第106章 簡單的，困難的
第106章 簡單的，困難的
「空間變換？」
「對，你是學計算機的，不是學數學的，所以不要去死扣教材上的概念。
聽起來你們教授上課只是教你們如何計算而已。達到這個教學目標的確只需要背公式就足夠了。」
喬源解釋道。
「然後呢？」夏汐月虛心的繼續問道。
「把矩陣當成了空間變換就很好理解特徵值了。丟一個向量給矩陣，然後就能得出一個新的向量。
比如現在有一個2X2的矩陣A，你隨便拿一個向量乘它，就會得到一個新的向量。這一過程中它們的幾何意義會發生一些改變。
在坐標軸上的看來就是向量的方向變了。當然這是最簡單的一種情況，但絕大多數的情況下，通過矩陣乘法方向都會發生變化。
特徵值就代表那些特殊情況。算的多了你就會發現有些特殊的向量乘了矩陣之後，它們的方向並沒有改變。
它們在坐標軸上的指向依然跟在變換之前一樣，區別只是這條線被拉長或者縮短了。
這一類經過矩陣變化但方向不變的向量就是特徵向量，這些向量被拉長或者縮短的倍數就是你無法理解的特徵值。
把這個理解套進你已經背下來的公式，也就是Av等於λv。答案就很明顯了。
A代表矩陣，v則代表向量，也就是矩陣A對向量v做了一次變換，等號代表線兩端指向的方向不變，但是長度變成了之前的入倍。
更深入的理解，你會發現入的值決定了變換之後的結果。比如入大於1代表變長了，小於1但大於零，代表縮短了。
如果小於0則代表不但被拉伸了，還被反射。如果等於零，則代表著降維，從線變成了點。也是課本上說的壓縮到了零向量。
夏汐月恍然大悟的點起頭來。
「所以你們研究數學就是這樣聯想的？」
「也不全是，會更複雜。」
喬源耐心的答道：「因為推廣到一些複雜情況，這些東西會很抽象。比如無限維空間中的算子。
舉個例子，一個函數空間，向量是一個函數，空間由無限多個基函數張成。
算子也已經不是矩陣，而是對函數的操作。這就更自由了。代價就是已經沒法用可視化來做比喻。
你們計算機可能不需要學數學物理，你接觸一下就知道。比如波函數，給你一個動量算子操作，來求特徵值。
而且到了無限維，算子還可能是不連續的。比如微分算子作用在函數上，函數一個微小跳躍，導數就會爆炸。
這可能需要等你接觸到狄利克雷函數的導數處處不連續就能理解了。所以很多數學文章里會去定義弱收斂，強收斂，否則就無法保證解的存在性。
所以像你問的這些簡單定義我還能用比較直觀的幾何方式給你解釋。但推廣到無限維之後，我能想到，但沒法用語言去解釋。
我打個比方啊，傅立葉變換會將時域函數旋轉到頻域，這個操作我腦子裡的函數構成都被徹底改變了，而且是非常複雜的變化，我不知道該怎麼去描述。」
夏汐月仔細思索了半晌，才開口說道：「你的意思是在時域函數做傅立葉變換的時候腦子裡都能產生畫面感？」
喬源點了點頭。皺著眉頭思索了片刻才說道：「一定要做個描述的話，就好像原本是一團不同顏色的亂麻糾纏在一起。
經過變換之後，這些亂麻被分出了顏色，然後相對整齊的排列在一起。對不起，雖然這個描述還是不那麼準確，但已經是我能想到最貼切的形容了。」
夏汐月嘆了口氣。
「哎————人跟人的差別也太大了吧？」
喬源一時間不知道該怎麼繼續聊下去。
有些東西的確很難解釋。尤其是到了抽象數學的領域。
以前他以為大家都是一樣的。能找到那些抽象中的關鍵脈絡。
但現在他知道這是一種很難得的能力。
不管是陸院士還是袁老，他們看重的都是他這種能力。
以前喬源也無法理解為什麼老師剛講過一道數學題，只是稍微變形，本質還是一模一樣的，一堆人馬上就不會做了。
但現在喬源大概理解了，太多人根本無法看透題目背後本質的東西。
從這一點說，他覺得夏汐月就很聰明。
起碼她在試圖去理解一個重要數學概念，而不是簡單的按照教授的要求給死記硬背下來。
前者的好處是，能將這個概念靈活的用於很多地方。後者則只能用來做計算題————
總之能有這種意識就已經很不錯了。
喬源沒有回答，問完了問題後夏汐月大概也在消化剛才喬源說的內容，兩人就這樣默默走到了圖書館。
剛進門，喬源又主動說了句：「說實話，你學計算機其實不需要對數學最前沿的那些東西有太深入的了解。
因為意義不大。很多數學方面的定理只需要會用就足夠了。一定要較真的話，會很累。
就比如泰勒展開，很多工程師也不懂數學原理，但並不耽誤他們去使用，甚至很多人用的比數學家要更熟練。」
夏汐月好奇的問道：「你怎麼知道很多工程師都不懂泰勒展開的數學原理？」
喬源答道：「小時候我爸告訴我的。」
隨後又解釋道：「我小時候自學數學分析講級數展開的時候都遇到了這類問題，就問我爸原理。
他告訴這個他只會用，原理不懂，讓我自己去查資料。還說很多工程師也不懂原理，但用得比大學教授熟練得多。」
解釋完，喬源突然感覺沒了什麼底氣。
小時候他對老爹的話從來都是深信不疑的。
不過現在回想起來，他其實有點懷疑自家老爹當時理直氣壯、振振有詞的說辭也可能只是在挽尊。
因為那時喬國慶還在經營那家維修電器的鋪子。理論上說做家電維修好像也沒太多機會接觸什么正經工程師。
好在夏汐月也沒深究這些。畢竟能在小時候就開始自學數學分析本就又是一種讓正常人難以理解的行為模式。
畢竟哪個正常人會在大學之前接觸泰勒展開呢？
好在進了圖書館就沒這麼多煩惱了。
兩人都有事情要做，更別提圖書館本就要求安靜。
不過今天的情況似乎有些不一樣。
自習期間夏汐月的電話響了好幾次。
每次都不得不走出圖書館的自習室到外面接電話。
就這樣到自習結束，兩人習慣性一起去南門吃宵夜的時候，喬源還沒問夏汐月便主動說道：「剛剛學生會，團委都在通知。
國慶之後就會有京城的調查組進駐學校，開始對學校各方面進行調查。讓我們學生會要配合學校做好各方面工作。」
喬源點頭，然後腦子裡下意識就浮現出袁意同走的時候說的那番話。
諸如什麼做人不能太軟，不要有什麼伸手不打笑臉人的想法。
還有別看你們肖校長今天態度很好就以為他脾氣好，真要是脾氣好根本當不上校長————
喬源突然有種感覺，這次大概率還是他那兩位導師又出手了。
通過這種方式教他該怎麼做未來的一方學閥？還是在告訴他以後該怎麼愛護學生？
可惜了，他還真猜不到最後會做到什麼程度。
於是喬源忍不住問了句：「有沒有說調查什麼？」
夏汐月毫不猶豫的答道：「老師沒說，不過一位師兄說是這次調查組規格很高，而且來的人也很多。
說是學生管理工作、教師職稱管理考核，還有一些學科評審跟科研資金使用情況都要查，聽說還有專門的審計專員。
不過這些也是那位師兄正好聽到一位團委老師打聽到的。還說千萬別傳出去」
。
「放心吧，我肯定不會跟別人說的。」喬源隨口承諾了句。
心裡卻開始感慨，這還————真狠啊！
也不知道校領導現在還能不能睡得著。
也就是這一刻，喬源對袁老口中的人不狠站不穩突然有了全新的認知。
彼得·薩納克從床上起來時候已經是十點半。
雖然只睡了大概四個小時，但他此時覺得精神很充沛。
人到了一定年紀大概會走兩個極端。絕大多數人會進入睡眠很淺的狀態。
但彼得·薩納克不一樣。
他睡眠一直挺好的。而且只需要較短時間的休息，就能完全恢復精神。
當然他年輕的時候也屬於那種少覺基因。
簡單的洗漱之後，彼得·薩納克沒有忙著去讀那篇還沒讀完的論文，而是先拿起電話，翻出了麥可·喬丹的號碼，然後打了過去。
事實上他早上就想打這個電話了。不過考慮到他跟麥可·喬丹之間還沒熟到可以毫無顧忌的打擾對方休息的地步，還是選擇了起床之後再撥這個號碼。
——
他希望能得到麥可·喬丹對喬源第一篇論文的真實評價。
很快電話接通。
「嗨，麥可，最近如何？」
「很幸運，還活著呢。當然如果能夠拿到被無端剋扣的經費大概能更好一點。
」
「哎————都一樣。」
不需要說的太多，大家都知道對方指的什麼。
說起來普林斯頓要比加州那些大學要稍微好那麼一點。
當然好的也有限。
總之當蛋糕不夠分了，從天而降的一刀終究還是落到了他們這些教授的頭上。
不過話又說回來，如果連麥可·喬丹都覺得開始缺錢了，那說明情況很嚴重了。
畢竟大家都知道這位人工智慧之父跟很多公司都有較為深入的交流跟合作，所以壓根就不太可能缺項目。
「有什麼事嗎？彼得，我這邊馬上還有個會要開。」
麥可·喬丹主動說道。
「是的，你最近審核了一篇來自於華夏，嗯，叫————QIAO的論文，對吧？」
「是的，我對這篇論文印象很深刻，他的研究對我正在做的一個課題幫助很大。我想跟他們合作，可惜被拒絕了。
「」
「也就是說你很看好這篇論文？」
「當然，首先你要告訴我是哪方面的看好。」
猶豫了片刻，彼得·薩納克還是如實把情況說了出來：「他近期跟另一人合作，投給了數學年刊一篇論文，解決了勒讓德猜想。
我作為審稿人已經大致看過了論文，這篇論文的核心引用了你審核那篇論文的一個重要引理。」
吐露的實情也瞬間讓電話對面的麥可·喬丹來了興趣。
「哈，我明白了，難怪袁會賣關子！」
「什麼賣關子？」
「他不肯告訴我QIAO的身份，只說不久之後我肯定有機會認識他！原來如此」
O
彼得·薩納克恍然。
的確，一個數學新人，看上去主攻的數學優化，但一出手卻解決了勒讓德猜想，並在優化理論跟數論之間架起一座橋樑。
這樣的數學新人的確會快速引起世界數學界的注意。
「但他是怎麼辦到的？！讓我想想————雖然我是審稿人，但我實在想不出哪個引理會跟勒讓德猜想扯上關係！」
「麥可，是我先打電話問你的！」
「哦！好吧，好吧！如果你要問我對那篇論文的評價，我的答案是證明思路近乎完美。
知道嗎？最初我是讓我的學生審核，但他又把論文給我。當我發現這篇論文跟我最近的研究有相關之處，我是抱著挑剔的心態去審核這篇論文的。
但我依然沒有找到任何邏輯漏洞。當然也可能是我的水平不夠，有些漏洞我沒有發現。
不過你既然是問我的個人看法，那就是完美！」
得到了答案之後，彼得·薩納克乾脆的開口說道：「謝謝你，麥可，再見。
」
「等等，你還沒告訴我是哪個引理建立的聯繫。」
「你確定要現在聊？我記得你剛才說要開會了。如果你不嫌說來話長的話——
」
「好吧，我等會兒再給你回電話，再見！」
掛了電話，彼得·薩納克聳了聳肩，隨手把電話設置成了語音信箱的模式。
他要讓麥可·喬丹知道，不止是華夏人會賣關子。
無非是大家賣關子的方式不太一樣而已。
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「空間變換？」
「對，你是學計算機的，不是學數學的，所以不要去死扣教材上的概念。
聽起來你們教授上課只是教你們如何計算而已。達到這個教學目標的確只需要背公式就足夠了。」
喬源解釋道。
「然後呢？」夏汐月虛心的繼續問道。
「把矩陣當成了空間變換就很好理解特徵值了。丟一個向量給矩陣，然後就能得出一個新的向量。
比如現在有一個2X2的矩陣A，你隨便拿一個向量乘它，就會得到一個新的向量。這一過程中它們的幾何意義會發生一些改變。
在坐標軸上的看來就是向量的方向變了。當然這是最簡單的一種情況，但絕大多數的情況下，通過矩陣乘法方向都會發生變化。
特徵值就代表那些特殊情況。算的多了你就會發現有些特殊的向量乘了矩陣之後，它們的方向並沒有改變。
它們在坐標軸上的指向依然跟在變換之前一樣，區別只是這條線被拉長或者縮短了。
這一類經過矩陣變化但方向不變的向量就是特徵向量，這些向量被拉長或者縮短的倍數就是你無法理解的特徵值。
把這個理解套進你已經背下來的公式，也就是Av等於λv。答案就很明顯了。
A代表矩陣，v則代表向量，也就是矩陣A對向量v做了一次變換，等號代表線兩端指向的方向不變，但是長度變成了之前的入倍。
更深入的理解，你會發現入的值決定了變換之後的結果。比如入大於1代表變長了，小於1但大於零，代表縮短了。
如果小於0則代表不但被拉伸了，還被反射。如果等於零，則代表著降維，從線變成了點。也是課本上說的壓縮到了零向量。
夏汐月恍然大悟的點起頭來。
「所以你們研究數學就是這樣聯想的？」
「也不全是，會更複雜。」
喬源耐心的答道：「因為推廣到一些複雜情況，這些東西會很抽象。比如無限維空間中的算子。
舉個例子，一個函數空間，向量是一個函數，空間由無限多個基函數張成。
算子也已經不是矩陣，而是對函數的操作。這就更自由了。代價就是已經沒法用可視化來做比喻。
你們計算機可能不需要學數學物理，你接觸一下就知道。比如波函數，給你一個動量算子操作，來求特徵值。
而且到了無限維，算子還可能是不連續的。比如微分算子作用在函數上，函數一個微小跳躍，導數就會爆炸。
這可能需要等你接觸到狄利克雷函數的導數處處不連續就能理解了。所以很多數學文章里會去定義弱收斂，強收斂，否則就無法保證解的存在性。
所以像你問的這些簡單定義我還能用比較直觀的幾何方式給你解釋。但推廣到無限維之後，我能想到，但沒法用語言去解釋。
我打個比方啊，傅立葉變換會將時域函數旋轉到頻域，這個操作我腦子裡的函數構成都被徹底改變了，而且是非常複雜的變化，我不知道該怎麼去描述。」
夏汐月仔細思索了半晌，才開口說道：「你的意思是在時域函數做傅立葉變換的時候腦子裡都能產生畫面感？」
喬源點了點頭。皺著眉頭思索了片刻才說道：「一定要做個描述的話，就好像原本是一團不同顏色的亂麻糾纏在一起。
經過變換之後，這些亂麻被分出了顏色，然後相對整齊的排列在一起。對不起，雖然這個描述還是不那麼準確，但已經是我能想到最貼切的形容了。」
夏汐月嘆了口氣。
「哎————人跟人的差別也太大了吧？」
喬源一時間不知道該怎麼繼續聊下去。
有些東西的確很難解釋。尤其是到了抽象數學的領域。
以前他以為大家都是一樣的。能找到那些抽象中的關鍵脈絡。
但現在他知道這是一種很難得的能力。
不管是陸院士還是袁老，他們看重的都是他這種能力。
以前喬源也無法理解為什麼老師剛講過一道數學題，只是稍微變形，本質還是一模一樣的，一堆人馬上就不會做了。
但現在喬源大概理解了，太多人根本無法看透題目背後本質的東西。
從這一點說，他覺得夏汐月就很聰明。
起碼她在試圖去理解一個重要數學概念，而不是簡單的按照教授的要求給死記硬背下來。
前者的好處是，能將這個概念靈活的用於很多地方。後者則只能用來做計算題————
總之能有這種意識就已經很不錯了。
喬源沒有回答，問完了問題後夏汐月大概也在消化剛才喬源說的內容，兩人就這樣默默走到了圖書館。
剛進門，喬源又主動說了句：「說實話，你學計算機其實不需要對數學最前沿的那些東西有太深入的了解。
因為意義不大。很多數學方面的定理只需要會用就足夠了。一定要較真的話，會很累。
就比如泰勒展開，很多工程師也不懂數學原理，但並不耽誤他們去使用，甚至很多人用的比數學家要更熟練。」
夏汐月好奇的問道：「你怎麼知道很多工程師都不懂泰勒展開的數學原理？」
喬源答道：「小時候我爸告訴我的。」
隨後又解釋道：「我小時候自學數學分析講級數展開的時候都遇到了這類問題，就問我爸原理。
他告訴這個他只會用，原理不懂，讓我自己去查資料。還說很多工程師也不懂原理，但用得比大學教授熟練得多。」
解釋完，喬源突然感覺沒了什麼底氣。
小時候他對老爹的話從來都是深信不疑的。
不過現在回想起來，他其實有點懷疑自家老爹當時理直氣壯、振振有詞的說辭也可能只是在挽尊。
因為那時喬國慶還在經營那家維修電器的鋪子。理論上說做家電維修好像也沒太多機會接觸什么正經工程師。
好在夏汐月也沒深究這些。畢竟能在小時候就開始自學數學分析本就又是一種讓正常人難以理解的行為模式。
畢竟哪個正常人會在大學之前接觸泰勒展開呢？
好在進了圖書館就沒這麼多煩惱了。
兩人都有事情要做，更別提圖書館本就要求安靜。
不過今天的情況似乎有些不一樣。
自習期間夏汐月的電話響了好幾次。
每次都不得不走出圖書館的自習室到外面接電話。
就這樣到自習結束，兩人習慣性一起去南門吃宵夜的時候，喬源還沒問夏汐月便主動說道：「剛剛學生會，團委都在通知。
國慶之後就會有京城的調查組進駐學校，開始對學校各方面進行調查。讓我們學生會要配合學校做好各方面工作。」
喬源點頭，然後腦子裡下意識就浮現出袁意同走的時候說的那番話。
諸如什麼做人不能太軟，不要有什麼伸手不打笑臉人的想法。
還有別看你們肖校長今天態度很好就以為他脾氣好，真要是脾氣好根本當不上校長————
喬源突然有種感覺，這次大概率還是他那兩位導師又出手了。
通過這種方式教他該怎麼做未來的一方學閥？還是在告訴他以後該怎麼愛護學生？
可惜了，他還真猜不到最後會做到什麼程度。
於是喬源忍不住問了句：「有沒有說調查什麼？」
夏汐月毫不猶豫的答道：「老師沒說，不過一位師兄說是這次調查組規格很高，而且來的人也很多。
說是學生管理工作、教師職稱管理考核，還有一些學科評審跟科研資金使用情況都要查，聽說還有專門的審計專員。
不過這些也是那位師兄正好聽到一位團委老師打聽到的。還說千萬別傳出去」
。
「放心吧，我肯定不會跟別人說的。」喬源隨口承諾了句。
心裡卻開始感慨，這還————真狠啊！
也不知道校領導現在還能不能睡得著。
也就是這一刻，喬源對袁老口中的人不狠站不穩突然有了全新的認知。
彼得·薩納克從床上起來時候已經是十點半。
雖然只睡了大概四個小時，但他此時覺得精神很充沛。
人到了一定年紀大概會走兩個極端。絕大多數人會進入睡眠很淺的狀態。
但彼得·薩納克不一樣。
他睡眠一直挺好的。而且只需要較短時間的休息，就能完全恢復精神。
當然他年輕的時候也屬於那種少覺基因。
簡單的洗漱之後，彼得·薩納克沒有忙著去讀那篇還沒讀完的論文，而是先拿起電話，翻出了麥可·喬丹的號碼，然後打了過去。
事實上他早上就想打這個電話了。不過考慮到他跟麥可·喬丹之間還沒熟到可以毫無顧忌的打擾對方休息的地步，還是選擇了起床之後再撥這個號碼。
——
他希望能得到麥可·喬丹對喬源第一篇論文的真實評價。
很快電話接通。
「嗨，麥可，最近如何？」
「很幸運，還活著呢。當然如果能夠拿到被無端剋扣的經費大概能更好一點。
」
「哎————都一樣。」
不需要說的太多，大家都知道對方指的什麼。
說起來普林斯頓要比加州那些大學要稍微好那麼一點。
當然好的也有限。
總之當蛋糕不夠分了，從天而降的一刀終究還是落到了他們這些教授的頭上。
不過話又說回來，如果連麥可·喬丹都覺得開始缺錢了，那說明情況很嚴重了。
畢竟大家都知道這位人工智慧之父跟很多公司都有較為深入的交流跟合作，所以壓根就不太可能缺項目。
「有什麼事嗎？彼得，我這邊馬上還有個會要開。」
麥可·喬丹主動說道。
「是的，你最近審核了一篇來自於華夏，嗯，叫————QIAO的論文，對吧？」
「是的，我對這篇論文印象很深刻，他的研究對我正在做的一個課題幫助很大。我想跟他們合作，可惜被拒絕了。
「」
「也就是說你很看好這篇論文？」
「當然，首先你要告訴我是哪方面的看好。」
猶豫了片刻，彼得·薩納克還是如實把情況說了出來：「他近期跟另一人合作，投給了數學年刊一篇論文，解決了勒讓德猜想。
我作為審稿人已經大致看過了論文，這篇論文的核心引用了你審核那篇論文的一個重要引理。」
吐露的實情也瞬間讓電話對面的麥可·喬丹來了興趣。
「哈，我明白了，難怪袁會賣關子！」
「什麼賣關子？」
「他不肯告訴我QIAO的身份，只說不久之後我肯定有機會認識他！原來如此」
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彼得·薩納克恍然。
的確，一個數學新人，看上去主攻的數學優化，但一出手卻解決了勒讓德猜想，並在優化理論跟數論之間架起一座橋樑。
這樣的數學新人的確會快速引起世界數學界的注意。
「但他是怎麼辦到的？！讓我想想————雖然我是審稿人，但我實在想不出哪個引理會跟勒讓德猜想扯上關係！」
「麥可，是我先打電話問你的！」
「哦！好吧，好吧！如果你要問我對那篇論文的評價，我的答案是證明思路近乎完美。
知道嗎？最初我是讓我的學生審核，但他又把論文給我。當我發現這篇論文跟我最近的研究有相關之處，我是抱著挑剔的心態去審核這篇論文的。
但我依然沒有找到任何邏輯漏洞。當然也可能是我的水平不夠，有些漏洞我沒有發現。
不過你既然是問我的個人看法，那就是完美！」
得到了答案之後，彼得·薩納克乾脆的開口說道：「謝謝你，麥可，再見。
」
「等等，你還沒告訴我是哪個引理建立的聯繫。」
「你確定要現在聊？我記得你剛才說要開會了。如果你不嫌說來話長的話——
」
「好吧，我等會兒再給你回電話，再見！」
掛了電話，彼得·薩納克聳了聳肩，隨手把電話設置成了語音信箱的模式。
他要讓麥可·喬丹知道，不止是華夏人會賣關子。
無非是大家賣關子的方式不太一樣而已。
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