第33章 不到一小時你就交卷？
鈴鈴鈴，鈴鈴鈴。
早自習結束的鈴聲準時響起。
王啟軍身體往後一靠，椅子發出一聲刺耳的摩擦音。他伸了個懶腰回過頭說道：「叉哥別學了，吃飯去。」
「嗯。」楚若然合上生物書。
一旁趴在桌上的余南汐微微睜開眼，教室的喧鬧聲灌進她的耳朵。
「唔……帶飯……」她軟軟的說道。
「行，麵包加火腿腸？」
「嗯……」她說著又慢慢閉上眼睛，似乎電量只夠說兩句話。
王啟軍看了看她，咋舌了一聲：「她真的好能睡啊。而且她每次睡覺都能避開老師巡視，簡直神了。」
楚若然和王啟軍兩個人邁步出教室，身後忽然傳來一道殷勤的聲音。
「班長，我給你帶了份早餐。」
王啟軍頓住腳，轉頭看去。
教室里，數學課代表陳浩正站在王詩曼的課桌前，手裡端著一個保溫飯盒，臉上堆滿笑。
「謝謝你啊，陳浩。」王詩曼抬頭，「不過我和依依約好一起去吃早飯了。」
她話音一落，順手將飯盒輕輕推回去。
陳浩的笑容僵了一瞬：「哦，那……」
話還沒說完，沈依玉站起來瞥了陳浩一眼，隨後扭頭對著王詩曼說道：「詩詩，我們走吧。餓死了。」
王詩曼點點頭，拉起沈依玉的胳膊朝門口走去。
走到教室門口，沈依玉看見門外站著的兩人，不由皺起鼻子：「你們兩個大男人堵在門口乾嘛呢？」
「看小劇場。」楚若然聳了聳肩。
「八卦。」沈依玉哼了一聲，一臉嫌棄。
王啟軍雙手一攤：「不是我們想看，是陳浩聲音太大了，整個班都聽得見。」
「不過這個陳浩真的煩欸，詩詩都拒絕他幾次了還不死心。」沈依玉皺著眉。
「好啦，別說了。」王詩曼輕輕一拉，轉移開話題，「對啦楚若然同學，我們一起吃飯吧？我聽依依說樂隊元旦演出的事情，你們要精誠合作呦～」
楚若然點了點頭，剛想開口回應卻被沈依玉撇著嘴打斷：「詩詩，他就是個吉他手，彈好吉他就行了，別把他捧太高。」
楚若然挑了下眉：「沈依玉，柳老師可是讓我指導你來著。你要端正態度。」
「切，柳老師又不懂樂隊。」沈依玉小奶音地提高音量，奶凶奶凶的說道，「而且你能指導我什麼？」
楚若然看了她一眼，不再理會：「走了軍子，吃飯去。」
身後的沈依玉哼了一聲，步子也沒停，拽著王詩曼一塊下樓。
「依依，你現在脾氣越來越凶了。」王詩曼小聲嘟囔一句。
「我哪有？反倒是你，怎麼老想著跟楚若然一起吃飯？你愛上他了？」
王詩曼：「......」
.......
楚若然和王啟軍走在去往食堂的路上。早自習剛結束，教學樓前人流如織。
楚若然穿過人流，一路上能聽到不少竊竊私語。
「那個就是楚若然吧？」
「不知道啊，帶著口罩看不清。」
「你們最近看微博了嗎？楚若然的爆料全成真了。」
「不過是狗咬狗罷了。他自己酒駕的污點都洗不清。」
一路上議論聲此起彼伏。但楚若然面無表情地走著，不受任何干擾。一旁的王啟軍卻有點繃不住，小聲湊近。
「叉哥，跟你走在一起壓力好大……感覺所有人的眼神都在剖析咱倆。」
「這才哪到哪？你還沒見過粉絲把我圍在保姆車裡出不來，那種目光才叫吃人。」
王啟軍咋舌：「粉絲這麼猛嗎？娛樂圈果然不好混。不過叉哥，你還會復出嗎？你現在全網熱度這麼高，是東山再起的好機會啊。」
「復出？」楚若然搖了搖頭，「我現在只想高考，拿個狀元。」
「啊？」王啟軍瞪大眼睛，「你要當高考狀元？」
「對。」楚若然輕拍了拍他的肩膀，「我再娛樂圈已經火過一回了，現在該輪到高考讓我再火一次了。」
「叉哥，你別吹牛了。高考狀元哪有那麼簡單？你那是和全省的人競爭啊。」
楚若然笑而不語的拍拍王啟軍的肩膀。
......
第一節數學課，數學老師馮宏毅把考試捲髮下去。
「考試時間120分鐘，大家認真做題。」馮宏毅喝著保溫杯的茶水，坐在講台的椅子上說道。
他的話音剛落下，教室里頓時安靜。學生們紛紛低頭提筆做題。
楚若然手指轉著筆尖，視線掃過試題。
【有 6個相同的球，分別標有數字 1， 2， 3， 4， 5， 6，從中有放回的隨機取兩次，每次取 1個球。甲表示事件「第一次取出的球的數字是 1」，乙表示事件「第二次取出的球的數字是 2」，丙表示事件「兩次取出的球的數字之和是 8」，丁表示事件「兩次取出的球的數字之和是 7」......】
他快速掃過題干，心裡把整個樣本空間列好：所有可能的結果是有序對(i，j)(i， j)(i，j)，其中 i，j∈{1，2，3，4，5，6}i， j∈\{1，2，3，4，5，6\}i，j∈{1，2，3，4，5，6}，一共 36種情況。
「先算各個事件的概率。」
甲：第一次取出的數字是 1，可能結果有 6種。概率 P(A)=6/36=1/6P(A)=6/36=1/6P(A)=6/36=1/6。
乙：第二次取出的數字是 2，同理概率也是 1/61/61/6。
丙：兩次數字和為 8，對應(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)，共 5種，概率 5/365/365/36。
丁：兩次數字和為 7，對應(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)，共 6種，概率 6/36=1/66/36=1/66/36=1/6。
他停頓了一下，心裡默念：「接下來就看哪些事件是獨立的。」
甲和丙——第一次取 1，不可能再和成 8。交集為零，不獨立。
甲和丁——第一次取 1，若第二次取 6，剛好和為 7。交集只有一種情況，概率 1/361/361/36。而 P(A)⋅P(D)=1/6⋅1/6=1/36P(A)·P(D)=1/6·1/6=1/36P(A)⋅P(D)=1/6⋅1/6=1/36，完全相等。獨立。
乙和丙——第二次取 2，若想和為 8，第一次必須是 6。概率 1/361/361/36。但 P(B)⋅P(C)=1/6⋅5/36=5/216P(B)·P(C)=1/6·5/36=5/216P(B)⋅P(C)=1/6⋅5/36=5/216，顯然不等，不獨立。
丙和丁——一個和是 8，一個和是 7，互斥事件，不獨立。
楚若然筆尖寫下答案：B（甲與丁相互獨立）。
......
【已知點 P(cosθ， sinθ)，Q(cos(θ+π/6)， sin(θ+π/6))，若 P、Q關於 y軸對稱，求滿足條件的θ】
「關於 y軸對稱就是橫坐標變號，(x，y)→(-x，y)。所以條件等價於：cos(θ+π/6)=-cosθ，sin(θ+π/6)= sinθ。
把公式展開：sin(θ+π/6)= sinθ·cos(π/6)+ cosθ·sin(π/6)。
「也就是(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ= sinθ。移項：(√3/2 - 1)sinθ+(1/2)cosθ= 0。」
「那就是 cosθ=(2 -√3)sinθ。所以 tanθ= sinθ/cosθ= 1/(2 -√3)。」
「再有理化一下，等於 2 +√3。嗯，tan75°= 2 +√3。所以θ= 5π/12 + kπ， k∈Z。」
他又代回第一個條件：cos(θ+π/6)=-cosθ，也完全成立。
楚若然提筆寫下：θ= 5π/12 + kπ。
......
「壓軸題.....」楚若然看著第22題。
【已知函數 f(x)= x(1 - ln x)
(1)討論 f(x)的單調性；
(2)設 a， b為兩個不相等的正數，且 b ln a - a ln b = a - b】
第一問函數單調性，他寫下導數：令 f'(x)= 0，即-ln x = 0，解得 x = 1。
當 0 < x < 1時，ln x < 0，所以 f'(x)> 0，函數單調遞增；
當 x > 1時，ln x > 0，所以 f'(x)< 0，函數單調遞減。
因此，f(x)在(0， 1]上單調遞增，在[1，+∞)上單調遞減。
「很簡單，下一問。」
由條件 b ln a - a ln b = a - b變形可得：(ln a - ln b)/(a - b)= 1/(a b)。
設ξ介於 a與 b之間，由拉格朗日中值定理有：(ln a - ln b)/(a - b)= 1/ξ。
因此 1/ξ= 1/(a b)，即ξ= a b。
1/a + 1/b =(a + b)/(a b)，需證 2 <(a + b)/(a b)< e。
楚若然快速寫下：由 f(a)= f(b)及 f(x)的單調性，設 0 < a < 1 < b。
因為 f(1)=1是最大值，f(e)=0，所以 a在(0，1)內，b在(1，e)內。
紙上很快出現一行新的式子：令 u = 1/a，v = 1/b，則 u > 1，v在(1/e， 1)內。
「要證的就是 2 < u + v < e。由 f(a)=f(b)，可得(1/u)(1+ln u)=(1/v)(1+ln v)。」
「整理得到 u(1+ln v)= v(1+ln u)。通過分析函數性質或對稱性，可證得 u + v > 2且 u + v < e。」
楚若然長長呼出一口氣，在卷子最後寫下：因此，2 < 1/a + 1/b < e。
啪——
他放下手裡的筆，檢查了一遍卷子，確認沒有漏題後直接站起身。
「老師，交卷。」
話音落下，教室里瞬間安靜。幾十雙眼睛齊刷刷地抬起頭，目光全盯向他。
「臥槽，這麼快？」
「我才做倒第一道簡答題......」
講台上的馮宏毅原本低頭看資料，聽到聲音愣了一下，抬頭盯著楚若然：「還不到一個小時你就交卷了？」
......
早自習結束的鈴聲準時響起。
王啟軍身體往後一靠，椅子發出一聲刺耳的摩擦音。他伸了個懶腰回過頭說道：「叉哥別學了，吃飯去。」
「嗯。」楚若然合上生物書。
一旁趴在桌上的余南汐微微睜開眼，教室的喧鬧聲灌進她的耳朵。
「唔……帶飯……」她軟軟的說道。
「行，麵包加火腿腸？」
「嗯……」她說著又慢慢閉上眼睛，似乎電量只夠說兩句話。
王啟軍看了看她，咋舌了一聲：「她真的好能睡啊。而且她每次睡覺都能避開老師巡視，簡直神了。」
楚若然和王啟軍兩個人邁步出教室，身後忽然傳來一道殷勤的聲音。
「班長，我給你帶了份早餐。」
王啟軍頓住腳，轉頭看去。
教室里，數學課代表陳浩正站在王詩曼的課桌前，手裡端著一個保溫飯盒，臉上堆滿笑。
「謝謝你啊，陳浩。」王詩曼抬頭，「不過我和依依約好一起去吃早飯了。」
她話音一落，順手將飯盒輕輕推回去。
陳浩的笑容僵了一瞬：「哦，那……」
話還沒說完，沈依玉站起來瞥了陳浩一眼，隨後扭頭對著王詩曼說道：「詩詩，我們走吧。餓死了。」
王詩曼點點頭，拉起沈依玉的胳膊朝門口走去。
走到教室門口，沈依玉看見門外站著的兩人，不由皺起鼻子：「你們兩個大男人堵在門口乾嘛呢？」
「看小劇場。」楚若然聳了聳肩。
「八卦。」沈依玉哼了一聲，一臉嫌棄。
王啟軍雙手一攤：「不是我們想看，是陳浩聲音太大了，整個班都聽得見。」
「不過這個陳浩真的煩欸，詩詩都拒絕他幾次了還不死心。」沈依玉皺著眉。
「好啦，別說了。」王詩曼輕輕一拉，轉移開話題，「對啦楚若然同學，我們一起吃飯吧？我聽依依說樂隊元旦演出的事情，你們要精誠合作呦～」
楚若然點了點頭，剛想開口回應卻被沈依玉撇著嘴打斷：「詩詩，他就是個吉他手，彈好吉他就行了，別把他捧太高。」
楚若然挑了下眉：「沈依玉，柳老師可是讓我指導你來著。你要端正態度。」
「切，柳老師又不懂樂隊。」沈依玉小奶音地提高音量，奶凶奶凶的說道，「而且你能指導我什麼？」
楚若然看了她一眼，不再理會：「走了軍子，吃飯去。」
身後的沈依玉哼了一聲，步子也沒停，拽著王詩曼一塊下樓。
「依依，你現在脾氣越來越凶了。」王詩曼小聲嘟囔一句。
「我哪有？反倒是你，怎麼老想著跟楚若然一起吃飯？你愛上他了？」
王詩曼：「......」
.......
楚若然和王啟軍走在去往食堂的路上。早自習剛結束，教學樓前人流如織。
楚若然穿過人流，一路上能聽到不少竊竊私語。
「那個就是楚若然吧？」
「不知道啊，帶著口罩看不清。」
「你們最近看微博了嗎？楚若然的爆料全成真了。」
「不過是狗咬狗罷了。他自己酒駕的污點都洗不清。」
一路上議論聲此起彼伏。但楚若然面無表情地走著，不受任何干擾。一旁的王啟軍卻有點繃不住，小聲湊近。
「叉哥，跟你走在一起壓力好大……感覺所有人的眼神都在剖析咱倆。」
「這才哪到哪？你還沒見過粉絲把我圍在保姆車裡出不來，那種目光才叫吃人。」
王啟軍咋舌：「粉絲這麼猛嗎？娛樂圈果然不好混。不過叉哥，你還會復出嗎？你現在全網熱度這麼高，是東山再起的好機會啊。」
「復出？」楚若然搖了搖頭，「我現在只想高考，拿個狀元。」
「啊？」王啟軍瞪大眼睛，「你要當高考狀元？」
「對。」楚若然輕拍了拍他的肩膀，「我再娛樂圈已經火過一回了，現在該輪到高考讓我再火一次了。」
「叉哥，你別吹牛了。高考狀元哪有那麼簡單？你那是和全省的人競爭啊。」
楚若然笑而不語的拍拍王啟軍的肩膀。
......
第一節數學課，數學老師馮宏毅把考試捲髮下去。
「考試時間120分鐘，大家認真做題。」馮宏毅喝著保溫杯的茶水，坐在講台的椅子上說道。
他的話音剛落下，教室里頓時安靜。學生們紛紛低頭提筆做題。
楚若然手指轉著筆尖，視線掃過試題。
【有 6個相同的球，分別標有數字 1， 2， 3， 4， 5， 6，從中有放回的隨機取兩次，每次取 1個球。甲表示事件「第一次取出的球的數字是 1」，乙表示事件「第二次取出的球的數字是 2」，丙表示事件「兩次取出的球的數字之和是 8」，丁表示事件「兩次取出的球的數字之和是 7」......】
他快速掃過題干，心裡把整個樣本空間列好：所有可能的結果是有序對(i，j)(i， j)(i，j)，其中 i，j∈{1，2，3，4，5，6}i， j∈\{1，2，3，4，5，6\}i，j∈{1，2，3，4，5，6}，一共 36種情況。
「先算各個事件的概率。」
甲：第一次取出的數字是 1，可能結果有 6種。概率 P(A)=6/36=1/6P(A)=6/36=1/6P(A)=6/36=1/6。
乙：第二次取出的數字是 2，同理概率也是 1/61/61/6。
丙：兩次數字和為 8，對應(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)，共 5種，概率 5/365/365/36。
丁：兩次數字和為 7，對應(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)(1，6)、(2，5)、(3，4)、(4，3)、(5，2)、(6，1)，共 6種，概率 6/36=1/66/36=1/66/36=1/6。
他停頓了一下，心裡默念：「接下來就看哪些事件是獨立的。」
甲和丙——第一次取 1，不可能再和成 8。交集為零，不獨立。
甲和丁——第一次取 1，若第二次取 6，剛好和為 7。交集只有一種情況，概率 1/361/361/36。而 P(A)⋅P(D)=1/6⋅1/6=1/36P(A)·P(D)=1/6·1/6=1/36P(A)⋅P(D)=1/6⋅1/6=1/36，完全相等。獨立。
乙和丙——第二次取 2，若想和為 8，第一次必須是 6。概率 1/361/361/36。但 P(B)⋅P(C)=1/6⋅5/36=5/216P(B)·P(C)=1/6·5/36=5/216P(B)⋅P(C)=1/6⋅5/36=5/216，顯然不等，不獨立。
丙和丁——一個和是 8，一個和是 7，互斥事件，不獨立。
楚若然筆尖寫下答案：B（甲與丁相互獨立）。
......
【已知點 P(cosθ， sinθ)，Q(cos(θ+π/6)， sin(θ+π/6))，若 P、Q關於 y軸對稱，求滿足條件的θ】
「關於 y軸對稱就是橫坐標變號，(x，y)→(-x，y)。所以條件等價於：cos(θ+π/6)=-cosθ，sin(θ+π/6)= sinθ。
把公式展開：sin(θ+π/6)= sinθ·cos(π/6)+ cosθ·sin(π/6)。
「也就是(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ= sinθ。移項：(√3/2 - 1)sinθ+(1/2)cosθ= 0。」
「那就是 cosθ=(2 -√3)sinθ。所以 tanθ= sinθ/cosθ= 1/(2 -√3)。」
「再有理化一下，等於 2 +√3。嗯，tan75°= 2 +√3。所以θ= 5π/12 + kπ， k∈Z。」
他又代回第一個條件：cos(θ+π/6)=-cosθ，也完全成立。
楚若然提筆寫下：θ= 5π/12 + kπ。
......
「壓軸題.....」楚若然看著第22題。
【已知函數 f(x)= x(1 - ln x)
(1)討論 f(x)的單調性；
(2)設 a， b為兩個不相等的正數，且 b ln a - a ln b = a - b】
第一問函數單調性，他寫下導數：令 f'(x)= 0，即-ln x = 0，解得 x = 1。
當 0 < x < 1時，ln x < 0，所以 f'(x)> 0，函數單調遞增；
當 x > 1時，ln x > 0，所以 f'(x)< 0，函數單調遞減。
因此，f(x)在(0， 1]上單調遞增，在[1，+∞)上單調遞減。
「很簡單，下一問。」
由條件 b ln a - a ln b = a - b變形可得：(ln a - ln b)/(a - b)= 1/(a b)。
設ξ介於 a與 b之間，由拉格朗日中值定理有：(ln a - ln b)/(a - b)= 1/ξ。
因此 1/ξ= 1/(a b)，即ξ= a b。
1/a + 1/b =(a + b)/(a b)，需證 2 <(a + b)/(a b)< e。
楚若然快速寫下：由 f(a)= f(b)及 f(x)的單調性，設 0 < a < 1 < b。
因為 f(1)=1是最大值，f(e)=0，所以 a在(0，1)內，b在(1，e)內。
紙上很快出現一行新的式子：令 u = 1/a，v = 1/b，則 u > 1，v在(1/e， 1)內。
「要證的就是 2 < u + v < e。由 f(a)=f(b)，可得(1/u)(1+ln u)=(1/v)(1+ln v)。」
「整理得到 u(1+ln v)= v(1+ln u)。通過分析函數性質或對稱性，可證得 u + v > 2且 u + v < e。」
楚若然長長呼出一口氣，在卷子最後寫下：因此，2 < 1/a + 1/b < e。
啪——
他放下手裡的筆，檢查了一遍卷子，確認沒有漏題後直接站起身。
「老師，交卷。」
話音落下，教室里瞬間安靜。幾十雙眼睛齊刷刷地抬起頭，目光全盯向他。
「臥槽，這麼快？」
「我才做倒第一道簡答題......」
講台上的馮宏毅原本低頭看資料，聽到聲音愣了一下，抬頭盯著楚若然：「還不到一個小時你就交卷了？」
......