第341章 數學的四大難題
想要剖析時鐘誤差的來源，就必須對伽利略的天才設計有足夠的了解。
伽利略時鐘的動力和傳動系統大致可以分為三個部分。
最重要的就是「儲能裝置」——以李維的理解來說。
伽利略當然嘗試過最基礎的、使用一米長的擺線、直接撥動擺線供能的秒擺作為時鐘。
結果就是無論怎樣堆砌材料的性能，最多20分鐘，這種基礎的秒擺就需要重新將擺線撥動至起始角度，以補充單擺運動損耗的能量。
這樣的秒擺放在專門有人看守的鐘樓里當然是足夠精確的；伽利略也確實使用這樣的「母鍾」來調校其他「子鍾」的精度。
但想要拓展到實際生活應用，如此頻密的調校次數和高昂的材料價格顯然不切實際。
想要解決這個問題，伽利略需要設計一個能讓時鐘在無人值守的情況下運行較長時間的裝置。
李維曾經提示過伽利略，利用「滑輪實驗」來測量重力加速度，比斜坡實驗更為直觀。
伽利略受此啟發，想到的解決方案是，「儲存重力勢能」——一個滑輪、一條繩索、一個重錘。
只要繩索與滑輪之間的摩擦力足夠大，重錘就能以一個極小的加速度（可視為勻速）向下滑落。
再通過繩索連接若干不同齒數的齒輪組，重錘的下落就可以帶動齒輪以接近恆定的轉速轉動。
將重錘向上拉，就可以對整個鐘擺系統重新「賦能」。
而為了抵消重錘下落的微小加速度帶來的「系統誤差」，就需要用到機械鐘的另一個裝置——棘輪裝置。
這種只允許單向擺動的特殊齒輪——來源於達·文西的設計——和周期固定的鐘擺一起，以恆定的頻率，抵消了其他齒輪組在重錘的牽引下作加速運動。
李維聽到的「咔嗒咔嗒」聲，其實就是棘輪的棘齒叩擊錶盤齒輪發出的聲音。
簡而言之，重錘才是機械時鐘的動力來源，棘輪與單擺組成的系統負責校正時鐘的精度。
機械鐘的所有誤差，就蘊藏在它的設計原理之中。
「我這次帶出來的實驗鍾，每七天一次，需要將重錘拉回以補充動力。」
「在極西冰原，它的誤差是每天要慢個20到30分鐘；但在日瓦丁，它的誤差已經達到了25到31分鐘每天。」
伽利略說著打開座鐘的外殼，將金屬製作的擺線向上收縮了一截。
「根據我歸納出的單擺周期公式，想要校正這種誤差，最便捷的方法就是改變擺長。」
「這讓我陷入了更深的困擾，」伽利略的手指撫過錶盤，「G如果真的是一個常數的話，又是什麼導致了在不同地區和緯度下，它的數值波動。」
伽利略從懷中掏出一顆鐵球，有些緬懷地笑了笑：
「當年我曾經證明過，兩顆不同重量的鐵球必將同時落地——這為我的人生帶來了幾乎是滅頂之災。」
「現在，擺在我面前的另一個災難是，」伽利略頗有些自嘲精神，「同一顆鐵球，在大陸的最北方和最南方，同一高度下，落地的時間是否有差異？」
「當然，李維子爵想必已經猜到了，以高空墜物的速度之快，即使是眼下的時鐘精度，也無法通過實驗來論證我的猜想。」
伽利略擺出四根手指，沖李維示意道：
「這就是眼下幾何與算術的四大難題之一——運動中速度與距離的互求問題。」
……
經過前段時間在路上的惡補，李維也知道了這片大陸上數學發展的瓶頸所在；也就是伽利略所說的「四大難題」。
其一是「曲線的切線問題」。
這是一個純幾何的問題，多應用於時下的天文學、航海、寶石切割工藝等領域。
也因為如此，它被譽為是當下「最賺錢的數學問題」。
李維當初搗鼓出的三角函數的幾何證明，其實就是這一問題的轉換。
其二是「求不規則的長度、面積、體積、與重心問題等」。
這個無需贅言，從馬車輪到板甲的人體工程學原理再到拱橋與城堡，人類生活的方方面面都是對這一問題的近似求解。
其三是「最大值與最小值問題」。
這個問題來源於精靈使用的「月相曆法」，最初是為了估測月亮、太陽與地面的距離。
人類興起之後，這個問題逐步被拓展到了弩炮的最大射程、巨龍的飛行高度估測、魔法的極限釋放距離等大規模殺傷性領域。
時至今日，這個問題深陷於「無窮大、無窮小」的概念窠臼中無法自拔——尤利婭提到過的「絕對零度猜想」也是這一問題在溫度上的拓展。
不同派系的法師之間對此爭執不休、大打口水仗，慘烈程度不亞於教會的正統之爭。
其四，就是伽利略眼下的困境所在，「運動中速度與距離的互求問題」。
伽利略已經通過了實驗論證了「a=gsinθ-μgcosθ」、「△s=2gt^2」以及「T=2π√(L\/g)」作為經驗公式的可行性。
而將這些經驗公式轉換為理論公式，伽利略還欠缺了最重要的數學工具——牛頓與萊布尼茨微積分方程。
牛頓之所以能構建經典力學體系，跟砸中他腦袋的蘋果不一定有關係，但跟他是個出色的數學家有必然聯繫。
李維也不指望一顆蘋果就能讓伽利略當場頓悟，他提供的解決方案是……
「《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無窮量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。」
伽利略磕磕絆絆地讀完書名，苦笑著抬頭看向李維：
「你非要起這麼長的名字嗎？」
李維撇撇嘴，誠心實意地回道：
「這是萊布尼茨先生的著作原名，我只是給它翻譯了一下。」
「你說的這個萊布尼茨，是不是別名李維·謝爾弗？」
伽利略是知道李維有給自己的論文署假名的怪癖的。
「我說真不是，伽利略先生你信嗎？」
李維撓了撓下巴，有些無奈。
伽利略笑而不語，樂呵呵地翻開了這本名字擠滿了封面的奇特書籍。
隨後，他的笑容就僵在了臉上。
「好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一……」
「我將加洛林語中的「差值d」、「總和S」與「變量x」定義為數學意義的基本單元，「dx」定義為自變量「x」的無限可分，即「微分」……」
「任何幾何上的窮盡法推導，都可以轉換為算術上的極限推導……」
「「積分」是「微分」的逆運算……」
「數學不應當分為幾何與算術，而應當分為普遍性和特殊性……」
……
錶盤上的時針落在了刻度「5」的正上方，日暮西垂，馬車裡的光線也終於暗淡了下去。
伽利略有些失態地捏緊了李維的肩膀，鼻翼翕動，語氣急促，一雙眼睛亮得有些瘮人：
「後面呢？關於極限收斂的充分與必要性的推導論證在哪裡？！」
「很抱歉，這個我大學沒學過，或者學了也沒注意聽。」
李維心中腹誹，齜牙咧嘴地拍開伽利略搭在自己肩膀上的手：
「很遺憾，伽利略先生，我並非全知全能。」
伽利略鬆開手，坐了回去，看向李維的眼神充滿遺憾。
此刻伽利略多麼希望李維發揮自己一貫的本色，來上一句「接下來的內容需要伽利略先生您付費獲取」，而不是「我也不知道」。
「我總感覺你在想一些很失禮的事，伽利略先生。」
李維敏銳地察覺了伽利略目光中的內涵。
伽利略深深地嘆了口氣，平復好心情，望向李維：
「這篇論文，我並不建議掛在我的名下發表。」
「純數術的理論推導並非我的長項，我的自尊也不允許我竊取這樣崇高的聲望。」
「當然，可以理解，」李維點點頭，「您在學術上的操守是我和謝爾弗家族對您信賴的堅實基礎。」
「我授權您可以在有關自由落體運動的論文中引用這些數學理論和符號。」
伽利略當然是求之不得，稍微思索了一會兒，沉吟道：
「但這些理論的研究很難產生實際的收益，公平起見，我願意在時鐘的收益上再讓步一成。」
不等李維作答，伽利略又以迅雷不及掩耳之勢取出了一份材料清單：
「這是實驗鐘錶的具體花費。」
「高純度黃銅打造的機芯……精金打造的耐磨齒輪……藍寶石製作的棘輪齒……幾乎沒有延展性的鑄鐵擺線……高透明度的玻璃……雪地巫師議會的二十八項專利授權……一個長效維持的反魔法法陣……」
「……總計花費以購買力折算，大約35000枚金幣。」
李維揉了揉眼睛，又數了一遍……
嗯，是三個0不是兩個0。
伽利略有些心虛，眼神躲閃：
「這些都是一次性的花費，接下來的批量製作，根據精度不同，我有把握將成本控制在50到2000金幣的範圍內。」
「而且，我們在議會裡發表的論文收益可以抵扣一部分專利收購價格；以我的聲譽，議會支持分期還款。」
李維痛苦地捂住額頭，破罐子破摔地發問道：
「那麼，伽利略先生，您能告訴我，我在議會的帳戶餘額是？」
「眾所周知，時間是無價的，李維先生。」
伽利略只覺得自己畢生的口才在這一刻達到了巔峰。
「那麼，伽利略先生，看在這35000枚金幣的份上，」李維著重了語氣，「您能否陪我去見一個人？」
「請說。」
伽利略尷尬地咳嗽了一聲。
李維的手指划過懷裡的聖米歇爾大街的圖紙：
「您和我的父親在極西冰原打過照面的，斯瓦迪亞劍聖，尤涅若·柯林斯。」
伽利略時鐘的動力和傳動系統大致可以分為三個部分。
最重要的就是「儲能裝置」——以李維的理解來說。
伽利略當然嘗試過最基礎的、使用一米長的擺線、直接撥動擺線供能的秒擺作為時鐘。
結果就是無論怎樣堆砌材料的性能，最多20分鐘，這種基礎的秒擺就需要重新將擺線撥動至起始角度，以補充單擺運動損耗的能量。
這樣的秒擺放在專門有人看守的鐘樓里當然是足夠精確的；伽利略也確實使用這樣的「母鍾」來調校其他「子鍾」的精度。
但想要拓展到實際生活應用，如此頻密的調校次數和高昂的材料價格顯然不切實際。
想要解決這個問題，伽利略需要設計一個能讓時鐘在無人值守的情況下運行較長時間的裝置。
李維曾經提示過伽利略，利用「滑輪實驗」來測量重力加速度，比斜坡實驗更為直觀。
伽利略受此啟發，想到的解決方案是，「儲存重力勢能」——一個滑輪、一條繩索、一個重錘。
只要繩索與滑輪之間的摩擦力足夠大，重錘就能以一個極小的加速度（可視為勻速）向下滑落。
再通過繩索連接若干不同齒數的齒輪組，重錘的下落就可以帶動齒輪以接近恆定的轉速轉動。
將重錘向上拉，就可以對整個鐘擺系統重新「賦能」。
而為了抵消重錘下落的微小加速度帶來的「系統誤差」，就需要用到機械鐘的另一個裝置——棘輪裝置。
這種只允許單向擺動的特殊齒輪——來源於達·文西的設計——和周期固定的鐘擺一起，以恆定的頻率，抵消了其他齒輪組在重錘的牽引下作加速運動。
李維聽到的「咔嗒咔嗒」聲，其實就是棘輪的棘齒叩擊錶盤齒輪發出的聲音。
簡而言之，重錘才是機械時鐘的動力來源，棘輪與單擺組成的系統負責校正時鐘的精度。
機械鐘的所有誤差，就蘊藏在它的設計原理之中。
「我這次帶出來的實驗鍾，每七天一次，需要將重錘拉回以補充動力。」
「在極西冰原，它的誤差是每天要慢個20到30分鐘；但在日瓦丁，它的誤差已經達到了25到31分鐘每天。」
伽利略說著打開座鐘的外殼，將金屬製作的擺線向上收縮了一截。
「根據我歸納出的單擺周期公式，想要校正這種誤差，最便捷的方法就是改變擺長。」
「這讓我陷入了更深的困擾，」伽利略的手指撫過錶盤，「G如果真的是一個常數的話，又是什麼導致了在不同地區和緯度下，它的數值波動。」
伽利略從懷中掏出一顆鐵球，有些緬懷地笑了笑：
「當年我曾經證明過，兩顆不同重量的鐵球必將同時落地——這為我的人生帶來了幾乎是滅頂之災。」
「現在，擺在我面前的另一個災難是，」伽利略頗有些自嘲精神，「同一顆鐵球，在大陸的最北方和最南方，同一高度下，落地的時間是否有差異？」
「當然，李維子爵想必已經猜到了，以高空墜物的速度之快，即使是眼下的時鐘精度，也無法通過實驗來論證我的猜想。」
伽利略擺出四根手指，沖李維示意道：
「這就是眼下幾何與算術的四大難題之一——運動中速度與距離的互求問題。」
……
經過前段時間在路上的惡補，李維也知道了這片大陸上數學發展的瓶頸所在；也就是伽利略所說的「四大難題」。
其一是「曲線的切線問題」。
這是一個純幾何的問題，多應用於時下的天文學、航海、寶石切割工藝等領域。
也因為如此，它被譽為是當下「最賺錢的數學問題」。
李維當初搗鼓出的三角函數的幾何證明，其實就是這一問題的轉換。
其二是「求不規則的長度、面積、體積、與重心問題等」。
這個無需贅言，從馬車輪到板甲的人體工程學原理再到拱橋與城堡，人類生活的方方面面都是對這一問題的近似求解。
其三是「最大值與最小值問題」。
這個問題來源於精靈使用的「月相曆法」，最初是為了估測月亮、太陽與地面的距離。
人類興起之後，這個問題逐步被拓展到了弩炮的最大射程、巨龍的飛行高度估測、魔法的極限釋放距離等大規模殺傷性領域。
時至今日，這個問題深陷於「無窮大、無窮小」的概念窠臼中無法自拔——尤利婭提到過的「絕對零度猜想」也是這一問題在溫度上的拓展。
不同派系的法師之間對此爭執不休、大打口水仗，慘烈程度不亞於教會的正統之爭。
其四，就是伽利略眼下的困境所在，「運動中速度與距離的互求問題」。
伽利略已經通過了實驗論證了「a=gsinθ-μgcosθ」、「△s=2gt^2」以及「T=2π√(L\/g)」作為經驗公式的可行性。
而將這些經驗公式轉換為理論公式，伽利略還欠缺了最重要的數學工具——牛頓與萊布尼茨微積分方程。
牛頓之所以能構建經典力學體系，跟砸中他腦袋的蘋果不一定有關係，但跟他是個出色的數學家有必然聯繫。
李維也不指望一顆蘋果就能讓伽利略當場頓悟，他提供的解決方案是……
「《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無窮量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。」
伽利略磕磕絆絆地讀完書名，苦笑著抬頭看向李維：
「你非要起這麼長的名字嗎？」
李維撇撇嘴，誠心實意地回道：
「這是萊布尼茨先生的著作原名，我只是給它翻譯了一下。」
「你說的這個萊布尼茨，是不是別名李維·謝爾弗？」
伽利略是知道李維有給自己的論文署假名的怪癖的。
「我說真不是，伽利略先生你信嗎？」
李維撓了撓下巴，有些無奈。
伽利略笑而不語，樂呵呵地翻開了這本名字擠滿了封面的奇特書籍。
隨後，他的笑容就僵在了臉上。
「好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一……」
「我將加洛林語中的「差值d」、「總和S」與「變量x」定義為數學意義的基本單元，「dx」定義為自變量「x」的無限可分，即「微分」……」
「任何幾何上的窮盡法推導，都可以轉換為算術上的極限推導……」
「「積分」是「微分」的逆運算……」
「數學不應當分為幾何與算術，而應當分為普遍性和特殊性……」
……
錶盤上的時針落在了刻度「5」的正上方，日暮西垂，馬車裡的光線也終於暗淡了下去。
伽利略有些失態地捏緊了李維的肩膀，鼻翼翕動，語氣急促，一雙眼睛亮得有些瘮人：
「後面呢？關於極限收斂的充分與必要性的推導論證在哪裡？！」
「很抱歉，這個我大學沒學過，或者學了也沒注意聽。」
李維心中腹誹，齜牙咧嘴地拍開伽利略搭在自己肩膀上的手：
「很遺憾，伽利略先生，我並非全知全能。」
伽利略鬆開手，坐了回去，看向李維的眼神充滿遺憾。
此刻伽利略多麼希望李維發揮自己一貫的本色，來上一句「接下來的內容需要伽利略先生您付費獲取」，而不是「我也不知道」。
「我總感覺你在想一些很失禮的事，伽利略先生。」
李維敏銳地察覺了伽利略目光中的內涵。
伽利略深深地嘆了口氣，平復好心情，望向李維：
「這篇論文，我並不建議掛在我的名下發表。」
「純數術的理論推導並非我的長項，我的自尊也不允許我竊取這樣崇高的聲望。」
「當然，可以理解，」李維點點頭，「您在學術上的操守是我和謝爾弗家族對您信賴的堅實基礎。」
「我授權您可以在有關自由落體運動的論文中引用這些數學理論和符號。」
伽利略當然是求之不得，稍微思索了一會兒，沉吟道：
「但這些理論的研究很難產生實際的收益，公平起見，我願意在時鐘的收益上再讓步一成。」
不等李維作答，伽利略又以迅雷不及掩耳之勢取出了一份材料清單：
「這是實驗鐘錶的具體花費。」
「高純度黃銅打造的機芯……精金打造的耐磨齒輪……藍寶石製作的棘輪齒……幾乎沒有延展性的鑄鐵擺線……高透明度的玻璃……雪地巫師議會的二十八項專利授權……一個長效維持的反魔法法陣……」
「……總計花費以購買力折算，大約35000枚金幣。」
李維揉了揉眼睛，又數了一遍……
嗯，是三個0不是兩個0。
伽利略有些心虛，眼神躲閃：
「這些都是一次性的花費，接下來的批量製作，根據精度不同，我有把握將成本控制在50到2000金幣的範圍內。」
「而且，我們在議會裡發表的論文收益可以抵扣一部分專利收購價格；以我的聲譽，議會支持分期還款。」
李維痛苦地捂住額頭，破罐子破摔地發問道：
「那麼，伽利略先生，您能告訴我，我在議會的帳戶餘額是？」
「眾所周知，時間是無價的，李維先生。」
伽利略只覺得自己畢生的口才在這一刻達到了巔峰。
「那麼，伽利略先生，看在這35000枚金幣的份上，」李維著重了語氣，「您能否陪我去見一個人？」
「請說。」
伽利略尷尬地咳嗽了一聲。
李維的手指划過懷裡的聖米歇爾大街的圖紙：
「您和我的父親在極西冰原打過照面的，斯瓦迪亞劍聖，尤涅若·柯林斯。」