第44章 於星辰中鑄劍！
時間，在筆尖與紙張的摩擦聲中，悄然流逝。
圖書館的角落，仿佛變成了一個與世隔絕的領域，一個只屬於許燃和簡瑤的【思維殿堂】。
「所以，我們的圖G，頂點集是PG(2，5)的31個點。
兩個頂點相鄰，若且唯若它們在PG(2，5)中『不共線』。」
許燃迅速地做出了總結，思路清晰。
「接下來，我們要驗證兩個關鍵性質。」
他看向簡瑤，「第一，這個圖G中，是否存在一個K5子圖，也就是『5個頂點互相相鄰』的團？」
這個問題，如果用暴力去驗證，對於一個31階的圖來說，無異於大海撈針。
但現在，有了代數和幾何的武器，一切都變得不同。
簡瑤的心思已經完全沉浸了進去。
她那天才的大腦在許燃的引導下，爆發出驚人的能量。
「等一下！」
她突然伸出手指，點在「不共線」三個字上，美眸中閃爍著激動的光芒，「如果五個頂點A，B，C，D，E構成一個K5子圖，就意味著它們兩兩之間都『不共線』。」
「但是！」
她的語速開始加快，「在射影平面PG(2，-，5)中，任意兩個點（比如A和B）都確定一條唯一的線L_AB。那麼，第三個點C，它既不能在L_AB上，也不能在L_AC上，也不能在L_AD上……」
她說到這裡，突然卡住了。思路似乎走進了一條死胡同。
許燃沒有直接給她答案，而是換了一種問法，像一個循循善誘的導師。
「換個角度想。我們來證明它的逆否命題。如果我們任意取出五個點，能不能證明，它們之中，必有兩點是『共線』的？」
這個問題像一把鑰匙，瞬間捅破了那層窗戶紙！
「我明白了！」簡瑤的呼吸變得急促，「我們任取五個點A，B，C，D，E。先看A，B，C三點。如果它們共線，那結論就成立了，我們找到了『共線』的兩個點（甚至三個）。」
「那如果它們不共線呢？」許燃追問。
「如果A，B，C不共線，那麼它們就能確定三條不同的直線L_AB， L_AC， L_BC。
這三條直線，在PG(2，5)中……」
簡瑤一邊說，一邊快速地在紙上畫著示意圖，「……會交於A，B，C三個點。」
「現在，我們放入第四個點D。
如果D在這三條線中的任意一條上，比如在L_AB上，那麼A，B，D就共線，結論成立。」
「如果D不在這三條線的任何一條上呢？」許燃的聲音帶著一種引人入勝的魔力。
「那麼……D和A，B，C三點，就能確定三條新的線L_AD， L_BD， L_CD。
現在我們一共有六條線了！」
簡瑤感覺自己的大腦在高速燃燒，「這六條線，最多會產生C(6，2)=15個交點，但很多是重合的……
不對不對，這個思路太複雜了！」
她有些懊惱地抓了抓頭髮。
許燃只是安靜地看著她，沒有打斷。他知道，這是天才在突破自我時，必經的「陣痛」。
過了足足一分鐘，簡瑤的眼睛，猛地亮了起來！
「是『鴿巢原理』！」
她激動地喊了出來，聲音都有些發顫，「在PG(2，5)里，每一條線上，有q+1=6個點！而任何一個點，都恰好在q+1=6條線上！」
「我們來看點D！」
她指著草稿紙，「通過點D，可以畫出6條不同的直線！
這6條直線，要把除了D以外的所有點都覆蓋掉。」
「而我們還剩下A，B，C，E四個點！不對……思路又亂了！」
看著簡瑤陷入苦戰，許燃終於決定，輕輕地推她一把。
「不要去數線的數量。」
他輕聲說，「回到最基礎的性質，兩點確定一條直線。」
「我們有A，B，C，D四個點，假設它們之中任意三點都不共線。
它們能確定C(4，2)=6條不同的直線。」
「現在，我們放入第五個點，E。」
「E點，它有多少種可能的位置？」
「如果E落在這六條直線中的任何一條上，比如L_AB，那麼E，A，B就共線了，證畢。」
「如果E不落在這六條直線的任何一條上呢？這可能嗎？」
許燃問出了最後一個，也是最關鍵的問題。
簡瑤的大腦，如同被一道閃電劈中！
「不可能！」
她失聲喊道，「PG(2，5)中，任何一個點都必須在6條線上！
如果E不在這六條線中的任何一條上，那麼過E和A的直線L_EA，就是一條新的線。
過E和B的直線L_EB，也是一條新的線……
這……這就和『兩點確定唯一一條直線』的公理矛盾了！」
她激動得臉頰通紅，指著自己的推導，像個得到了糖果的孩子。
「所以，任意五個點，必然有至少三個點是共線的！
既然有三點共線，那它們在我們的圖G里，就必然不是一個K5子圖！
因為共線的點之間沒有邊！」
「結論：我們的圖G，無K5子圖！」
當她得出這個結論時，一種前所未有的，巨大而純粹的成就感，淹沒了她。
這比她過去解出任何一道難題，都要快樂！
因為這不是她一個人的勝利，這是她和許燃，兩個人思想碰撞、共同鑄劍的結果！
她抬起頭，看向身邊那個平靜的少年，美眸中，水光流轉，異彩漣漣。
「下一個，證明它的獨立數，不大於42……」
許燃的聲音沒有停歇，將她從那異樣的情緒中拉了回來，帶入了下一個更深邃的挑戰。
「這個圖，只有31個頂點，獨立數怎麼可能大於42？」
簡瑤下意識地問，隨即反應過來，「哦，你說的是拉姆齊數R(5，5)！
我們現在構造出的這個圖，它甚至連R(4，5)的反例都算不上！」
她的思維，已經被許燃徹底帶到了一個全新的高度。
許燃搖了搖頭。
「這個模型，只是一個玩具。
一個讓我們理解『代數圖論』思想的玩具。」
「但這個思想，可以推廣。」
他的筆尖，在PG(2，q)的那個q上，重重一點。
「如果，我們把這個q，換成別的數字呢？
比如，q=41？
一個素數？」
「PG(2，41)……它的點數是41²+41+1 = 1723個！」簡瑤倒吸一口涼氣。
「沒錯，所以簡單的射影平面不夠。」
許燃的目光，變得如同黑洞般深邃，「我們需要更複雜的代數結構。
比如，用『二次剩餘』去定義『相鄰』關係。」
他開始在草稿紙上，寫下一連串簡瑤聞所未聞的概念。
【佩利圖P(q)】
「這又是什麼？」
簡瑤感覺自己像個好奇寶寶，完全被許燃牽著鼻子走，但她心甘情願。
「一個更純粹的代數怪物。」
許燃的眼睛裡閃著光。
「它的構造更簡單粗暴。取一個素數q，並且要求q模4餘1。」
「圖的頂點，就是有限域GF(q)里的q個元素，從0到q-1。」
「兩個頂點x和y之間有沒有邊，只看一件事。」
他頓了頓，用紅筆重重寫下兩個字。
「『差值』。」
「如果x-y是GF(q)里的『二次剩餘』，那麼它們之間就有邊。
如果不是，就沒有。」
「二次剩餘？」
這個詞簡瑤知道，就是指一個數在模q的意義下，能被寫成另一個數的平方。
比如在模5的意義下，1和4就是二次剩餘，因為1=1²=4²，4=2²=3²。
「對。」
許燃點頭，「比如，我們直接攻擊R(5，5)的下界，構造一個41階的圖。
取q=41，因為它是一個素數，且41=4*10+1。」
「我們構造佩利圖P(41)。」
「它的頂點，就是0， 1， 2，...， 40。」
「頂點2和頂點5之間有沒有邊？」許燃看向簡瑤。
「5-2=3，我們需要判斷3是不是模41的二次剩餘……」簡瑤迅速心算，卻發現這並不容易。
「很難算，對吧？」
許燃笑了笑，「但數學的美妙在於，我們不需要一個一個去算。
高斯早就為我們鋪好了路。」
圖書館的角落，仿佛變成了一個與世隔絕的領域，一個只屬於許燃和簡瑤的【思維殿堂】。
「所以，我們的圖G，頂點集是PG(2，5)的31個點。
兩個頂點相鄰，若且唯若它們在PG(2，5)中『不共線』。」
許燃迅速地做出了總結，思路清晰。
「接下來，我們要驗證兩個關鍵性質。」
他看向簡瑤，「第一，這個圖G中，是否存在一個K5子圖，也就是『5個頂點互相相鄰』的團？」
這個問題，如果用暴力去驗證，對於一個31階的圖來說，無異於大海撈針。
但現在，有了代數和幾何的武器，一切都變得不同。
簡瑤的心思已經完全沉浸了進去。
她那天才的大腦在許燃的引導下，爆發出驚人的能量。
「等一下！」
她突然伸出手指，點在「不共線」三個字上，美眸中閃爍著激動的光芒，「如果五個頂點A，B，C，D，E構成一個K5子圖，就意味著它們兩兩之間都『不共線』。」
「但是！」
她的語速開始加快，「在射影平面PG(2，-，5)中，任意兩個點（比如A和B）都確定一條唯一的線L_AB。那麼，第三個點C，它既不能在L_AB上，也不能在L_AC上，也不能在L_AD上……」
她說到這裡，突然卡住了。思路似乎走進了一條死胡同。
許燃沒有直接給她答案，而是換了一種問法，像一個循循善誘的導師。
「換個角度想。我們來證明它的逆否命題。如果我們任意取出五個點，能不能證明，它們之中，必有兩點是『共線』的？」
這個問題像一把鑰匙，瞬間捅破了那層窗戶紙！
「我明白了！」簡瑤的呼吸變得急促，「我們任取五個點A，B，C，D，E。先看A，B，C三點。如果它們共線，那結論就成立了，我們找到了『共線』的兩個點（甚至三個）。」
「那如果它們不共線呢？」許燃追問。
「如果A，B，C不共線，那麼它們就能確定三條不同的直線L_AB， L_AC， L_BC。
這三條直線，在PG(2，5)中……」
簡瑤一邊說，一邊快速地在紙上畫著示意圖，「……會交於A，B，C三個點。」
「現在，我們放入第四個點D。
如果D在這三條線中的任意一條上，比如在L_AB上，那麼A，B，D就共線，結論成立。」
「如果D不在這三條線的任何一條上呢？」許燃的聲音帶著一種引人入勝的魔力。
「那麼……D和A，B，C三點，就能確定三條新的線L_AD， L_BD， L_CD。
現在我們一共有六條線了！」
簡瑤感覺自己的大腦在高速燃燒，「這六條線，最多會產生C(6，2)=15個交點，但很多是重合的……
不對不對，這個思路太複雜了！」
她有些懊惱地抓了抓頭髮。
許燃只是安靜地看著她，沒有打斷。他知道，這是天才在突破自我時，必經的「陣痛」。
過了足足一分鐘，簡瑤的眼睛，猛地亮了起來！
「是『鴿巢原理』！」
她激動地喊了出來，聲音都有些發顫，「在PG(2，5)里，每一條線上，有q+1=6個點！而任何一個點，都恰好在q+1=6條線上！」
「我們來看點D！」
她指著草稿紙，「通過點D，可以畫出6條不同的直線！
這6條直線，要把除了D以外的所有點都覆蓋掉。」
「而我們還剩下A，B，C，E四個點！不對……思路又亂了！」
看著簡瑤陷入苦戰，許燃終於決定，輕輕地推她一把。
「不要去數線的數量。」
他輕聲說，「回到最基礎的性質，兩點確定一條直線。」
「我們有A，B，C，D四個點，假設它們之中任意三點都不共線。
它們能確定C(4，2)=6條不同的直線。」
「現在，我們放入第五個點，E。」
「E點，它有多少種可能的位置？」
「如果E落在這六條直線中的任何一條上，比如L_AB，那麼E，A，B就共線了，證畢。」
「如果E不落在這六條直線的任何一條上呢？這可能嗎？」
許燃問出了最後一個，也是最關鍵的問題。
簡瑤的大腦，如同被一道閃電劈中！
「不可能！」
她失聲喊道，「PG(2，5)中，任何一個點都必須在6條線上！
如果E不在這六條線中的任何一條上，那麼過E和A的直線L_EA，就是一條新的線。
過E和B的直線L_EB，也是一條新的線……
這……這就和『兩點確定唯一一條直線』的公理矛盾了！」
她激動得臉頰通紅，指著自己的推導，像個得到了糖果的孩子。
「所以，任意五個點，必然有至少三個點是共線的！
既然有三點共線，那它們在我們的圖G里，就必然不是一個K5子圖！
因為共線的點之間沒有邊！」
「結論：我們的圖G，無K5子圖！」
當她得出這個結論時，一種前所未有的，巨大而純粹的成就感，淹沒了她。
這比她過去解出任何一道難題，都要快樂！
因為這不是她一個人的勝利，這是她和許燃，兩個人思想碰撞、共同鑄劍的結果！
她抬起頭，看向身邊那個平靜的少年，美眸中，水光流轉，異彩漣漣。
「下一個，證明它的獨立數，不大於42……」
許燃的聲音沒有停歇，將她從那異樣的情緒中拉了回來，帶入了下一個更深邃的挑戰。
「這個圖，只有31個頂點，獨立數怎麼可能大於42？」
簡瑤下意識地問，隨即反應過來，「哦，你說的是拉姆齊數R(5，5)！
我們現在構造出的這個圖，它甚至連R(4，5)的反例都算不上！」
她的思維，已經被許燃徹底帶到了一個全新的高度。
許燃搖了搖頭。
「這個模型，只是一個玩具。
一個讓我們理解『代數圖論』思想的玩具。」
「但這個思想，可以推廣。」
他的筆尖，在PG(2，q)的那個q上，重重一點。
「如果，我們把這個q，換成別的數字呢？
比如，q=41？
一個素數？」
「PG(2，41)……它的點數是41²+41+1 = 1723個！」簡瑤倒吸一口涼氣。
「沒錯，所以簡單的射影平面不夠。」
許燃的目光，變得如同黑洞般深邃，「我們需要更複雜的代數結構。
比如，用『二次剩餘』去定義『相鄰』關係。」
他開始在草稿紙上，寫下一連串簡瑤聞所未聞的概念。
【佩利圖P(q)】
「這又是什麼？」
簡瑤感覺自己像個好奇寶寶，完全被許燃牽著鼻子走，但她心甘情願。
「一個更純粹的代數怪物。」
許燃的眼睛裡閃著光。
「它的構造更簡單粗暴。取一個素數q，並且要求q模4餘1。」
「圖的頂點，就是有限域GF(q)里的q個元素，從0到q-1。」
「兩個頂點x和y之間有沒有邊，只看一件事。」
他頓了頓，用紅筆重重寫下兩個字。
「『差值』。」
「如果x-y是GF(q)里的『二次剩餘』，那麼它們之間就有邊。
如果不是，就沒有。」
「二次剩餘？」
這個詞簡瑤知道，就是指一個數在模q的意義下，能被寫成另一個數的平方。
比如在模5的意義下，1和4就是二次剩餘，因為1=1²=4²，4=2²=3²。
「對。」
許燃點頭，「比如，我們直接攻擊R(5，5)的下界，構造一個41階的圖。
取q=41，因為它是一個素數，且41=4*10+1。」
「我們構造佩利圖P(41)。」
「它的頂點，就是0， 1， 2，...， 40。」
「頂點2和頂點5之間有沒有邊？」許燃看向簡瑤。
「5-2=3，我們需要判斷3是不是模41的二次剩餘……」簡瑤迅速心算，卻發現這並不容易。
「很難算，對吧？」
許燃笑了笑，「但數學的美妙在於，我們不需要一個一個去算。
高斯早就為我們鋪好了路。」