第16章 省賽第二場
第二場考試開始了。
拿到試卷的一瞬間，李帆就感覺到，難度確實提升了。
題目不再是那種一眼就能看出考點的常規題，而是繞了幾個彎，需要更深的思考才能剝開外殼，看到內核。
他做得比上午要慢，也更謹慎。
時間一分一秒地流逝，當他攻克了前面的所有題目，來到最後一道壓軸題時，牆上的時鐘已經指向了考試的後半段。
【題目：設 p是一個素數，f(x)= a_n * x^n +...+ a_1 * x + a_0是一個整係數多項式。證明：若 f(x)≡ 0 (mod p)在模 p意義下有 k個不同的解，則多項式 f(x)的次數 n必然大於或等於 k，或者 f(x)的所有係數 a_i都是 p的倍數。】
李帆的瞳孔微微一縮。
【數論……還是和多項式結合的抽象代數題……】
這是他知識體系里，最薄弱的一環。
他死死地盯著題目，大腦的每一個褶皺都在瘋狂檢索。這個結論，他有印象，模糊地記得在「金鑰匙」輔導班的某本講義的角落裡見過。它像一個定理，一個被他忽略了的、不起眼的定理。
【是什麼……到底是什麼……】
他嘗試從最基礎的定義出發，構造反證法，利用有限域 Z_p的性質……草稿紙上很快寫滿了各種符號和推演。
思路在某個點上，似乎通了。
【對了！在有限域 Z_p里，如果一個 n次多項式 f(x)有 k個根，且 n ＜ k，那麼……】
然後呢？
然後是什麼？
李帆的筆尖懸在了半空，大腦一片空白。
額頭的汗珠變得黏膩，順著太陽穴滑落，痒痒的，讓他心煩意亂。
他越是焦急，那層水幕就越是渾濁。
「鈴——」
考試結束的鈴聲，如同一聲審判的鐘鳴，無情地宣告了他這場掙扎的終結。
他最終還是沒能想起那個關鍵的步驟——f(x)必須是 g(x)的倍式，而在次數 n ＜ k的前提下，這隻有一種可能：f(x)在模 p意義下是零多項式，即所有係數都是 p的倍數。
一步之遙，咫尺天涯。
他放下了筆，臉上沒什麼表情，但心裡卻是一片冰涼。
……
與此同時，考場的另一端。
徐辰在看到這道題時，也愣了一下。
他同樣不知道這個定理。陳老師的資料里，依然沒有涉及到這部分內容。
所以他也沒有像李帆那樣，去記憶里搜索現成的定理。
他的思路，還是從更原始的路線進行推導。
【不懂理論，就回歸定義。】
【有 k個解，意味著什麼？】
【意味著，可以列 k個方程。】
一個大膽的念頭在他腦海中閃過。
【我為什麼要把它當成數論題來解？】
【這……這特喵的不就是一道線性代數題嗎？！】
他瞬間感覺豁然開朗！
他的筆尖，在草稿紙上飛速移動，一行行工整的方程組，瞬間成型：
f(x_1)= a_n * x_1^n +...+ a_0≡ 0 (mod p) f(x_2)= a_n * x_2^n +...+ a_0≡ 0 (mod p)... f(x_k)= a_n * x_k^n +...+ a_0≡ 0 (mod p)
【這是一個關於係數 a_0， a_1，...， a_n的齊次線性方程組。】
【如果 n ＜ k，那麼未知數的個數(n+1)就有可能小於方程的個數 k。】
他將這個問題，硬生生地轉化成了一個線性代數問題。通過構造一個 k *(n+1)的係數矩陣，並利用范德蒙德行列式的性質，在草稿紙上進行了大量的、極其繁瑣的行列式運算和模 p運算。
當大腦的算力再次逼近極限時，他毫不猶豫。
【系統，再來一顆專注膠囊。】
在考試結束前的10分鐘，他完成了全部推導。
【兩場壓軸題，應該都拿下了。】
【這次的省一，應該……十拿九穩了。】
……
兩場考試全部結束，所有人都像是打完了一場硬仗，臉上寫滿了疲憊。
走廊上，安城三中的四人再次聚到了一起，氣氛比中午要沉悶得多。
「完了完了，下午這場我徹底廢了，」林曉雅第一個開口，一臉的生無可戀，「最後那道大題，我連題目都沒完全看懂。」
「我也是，」張浩搖了搖頭，嘆了口氣，「感覺這次還是只能拿省三。」
李帆靠在牆上，臉色不太好看。他沉默了一會兒，才緩緩開口：「下午的壓軸題，我思路有，但最後一步沒想起來，空了一大塊。省一……可能不太穩了。」
他的語氣裡帶著明顯的失落，「要麼是省二前排，要麼就是省一的末尾了。」
「別這麼說，李帆，你已經很厲害了！」林曉雅安慰道，「我們連思路都沒有呢，你能做到最後一步，已經超過全省99%的人了。」
張浩也點頭：「是啊，兩場考試，能把大部分題做出來就已經是大神了。」
李帆勉強笑了笑，沒再說話。他知道，對於競賽來說，差一步，就是天壤之別。
拿不到省一，想想趙瑞指不定會怎麼挖苦自己呢。
這時，幾人的目光都落在了還沒說話的徐辰身上。
張浩帶著幾分同情問道：「徐辰，你怎麼樣？下午這場更難，應該沒寫完吧？沒關係的，第一次參加……」
沒等張浩準備安慰的話說完，徐辰很認真地回答：「應該都做出來了。」
他頓了頓，又補充了一句：「就是兩場考試的最後一道題，我的解法都比較繁瑣，過程寫得特別長，不知道閱卷老師會不會嫌麻煩，扣我的步驟分。」
走廊里，瞬間安靜了下來。
空氣仿佛凝固了。
林曉雅和張浩臉上的表情，從同情，慢慢變成了錯愕和不解。
李帆則是直接皺起了眉頭。
過了幾秒，林曉雅才幹笑了一聲，打破了沉默：「徐辰，你……你別開玩笑了。上午你說硬算，我們還以為你是想調節一下氣氛，現在都考完了，就沒必要再這樣說了。」
在她看來，徐辰這番話，無疑是在吹牛。
而且是在大家心情都不好的時候吹牛，顯得特別不合時宜。
李帆的臉色更沉了，他看著徐辰，語氣裡帶著一絲毫不掩飾的責備：「開玩笑也要分場合。我們都在為成績擔心，你這樣說有意思嗎？」
他覺得徐辰是在故意刺激他。自己一個在「金鑰匙」補習過的尖子生，都沒敢說自己全做出來了，他一個才學了三天的「門外漢」，怎麼可能？
面對三雙懷疑的眼睛，徐辰愣了一下。
他不太明白為什麼自己說實話，他們會是這個反應。
於是，他用他那標誌性的、不帶任何情緒的平靜語氣，再次確認道：
「我沒開玩笑，我說的是真的。」
拿到試卷的一瞬間，李帆就感覺到，難度確實提升了。
題目不再是那種一眼就能看出考點的常規題，而是繞了幾個彎，需要更深的思考才能剝開外殼，看到內核。
他做得比上午要慢，也更謹慎。
時間一分一秒地流逝，當他攻克了前面的所有題目，來到最後一道壓軸題時，牆上的時鐘已經指向了考試的後半段。
【題目：設 p是一個素數，f(x)= a_n * x^n +...+ a_1 * x + a_0是一個整係數多項式。證明：若 f(x)≡ 0 (mod p)在模 p意義下有 k個不同的解，則多項式 f(x)的次數 n必然大於或等於 k，或者 f(x)的所有係數 a_i都是 p的倍數。】
李帆的瞳孔微微一縮。
【數論……還是和多項式結合的抽象代數題……】
這是他知識體系里，最薄弱的一環。
他死死地盯著題目，大腦的每一個褶皺都在瘋狂檢索。這個結論，他有印象，模糊地記得在「金鑰匙」輔導班的某本講義的角落裡見過。它像一個定理，一個被他忽略了的、不起眼的定理。
【是什麼……到底是什麼……】
他嘗試從最基礎的定義出發，構造反證法，利用有限域 Z_p的性質……草稿紙上很快寫滿了各種符號和推演。
思路在某個點上，似乎通了。
【對了！在有限域 Z_p里，如果一個 n次多項式 f(x)有 k個根，且 n ＜ k，那麼……】
然後呢？
然後是什麼？
李帆的筆尖懸在了半空，大腦一片空白。
額頭的汗珠變得黏膩，順著太陽穴滑落，痒痒的，讓他心煩意亂。
他越是焦急，那層水幕就越是渾濁。
「鈴——」
考試結束的鈴聲，如同一聲審判的鐘鳴，無情地宣告了他這場掙扎的終結。
他最終還是沒能想起那個關鍵的步驟——f(x)必須是 g(x)的倍式，而在次數 n ＜ k的前提下，這隻有一種可能：f(x)在模 p意義下是零多項式，即所有係數都是 p的倍數。
一步之遙，咫尺天涯。
他放下了筆，臉上沒什麼表情，但心裡卻是一片冰涼。
……
與此同時，考場的另一端。
徐辰在看到這道題時，也愣了一下。
他同樣不知道這個定理。陳老師的資料里，依然沒有涉及到這部分內容。
所以他也沒有像李帆那樣，去記憶里搜索現成的定理。
他的思路，還是從更原始的路線進行推導。
【不懂理論，就回歸定義。】
【有 k個解，意味著什麼？】
【意味著，可以列 k個方程。】
一個大膽的念頭在他腦海中閃過。
【我為什麼要把它當成數論題來解？】
【這……這特喵的不就是一道線性代數題嗎？！】
他瞬間感覺豁然開朗！
他的筆尖，在草稿紙上飛速移動，一行行工整的方程組，瞬間成型：
f(x_1)= a_n * x_1^n +...+ a_0≡ 0 (mod p) f(x_2)= a_n * x_2^n +...+ a_0≡ 0 (mod p)... f(x_k)= a_n * x_k^n +...+ a_0≡ 0 (mod p)
【這是一個關於係數 a_0， a_1，...， a_n的齊次線性方程組。】
【如果 n ＜ k，那麼未知數的個數(n+1)就有可能小於方程的個數 k。】
他將這個問題，硬生生地轉化成了一個線性代數問題。通過構造一個 k *(n+1)的係數矩陣，並利用范德蒙德行列式的性質，在草稿紙上進行了大量的、極其繁瑣的行列式運算和模 p運算。
當大腦的算力再次逼近極限時，他毫不猶豫。
【系統，再來一顆專注膠囊。】
在考試結束前的10分鐘，他完成了全部推導。
【兩場壓軸題，應該都拿下了。】
【這次的省一，應該……十拿九穩了。】
……
兩場考試全部結束，所有人都像是打完了一場硬仗，臉上寫滿了疲憊。
走廊上，安城三中的四人再次聚到了一起，氣氛比中午要沉悶得多。
「完了完了，下午這場我徹底廢了，」林曉雅第一個開口，一臉的生無可戀，「最後那道大題，我連題目都沒完全看懂。」
「我也是，」張浩搖了搖頭，嘆了口氣，「感覺這次還是只能拿省三。」
李帆靠在牆上，臉色不太好看。他沉默了一會兒，才緩緩開口：「下午的壓軸題，我思路有，但最後一步沒想起來，空了一大塊。省一……可能不太穩了。」
他的語氣裡帶著明顯的失落，「要麼是省二前排，要麼就是省一的末尾了。」
「別這麼說，李帆，你已經很厲害了！」林曉雅安慰道，「我們連思路都沒有呢，你能做到最後一步，已經超過全省99%的人了。」
張浩也點頭：「是啊，兩場考試，能把大部分題做出來就已經是大神了。」
李帆勉強笑了笑，沒再說話。他知道，對於競賽來說，差一步，就是天壤之別。
拿不到省一，想想趙瑞指不定會怎麼挖苦自己呢。
這時，幾人的目光都落在了還沒說話的徐辰身上。
張浩帶著幾分同情問道：「徐辰，你怎麼樣？下午這場更難，應該沒寫完吧？沒關係的，第一次參加……」
沒等張浩準備安慰的話說完，徐辰很認真地回答：「應該都做出來了。」
他頓了頓，又補充了一句：「就是兩場考試的最後一道題，我的解法都比較繁瑣，過程寫得特別長，不知道閱卷老師會不會嫌麻煩，扣我的步驟分。」
走廊里，瞬間安靜了下來。
空氣仿佛凝固了。
林曉雅和張浩臉上的表情，從同情，慢慢變成了錯愕和不解。
李帆則是直接皺起了眉頭。
過了幾秒，林曉雅才幹笑了一聲，打破了沉默：「徐辰，你……你別開玩笑了。上午你說硬算，我們還以為你是想調節一下氣氛，現在都考完了，就沒必要再這樣說了。」
在她看來，徐辰這番話，無疑是在吹牛。
而且是在大家心情都不好的時候吹牛，顯得特別不合時宜。
李帆的臉色更沉了，他看著徐辰，語氣裡帶著一絲毫不掩飾的責備：「開玩笑也要分場合。我們都在為成績擔心，你這樣說有意思嗎？」
他覺得徐辰是在故意刺激他。自己一個在「金鑰匙」補習過的尖子生，都沒敢說自己全做出來了，他一個才學了三天的「門外漢」，怎麼可能？
面對三雙懷疑的眼睛，徐辰愣了一下。
他不太明白為什麼自己說實話，他們會是這個反應。
於是，他用他那標誌性的、不帶任何情緒的平靜語氣，再次確認道：
「我沒開玩笑，我說的是真的。」