁邊寫了一個變分條件。
「速率泛函的形式確實依賴於測度的選取，但是物理上關心的卻不是速率泛函本身，而是它在鞍點附近的二階變分。
而二階變分和測度無關。」
他在變分條件旁邊畫了一個等號，「只要巴拿赫空間滿足穩定的嵌入性質，鞍點處的Hessian算子在所有等價測度下都有相同的譜。
而從物理規律上就能判定，鞍點附近的漲落譜是唯一確定的。
測度的自由度只影響遠離鞍點的尾部分布，不影響鞍點附近的主導貢獻。」
彭遠征盯著那行變分條件，慢慢點了點頭：
「如果二階變分是測度無關的，那大偏差的速率泛函本身雖然不同，但它們在鞍點附近的局部展開是一樣的？
這個性質在有限維鞍點近似里是平凡的，但在無窮維巴拿赫空間裡應該需要額外的條件，穩定的嵌入性質夠不夠？」
「不夠，還得滿足Hessian算子是跡類的。」
肖宿在變分條件下面又補了一行，「跡類條件保證了二階變分的Fredholm行列式收斂，這個收斂性在所有等價測度下保持一致，物理上對應鞍點附近漲落的歸一化因子是唯一的。」
彭遠征看完，眉頭徹底舒展開開來，心裡的疙瘩一下就沒了。
Radon-Nikodym性質選測度，跡類條件鎖二階變分，穩定的嵌入性質保證譜的唯一性，這三條邏輯已經把他之前推導中那個模稜兩可的測度依賴空間徹底填平了。
他往後靠了靠，椅背發出一聲輕響，嘴唇動了動，沒說話，但旁邊的李偉亮看見他已經在筆記本上快速寫起了什麼。
他正要和彭遠征說些什麼，另一邊的趙維仁又開口了。
「肖教授，我叫趙維仁，是做高能理論物理的。
上次你和高能所合作的那篇論文，用張量範疇給拓撲相保護機制建模，那個思路我看完以後一直在琢磨著怎麼推廣到強關聯電子系統上。
銅氧化物超導體裡的贗能隙相，它的拓撲序至今沒有完整的數學描述，我們實驗室對這個有些想法。
不過聽您剛才和彭老師討論的鞍點估計，我想到一個相關的難點。」
趙維仁站起身來走到白板前，在肖宿寫的跡類條件旁邊虛虛地點了一下：
「贗能隙相的低能有效理論里，配分函數的鞍點結構正好是無窮維的。
如果把配分函數放在巴拿赫空間裡做鞍點展開，那跡類條件是否直接約束了低能激發譜的拓撲結構？
換句話說，是不是只有滿足跡類條件的那些低能模式，才能對拓撲序產生貢獻？」
這個問題一出來，彭遠征先抬起了頭，鞠知行也放下了手裡的筆。
趙維仁不是在重複剛才的討論，他是把巴拿赫鞍點估計和張量範疇兩個看似不相關的工具給串起來了。
眾人齊刷刷盯著肖宿，都好奇他到底會怎麼回答。
「可以對接。」
肖宿幾乎沒怎麼思考，他在白板上畫了兩個圈，一個標著巴拿赫鞍點展開，一個標著張量範疇，然後畫了一條連線。
「贗能隙相的配分函數做巴拿赫鞍點展開之後，鞍點附近的漲落模按照Hessian算子的譜分成兩組：跡類模對應拓撲序的低能激發，非跡類模對應對稱破缺序的高能漲落。
張量範疇描述的那部分任意子激發，恰好就是跡類模在範疇論層面的表示。」
鞠知行忍不住開口道：
「肖教授，如果跡類模和張量範疇的任意子是一一對應的，那非跡類模在範疇論里怎麼表示？餘弦範疇？」
「對，非跡類模的超選擇扇區構成一個餘弦範疇，它的融合規則和跡類模的張量範疇完全不同，兩者之間用一個二範疇的函子連接，這個函子的自然變換就描述了拓撲序和對稱破缺序之間的耦合。」
肖宿說著，在白板上又加了兩條線，把兩個圈和一個新寫上去的二範疇函子連在一起。
趙維仁站在白板前面，目光從張量範疇掃到跡類條件，又從跡類條件掃到二範疇函子。
他之前做那個銅氧化物模型的時候，一直把拓撲序和對稱破缺序分開來算，算完之後再把結果拼在一起，但是結果總是有交叉項對不攏。
他一直沒找到原因，現在終於懂了，原來這兩個序不是拼在一起的，它們是同一個二範疇結構的兩個不同扇區，交叉項本身就是函子的自然變換。
「所以贗能隙相里那個奇怪的線性電阻率尾巴，」趙維仁的聲音有些發乾，「它其實是二範疇函子的自然變換在輸運係數上的投影？」
肖宿側頭看了他一眼，沒有回答。
答案已經很明顯了。
趙維仁愣了好幾秒，才反應過來自己問了句廢話，連忙轉身回到座位上，低頭瘋狂做起了筆記。
身後好幾個教授都羨慕的看著他。
這TM就差把實驗成果餵嘴裡了！！！
站在門口的學生群中，有人小聲嘀咕：「趙教授剛才那個問題，我連題目都沒聽懂。」
旁邊另一個研究生接話：「好像誰聽懂了一樣，嘖，你發現了嗎，肖教授剛剛看趙教授那一眼真得勁啊，好像在說，你既然已經推到這兒了，答案還用我說？」
「……」
陸奇站在人群最外側，沒有參與這些討論。
他把筆記本翻到新的一頁，飛快地抄下了白板上那幾個圈和連線，在二範疇函子的位置重重地畫了一個星號。
這可是肖神親口講的，絕對是重點！
緊接著，又一個教授站起來：
「肖教授，我叫秦也，是做量子光學方向的，這幾年一直在和多粒子糾纏態的分類問題較勁。剛才你談到巴拿赫空間裡的跡類模和張量範疇的對應關係，我有個想法……」
他翻開筆記本，指著自己在角落裡打了一顆星號的那行字，快速說明自己的思路：
「糾纏態在局域么正變換下的等價類，用張量範疇的語言就是不可約表示，那如果把多粒子糾纏態的結構空間看成一個辛流形，它的辛結構由量子態的Fubini-Study度量給出，局域么正變換是這個辛流形上的緊李群作用，然後按您的辛幾何統一框架，這個群作用的不變量可以通過計算弗洛爾同調來得到。」
他翻到下一頁，指著一個粗糙的示意圖問到：
「但糾纏態分類比一般辛流形上的群作用分類多了一層困難，糾纏態的總粒子數等於N的時候，局域么正變換群是多個SU(d)的直積，這個群不是單連通的，它的基本群結構會讓弗洛爾同調的計算出現額外的扭分量，那這個扭分量要怎麼處理呢？」
肖宿點了點頭：「處理扭分量的方法和剛才處理奇點的方法是一樣的，局域么正變換帶來的軌道空間在可分態附近有奇異點，把這些奇異軌道隔離到邊界上，給邊界賦一個正則化的同調條件，弗洛爾同調就能定義了，和孫教授剛才問的邊界截影是同一個思路。」
秦也愣了一瞬，飛快地在筆記本上劃拉了幾筆，然後抬頭又問：「那多粒子糾纏態的層級結構呢？三粒子糾纏和四粒子糾纏的不可約表示之間有沒有嵌套關係？」
「有，多粒子糾纏態的層級結構對應張量範疇里的融合圖。每一個n粒子糾纏不變量對應融合圖中的一個非平凡頂點，不同層級之間的嵌套由融合規則的結合子給出。」
秦也眼睛一亮，迅速將肖宿回答的內容記在本子上。
旁邊的鞠知行湊到林崇淵耳邊：「老林，秦也這思路要是真成了，量子光學那邊的糾纏分類難題，可能直接就解決了！」
林崇淵點頭：「不止量子光學，融合圖要是能描述糾纏態層級結構，量子信息里好幾個公開問題，都能重新表述解決了。」
兩人不約而同的點了點頭，都從對方眼裡看到了讚嘆。
接下來又有幾位教授起身發言，但提出的問題越來越偏，有的是問關於某個具體實驗數據的擬合方法，還有的問關於某個數值模擬的網格優化，甚至有的只是在確認論文裡某個公式的參數取值範圍……
全都是些課後習題級別的問題。
面對這些問題，肖宿的回答也越來越簡短。
「可以。」
「不行。」
「這個我在論文裡寫過。」
每一句都藏著明顯的索然無味。
門口的學生群里又有人小聲開口了：「肖教授是不是有點不耐煩了？」
張銳低聲接了一句：「換成是你，被人拿課後習題連問二十分鐘，你也煩。」
就在這時，第二排靠窗的位置，一個五十出頭的女教授站了起來。
「肖教授，你好，我是閆淑清，做凝聚態理論的。
我目前正在做無序系統中多體局域化的研究，我們研究了一個模型，可是我算了整整三年，低激發態的結構一直沒辦法精確求解，微擾論給不出收斂的結果，精確對角化也只能算到很小的尺寸，再往上就遇到指數牆了。
今天想和您探討一下，看看有沒有新的思路。」
「速率泛函的形式確實依賴於測度的選取，但是物理上關心的卻不是速率泛函本身，而是它在鞍點附近的二階變分。
而二階變分和測度無關。」
他在變分條件旁邊畫了一個等號，「只要巴拿赫空間滿足穩定的嵌入性質，鞍點處的Hessian算子在所有等價測度下都有相同的譜。
而從物理規律上就能判定，鞍點附近的漲落譜是唯一確定的。
測度的自由度只影響遠離鞍點的尾部分布，不影響鞍點附近的主導貢獻。」
彭遠征盯著那行變分條件，慢慢點了點頭：
「如果二階變分是測度無關的，那大偏差的速率泛函本身雖然不同，但它們在鞍點附近的局部展開是一樣的？
這個性質在有限維鞍點近似里是平凡的，但在無窮維巴拿赫空間裡應該需要額外的條件，穩定的嵌入性質夠不夠？」
「不夠，還得滿足Hessian算子是跡類的。」
肖宿在變分條件下面又補了一行，「跡類條件保證了二階變分的Fredholm行列式收斂，這個收斂性在所有等價測度下保持一致，物理上對應鞍點附近漲落的歸一化因子是唯一的。」
彭遠征看完，眉頭徹底舒展開開來，心裡的疙瘩一下就沒了。
Radon-Nikodym性質選測度，跡類條件鎖二階變分，穩定的嵌入性質保證譜的唯一性，這三條邏輯已經把他之前推導中那個模稜兩可的測度依賴空間徹底填平了。
他往後靠了靠，椅背發出一聲輕響，嘴唇動了動，沒說話，但旁邊的李偉亮看見他已經在筆記本上快速寫起了什麼。
他正要和彭遠征說些什麼，另一邊的趙維仁又開口了。
「肖教授，我叫趙維仁，是做高能理論物理的。
上次你和高能所合作的那篇論文，用張量範疇給拓撲相保護機制建模，那個思路我看完以後一直在琢磨著怎麼推廣到強關聯電子系統上。
銅氧化物超導體裡的贗能隙相，它的拓撲序至今沒有完整的數學描述，我們實驗室對這個有些想法。
不過聽您剛才和彭老師討論的鞍點估計，我想到一個相關的難點。」
趙維仁站起身來走到白板前，在肖宿寫的跡類條件旁邊虛虛地點了一下：
「贗能隙相的低能有效理論里，配分函數的鞍點結構正好是無窮維的。
如果把配分函數放在巴拿赫空間裡做鞍點展開，那跡類條件是否直接約束了低能激發譜的拓撲結構？
換句話說，是不是只有滿足跡類條件的那些低能模式，才能對拓撲序產生貢獻？」
這個問題一出來，彭遠征先抬起了頭，鞠知行也放下了手裡的筆。
趙維仁不是在重複剛才的討論，他是把巴拿赫鞍點估計和張量範疇兩個看似不相關的工具給串起來了。
眾人齊刷刷盯著肖宿，都好奇他到底會怎麼回答。
「可以對接。」
肖宿幾乎沒怎麼思考，他在白板上畫了兩個圈，一個標著巴拿赫鞍點展開，一個標著張量範疇，然後畫了一條連線。
「贗能隙相的配分函數做巴拿赫鞍點展開之後，鞍點附近的漲落模按照Hessian算子的譜分成兩組：跡類模對應拓撲序的低能激發，非跡類模對應對稱破缺序的高能漲落。
張量範疇描述的那部分任意子激發，恰好就是跡類模在範疇論層面的表示。」
鞠知行忍不住開口道：
「肖教授，如果跡類模和張量範疇的任意子是一一對應的，那非跡類模在範疇論里怎麼表示？餘弦範疇？」
「對，非跡類模的超選擇扇區構成一個餘弦範疇，它的融合規則和跡類模的張量範疇完全不同，兩者之間用一個二範疇的函子連接，這個函子的自然變換就描述了拓撲序和對稱破缺序之間的耦合。」
肖宿說著，在白板上又加了兩條線，把兩個圈和一個新寫上去的二範疇函子連在一起。
趙維仁站在白板前面，目光從張量範疇掃到跡類條件，又從跡類條件掃到二範疇函子。
他之前做那個銅氧化物模型的時候，一直把拓撲序和對稱破缺序分開來算，算完之後再把結果拼在一起，但是結果總是有交叉項對不攏。
他一直沒找到原因，現在終於懂了，原來這兩個序不是拼在一起的，它們是同一個二範疇結構的兩個不同扇區，交叉項本身就是函子的自然變換。
「所以贗能隙相里那個奇怪的線性電阻率尾巴，」趙維仁的聲音有些發乾，「它其實是二範疇函子的自然變換在輸運係數上的投影？」
肖宿側頭看了他一眼，沒有回答。
答案已經很明顯了。
趙維仁愣了好幾秒，才反應過來自己問了句廢話，連忙轉身回到座位上，低頭瘋狂做起了筆記。
身後好幾個教授都羨慕的看著他。
這TM就差把實驗成果餵嘴裡了！！！
站在門口的學生群中，有人小聲嘀咕：「趙教授剛才那個問題，我連題目都沒聽懂。」
旁邊另一個研究生接話：「好像誰聽懂了一樣，嘖，你發現了嗎，肖教授剛剛看趙教授那一眼真得勁啊，好像在說，你既然已經推到這兒了，答案還用我說？」
「……」
陸奇站在人群最外側，沒有參與這些討論。
他把筆記本翻到新的一頁，飛快地抄下了白板上那幾個圈和連線，在二範疇函子的位置重重地畫了一個星號。
這可是肖神親口講的，絕對是重點！
緊接著，又一個教授站起來：
「肖教授，我叫秦也，是做量子光學方向的，這幾年一直在和多粒子糾纏態的分類問題較勁。剛才你談到巴拿赫空間裡的跡類模和張量範疇的對應關係，我有個想法……」
他翻開筆記本，指著自己在角落裡打了一顆星號的那行字，快速說明自己的思路：
「糾纏態在局域么正變換下的等價類，用張量範疇的語言就是不可約表示，那如果把多粒子糾纏態的結構空間看成一個辛流形，它的辛結構由量子態的Fubini-Study度量給出，局域么正變換是這個辛流形上的緊李群作用，然後按您的辛幾何統一框架，這個群作用的不變量可以通過計算弗洛爾同調來得到。」
他翻到下一頁，指著一個粗糙的示意圖問到：
「但糾纏態分類比一般辛流形上的群作用分類多了一層困難，糾纏態的總粒子數等於N的時候，局域么正變換群是多個SU(d)的直積，這個群不是單連通的，它的基本群結構會讓弗洛爾同調的計算出現額外的扭分量，那這個扭分量要怎麼處理呢？」
肖宿點了點頭：「處理扭分量的方法和剛才處理奇點的方法是一樣的，局域么正變換帶來的軌道空間在可分態附近有奇異點，把這些奇異軌道隔離到邊界上，給邊界賦一個正則化的同調條件，弗洛爾同調就能定義了，和孫教授剛才問的邊界截影是同一個思路。」
秦也愣了一瞬，飛快地在筆記本上劃拉了幾筆，然後抬頭又問：「那多粒子糾纏態的層級結構呢？三粒子糾纏和四粒子糾纏的不可約表示之間有沒有嵌套關係？」
「有，多粒子糾纏態的層級結構對應張量範疇里的融合圖。每一個n粒子糾纏不變量對應融合圖中的一個非平凡頂點，不同層級之間的嵌套由融合規則的結合子給出。」
秦也眼睛一亮，迅速將肖宿回答的內容記在本子上。
旁邊的鞠知行湊到林崇淵耳邊：「老林，秦也這思路要是真成了，量子光學那邊的糾纏分類難題，可能直接就解決了！」
林崇淵點頭：「不止量子光學，融合圖要是能描述糾纏態層級結構，量子信息里好幾個公開問題，都能重新表述解決了。」
兩人不約而同的點了點頭，都從對方眼裡看到了讚嘆。
接下來又有幾位教授起身發言，但提出的問題越來越偏，有的是問關於某個具體實驗數據的擬合方法，還有的問關於某個數值模擬的網格優化，甚至有的只是在確認論文裡某個公式的參數取值範圍……
全都是些課後習題級別的問題。
面對這些問題，肖宿的回答也越來越簡短。
「可以。」
「不行。」
「這個我在論文裡寫過。」
每一句都藏著明顯的索然無味。
門口的學生群里又有人小聲開口了：「肖教授是不是有點不耐煩了？」
張銳低聲接了一句：「換成是你，被人拿課後習題連問二十分鐘，你也煩。」
就在這時，第二排靠窗的位置，一個五十出頭的女教授站了起來。
「肖教授，你好，我是閆淑清，做凝聚態理論的。
我目前正在做無序系統中多體局域化的研究，我們研究了一個模型，可是我算了整整三年，低激發態的結構一直沒辦法精確求解，微擾論給不出收斂的結果，精確對角化也只能算到很小的尺寸，再往上就遇到指數牆了。
今天想和您探討一下，看看有沒有新的思路。」