第138章 不見山巔
「首先，我們需要一個空間。傳統的數論研究是在整數軸上進行的，但整數軸太簡單，承載不了素數的全部結構。我們需要一個高維空間，能同時編碼素數的乘性信息和加性信息。」
他點開下一張PPT，上面是一個示意圖：一個巨大的圓環，上面標記著無數個小點。
「這個空間叫做顧—辛特徵空間，記作X。它的構造靈感來自阿德爾環，但經過了辛幾何的改造。」
然後，肖宿開始解釋X的構造方法。
如何把每個素數p對應的p進數域組合起來，如何定義嵌入映射φ，如何賦予拓撲結構。
「接下來是關鍵的一步，」肖宿說，「我們需要在這個空間上定義一個度量，使得孿生素數對在這個度量下距離相等。」
他點開下一張PPT，上面是一個公式：
關聯距離ρ(m,n) = 對每個不整除(m—n)的素數p求和ω(p) + 如果2整除(m—n)則加上ω(2)
其中權重ω(p) = —log(1 1/(p—1)²) 對於p＞2
「這個權重的選擇不是隨意的。哈代—李特爾伍德第二猜想給出了孿生素數對的漸近公式，其中的常數C就是∏_{p＞2}(1—1/(p—1)²)。而我們這個權重的和，恰好等於 —log C。」
台下，陶哲軒眼睛一亮。
他明白了，肖宿把這個常數嵌進了度量里，讓孿生素數對在這個度量下自動取相同的值。
「所以，」肖宿繼續說，「對於孿生素數對(p, p+2)，它們的關聯距離ρ是常數。對於非孿生素數對，ρ會不同。」
他頓了頓，看向台下：「也就是說，孿生素數對就是那些在X中距離為常數的特殊點對。」
這句話說得很輕，但在台下引起了不小的騷動。
「他把問題轉化成了幾何問題，」舒爾茨低聲對旁邊的法爾廷斯說，「在X中尋找距離相等的點對。」
法爾廷斯點點頭，沒說話，但眼神很專注。
肖宿開始引入辛結構，如何在X上定義一個辛形式Ω，如何證明平移變換是辛同胚，如何構造對合變換。
然後他講到了那個核心概念，也就是旋轉守恆量。
「在顧—辛理論中，任何辛流形都有一個旋轉守恆量，類似於物理中的角動量。對於X來說，這個守恆量可以通過配分函數來計算。」
他點開一張PPT，上面是一個簡單的文字描述：
配分函數Z(N) = 對所有不超過N的素數p求和 e^{—ρ(p, p+2)}
旋轉守恆量Q = lim_{N→∞} (log Z(N) log N)
「計算這個極限，需要用到素數定理和一些解析數論的工具，」肖宿說，「但最終的結果很簡單：Q = log C，其中C就是孿生素數常數，約等於1.32。」
台下，塞爾點了點頭。
這個推導他剛才在德利涅給的筆記里已經看過，每一步都站得住腳。
「如果只有有限個孿生素數對，那麼當N足夠大時，Z(N)中不再有新項加入，求和趨於常數。於是log Z(N)趨於常數，而log N趨於無窮，所以Q = —∞。」
「但另一方面，我們從素數分布的全局性質算出Q = log C，這是一個有限的正數。」
「矛盾。」
「因此，假設不成立。孿生素數對必須有無窮多。」
肖宿講完了，按流程到了提問環節。
但是三百人的報告廳里鴉雀無聲。
沒有人舉手提問。
不是不想問，而是太多的問題湧上心頭，反而不知道該從何問起。
那種感覺，就像站在一座大山腳下，仰頭望去，只見雲霧繚繞，不見山巔。
所有人都還在處理剛才接收到的信息的階段，還在試圖理解這個論證的含義。
沉默良久，德利涅動了。
他從座位上站起來，轉過身，面對台下所有人，說了一句話：
「這是一個獨特的，無與倫比的證明方法。」
聲音不大，但每個人都聽清了。
瞬間，報告廳里爆發出陣陣熱烈的掌聲。
有人在吹口哨，有人在喊「Bravo」，甚至有人在用力地跺腳。
塞爾也站了起來，加入鼓掌。
舒爾茨也站了起來，法爾廷斯也站了起來，陶哲軒也站了起來，高爾斯也站了起來，哈里斯也站了起來……
第一排七個數學巨匠，全部起立。
然後是第二排，第三排，整個報告廳，三百多人，全部起立。
掌聲如雷，持續了一分鐘，兩分鐘，三分鐘……沒有人停下。
肖宿站在講台上，看著台下起立的人群，看著那些數學界的傳奇向他鼓掌，看著顧清塵眼中閃爍的淚光，看著後排年輕學生們狂熱的表情。
誰也不知道他在想什麼。
掌聲終於慢慢平息下來。
德利涅走上講台，示意大家安靜。
然後他轉向肖宿，用那種略帶沙啞的聲音說：
「肖，我能問一個問題嗎？」
肖宿點頭。
「你在定義關聯距離的時候，權重ω(p)的選取是關鍵。為什麼偏偏是—log(1—1/(p—1)²)？這個形式看起來很自然，但你是怎麼想到的？」
肖宿想了想，說：「因為需要求和收斂，又需要和哈代—李特爾伍德常數聯繫起來，這是最合適的。」
「你為什麼覺得他是最合適的呢？」德利涅追問。
「這很簡單就能聯想到。」
德利涅沉默了一下，然後笑了：「哈，相信我，肖，很多人一輩子都想不出一個。你擁有無與倫比的天賦和直覺。」
台下又響起一陣笑聲和掌聲。
望月新一也苦笑的鼓起了掌，這個孩子的天賦和直覺，沒人比他更加印象深刻了。
舒爾茨舉手提問：「我想問一下關於辛形式Ω的構造。你用的權重λ_p = 1/(p (log p)²)，這個選擇是為了讓級數收斂。但有沒有其他可能的權重，也會得到相同的結論？」
肖宿點頭：「有。只要權重衰減得足夠快，並且保證平移變換是辛同胚，具體的數值不影響最後的結果。這個權重最簡單。」
正如愛因斯坦說過的：「美，本質上終究是簡單性。」
在肖宿看來，數學的力量在於用最精煉的語言揭示最普適的規律，在選擇的過程當中他會自然而然的選擇最簡單的那個形式。
這也正是無數數學家畢生追求的境界。
「簡單。」舒爾茨重複了一遍這個詞，然後對旁邊的法爾廷斯說，「無與倫比。」
法爾廷斯難得地露出了一絲笑容：「Genau.」
他點開下一張PPT，上面是一個示意圖：一個巨大的圓環，上面標記著無數個小點。
「這個空間叫做顧—辛特徵空間，記作X。它的構造靈感來自阿德爾環，但經過了辛幾何的改造。」
然後，肖宿開始解釋X的構造方法。
如何把每個素數p對應的p進數域組合起來，如何定義嵌入映射φ，如何賦予拓撲結構。
「接下來是關鍵的一步，」肖宿說，「我們需要在這個空間上定義一個度量，使得孿生素數對在這個度量下距離相等。」
他點開下一張PPT，上面是一個公式：
關聯距離ρ(m,n) = 對每個不整除(m—n)的素數p求和ω(p) + 如果2整除(m—n)則加上ω(2)
其中權重ω(p) = —log(1 1/(p—1)²) 對於p＞2
「這個權重的選擇不是隨意的。哈代—李特爾伍德第二猜想給出了孿生素數對的漸近公式，其中的常數C就是∏_{p＞2}(1—1/(p—1)²)。而我們這個權重的和，恰好等於 —log C。」
台下，陶哲軒眼睛一亮。
他明白了，肖宿把這個常數嵌進了度量里，讓孿生素數對在這個度量下自動取相同的值。
「所以，」肖宿繼續說，「對於孿生素數對(p, p+2)，它們的關聯距離ρ是常數。對於非孿生素數對，ρ會不同。」
他頓了頓，看向台下：「也就是說，孿生素數對就是那些在X中距離為常數的特殊點對。」
這句話說得很輕，但在台下引起了不小的騷動。
「他把問題轉化成了幾何問題，」舒爾茨低聲對旁邊的法爾廷斯說，「在X中尋找距離相等的點對。」
法爾廷斯點點頭，沒說話，但眼神很專注。
肖宿開始引入辛結構，如何在X上定義一個辛形式Ω，如何證明平移變換是辛同胚，如何構造對合變換。
然後他講到了那個核心概念，也就是旋轉守恆量。
「在顧—辛理論中，任何辛流形都有一個旋轉守恆量，類似於物理中的角動量。對於X來說，這個守恆量可以通過配分函數來計算。」
他點開一張PPT，上面是一個簡單的文字描述：
配分函數Z(N) = 對所有不超過N的素數p求和 e^{—ρ(p, p+2)}
旋轉守恆量Q = lim_{N→∞} (log Z(N) log N)
「計算這個極限，需要用到素數定理和一些解析數論的工具，」肖宿說，「但最終的結果很簡單：Q = log C，其中C就是孿生素數常數，約等於1.32。」
台下，塞爾點了點頭。
這個推導他剛才在德利涅給的筆記里已經看過，每一步都站得住腳。
「如果只有有限個孿生素數對，那麼當N足夠大時，Z(N)中不再有新項加入，求和趨於常數。於是log Z(N)趨於常數，而log N趨於無窮，所以Q = —∞。」
「但另一方面，我們從素數分布的全局性質算出Q = log C，這是一個有限的正數。」
「矛盾。」
「因此，假設不成立。孿生素數對必須有無窮多。」
肖宿講完了，按流程到了提問環節。
但是三百人的報告廳里鴉雀無聲。
沒有人舉手提問。
不是不想問，而是太多的問題湧上心頭，反而不知道該從何問起。
那種感覺，就像站在一座大山腳下，仰頭望去，只見雲霧繚繞，不見山巔。
所有人都還在處理剛才接收到的信息的階段，還在試圖理解這個論證的含義。
沉默良久，德利涅動了。
他從座位上站起來，轉過身，面對台下所有人，說了一句話：
「這是一個獨特的，無與倫比的證明方法。」
聲音不大，但每個人都聽清了。
瞬間，報告廳里爆發出陣陣熱烈的掌聲。
有人在吹口哨，有人在喊「Bravo」，甚至有人在用力地跺腳。
塞爾也站了起來，加入鼓掌。
舒爾茨也站了起來，法爾廷斯也站了起來，陶哲軒也站了起來，高爾斯也站了起來，哈里斯也站了起來……
第一排七個數學巨匠，全部起立。
然後是第二排，第三排，整個報告廳，三百多人，全部起立。
掌聲如雷，持續了一分鐘，兩分鐘，三分鐘……沒有人停下。
肖宿站在講台上，看著台下起立的人群，看著那些數學界的傳奇向他鼓掌，看著顧清塵眼中閃爍的淚光，看著後排年輕學生們狂熱的表情。
誰也不知道他在想什麼。
掌聲終於慢慢平息下來。
德利涅走上講台，示意大家安靜。
然後他轉向肖宿，用那種略帶沙啞的聲音說：
「肖，我能問一個問題嗎？」
肖宿點頭。
「你在定義關聯距離的時候，權重ω(p)的選取是關鍵。為什麼偏偏是—log(1—1/(p—1)²)？這個形式看起來很自然，但你是怎麼想到的？」
肖宿想了想，說：「因為需要求和收斂，又需要和哈代—李特爾伍德常數聯繫起來，這是最合適的。」
「你為什麼覺得他是最合適的呢？」德利涅追問。
「這很簡單就能聯想到。」
德利涅沉默了一下，然後笑了：「哈，相信我，肖，很多人一輩子都想不出一個。你擁有無與倫比的天賦和直覺。」
台下又響起一陣笑聲和掌聲。
望月新一也苦笑的鼓起了掌，這個孩子的天賦和直覺，沒人比他更加印象深刻了。
舒爾茨舉手提問：「我想問一下關於辛形式Ω的構造。你用的權重λ_p = 1/(p (log p)²)，這個選擇是為了讓級數收斂。但有沒有其他可能的權重，也會得到相同的結論？」
肖宿點頭：「有。只要權重衰減得足夠快，並且保證平移變換是辛同胚，具體的數值不影響最後的結果。這個權重最簡單。」
正如愛因斯坦說過的：「美，本質上終究是簡單性。」
在肖宿看來，數學的力量在於用最精煉的語言揭示最普適的規律，在選擇的過程當中他會自然而然的選擇最簡單的那個形式。
這也正是無數數學家畢生追求的境界。
「簡單。」舒爾茨重複了一遍這個詞，然後對旁邊的法爾廷斯說，「無與倫比。」
法爾廷斯難得地露出了一絲笑容：「Genau.」