第131章 我需要想想
肖宿和陶哲軒一起走向報告廳外的咖啡角。
路上，他們遇到了舒爾茨。
「Terence，肖，」舒爾茨打招呼，「在討論什麼？」
「正要聊壓縮感知和數論的交叉，」陶哲軒說，「一起來？」
舒爾茨眼睛一亮：「當然！」
三人找了張靠窗的圓桌坐下。
窗外是普林斯頓的草坪和紅磚建築。
陶哲軒點了杯美式咖啡，舒爾茨要了拿鐵，肖宿喝不慣，只要了一杯水。
「所以，」陶哲軒先開口，看向肖宿，「你覺得壓縮感知的思想可以用到數論中？具體怎麼想？」
肖宿組織了一下語言：
「素數分布是稀疏的，孿生素數對更是稀疏中的稀疏。傳統篩法工具像是在大海撈針，逐個檢查每個位置。但壓縮感知告訴我們：如果你知道信號有特殊結構，就不需要檢查所有位置，只需要一些精心設計的『測量』就能重建全局。」
舒爾茨若有所思。
「這個類比很有意思。但數學上的『測量』指什麼？在壓縮感知里，測量是線性投影。在數論里……」
「可以是某種篩法權函數的構造。」
肖宿說，「我之前嘗試構造權函數來捕捉素數對之間的相關性。但現在，我覺得也許可以設計兩種不同的『測量』。」
「一種捕捉全局稀疏性，類似於傳統篩法給出的素數密度估計。」
「另一種捕捉局部相關性，專門設計來檢測『間隔為2』這種特殊結構。」
陶哲軒身體微微前傾。
「繼續說。」
「假設我們把所有整數n標記為一個長度為N的向量x，其中x[n]=1表示n是素數，否則為0。」
肖宿用手指在桌面上虛畫，「那麼孿生素數問題就是尋找那些滿足x[n]=1且x[n+2]=1的位置n。」
「這可以看作在尋找一個稀疏信號。」
舒爾茨接話。
「但這個信號太稀疏了，稀疏到傳統的L1最小化可能都不夠強。」
「所以需要額外結構，」陶哲軒說，「在壓縮感知的最新進展中，我們開始研究『結構化稀疏』，信號的非零分量不是完全隨機分布，而是以某種模式聚集。比如在圖像處理中，邊緣對應的非零小波係數往往形成連續的曲線。」
肖宿的眼睛亮了起來：「素數分布可能也有某種隱藏的結構化稀疏模式！不是完全隨機，但也不是簡單的周期性。比如素數定理給出漸近密度1/ln N，這是全局統計。但在局部，我們觀察到像素數叢、素數等差數列這樣的結構。」
「那麼問題就變成了：如何數學地刻畫這種結構？」
舒爾茨思考著，「群作用？對稱性？還是某種更複雜的組合約束？」
陶哲軒喝了口咖啡，緩緩說：「我和本·格林證明素數中包含任意長的等差數列，關鍵工具是塞邁雷迪定理，一個關於整數子集中包含長等差數列的組合學結果，以及一種將素數『偽裝』成稠密集的技巧。」
「偽隨機性，」肖宿說，「你們證明了素數在某種意義上表現得像隨機集，至少在包含等差數列這個性質上是這樣。」
「對，」陶哲軒點頭，「但孿生素數問題更精細。它不僅要素數集有某種結構，還要這個結構具有特定的間隔模式。」
舒爾茨突然說：「也許可以從『關聯函數』的角度思考。在統計物理中，關聯函數描述不同位置粒子狀態的相互關係。對於素數，我們可以定義某種『素數—素數關聯函數』：給定間隔k，兩個數都是素數的概率是多少？」
「素數定理給出單個數是素數的概率約1/ln n，」
肖宿快速心算，「如果素數完全獨立隨機，那麼兩個間隔k的數都是素數的概率應該是(1/ln n)²。但實際上，由於整數的乘法結構，這個概率會有偏差。」
「哈代—李特爾伍德第二猜想，」
陶哲軒語氣激動地說，「他們推測對於固定的偶數k，存在無窮多個素數對(p, p+k)，而且給出了漸近公式：這樣的素數對數量約C·N/(ln N)²，其中C是一個與k有關的常數。」
肖宿知道這個猜想。
對於k=2（孿生素數），C≈1.32。
這意味著孿生素數比完全隨機假設預測的要多32%。
「這個常數C反映了素數之間的正相關性，」舒爾茨說，「就像粒子系統中某種『吸引』作用。」
陶哲軒看著肖宿。
「你的方法是試圖用群論描述這種相關性，我覺得可以換個角度：把這種相關性看作某種『低維結構』。」
「在壓縮感知中，如果一個信號在某個基底下可以表示為少數幾個基向量的組合，我們就說它有低維結構。那麼，素數分布是否也有類似的低維表示？」
肖宿陷入了沉思。
低維結構……
這讓他想到了上午望月新一的理論。
望月試圖用遠阿貝爾幾何這種高度結構化的數學工具來描述數域的算術性質。
雖然他的具體構造有問題，但大方向或許有道理：數域的深層結構可能比我們想像的更「幾何」，更「低維」。
「讓我做個大膽的猜測，」
陶哲軒繼續說，語氣像是在討論一個有趣的謎題，「也許存在某個合適的數學空間，不一定是歐幾里得空間，可能是某個函數空間，甚至某個抽象的範疇，在這個空間中，素數分布對應於一個低維子流形。而孿生素數條件對應於這個子流形上的一個特殊點集。」
舒爾茨笑了：「Terence，你這想法太幾何了。不過我喜歡。肖宿之前的辛幾何框架不就在做類似的事嗎？把代數幾何對象編碼成『原始碼向量』。」
肖宿感覺腦中有什麼東西正在連接。
辛幾何框架……
原始碼向量……
低維結構……
他之前的辛幾何工作本質上是給複雜的幾何對象一個「指紋編碼」。
如果把素數分布也看作某種數學對象，能否給它一個類似的編碼？
這個編碼可能比原始數據簡單得多，卻能捕獲關鍵信息？
「我需要想一想，」肖宿說，「這個想法……可能真的可行。」
路上，他們遇到了舒爾茨。
「Terence，肖，」舒爾茨打招呼，「在討論什麼？」
「正要聊壓縮感知和數論的交叉，」陶哲軒說，「一起來？」
舒爾茨眼睛一亮：「當然！」
三人找了張靠窗的圓桌坐下。
窗外是普林斯頓的草坪和紅磚建築。
陶哲軒點了杯美式咖啡，舒爾茨要了拿鐵，肖宿喝不慣，只要了一杯水。
「所以，」陶哲軒先開口，看向肖宿，「你覺得壓縮感知的思想可以用到數論中？具體怎麼想？」
肖宿組織了一下語言：
「素數分布是稀疏的，孿生素數對更是稀疏中的稀疏。傳統篩法工具像是在大海撈針，逐個檢查每個位置。但壓縮感知告訴我們：如果你知道信號有特殊結構，就不需要檢查所有位置，只需要一些精心設計的『測量』就能重建全局。」
舒爾茨若有所思。
「這個類比很有意思。但數學上的『測量』指什麼？在壓縮感知里，測量是線性投影。在數論里……」
「可以是某種篩法權函數的構造。」
肖宿說，「我之前嘗試構造權函數來捕捉素數對之間的相關性。但現在，我覺得也許可以設計兩種不同的『測量』。」
「一種捕捉全局稀疏性，類似於傳統篩法給出的素數密度估計。」
「另一種捕捉局部相關性，專門設計來檢測『間隔為2』這種特殊結構。」
陶哲軒身體微微前傾。
「繼續說。」
「假設我們把所有整數n標記為一個長度為N的向量x，其中x[n]=1表示n是素數，否則為0。」
肖宿用手指在桌面上虛畫，「那麼孿生素數問題就是尋找那些滿足x[n]=1且x[n+2]=1的位置n。」
「這可以看作在尋找一個稀疏信號。」
舒爾茨接話。
「但這個信號太稀疏了，稀疏到傳統的L1最小化可能都不夠強。」
「所以需要額外結構，」陶哲軒說，「在壓縮感知的最新進展中，我們開始研究『結構化稀疏』，信號的非零分量不是完全隨機分布，而是以某種模式聚集。比如在圖像處理中，邊緣對應的非零小波係數往往形成連續的曲線。」
肖宿的眼睛亮了起來：「素數分布可能也有某種隱藏的結構化稀疏模式！不是完全隨機，但也不是簡單的周期性。比如素數定理給出漸近密度1/ln N，這是全局統計。但在局部，我們觀察到像素數叢、素數等差數列這樣的結構。」
「那麼問題就變成了：如何數學地刻畫這種結構？」
舒爾茨思考著，「群作用？對稱性？還是某種更複雜的組合約束？」
陶哲軒喝了口咖啡，緩緩說：「我和本·格林證明素數中包含任意長的等差數列，關鍵工具是塞邁雷迪定理，一個關於整數子集中包含長等差數列的組合學結果，以及一種將素數『偽裝』成稠密集的技巧。」
「偽隨機性，」肖宿說，「你們證明了素數在某種意義上表現得像隨機集，至少在包含等差數列這個性質上是這樣。」
「對，」陶哲軒點頭，「但孿生素數問題更精細。它不僅要素數集有某種結構，還要這個結構具有特定的間隔模式。」
舒爾茨突然說：「也許可以從『關聯函數』的角度思考。在統計物理中，關聯函數描述不同位置粒子狀態的相互關係。對於素數，我們可以定義某種『素數—素數關聯函數』：給定間隔k，兩個數都是素數的概率是多少？」
「素數定理給出單個數是素數的概率約1/ln n，」
肖宿快速心算，「如果素數完全獨立隨機，那麼兩個間隔k的數都是素數的概率應該是(1/ln n)²。但實際上，由於整數的乘法結構，這個概率會有偏差。」
「哈代—李特爾伍德第二猜想，」
陶哲軒語氣激動地說，「他們推測對於固定的偶數k，存在無窮多個素數對(p, p+k)，而且給出了漸近公式：這樣的素數對數量約C·N/(ln N)²，其中C是一個與k有關的常數。」
肖宿知道這個猜想。
對於k=2（孿生素數），C≈1.32。
這意味著孿生素數比完全隨機假設預測的要多32%。
「這個常數C反映了素數之間的正相關性，」舒爾茨說，「就像粒子系統中某種『吸引』作用。」
陶哲軒看著肖宿。
「你的方法是試圖用群論描述這種相關性，我覺得可以換個角度：把這種相關性看作某種『低維結構』。」
「在壓縮感知中，如果一個信號在某個基底下可以表示為少數幾個基向量的組合，我們就說它有低維結構。那麼，素數分布是否也有類似的低維表示？」
肖宿陷入了沉思。
低維結構……
這讓他想到了上午望月新一的理論。
望月試圖用遠阿貝爾幾何這種高度結構化的數學工具來描述數域的算術性質。
雖然他的具體構造有問題，但大方向或許有道理：數域的深層結構可能比我們想像的更「幾何」，更「低維」。
「讓我做個大膽的猜測，」
陶哲軒繼續說，語氣像是在討論一個有趣的謎題，「也許存在某個合適的數學空間，不一定是歐幾里得空間，可能是某個函數空間，甚至某個抽象的範疇，在這個空間中，素數分布對應於一個低維子流形。而孿生素數條件對應於這個子流形上的一個特殊點集。」
舒爾茨笑了：「Terence，你這想法太幾何了。不過我喜歡。肖宿之前的辛幾何框架不就在做類似的事嗎？把代數幾何對象編碼成『原始碼向量』。」
肖宿感覺腦中有什麼東西正在連接。
辛幾何框架……
原始碼向量……
低維結構……
他之前的辛幾何工作本質上是給複雜的幾何對象一個「指紋編碼」。
如果把素數分布也看作某種數學對象，能否給它一個類似的編碼？
這個編碼可能比原始數據簡單得多，卻能捕獲關鍵信息？
「我需要想一想，」肖宿說，「這個想法……可能真的可行。」