第123章 我要親自招收這兩位學生
第123章 我要親自招收這兩位學生
陸正庭看著白板上的公式，愣了幾秒。
他只是想問楚若然對什麼數學方向感興趣，沒想到他直接在白板上出了兩個猜想。
楚若然看出了陸正庭的遲疑，輕聲道：「陸院長，其實我對數學的各個方向都感興趣。我都想研究。」
陸正庭聽完，微微一笑：「沒有人可以做到涉獵廣泛並精通。做學問，總得先挖一個坑再往下掘。」
楚若然指了指余南汐，也微笑道：「我和她是可以不斷挖坑並深入發掘的人，一個坑對我們來說太少了。」
這話一出，一旁的季志遠愣了愣。
不斷挖坑？
你這孩子，怎麼在菲爾茲獎得主面前大放厥詞？
不過比起季志遠的愣神，陸正庭倒是目光帶著幾分深意的看向楚若然：「你能說出這話來我很欣慰。優秀的數學家從不止步於眼前的成就。」
「那我們就不聊方向了，聊聊能力。」
他抬起手擦掉黑板上的筆跡，重新寫下一行公式：△u+入u=0
「我們從最基礎的偏微分方程聊起。這是一條拉普拉斯方程，假設在有限區域內，邊界條件為零，入為常數，談談你們對解的存在性有什麼看法。」
季志遠在一旁看著，眉頭微微挑起。
這是一道很開放的題。嚴格意義上來講，它甚至算不上題，更像是一個門檻。
他立刻意識到陸正庭是想考察兩個孩子的思維方式。
楚若然拿起白板筆稍作思索，隨後走上前在空白處寫下幾個小字：分離變量法。
「如果入=0，可以視為調和函數問題。對二維情況，若Ω為有界區域，可展開為傅立葉級數，得到滿足Dirichleti邊界條件的唯一解。」
陸正庭點頭：「那若λ>0呢？」
楚若然：「那就轉化為He Imholtz方程。若邊界仍為零，可以利用特徵函數展開法，解為一組正交特徵函數的線性組合。不過在高維下，特徵值的分布規律——目前還沒有解析式。」
陸正庭微微眯眼。
分離變量、特徵函數、邊界條件、特徵值分布，全部提到了。
他又看向一旁的余南汐：「同學，有什麼補充？」
「唔，若入取複數，解就不再局限於實空間，可以考慮解析延拓。這時候調和函數解集的性質和黎曼？函數的解析延拓形式有一點相似。」
「嗯。
陸正庭沉吟片刻，又抬手寫下一行新的公式：u/Ot=△u
他側過身，看向兩個人：「假設區域Ω有界，邊界條件齊次，初始函數在C空間中。
請說說你們認為這種方程的解，在時間t上的連續性與唯一性如何？」
楚若然思考幾秒：「若係數常數且域有界，可利用特徵展開法。解可表示為u（，t）=∑Ane^（—入mt）中n（）+——，其中入n為Laplace算子的特徵值，中.為正交基函數。由於入>0，係數指數衰減，解在t上連續且唯一。」
陸正庭點頭：「那如果係數不恆定呢？」
余南汐軟聲接道：「唔...若△替換為橢圓型算子div（a（）7u），只要a（）在區域內正定且連續，就仍然可以證明弱解存在。可以通過能量估計與Poincaré不等式得到∥u（t）∥隨時間單調不增，從而保證解的穩定性與唯一性。」
「很好。」陸正庭目光微亮。
他又寫下一條式子：2u/t2+△u=0
「換個類型。這個方程的基本解性質與前一個有何不同？」
楚若然：「前者是典型的拋物型算子，解隨時間平滑化；這一條則為雙曲型算子，平滑性不增強，只保持連續。形式解可寫作u（，t）=ΣAcos（√入t）+——」
余南汐在旁輕聲補充：「唔，若算子△改為一般橢圓型L=—div（A7u幢+q（）u，則譜為正定離散。」
陸正庭：「那我繼續。」
L（u）=div（a（）Vu）+b（）.Vu+c（）u=f（）
「這是最一般的線性橢圓型方程。假設a，b，c連續且a（）正定。談談你們認為解的正則性應滿足什麼條件。」
楚若然抬起頭：「若f∈L2（Q），則..」
「若f∈Ca且邊界光滑，則...」
「若再放寬到非齊次邊界條件，可通過La—Milgram引理...」
余南汐輕聲補充：「唔，如果a（）只在弱意義下正定，比如..」
「唔，當a具有分段光滑性時，可以利用加權Sobolev空間的正則性理論證明——」
兩個人一唱一和，互相佐證。
季志遠在一旁聽得一愣一愣的。
雖然早有心理準備。但當聽到如此流利的快問快答，而且邏輯嚴絲合縫。季志遠大受震撼。
回答還在繼續。
L（u）=（i，j）a （@u/0：0+......
「對這個公式，假設對稱且在區域內滿足一致橢圓性，討論此算子的自伴性與譜性質。」陸正庭道。
這一次，楚若然與余南汐幾乎同時開口。
「若a光滑且b=c=0，在Ho（Q）上定義的算子是自伴的。其譜為....」
「因此任意u∈L2（2）可展開為....
「唔...若b不為零但滿足div（b）=0，可通過加權內積修正對稱性。」
「唔，而若c（）<0，則最低特徵值可能為負，但譜仍為離散——
陸正庭摸了摸下巴，眼神逐漸凝重：「很好。那如果a只分段連續呢？會影響正則性嗎？」
楚若然：「會。弱解在分界面上保持函數連續，但梯度一般不連續。若每個分區內a∈C，則...」
余南汐：「如果進一步假設界面光滑，可以通過反射法構造延拓，使得u在鄰域內屬於C..
「那非線性情形呢？比如方程中出現u2或u項。」陸正庭又問。
楚若然：「可以轉化為變分問題。若能量泛函Φ（u）...」
余南汐：「也可以通過單調算子理論。若算子A（u）=—div（a（，7u））滿足強單調性.
一個小時後，陸正庭終於放下筆。
他長長的呼出口長氣。
「我想我的提問可以結束了，我心裡已經有答案了。」他抬起頭緩緩看向兩人，「你們兩個，有機會站在國際數學家大會的舞台上。」
說完這句話，陸正庭微笑的拍了拍楚若然的肩膀。
旁邊的季志遠愣在那裡，眼神里滿是震動。
剛才整整一個小時，他一句話都沒插進去。
仿佛像一個新兵蛋子。
「老季，要不你也來問問看吧？」陸正庭看了他一眼，「這倆孩子，可能不只擅長偏微分方程。」
聽到這話，季志遠吸了口氣，起身走到黑板前。
他沉默片刻，然後寫下幾個新的式子。
7×F=0，div（F）=p（）
∫—「f（z）dz=0
det（J）=1
「我們聊聊向量分析、複分析，還有一點微分幾何。」他說道。
楚若然看了看公式，最先開口：「若F保守，則存在勢函數中，滿足F=7中——的局部條件。」
余南汐補充：「晤，∫—「f（z）dz=0意味著解析函數的路徑無關性，可以推廣到多復變量空間——」
季志遠又寫了兩個符號：
a2φ/aay=aφ/ayd
Ra「/Ok—O「/O+——
「那這個呢？」他問。
楚若然皺眉，沉思片刻後道：「第一個是混合偏導交換條件，保證函數二階可微的充分條件。第二個是黎曼曲率張量的定義式——」
余南汐點點頭：「唔，如果局部平直，則RO。歐氏空間是零曲率空間——」
季志遠聽後沒有立刻說話，只是沉默地提起筆在白板上補下幾行新的符號。
∫2u△vd=—∫27u·7vd
Iim→o∞Σfk（）φk（O=f（）
IT（u）‖≤c‖uⅡ
「這幾條在你們看來意味著什麼？」
楚若然：「第一個是積分分部公式...」
余南汐：「唔，若T滿足有界性和線性....」
∂φ/∂z = 0
$Δ2u+λu=0$
「那這兩個？」
楚若然：「第一個是Cauchy—Riemann條件.
「」
余南汐：「第二個是雙調和方程..
「，半個小時後，季志遠終於停下筆。
他沒有再出題，只是站在那裡，目光在一片密密麻麻的符號間游移。
空氣安靜幾秒鐘，他忽然緩緩吐出兩個字：「天才。」
陸正庭轉過頭，笑道：「老季，你這是什麼表情？」
季志遠的喉結動了動：「我這是被震撼到的表情，現在很難有詞彙來形容我的心情。」
陸正庭看著他，自光溫和地轉向楚若然和余南汐：「老季說過，你們兩個的全科成績都很好？」
楚若然點點頭。
「很好。」陸正庭微微一笑，「但為了避免任何意外，我希望你們能通過特招進入清北。」
「特招？」季志遠聽到這兩個字，頓時搖了搖頭。
「清北的特招早就結束了。所有其他非常規招生通道也都關了。」
陸正庭沒有接話，只是抬起頭，目光深深的望向黑板上那些未擦去的公式。
良久，他緩緩道：「我說的特招，不是常規意義上的招生。是我以菲爾茲獎得主的身份，親自去找校長談，申請額外特招名額。」
「或者換句話來說。我，陸正庭，要親自招收這兩位學生。」
他一字一頓。
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陸正庭看著白板上的公式，愣了幾秒。
他只是想問楚若然對什麼數學方向感興趣，沒想到他直接在白板上出了兩個猜想。
楚若然看出了陸正庭的遲疑，輕聲道：「陸院長，其實我對數學的各個方向都感興趣。我都想研究。」
陸正庭聽完，微微一笑：「沒有人可以做到涉獵廣泛並精通。做學問，總得先挖一個坑再往下掘。」
楚若然指了指余南汐，也微笑道：「我和她是可以不斷挖坑並深入發掘的人，一個坑對我們來說太少了。」
這話一出，一旁的季志遠愣了愣。
不斷挖坑？
你這孩子，怎麼在菲爾茲獎得主面前大放厥詞？
不過比起季志遠的愣神，陸正庭倒是目光帶著幾分深意的看向楚若然：「你能說出這話來我很欣慰。優秀的數學家從不止步於眼前的成就。」
「那我們就不聊方向了，聊聊能力。」
他抬起手擦掉黑板上的筆跡，重新寫下一行公式：△u+入u=0
「我們從最基礎的偏微分方程聊起。這是一條拉普拉斯方程，假設在有限區域內，邊界條件為零，入為常數，談談你們對解的存在性有什麼看法。」
季志遠在一旁看著，眉頭微微挑起。
這是一道很開放的題。嚴格意義上來講，它甚至算不上題，更像是一個門檻。
他立刻意識到陸正庭是想考察兩個孩子的思維方式。
楚若然拿起白板筆稍作思索，隨後走上前在空白處寫下幾個小字：分離變量法。
「如果入=0，可以視為調和函數問題。對二維情況，若Ω為有界區域，可展開為傅立葉級數，得到滿足Dirichleti邊界條件的唯一解。」
陸正庭點頭：「那若λ>0呢？」
楚若然：「那就轉化為He Imholtz方程。若邊界仍為零，可以利用特徵函數展開法，解為一組正交特徵函數的線性組合。不過在高維下，特徵值的分布規律——目前還沒有解析式。」
陸正庭微微眯眼。
分離變量、特徵函數、邊界條件、特徵值分布，全部提到了。
他又看向一旁的余南汐：「同學，有什麼補充？」
「唔，若入取複數，解就不再局限於實空間，可以考慮解析延拓。這時候調和函數解集的性質和黎曼？函數的解析延拓形式有一點相似。」
「嗯。
陸正庭沉吟片刻，又抬手寫下一行新的公式：u/Ot=△u
他側過身，看向兩個人：「假設區域Ω有界，邊界條件齊次，初始函數在C空間中。
請說說你們認為這種方程的解，在時間t上的連續性與唯一性如何？」
楚若然思考幾秒：「若係數常數且域有界，可利用特徵展開法。解可表示為u（，t）=∑Ane^（—入mt）中n（）+——，其中入n為Laplace算子的特徵值，中.為正交基函數。由於入>0，係數指數衰減，解在t上連續且唯一。」
陸正庭點頭：「那如果係數不恆定呢？」
余南汐軟聲接道：「唔...若△替換為橢圓型算子div（a（）7u），只要a（）在區域內正定且連續，就仍然可以證明弱解存在。可以通過能量估計與Poincaré不等式得到∥u（t）∥隨時間單調不增，從而保證解的穩定性與唯一性。」
「很好。」陸正庭目光微亮。
他又寫下一條式子：2u/t2+△u=0
「換個類型。這個方程的基本解性質與前一個有何不同？」
楚若然：「前者是典型的拋物型算子，解隨時間平滑化；這一條則為雙曲型算子，平滑性不增強，只保持連續。形式解可寫作u（，t）=ΣAcos（√入t）+——」
余南汐在旁輕聲補充：「唔，若算子△改為一般橢圓型L=—div（A7u幢+q（）u，則譜為正定離散。」
陸正庭：「那我繼續。」
L（u）=div（a（）Vu）+b（）.Vu+c（）u=f（）
「這是最一般的線性橢圓型方程。假設a，b，c連續且a（）正定。談談你們認為解的正則性應滿足什麼條件。」
楚若然抬起頭：「若f∈L2（Q），則..」
「若f∈Ca且邊界光滑，則...」
「若再放寬到非齊次邊界條件，可通過La—Milgram引理...」
余南汐輕聲補充：「唔，如果a（）只在弱意義下正定，比如..」
「唔，當a具有分段光滑性時，可以利用加權Sobolev空間的正則性理論證明——」
兩個人一唱一和，互相佐證。
季志遠在一旁聽得一愣一愣的。
雖然早有心理準備。但當聽到如此流利的快問快答，而且邏輯嚴絲合縫。季志遠大受震撼。
回答還在繼續。
L（u）=（i，j）a （@u/0：0+......
「對這個公式，假設對稱且在區域內滿足一致橢圓性，討論此算子的自伴性與譜性質。」陸正庭道。
這一次，楚若然與余南汐幾乎同時開口。
「若a光滑且b=c=0，在Ho（Q）上定義的算子是自伴的。其譜為....」
「因此任意u∈L2（2）可展開為....
「唔...若b不為零但滿足div（b）=0，可通過加權內積修正對稱性。」
「唔，而若c（）<0，則最低特徵值可能為負，但譜仍為離散——
陸正庭摸了摸下巴，眼神逐漸凝重：「很好。那如果a只分段連續呢？會影響正則性嗎？」
楚若然：「會。弱解在分界面上保持函數連續，但梯度一般不連續。若每個分區內a∈C，則...」
余南汐：「如果進一步假設界面光滑，可以通過反射法構造延拓，使得u在鄰域內屬於C..
「那非線性情形呢？比如方程中出現u2或u項。」陸正庭又問。
楚若然：「可以轉化為變分問題。若能量泛函Φ（u）...」
余南汐：「也可以通過單調算子理論。若算子A（u）=—div（a（，7u））滿足強單調性.
一個小時後，陸正庭終於放下筆。
他長長的呼出口長氣。
「我想我的提問可以結束了，我心裡已經有答案了。」他抬起頭緩緩看向兩人，「你們兩個，有機會站在國際數學家大會的舞台上。」
說完這句話，陸正庭微笑的拍了拍楚若然的肩膀。
旁邊的季志遠愣在那裡，眼神里滿是震動。
剛才整整一個小時，他一句話都沒插進去。
仿佛像一個新兵蛋子。
「老季，要不你也來問問看吧？」陸正庭看了他一眼，「這倆孩子，可能不只擅長偏微分方程。」
聽到這話，季志遠吸了口氣，起身走到黑板前。
他沉默片刻，然後寫下幾個新的式子。
7×F=0，div（F）=p（）
∫—「f（z）dz=0
det（J）=1
「我們聊聊向量分析、複分析，還有一點微分幾何。」他說道。
楚若然看了看公式，最先開口：「若F保守，則存在勢函數中，滿足F=7中——的局部條件。」
余南汐補充：「晤，∫—「f（z）dz=0意味著解析函數的路徑無關性，可以推廣到多復變量空間——」
季志遠又寫了兩個符號：
a2φ/aay=aφ/ayd
Ra「/Ok—O「/O+——
「那這個呢？」他問。
楚若然皺眉，沉思片刻後道：「第一個是混合偏導交換條件，保證函數二階可微的充分條件。第二個是黎曼曲率張量的定義式——」
余南汐點點頭：「唔，如果局部平直，則RO。歐氏空間是零曲率空間——」
季志遠聽後沒有立刻說話，只是沉默地提起筆在白板上補下幾行新的符號。
∫2u△vd=—∫27u·7vd
Iim→o∞Σfk（）φk（O=f（）
IT（u）‖≤c‖uⅡ
「這幾條在你們看來意味著什麼？」
楚若然：「第一個是積分分部公式...」
余南汐：「唔，若T滿足有界性和線性....」
∂φ/∂z = 0
$Δ2u+λu=0$
「那這兩個？」
楚若然：「第一個是Cauchy—Riemann條件.
「」
余南汐：「第二個是雙調和方程..
「，半個小時後，季志遠終於停下筆。
他沒有再出題，只是站在那裡，目光在一片密密麻麻的符號間游移。
空氣安靜幾秒鐘，他忽然緩緩吐出兩個字：「天才。」
陸正庭轉過頭，笑道：「老季，你這是什麼表情？」
季志遠的喉結動了動：「我這是被震撼到的表情，現在很難有詞彙來形容我的心情。」
陸正庭看著他，自光溫和地轉向楚若然和余南汐：「老季說過，你們兩個的全科成績都很好？」
楚若然點點頭。
「很好。」陸正庭微微一笑，「但為了避免任何意外，我希望你們能通過特招進入清北。」
「特招？」季志遠聽到這兩個字，頓時搖了搖頭。
「清北的特招早就結束了。所有其他非常規招生通道也都關了。」
陸正庭沒有接話，只是抬起頭，目光深深的望向黑板上那些未擦去的公式。
良久，他緩緩道：「我說的特招，不是常規意義上的招生。是我以菲爾茲獎得主的身份，親自去找校長談，申請額外特招名額。」
「或者換句話來說。我，陸正庭，要親自招收這兩位學生。」
他一字一頓。
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