第45章 你的極限，在哪？
他飛快地在紙上寫下勒讓德符號和二次互反律的公式。
「通過這些工具，我們可以從理論上證明，佩利圖P(41)是一個『自補圖』，也就是說，它和它的補圖是同構的。」
「自補圖？！」簡瑤倒吸一口涼氣。
這意味著，這個圖裡，任何一個大小為k的團（完全子圖），都對應著一個大小為k的獨立集！
「所以，我們只需要證明P(41)裡面沒有K5，也就是大小為5的團，就自動證明了它也沒有大小為5的獨立集！
問題被簡化了一半！」
「沒錯！」
許燃打了個響指，「而證明P(q)的團數不超過根號q，是佩利圖理論中的一個經典結論。
對於P(41)，它的團數不會超過根號41，也就是6點多。
所以它絕對不可能有大小為7的團。」
「至於大小為5和6的團，通過更精細的代數數論工具，同樣可以證明，它們不存在！」
許燃沒有再深入那些艱深的證明。
但他所展現出的這條邏輯鏈條，已經足夠清晰，足夠震撼！
他沒有像簡瑤那樣，一頭扎進42個點，861條可能存在的邊的組合爆炸海洋里，去暴力搜索。
而是站在了更高的維度，從抽象代數和數論的山巔之上，俯瞰整個問題。
用有限域定義了骨架，用二次剩餘理論編織了血肉，最終創造出了一個完美的，自動滿足題目要求的數學結構！
這不是解題，這是創造力！
「我……我明白了……」
簡瑤喃喃自語，她看著眼前這個少年，眼神徹底變了。
不再是競爭對手，不再是同學，甚至不再是天才。
那是一種……仰望。
仰望一個正在用凡人無法理解的語言，書寫神之法則的先知。
她以為自己追求的是山頂的風景，為此準備了最好的登山鎬和繩索。
而許燃，他根本沒想過爬山。
他想的是，直接定義什麼是「山」，什麼是「頂」。
簡瑤已經完全說不出話了。
她感覺自己像是一個剛剛學會走路的嬰兒，卻被許燃牽著手，一路狂奔。
看到了行星，看到了星系，看到了宇宙的盡頭！
她的世界觀，在這一夜，被徹底地重塑了。
凌晨四點，當第一縷晨曦的光，透過圖書館的窗戶，照在那張寫滿了神諭般的公式和圖表的草稿紙上時。
一個完美的，利用有限域GF(41)上的二次特徵，構造出一個41階圖，使其無K5子圖，也無5-獨立集（即K5的補圖）的初步證明框架，躍然紙上。
雖然其中很多細節，還需要進一步的嚴謹論證，但整個核心思想，已經如同一座燈塔，清晰地矗立在那裡。
簡瑤看著身邊打了個哈欠，眼神里略帶疲憊卻依舊清澈如初的少年。
她的心，第一次，因為數學之外的原因，咯噔一跳。
自己引以為傲的天賦，在這個人面前，仿佛只是山丘之於珠峰。
而這座珠峰，此刻，正邀請她一同攀登。
這種感覺……該死地……令人著迷。
第二天上午，小組討論時間。
當許燃和簡瑤頂著兩個淡淡的黑眼圈，帶著那張寫滿了「天書」的草稿紙，出現在圖書館時，高帆正百無聊賴地趴在桌上，用筆戳著橡皮。
「燃哥，簡瑤，你們昨晚……幹啥去了？」高帆看著兩人臉上同款的倦容，眼神里充滿了八卦的意味。
簡瑤的臉頰微不可察地紅了一下，清了清嗓子，沒有回答。
許燃則是很自然地將那張草稿紙拍在了桌子中央。
「把這個交給劉教練。」
「這是啥？」高帆好奇地湊了過去，只看了一眼，就感覺自己的眼睛被灼傷了。
「佩利圖？二次剩餘？啥玩意兒這是？燃哥，咱們昨天不是在搞拉姆齊數嗎？怎麼今天改研究數論了？」
他感覺自己的智商，受到了前所未有的侮辱。
這上面的每一個漢字他都認識，每一個阿拉伯數字和英文字母他也都認識。
但它們組合在一起，他就感覺像是在看外星人的情書，充滿了神秘與未知。
「這就是拉姆齊數。」簡瑤的聲音，帶著一絲壓抑不住的自豪和驕傲，「的一個可能的構造方向。」
「哈？」高帆的嘴巴張成了O型，他感覺自己的世界觀又被刷新了。
十五分鐘後。
劉忠兵的辦公室里。
「冷麵閻王」的表情，前所未有的凝重。
他的辦公室里，第一次允許兩個學員坐在他對面。
手指在那張寫滿了推導的草稿紙上緩緩划過，像是在撫摸一件稀世的珍寶。
辦公室里，安靜得可怕。
只有劉忠兵越來越粗重的呼吸聲。
高帆像個小學生一樣，緊張地站在牆角，連大氣都不敢喘。
他雖然看不懂那張紙上寫的是什麼，但他能看懂劉教練的表情。
那是他從未見過的，混合了極度震驚，狂喜，和深深困惑的表情。
十分鐘過去了。
劉忠兵依然一言不發。
二十分鐘過去了。
他抬起頭，深深地，深深地看了一眼簡瑤。那目光里，充滿了驚嘆和讚許。
「用佩利圖的思路來構造，這個想法……非常天才！簡瑤，是你提出來的？」
他下意識地認為，這種巧妙的，需要廣博知識面的思路，更像是一個見多識廣的老隊員能想出來的。
簡瑤的臉頰又是一紅，她下意識地看了一眼身邊的許燃，然後輕輕搖了搖頭。
「不是我。」
她的聲音很輕，卻無比清晰，「從頭到尾，都是許燃的想法。
我只是……在旁邊幫忙打下手，提了幾個愚蠢的問題而已。」
劉忠兵的目光，猛地轉向了許燃。
如果說，之前黑板上的四種解法，讓他覺得許燃是個「妖孽」。
那麼，眼前這張薄薄的，卻承載著遠超這個時代中學生認知極限思想的草稿紙，讓他感覺，自己面對的，根本就不是一個「人」。
這是一個披著少年外殼的……活著的數學鬼才！
他那隻拿著草稿紙的手，甚至因為激動，而微微顫抖起來。
「二次特徵……利用有限域的乘法群結構來定義鄰接關係……」
劉忠兵喃喃自語，像是在夢囈，「這個思想……我只在十幾年前，一篇芬蘭數學家的論文預印本上，看到過類似的雛形！
但那篇論文因為存在一個致命的邏輯漏洞，最後被撤稿了！」
他猛地抬起頭，雙眼死死地鎖定許燃，目光像是要將許燃的腦子從裡到外徹底剖開！
「你……是怎麼想到這個思路的？你看過那篇論文？」
許燃搖了搖頭，表情像是在說一件微不足道的小事。
「沒有。只是直覺。」
「昨晚在想這個問題的時候，感覺純粹的組合構造，像是在用篩子撈水，漏洞太多。
而代數結構，更像是『鋼筋』，能搭建起穩固的框架。
就試了試。」
「……」
直覺。
好一個他媽的直覺！
劉忠兵感覺自己一口老血堵在喉嚨里，差點當場噴出來。
他帶了半輩子天才，聽過無數種解釋自己靈感來源的說法。
有的說是苦思冥想，有的說是靈光一閃。
但還從沒一個人，敢用「直覺」這兩個字，來解釋一個足以震驚整個組合數學界的，神啟般的想法！
他沉默了。
良久。
他小心翼翼地，將那份草稿紙摺疊好，放進了自己平時鎖獲獎證書的抽屜里，然後上了鎖。
做完這一切，他站起身，走到許燃面前，沒有說任何關於這道題的話。
用一種極其複雜的，甚至帶著一絲敬畏的目光，看著眼前的少年。
問出了一個從他見到許燃的第一天起，就一直盤桓在心底的問題。
「許燃。」
「你的極限，到底在哪？」
這個問題，沒有人能回答。
站在牆角的高帆，看著那個被教練用如此鄭重的語氣對待的同齡人，心中最後一絲的嫉妒與不甘，徹底煙消雲散。
取而代之的，是一種發自內心的敬畏。
從今天起，他的敵意，變成了高山仰止。
而坐在許燃身邊的簡瑤，她悄悄地，將自己的椅子，朝著少年的方向，又挪近了一厘米。
眼神中曾經的清冷孤傲已經融化。
美眸里多了幾分她自己都未曾察覺的，名為依賴與傾慕的光。
她不知道許燃的極限在哪。
但她知道，自己未來的人生，追隨著這個人的腳步，有機會去看看那片只有他才能看到的，屬於智慧盡頭的風景！
「通過這些工具，我們可以從理論上證明，佩利圖P(41)是一個『自補圖』，也就是說，它和它的補圖是同構的。」
「自補圖？！」簡瑤倒吸一口涼氣。
這意味著，這個圖裡，任何一個大小為k的團（完全子圖），都對應著一個大小為k的獨立集！
「所以，我們只需要證明P(41)裡面沒有K5，也就是大小為5的團，就自動證明了它也沒有大小為5的獨立集！
問題被簡化了一半！」
「沒錯！」
許燃打了個響指，「而證明P(q)的團數不超過根號q，是佩利圖理論中的一個經典結論。
對於P(41)，它的團數不會超過根號41，也就是6點多。
所以它絕對不可能有大小為7的團。」
「至於大小為5和6的團，通過更精細的代數數論工具，同樣可以證明，它們不存在！」
許燃沒有再深入那些艱深的證明。
但他所展現出的這條邏輯鏈條，已經足夠清晰，足夠震撼！
他沒有像簡瑤那樣，一頭扎進42個點，861條可能存在的邊的組合爆炸海洋里，去暴力搜索。
而是站在了更高的維度，從抽象代數和數論的山巔之上，俯瞰整個問題。
用有限域定義了骨架，用二次剩餘理論編織了血肉，最終創造出了一個完美的，自動滿足題目要求的數學結構！
這不是解題，這是創造力！
「我……我明白了……」
簡瑤喃喃自語，她看著眼前這個少年，眼神徹底變了。
不再是競爭對手，不再是同學，甚至不再是天才。
那是一種……仰望。
仰望一個正在用凡人無法理解的語言，書寫神之法則的先知。
她以為自己追求的是山頂的風景，為此準備了最好的登山鎬和繩索。
而許燃，他根本沒想過爬山。
他想的是，直接定義什麼是「山」，什麼是「頂」。
簡瑤已經完全說不出話了。
她感覺自己像是一個剛剛學會走路的嬰兒，卻被許燃牽著手，一路狂奔。
看到了行星，看到了星系，看到了宇宙的盡頭！
她的世界觀，在這一夜，被徹底地重塑了。
凌晨四點，當第一縷晨曦的光，透過圖書館的窗戶，照在那張寫滿了神諭般的公式和圖表的草稿紙上時。
一個完美的，利用有限域GF(41)上的二次特徵，構造出一個41階圖，使其無K5子圖，也無5-獨立集（即K5的補圖）的初步證明框架，躍然紙上。
雖然其中很多細節，還需要進一步的嚴謹論證，但整個核心思想，已經如同一座燈塔，清晰地矗立在那裡。
簡瑤看著身邊打了個哈欠，眼神里略帶疲憊卻依舊清澈如初的少年。
她的心，第一次，因為數學之外的原因，咯噔一跳。
自己引以為傲的天賦，在這個人面前，仿佛只是山丘之於珠峰。
而這座珠峰，此刻，正邀請她一同攀登。
這種感覺……該死地……令人著迷。
第二天上午，小組討論時間。
當許燃和簡瑤頂著兩個淡淡的黑眼圈，帶著那張寫滿了「天書」的草稿紙，出現在圖書館時，高帆正百無聊賴地趴在桌上，用筆戳著橡皮。
「燃哥，簡瑤，你們昨晚……幹啥去了？」高帆看著兩人臉上同款的倦容，眼神里充滿了八卦的意味。
簡瑤的臉頰微不可察地紅了一下，清了清嗓子，沒有回答。
許燃則是很自然地將那張草稿紙拍在了桌子中央。
「把這個交給劉教練。」
「這是啥？」高帆好奇地湊了過去，只看了一眼，就感覺自己的眼睛被灼傷了。
「佩利圖？二次剩餘？啥玩意兒這是？燃哥，咱們昨天不是在搞拉姆齊數嗎？怎麼今天改研究數論了？」
他感覺自己的智商，受到了前所未有的侮辱。
這上面的每一個漢字他都認識，每一個阿拉伯數字和英文字母他也都認識。
但它們組合在一起，他就感覺像是在看外星人的情書，充滿了神秘與未知。
「這就是拉姆齊數。」簡瑤的聲音，帶著一絲壓抑不住的自豪和驕傲，「的一個可能的構造方向。」
「哈？」高帆的嘴巴張成了O型，他感覺自己的世界觀又被刷新了。
十五分鐘後。
劉忠兵的辦公室里。
「冷麵閻王」的表情，前所未有的凝重。
他的辦公室里，第一次允許兩個學員坐在他對面。
手指在那張寫滿了推導的草稿紙上緩緩划過，像是在撫摸一件稀世的珍寶。
辦公室里，安靜得可怕。
只有劉忠兵越來越粗重的呼吸聲。
高帆像個小學生一樣，緊張地站在牆角，連大氣都不敢喘。
他雖然看不懂那張紙上寫的是什麼，但他能看懂劉教練的表情。
那是他從未見過的，混合了極度震驚，狂喜，和深深困惑的表情。
十分鐘過去了。
劉忠兵依然一言不發。
二十分鐘過去了。
他抬起頭，深深地，深深地看了一眼簡瑤。那目光里，充滿了驚嘆和讚許。
「用佩利圖的思路來構造，這個想法……非常天才！簡瑤，是你提出來的？」
他下意識地認為，這種巧妙的，需要廣博知識面的思路，更像是一個見多識廣的老隊員能想出來的。
簡瑤的臉頰又是一紅，她下意識地看了一眼身邊的許燃，然後輕輕搖了搖頭。
「不是我。」
她的聲音很輕，卻無比清晰，「從頭到尾，都是許燃的想法。
我只是……在旁邊幫忙打下手，提了幾個愚蠢的問題而已。」
劉忠兵的目光，猛地轉向了許燃。
如果說，之前黑板上的四種解法，讓他覺得許燃是個「妖孽」。
那麼，眼前這張薄薄的，卻承載著遠超這個時代中學生認知極限思想的草稿紙，讓他感覺，自己面對的，根本就不是一個「人」。
這是一個披著少年外殼的……活著的數學鬼才！
他那隻拿著草稿紙的手，甚至因為激動，而微微顫抖起來。
「二次特徵……利用有限域的乘法群結構來定義鄰接關係……」
劉忠兵喃喃自語，像是在夢囈，「這個思想……我只在十幾年前，一篇芬蘭數學家的論文預印本上，看到過類似的雛形！
但那篇論文因為存在一個致命的邏輯漏洞，最後被撤稿了！」
他猛地抬起頭，雙眼死死地鎖定許燃，目光像是要將許燃的腦子從裡到外徹底剖開！
「你……是怎麼想到這個思路的？你看過那篇論文？」
許燃搖了搖頭，表情像是在說一件微不足道的小事。
「沒有。只是直覺。」
「昨晚在想這個問題的時候，感覺純粹的組合構造，像是在用篩子撈水，漏洞太多。
而代數結構，更像是『鋼筋』，能搭建起穩固的框架。
就試了試。」
「……」
直覺。
好一個他媽的直覺！
劉忠兵感覺自己一口老血堵在喉嚨里，差點當場噴出來。
他帶了半輩子天才，聽過無數種解釋自己靈感來源的說法。
有的說是苦思冥想，有的說是靈光一閃。
但還從沒一個人，敢用「直覺」這兩個字，來解釋一個足以震驚整個組合數學界的，神啟般的想法！
他沉默了。
良久。
他小心翼翼地，將那份草稿紙摺疊好，放進了自己平時鎖獲獎證書的抽屜里，然後上了鎖。
做完這一切，他站起身，走到許燃面前，沒有說任何關於這道題的話。
用一種極其複雜的，甚至帶著一絲敬畏的目光，看著眼前的少年。
問出了一個從他見到許燃的第一天起，就一直盤桓在心底的問題。
「許燃。」
「你的極限，到底在哪？」
這個問題，沒有人能回答。
站在牆角的高帆，看著那個被教練用如此鄭重的語氣對待的同齡人，心中最後一絲的嫉妒與不甘，徹底煙消雲散。
取而代之的，是一種發自內心的敬畏。
從今天起，他的敵意，變成了高山仰止。
而坐在許燃身邊的簡瑤，她悄悄地，將自己的椅子，朝著少年的方向，又挪近了一厘米。
眼神中曾經的清冷孤傲已經融化。
美眸里多了幾分她自己都未曾察覺的，名為依賴與傾慕的光。
她不知道許燃的極限在哪。
但她知道，自己未來的人生，追隨著這個人的腳步，有機會去看看那片只有他才能看到的，屬於智慧盡頭的風景！