第40章 競賽集訓第一課，再次降維打擊
周六上午,京市一中數學競賽集訓教室。
閻正站在講台上,目光掃過下方十幾個學生。
「今天是集訓第一課。」
他停頓半晌，語氣涼了幾度。
「我不管你們是怎麼進來的，在這裡，只有實力說話。」
顯然，某些人把關係戶塞進集訓隊的事兒，讓他很不爽。
教室里安靜下來。
陸安安坐在第二排,手指輕輕摩挲著筆桿。
【終於進來了。】
【接下來,就等陸昭昭出醜。】
她側頭看向最後一排。
陸昭昭坐在角落,面前攤開一本《數論導引》,目光平靜地掃過書頁。
閻正轉身在黑板上寫下一道題:
「設p為大於3的質數,證明:p²-1能被24整除。」
教室里響起筆尖划過紙張的聲音。
陸安安盯著題目,腦海中快速搜索記憶。
【這道題我見過。】
【上一世省賽真題,用費馬小定理和同餘性質。】
她深吸一口氣,開始在草稿紙上推導。
十分鐘後。
閻正放下粉筆。
「誰做出來了?」
陸安安舉起手。
閻正眉毛微挑。
「陸安安,你上來講。」
陸安安站起身，走到講台前，拿起粉筆。
「因為p是大於3的質數，所以p不能被2和3整除。」
她在黑板上寫下第一行。
「p是奇數，考察p模8的情況：p≡1,3,5,7(mod 8)。」
她繼續推導。
「計算可得p²≡1(mod 8)。同理p²≡1(mod 3)。」
「由於gcd(8,3)=1，根據中國剩餘定理，p²≡1(mod 24)。」
「因此p²-1能被24整除。」
閻正點點頭。
「思路正確，但表述可以更嚴謹。」
陸安安臉上浮現出笑容,轉身走回座位。
【陸昭昭還在看書。】
【她肯定做不出來。】
閻正看向最後一排。
「昭昭,你做出來了嗎?」
陸昭昭合上書,抬起頭。
「做出來了。」
閻正點點頭。
「你也上來講講。」
陸昭昭站起身,走到講台前。
」我想到了三種思路。」
教室里安靜下來。
陸安安手指一緊。
【三種？】
陸昭昭拿起粉筆,在黑板上寫下第一行。
「第一種,因式分解。p²-1=(p-1)(p+1)。」
她的筆尖快速移動。
「p是大於3的質數,則p-1和p+1是兩個連續偶數,其中必有一個被4整除,另一個被2整除,所以(p-1)(p+1)能被8整除。」
她頓了頓。
「又因為p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),則p-1或p+1能被3整除。」
「綜上,p²-1能被24整除。」
閻正點點頭。「繼續。」
陸昭昭擦掉第一種方法,寫下第二行。
「第二種,同餘類討論。p＞3,則p≡1或5(mod 6)。」
她的推導速度更快了。
「當p≡1(mod 6)時,p²≡1(mod 24)。」
「當p≡5(mod 6)時,p²≡25≡1(mod 24)。」
「所以p²-1≡0(mod 24)。」
教室里響起倒吸冷氣的聲音。
陸安安的手指攥的生疼。
【她怎麼可能想的這麼快?】
閻正看向陸昭昭。
「第三種呢?」
陸昭昭放下粉筆,拿起另一支不同顏色的粉筆。
「第三種,直接驗證。」
她轉身面對黑板。
「質數p＞3,則p=6k±1的形式。」
「當p=6k+1時,p²-1=(6k+1)²-1=36k²+12k=12k(3k+1)。」
「3k與3k+1中必有一個為偶數,所以12k(3k+1)能被24整除。」
「當p=6k-1時,同理可證。」
教室里鴉雀無聲。
陸昭昭轉身走回座位。
陸安安的臉色慘白。
【不可能。】
【她怎麼能想到這麼多方法?】
閻正看著黑板上三種解法,眼中閃過讚賞。
「三種方法各有特點。第一種直觀,第二種系統,第三種嚴密。」
他轉身在黑板上寫下第二道題。
「下一題:證明存在無窮多個形如4k+1的質數。」
教室里安靜下來。
陸安安盯著題目,腦海中一片空白。
【這道題……】
【我沒見過。】
她側頭看向陸昭昭。
陸昭昭已經在草稿紙上寫下第一行。
十五分鐘後。
閻正放下粉筆。
「這道題有一定難度,你們能做到哪一步,就做到哪一步。」
教室里只有沙沙的寫字聲。
又過了十分鐘。
閻正看向全班。
「誰有思路?」
閻正直接看向最後一排。
「陸昭昭?」
陸昭昭放下筆。
「我寫了一個證明,但用到了一個結論,不確定是否超出競賽範圍。」
閻正點點頭。
「你先講講思路。」
陸昭昭走到講台前,拿起粉筆。
「我用反證法。假設形如4k+1的質數只有有限個,設為p₁,p₂,…,pₙ。」
她的字跡工整。
「構造數N=(2p₁p₂…pₙ)²+1」
「注意到N≡1(mod 4),所以N是4k+1型的。」
她繼續寫道:
「N＞1,必有質因子。設q是N的任一質因子。」
「如果q=2,則2|(2p₁p₂…pₙ)²+1,但(2p₁p₂…pₙ)²是偶數,加1是奇數,矛盾。」
「所以q是奇質數。」
「如果q是4k+3型的,那麼N的所有質因子都是4k+3型,則N也是4k+3型,與N≡1(mod 4)矛盾。」
「所以q必是4k+1型的質數。」
她停頓了一下。
「但q不在{p₁,p₂,…,pₙ}中,因為N除以任何pᵢ都餘1。」
「這與假設矛盾。所以形如4k+1的質數有無窮多個。」
陸昭昭放下粉筆。
「但這個證明用到了'4k+3型質數的乘積還是4k+3型'這個性質,需要單獨證明。」
閻正點點頭。
「這個證明思路是對的。你提到的那個性質確實需要證明,不過很簡單:(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1,所以兩個4k+3型數的乘積是4k+1型。這說明如果N的所有質因子都是4k+3型,N就不可能是4k+1型。」
他轉身面向全班。
「陸昭昭的證明用到了數論中的構造法和反證法,思路很清晰。這類證明在競賽中經常出現,大家要好好體會。」
閻正看了一眼時間。
「今天的課就到這裡。」
他掃視全班。
「回去後好好複習今天講的內容,特別是同餘的性質和因式分解的技巧。下周會有測試。」
學生們陸續收拾東西離開。
陸安安走到門口,回頭看了一眼。
陸昭昭正在整理書包,表情平靜。
【該死……】
【她不僅會做,還能講得這麼清楚。】
陸安安咬了咬嘴唇,快步走出教室。
走廊里,幾個競賽組的男生聚在一起。
「陸昭昭也太厲害了吧,一道題能想出三種方法。」
「是啊,而且每種方法都講得特別清楚,我全聽懂了。」
「不過她平時看起來挺冷淡的,不太好接近。」
陸安安路過時,聽到這些話,臉色更加難看。
她加快腳步,走向教學樓。
拐角處,沈逸正倚在牆邊等她。
「安安。」
他走上前。
「怎麼樣?第一天集訓還習慣嗎?」
陸安安勉強笑了笑。「還好。」
沈逸看出她情緒不對。
「怎麼了?是不是有人欺負你?」
陸安安搖搖頭。「沒有,只是……」
她頓了頓。
「姐姐她在競賽組表現得很好,大家都很佩服她。」
沈逸皺眉。
「陸昭昭?她能有多好?」
陸安安低下頭。
「她用了三種方法解同一道題,每種方法都很完整,講得也很清楚。閻老師一直在誇她。」
沈逸愣住。
「什麼?」
陸安安抬起頭,眼中帶著委屈。
「沈逸哥哥,我覺得自己好沒用。」
「我明明那麼努力,可還是比不上她。」
她停頓了一下,臉色為難的說：
「對了,我昨天晚上回家的時候,看到姐姐在房間裡看數學競賽試題。」
沈逸眼神一動。
「什麼試題?」
陸安安好像在回憶著。
「好像就是今天閻老師講的那些題目。我看到她草稿紙上寫的數字和今天黑板上的很像。」
沈逸的表情變得微妙。
「你確定?」
陸安安點點頭。
「應該沒錯。我看到她在寫關於質數的證明,今天閻老師就講了那道4k+1質數的題。」
沈逸眼中閃過一絲深意。
「看來陸昭昭只是運氣好,提前看過題而已。」
「等真正比賽的時候,她肯定會露餡。」
陸安安咬著嘴唇。「可是萬一……」
「沒有萬一。」
沈逸打斷她。
「我相信你，你才是最棒的！」
陸安安看著他,眼眶微紅。「謝謝你,沈逸哥哥。」
沈逸揉了揉她的頭。
「走吧,我陪你去吃飯。」
兩人並肩走向食堂。
閻正站在講台上,目光掃過下方十幾個學生。
「今天是集訓第一課。」
他停頓半晌，語氣涼了幾度。
「我不管你們是怎麼進來的，在這裡，只有實力說話。」
顯然，某些人把關係戶塞進集訓隊的事兒，讓他很不爽。
教室里安靜下來。
陸安安坐在第二排,手指輕輕摩挲著筆桿。
【終於進來了。】
【接下來,就等陸昭昭出醜。】
她側頭看向最後一排。
陸昭昭坐在角落,面前攤開一本《數論導引》,目光平靜地掃過書頁。
閻正轉身在黑板上寫下一道題:
「設p為大於3的質數,證明:p²-1能被24整除。」
教室里響起筆尖划過紙張的聲音。
陸安安盯著題目,腦海中快速搜索記憶。
【這道題我見過。】
【上一世省賽真題,用費馬小定理和同餘性質。】
她深吸一口氣,開始在草稿紙上推導。
十分鐘後。
閻正放下粉筆。
「誰做出來了?」
陸安安舉起手。
閻正眉毛微挑。
「陸安安,你上來講。」
陸安安站起身，走到講台前，拿起粉筆。
「因為p是大於3的質數，所以p不能被2和3整除。」
她在黑板上寫下第一行。
「p是奇數，考察p模8的情況：p≡1,3,5,7(mod 8)。」
她繼續推導。
「計算可得p²≡1(mod 8)。同理p²≡1(mod 3)。」
「由於gcd(8,3)=1，根據中國剩餘定理，p²≡1(mod 24)。」
「因此p²-1能被24整除。」
閻正點點頭。
「思路正確，但表述可以更嚴謹。」
陸安安臉上浮現出笑容,轉身走回座位。
【陸昭昭還在看書。】
【她肯定做不出來。】
閻正看向最後一排。
「昭昭,你做出來了嗎?」
陸昭昭合上書,抬起頭。
「做出來了。」
閻正點點頭。
「你也上來講講。」
陸昭昭站起身,走到講台前。
」我想到了三種思路。」
教室里安靜下來。
陸安安手指一緊。
【三種？】
陸昭昭拿起粉筆,在黑板上寫下第一行。
「第一種,因式分解。p²-1=(p-1)(p+1)。」
她的筆尖快速移動。
「p是大於3的質數,則p-1和p+1是兩個連續偶數,其中必有一個被4整除,另一個被2整除,所以(p-1)(p+1)能被8整除。」
她頓了頓。
「又因為p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),則p-1或p+1能被3整除。」
「綜上,p²-1能被24整除。」
閻正點點頭。「繼續。」
陸昭昭擦掉第一種方法,寫下第二行。
「第二種,同餘類討論。p＞3,則p≡1或5(mod 6)。」
她的推導速度更快了。
「當p≡1(mod 6)時,p²≡1(mod 24)。」
「當p≡5(mod 6)時,p²≡25≡1(mod 24)。」
「所以p²-1≡0(mod 24)。」
教室里響起倒吸冷氣的聲音。
陸安安的手指攥的生疼。
【她怎麼可能想的這麼快?】
閻正看向陸昭昭。
「第三種呢?」
陸昭昭放下粉筆,拿起另一支不同顏色的粉筆。
「第三種,直接驗證。」
她轉身面對黑板。
「質數p＞3,則p=6k±1的形式。」
「當p=6k+1時,p²-1=(6k+1)²-1=36k²+12k=12k(3k+1)。」
「3k與3k+1中必有一個為偶數,所以12k(3k+1)能被24整除。」
「當p=6k-1時,同理可證。」
教室里鴉雀無聲。
陸昭昭轉身走回座位。
陸安安的臉色慘白。
【不可能。】
【她怎麼能想到這麼多方法?】
閻正看著黑板上三種解法,眼中閃過讚賞。
「三種方法各有特點。第一種直觀,第二種系統,第三種嚴密。」
他轉身在黑板上寫下第二道題。
「下一題:證明存在無窮多個形如4k+1的質數。」
教室里安靜下來。
陸安安盯著題目,腦海中一片空白。
【這道題……】
【我沒見過。】
她側頭看向陸昭昭。
陸昭昭已經在草稿紙上寫下第一行。
十五分鐘後。
閻正放下粉筆。
「這道題有一定難度,你們能做到哪一步,就做到哪一步。」
教室里只有沙沙的寫字聲。
又過了十分鐘。
閻正看向全班。
「誰有思路?」
閻正直接看向最後一排。
「陸昭昭?」
陸昭昭放下筆。
「我寫了一個證明,但用到了一個結論,不確定是否超出競賽範圍。」
閻正點點頭。
「你先講講思路。」
陸昭昭走到講台前,拿起粉筆。
「我用反證法。假設形如4k+1的質數只有有限個,設為p₁,p₂,…,pₙ。」
她的字跡工整。
「構造數N=(2p₁p₂…pₙ)²+1」
「注意到N≡1(mod 4),所以N是4k+1型的。」
她繼續寫道:
「N＞1,必有質因子。設q是N的任一質因子。」
「如果q=2,則2|(2p₁p₂…pₙ)²+1,但(2p₁p₂…pₙ)²是偶數,加1是奇數,矛盾。」
「所以q是奇質數。」
「如果q是4k+3型的,那麼N的所有質因子都是4k+3型,則N也是4k+3型,與N≡1(mod 4)矛盾。」
「所以q必是4k+1型的質數。」
她停頓了一下。
「但q不在{p₁,p₂,…,pₙ}中,因為N除以任何pᵢ都餘1。」
「這與假設矛盾。所以形如4k+1的質數有無窮多個。」
陸昭昭放下粉筆。
「但這個證明用到了'4k+3型質數的乘積還是4k+3型'這個性質,需要單獨證明。」
閻正點點頭。
「這個證明思路是對的。你提到的那個性質確實需要證明,不過很簡單:(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1,所以兩個4k+3型數的乘積是4k+1型。這說明如果N的所有質因子都是4k+3型,N就不可能是4k+1型。」
他轉身面向全班。
「陸昭昭的證明用到了數論中的構造法和反證法,思路很清晰。這類證明在競賽中經常出現,大家要好好體會。」
閻正看了一眼時間。
「今天的課就到這裡。」
他掃視全班。
「回去後好好複習今天講的內容,特別是同餘的性質和因式分解的技巧。下周會有測試。」
學生們陸續收拾東西離開。
陸安安走到門口,回頭看了一眼。
陸昭昭正在整理書包,表情平靜。
【該死……】
【她不僅會做,還能講得這麼清楚。】
陸安安咬了咬嘴唇,快步走出教室。
走廊里,幾個競賽組的男生聚在一起。
「陸昭昭也太厲害了吧,一道題能想出三種方法。」
「是啊,而且每種方法都講得特別清楚,我全聽懂了。」
「不過她平時看起來挺冷淡的,不太好接近。」
陸安安路過時,聽到這些話,臉色更加難看。
她加快腳步,走向教學樓。
拐角處,沈逸正倚在牆邊等她。
「安安。」
他走上前。
「怎麼樣?第一天集訓還習慣嗎?」
陸安安勉強笑了笑。「還好。」
沈逸看出她情緒不對。
「怎麼了?是不是有人欺負你?」
陸安安搖搖頭。「沒有,只是……」
她頓了頓。
「姐姐她在競賽組表現得很好,大家都很佩服她。」
沈逸皺眉。
「陸昭昭?她能有多好?」
陸安安低下頭。
「她用了三種方法解同一道題,每種方法都很完整,講得也很清楚。閻老師一直在誇她。」
沈逸愣住。
「什麼?」
陸安安抬起頭,眼中帶著委屈。
「沈逸哥哥,我覺得自己好沒用。」
「我明明那麼努力,可還是比不上她。」
她停頓了一下,臉色為難的說：
「對了,我昨天晚上回家的時候,看到姐姐在房間裡看數學競賽試題。」
沈逸眼神一動。
「什麼試題?」
陸安安好像在回憶著。
「好像就是今天閻老師講的那些題目。我看到她草稿紙上寫的數字和今天黑板上的很像。」
沈逸的表情變得微妙。
「你確定?」
陸安安點點頭。
「應該沒錯。我看到她在寫關於質數的證明,今天閻老師就講了那道4k+1質數的題。」
沈逸眼中閃過一絲深意。
「看來陸昭昭只是運氣好,提前看過題而已。」
「等真正比賽的時候,她肯定會露餡。」
陸安安咬著嘴唇。「可是萬一……」
「沒有萬一。」
沈逸打斷她。
「我相信你，你才是最棒的！」
陸安安看著他,眼眶微紅。「謝謝你,沈逸哥哥。」
沈逸揉了揉她的頭。
「走吧,我陪你去吃飯。」
兩人並肩走向食堂。