第27章 染色法的勝利
在實驗室，陳拙的日子過得很融洽。
窩在實驗室吹吹暖風。
自己翻看著那本老周給的紅皮書。
偶爾幫著老周給李浩和張偉講題，補課。
前段時間老周就對他們將陳拙定成了隊長，雖然說他們小隊只有三個人。
李浩和張偉自然是舉雙手雙腳贊成。
自從之前陳拙給他們講了幾次題之後，他們的一聲聲隊長喊得那叫一個心悅誠服，毫無芥蒂。
在他們眼裡難得要死，根本不是人做的題，在陳拙手裡好像永遠都是三下五除二就能解決。
關鍵是陳拙教的方法他們很簡單就能聽懂。
這就很神奇了。
至於老趙那邊，數學組倒是有五個人，三男兩女，加上陳拙正好六個。
湊夠人數的那天晚自習，老趙過去往黑板上甩了一道題。
不出意外。
陳拙就這麼順順利利地當上了數學組的隊長。
就是不知道為什麼。
他的零食好像越來越多了。
......
周三晚上，七點半。
市一中行政樓頂層的數競組專用教室。
這裡很乾，空氣里瀰漫著一種陳舊紙張特有的、令人心靜的酸味。
厚重的深紅色天鵝絨窗簾拉得嚴嚴實實，將窗外的夜色和校園晚自習的鈴聲徹底隔絕。
屋裡只有一張巨大的紅木長桌，上面亮著一盞瓦數很高的白熾燈。
燈光下，圍坐著五個人。
三男兩女。
這五個人，是市一中初中部數學競賽組的全明星陣容。
初三的王洋，年級數學第一，戴著一副比瓶底還厚的眼鏡，正在那兒瘋狂地咬筆頭。
初三的趙晨，也是個數學瘋子，此時正抓著頭髮，把那頭本來就亂的頭髮抓成了雞窩。
還有初二的小胖子劉凱，以及兩個女生，南小雲和林曉。
他們很安靜。
除了筆尖在紙上划過的沙沙聲，和偶爾發出的嘆息聲，幾乎聽不到別的動靜。
他坐在長桌的最盡頭。
他手裡捧著一本從架子上翻出來的、封皮已經掉了一半的《中等數學》，正看得津津有味。
那五個人被一道題困住了。
一道經典的組合幾何題。
題目畫在草稿紙上：
【能不能用 1×4的長方形（骨牌），無重疊地覆蓋一個 6×6的正方形棋盤？如果不能，請說明理由。】
題目很簡單。
簡單到小學生都能讀懂。
但解起來很煩。
「能吧？」
王洋拿著筆在紙上畫格子。
「你看，面積是 6×6 = 36，骨牌面積是 4，36是 4的倍數，面積上是夠的啊！」
「面積夠不代表能鋪滿啊！」趙晨反駁道，「我試了半天，每次角上都多出來一塊。」
「是不是要把 6×6分割成幾個小矩形？」南小雲也在嘗試，「比如切成 2×4的塊？哎呀不行，6除以 4除不盡……」
「硬湊肯定不行，得有規律。」劉凱咬著筆頭，「是不是要用反證法？」
爭吵聲越來越大。
太吵了。
那種毫無章法的試錯，就像是在黑暗中亂撞。
陳拙合上那本《中等數學》，輕輕嘆了口氣。
他抱著書，從椅子上跳下來，慢吞吞地走到了長桌的另一頭。
他站在王洋和趙晨的中間。
「卡住了？」
陳拙的聲音很平，聽不出什麼情緒，就像是在問吃了飯了嗎。
爭吵聲戛然而止。
五個人都看著這個九歲的小組長。
「嗯，卡死了。」
王洋把那張畫得亂七八糟的草稿紙推過來，有點不好意思地撓撓頭。
「這題感覺能鋪滿，但死活畫不出來。面積明明是匹配的。」
陳拙看了一眼題目。
「面積匹配是必要條件，不是充分條件。」
陳拙伸手，從筆筒里抽出一支紅筆。
他沒有去畫那些複雜的長方形骨牌。
他把那個 6×6的方格圖拿過來。
「別畫圖。」
陳拙淡淡地說。
「染色。」
「染色？」南小雲愣了一下，「像西洋棋那樣染黑白格？」
「黑白格不行。」
陳拙搖了搖頭。
「那是解決 1× 2骨牌用的。這道題是 1× 4。」
「我們要用四種顏色。」
陳拙手裡的紅筆在格子裡寫下了數字：1， 2， 3， 4。
他並沒有胡亂填，而是按照一種非常有規律的循環順序填寫：
第一行：1， 2， 3， 4， 1， 2
第二行：1， 2， 3， 4， 1， 2
……
直到填滿整個 6× 6的棋盤。
「你們看。」
陳拙指著這個數字矩陣。
「不管你怎麼放，任何一個 1× 4的骨牌，無論橫著放還是豎著放，它覆蓋的四個格子，數字必然是 1， 2， 3， 4各一個。」
「也就是說，每一個骨牌，都會消耗掉一份 1， 2， 3， 4。」
「如果能鋪滿，那麼棋盤上 1， 2， 3， 4的數量必須是相等的。」
陳拙停下筆，抬起頭，透過鏡片看著幾位學長學姐。
「現在，數一下。」
「這個棋盤裡，一共有多少個 2？」
王洋愣了一下，趕緊去數陳拙畫的那個矩陣。
「每一行有兩個 2……一共六行……是12個 2。」
「那有多少個 4呢？」陳拙問。
王洋繼續數，突然，他的臉色變了。
「第一行……沒有 4？不對，有一個 4。」
「每一行是 1， 2， 3， 4， 1， 2。只有 1個 4！」
「一共六行，只有 6個 4！」
教室里瞬間安靜了。
邏輯閉環了。
如果要鋪滿，必須消耗同等數量的 2和 4。
但棋盤上，2有 12個，4隻有 6個。
根本不對等。
「所以，不可能。」
陳拙放下了筆。
「這就是反證法，不用去湊，數數就行了。」
趙晨看著那張紙，嘴巴張得老大。
「這……這就證完了？」
「嗯。」
陳拙拍了拍手上的灰，轉身往回走。
「染色法是組合數學的基礎。以後遇到這種覆蓋問題，先別急著畫圖，先想想怎麼染色能製造矛盾。」
他坐回了自己的位置，翻開書。
「行了，別發呆了，下一題。」
身後，五個學長學姐面面相覷。
尤其是王洋，他看著那個簡單的數字矩陣，感覺自己的智商被按在地上摩擦了一遍。
不是因為題目有多難。
而是因為這種解法，太優雅了，太賴皮了，也太……
「牛逼。」
王洋憋了半天，只憋出這兩個字。
沒有複雜的計算，沒有繁瑣的分類討論。
就是畫幾個數，數一數，結束戰鬥。
「這腦子……」
王洋小聲嘟囔了一句。
「怎麼長的呢？」
窩在實驗室吹吹暖風。
自己翻看著那本老周給的紅皮書。
偶爾幫著老周給李浩和張偉講題，補課。
前段時間老周就對他們將陳拙定成了隊長，雖然說他們小隊只有三個人。
李浩和張偉自然是舉雙手雙腳贊成。
自從之前陳拙給他們講了幾次題之後，他們的一聲聲隊長喊得那叫一個心悅誠服，毫無芥蒂。
在他們眼裡難得要死，根本不是人做的題，在陳拙手裡好像永遠都是三下五除二就能解決。
關鍵是陳拙教的方法他們很簡單就能聽懂。
這就很神奇了。
至於老趙那邊，數學組倒是有五個人，三男兩女，加上陳拙正好六個。
湊夠人數的那天晚自習，老趙過去往黑板上甩了一道題。
不出意外。
陳拙就這麼順順利利地當上了數學組的隊長。
就是不知道為什麼。
他的零食好像越來越多了。
......
周三晚上，七點半。
市一中行政樓頂層的數競組專用教室。
這裡很乾，空氣里瀰漫著一種陳舊紙張特有的、令人心靜的酸味。
厚重的深紅色天鵝絨窗簾拉得嚴嚴實實，將窗外的夜色和校園晚自習的鈴聲徹底隔絕。
屋裡只有一張巨大的紅木長桌，上面亮著一盞瓦數很高的白熾燈。
燈光下，圍坐著五個人。
三男兩女。
這五個人，是市一中初中部數學競賽組的全明星陣容。
初三的王洋，年級數學第一，戴著一副比瓶底還厚的眼鏡，正在那兒瘋狂地咬筆頭。
初三的趙晨，也是個數學瘋子，此時正抓著頭髮，把那頭本來就亂的頭髮抓成了雞窩。
還有初二的小胖子劉凱，以及兩個女生，南小雲和林曉。
他們很安靜。
除了筆尖在紙上划過的沙沙聲，和偶爾發出的嘆息聲，幾乎聽不到別的動靜。
他坐在長桌的最盡頭。
他手裡捧著一本從架子上翻出來的、封皮已經掉了一半的《中等數學》，正看得津津有味。
那五個人被一道題困住了。
一道經典的組合幾何題。
題目畫在草稿紙上：
【能不能用 1×4的長方形（骨牌），無重疊地覆蓋一個 6×6的正方形棋盤？如果不能，請說明理由。】
題目很簡單。
簡單到小學生都能讀懂。
但解起來很煩。
「能吧？」
王洋拿著筆在紙上畫格子。
「你看，面積是 6×6 = 36，骨牌面積是 4，36是 4的倍數，面積上是夠的啊！」
「面積夠不代表能鋪滿啊！」趙晨反駁道，「我試了半天，每次角上都多出來一塊。」
「是不是要把 6×6分割成幾個小矩形？」南小雲也在嘗試，「比如切成 2×4的塊？哎呀不行，6除以 4除不盡……」
「硬湊肯定不行，得有規律。」劉凱咬著筆頭，「是不是要用反證法？」
爭吵聲越來越大。
太吵了。
那種毫無章法的試錯，就像是在黑暗中亂撞。
陳拙合上那本《中等數學》，輕輕嘆了口氣。
他抱著書，從椅子上跳下來，慢吞吞地走到了長桌的另一頭。
他站在王洋和趙晨的中間。
「卡住了？」
陳拙的聲音很平，聽不出什麼情緒，就像是在問吃了飯了嗎。
爭吵聲戛然而止。
五個人都看著這個九歲的小組長。
「嗯，卡死了。」
王洋把那張畫得亂七八糟的草稿紙推過來，有點不好意思地撓撓頭。
「這題感覺能鋪滿，但死活畫不出來。面積明明是匹配的。」
陳拙看了一眼題目。
「面積匹配是必要條件，不是充分條件。」
陳拙伸手，從筆筒里抽出一支紅筆。
他沒有去畫那些複雜的長方形骨牌。
他把那個 6×6的方格圖拿過來。
「別畫圖。」
陳拙淡淡地說。
「染色。」
「染色？」南小雲愣了一下，「像西洋棋那樣染黑白格？」
「黑白格不行。」
陳拙搖了搖頭。
「那是解決 1× 2骨牌用的。這道題是 1× 4。」
「我們要用四種顏色。」
陳拙手裡的紅筆在格子裡寫下了數字：1， 2， 3， 4。
他並沒有胡亂填，而是按照一種非常有規律的循環順序填寫：
第一行：1， 2， 3， 4， 1， 2
第二行：1， 2， 3， 4， 1， 2
……
直到填滿整個 6× 6的棋盤。
「你們看。」
陳拙指著這個數字矩陣。
「不管你怎麼放，任何一個 1× 4的骨牌，無論橫著放還是豎著放，它覆蓋的四個格子，數字必然是 1， 2， 3， 4各一個。」
「也就是說，每一個骨牌，都會消耗掉一份 1， 2， 3， 4。」
「如果能鋪滿，那麼棋盤上 1， 2， 3， 4的數量必須是相等的。」
陳拙停下筆，抬起頭，透過鏡片看著幾位學長學姐。
「現在，數一下。」
「這個棋盤裡，一共有多少個 2？」
王洋愣了一下，趕緊去數陳拙畫的那個矩陣。
「每一行有兩個 2……一共六行……是12個 2。」
「那有多少個 4呢？」陳拙問。
王洋繼續數，突然，他的臉色變了。
「第一行……沒有 4？不對，有一個 4。」
「每一行是 1， 2， 3， 4， 1， 2。只有 1個 4！」
「一共六行，只有 6個 4！」
教室里瞬間安靜了。
邏輯閉環了。
如果要鋪滿，必須消耗同等數量的 2和 4。
但棋盤上，2有 12個，4隻有 6個。
根本不對等。
「所以，不可能。」
陳拙放下了筆。
「這就是反證法，不用去湊，數數就行了。」
趙晨看著那張紙，嘴巴張得老大。
「這……這就證完了？」
「嗯。」
陳拙拍了拍手上的灰，轉身往回走。
「染色法是組合數學的基礎。以後遇到這種覆蓋問題，先別急著畫圖，先想想怎麼染色能製造矛盾。」
他坐回了自己的位置，翻開書。
「行了，別發呆了，下一題。」
身後，五個學長學姐面面相覷。
尤其是王洋，他看著那個簡單的數字矩陣，感覺自己的智商被按在地上摩擦了一遍。
不是因為題目有多難。
而是因為這種解法，太優雅了，太賴皮了，也太……
「牛逼。」
王洋憋了半天，只憋出這兩個字。
沒有複雜的計算，沒有繁瑣的分類討論。
就是畫幾個數，數一數，結束戰鬥。
「這腦子……」
王洋小聲嘟囔了一句。
「怎麼長的呢？」