第292章 中國古代數學家對無理數早有接觸
姬琰繼續道：「那這講武堂一應籌備事宜，依舊以上書房之名義，特事特辦，儘快籌措起來！」
陸臨川躬身領命：「臣，定不辱命。」
國債發行已步入正軌，有張淮等能吏坐鎮公債署，足以應付日常。
上書房的公務因此減輕不少。
而虎賁右衛經此一役，訓練已成體系，日常軍務自有石勇等將領操持，無需他再過多分神。
此時接手講武堂事宜，正是恰逢其時。
旋即，他將話題引回最初：「陛下，既設講武堂，則對待燕國公一系勛貴，便不宜打壓過甚。」
「臣意，可令燕國公鄭傑，暫交出京營提督之職，由陛下親自接管。」
「同時，命泰寧伯范毅等勛臣中尚可堪用者，仿照虎賁右衛之操典，全力整訓京營士卒，大力裁汰老弱。」
「另遣錦衣衛遣員入駐各營，充作督導，監察整訓過程及軍紀風氣。」
「至於燕國公本人及其舊部將領，則可令其率先進入講武堂學習，待其順利畢業，取得文憑之後，再量才酌績，另行授予軍中職務。」
「如此，既懲戒其前敗，予其改過自新之途，亦安了勛貴之心，更彰顯朝廷法度與恩典，各方皆無話可說。」
姬琰聽完，深以為然，此計既全了朝廷體面，又給了鄭傑等勛貴台階，更將京營兵權的過渡與軍官的培養巧妙結合，實在是老成謀國之見。
「便依懷遠所奏！」敲定了兩樁大事，他心情極好。
陸臨川再次躬身：「為國效力，臣之本分。」
幾位閣老面面相覷，都有些不滿。
皇帝什麼都聽陸臨川的，那還叫我們過來做什麼？
御書房議事後，陸臨川並未在宮中過多停留。
回到陸府，他徑直去了外書房。
連日征戰與政務繁忙，他已許久未曾靜心執筆。
如今京畿匪患暫平，講武堂之事雖已定下基調，但具體章程尚需時日醞釀，倒是難得偷得半日閒。
更重要的是，《民聲通聞》的主筆前幾日已委婉催稿數次。
《三國演義》因剿匪之事已停更許久，讀者來信堆積如山，再不斷更，怕是有人要心生疑慮了。
書房內靜悄悄的，只聞墨香與紙頁的微響。
陸臨川鋪開宣紙，磨墨潤筆，思緒沉入那波瀾壯闊的英雄時代，筆下漸漸流淌出漢末的風雲際會。
不知過了多久，門外傳來輕輕的叩擊聲。
「先生？」一個清柔婉轉的聲音響起，是程令儀。
陸臨川筆尖一頓，抬起頭：「程姑娘？進來吧。」
書房門被輕輕推開，程令儀端著一盞新沏的茶走了進來。
她今日穿著一身素雅的淺青襦裙，髮髻簡單綰起，更襯得脖頸修長，氣質沉靜。
她先將茶盞輕放在書案一角，目光快速掃過案上墨跡未乾的稿紙，看到了《三國演義》的字樣，眼中掠過一絲瞭然與不易察覺的好奇，隨即規規矩矩地行了一禮。
「打擾先生了。」她聲音裡帶著一絲恰到好處的歉意，「方才見先生回府後便入了書房，想必勞神。」
「令儀新沏了盞雨前，或許可為您稍解疲乏。」
「此外……確有一事困擾心中許久，百思不得其解，冒昧想來請教先生，不知先生此刻是否得空？」
陸臨川放下筆，溫和一笑：「來得正好，我也寫得有些乏了。有何疑難，但說無妨。」
他指了指旁邊的椅子示意她坐下。
程令儀並未立刻坐下，而是從袖中取出一張寫滿了演算過程的紙，雙手奉上，神色略顯赧然：「先生，是關於算學的問題。我近日研讀您此前賜下的那捲算學手稿，其中提及勾股定理，言『勾股各自乘，並而開方除之，得弦』。」
「正是。」陸臨川點頭，示意她繼續。
「我依此演算，若勾、股各為一尺，則弦方為二尺。然則……此『二尺』之數，究竟為何數？」程令儀秀眉微蹙，「我嘗試了諸多方法，卻發現無論為何等小數，其自乘皆無法恰好等於二。」
「仿佛此數……此數並非尋常之數，無法以整數或分數盡述。」
「這……這究竟是為何？是我演算有誤，還是確有如此之數？」
陸臨川聞言，略感到驚喜，沒想到程令儀竟能通過自學和演算，獨自觸摸到「無理數」這個概念的門檻。
其實，中國古代數學家對無理數早有接觸。
早在《九章算術》中「開方術」便已涉及非完全平方數的開方問題，魏晉時期的劉徽在《九章算術注》中更首創「割圓術」，以極限思想計算圓周率，其過程已隱含對無理數的認知。
只是受限於「算籌」體系和「萬物皆可表示為分數」的傳統觀念，並未將其明確作為一種獨立的「數」來系統定義和研究。
「程姑娘，你非但無錯，反而察覺到了一個極要緊的關竅。」陸臨川的聲音帶著毫不掩飾的讚賞，「你所遇之數，確實無法用整數或分數精確表示。」
「此類數，可稱之為『無理數』。」
「無…理數？」程令儀重複著這個陌生的詞彙，若有所思。
「正是。」陸臨川拿起筆，在一旁的草稿紙上寫下√2的符號，「此數，即『根號二』，便是最典型之一。」
「它確實存在，如你方才所言，是邊長為『一』之正方形的對角線長，依據勾股定理，其長必為√2。」
「它並非虛無，只是其小數表示無窮無盡且永不循環，故無法以分數窮盡。」
他接著便詳細解釋了無理數的概念，並以√2為例，簡要說明了其性質，以及為何它無法化為分數。
他還提到了圓周率π也是這樣一個無理數。
程令儀聽得極為專注，時而恍然，時而凝思。
陸臨川深入淺出的講解，將她多日來的困惑一一掃清。
「原來如此……竟有如此之數，並非算學有缺，而是天地之理本就如此精微深邃！」程令儀喃喃自語，臉上漸漸煥發出一種豁然開朗的欣喜與激動，仿佛推開了一扇通往新世界的大門。
她抬起頭，目光灼灼地看向陸臨川，鄭重地再次行禮：「學生愚鈍，經先生點撥，茅塞頓開！多謝先生教誨！」
陸臨川見她如此神情，心中更是欣慰。
這姑娘不僅有天分，更有對學問的真摯熱愛與鑽研精神，在這個時代實屬鳳毛麟角。
「不必多禮。」他笑容愈發溫和，「你能想到此節，已遠超常人。」
「算學之道，浩如煙海，此類問題只是其一。」
「日後若再遇疑難，無論大小，皆可隨時來問我。」
他這話說得極為真誠，等於給了程令儀隨時可以敲響他書房門探討學術的特權。
程令儀心中湧起一股暖流，臉頰微暈，忙垂下眼睫掩飾：「先生厚愛，令儀感激不盡，定當勤勉用心，不負先生期望。」
她頓了頓，見陸臨川案上稿紙堆積，知他公務繁巨，便乖巧地告辭：「先生尚有要務，令儀不便再擾，這便告退了。」
「好，去吧。若再有所得，亦可記錄下來，你我一同參詳。」陸臨川頷首，目送她輕緩地退出書房，直到門被輕輕帶上，他才收回目光，重新看向案上的《三國演義》稿紙。
陸臨川躬身領命：「臣，定不辱命。」
國債發行已步入正軌，有張淮等能吏坐鎮公債署，足以應付日常。
上書房的公務因此減輕不少。
而虎賁右衛經此一役，訓練已成體系，日常軍務自有石勇等將領操持，無需他再過多分神。
此時接手講武堂事宜，正是恰逢其時。
旋即，他將話題引回最初：「陛下，既設講武堂，則對待燕國公一系勛貴，便不宜打壓過甚。」
「臣意，可令燕國公鄭傑，暫交出京營提督之職，由陛下親自接管。」
「同時，命泰寧伯范毅等勛臣中尚可堪用者，仿照虎賁右衛之操典，全力整訓京營士卒，大力裁汰老弱。」
「另遣錦衣衛遣員入駐各營，充作督導，監察整訓過程及軍紀風氣。」
「至於燕國公本人及其舊部將領，則可令其率先進入講武堂學習，待其順利畢業，取得文憑之後，再量才酌績，另行授予軍中職務。」
「如此，既懲戒其前敗，予其改過自新之途，亦安了勛貴之心，更彰顯朝廷法度與恩典，各方皆無話可說。」
姬琰聽完，深以為然，此計既全了朝廷體面，又給了鄭傑等勛貴台階，更將京營兵權的過渡與軍官的培養巧妙結合，實在是老成謀國之見。
「便依懷遠所奏！」敲定了兩樁大事，他心情極好。
陸臨川再次躬身：「為國效力，臣之本分。」
幾位閣老面面相覷，都有些不滿。
皇帝什麼都聽陸臨川的，那還叫我們過來做什麼？
御書房議事後，陸臨川並未在宮中過多停留。
回到陸府，他徑直去了外書房。
連日征戰與政務繁忙，他已許久未曾靜心執筆。
如今京畿匪患暫平，講武堂之事雖已定下基調，但具體章程尚需時日醞釀，倒是難得偷得半日閒。
更重要的是，《民聲通聞》的主筆前幾日已委婉催稿數次。
《三國演義》因剿匪之事已停更許久，讀者來信堆積如山，再不斷更，怕是有人要心生疑慮了。
書房內靜悄悄的，只聞墨香與紙頁的微響。
陸臨川鋪開宣紙，磨墨潤筆，思緒沉入那波瀾壯闊的英雄時代，筆下漸漸流淌出漢末的風雲際會。
不知過了多久，門外傳來輕輕的叩擊聲。
「先生？」一個清柔婉轉的聲音響起，是程令儀。
陸臨川筆尖一頓，抬起頭：「程姑娘？進來吧。」
書房門被輕輕推開，程令儀端著一盞新沏的茶走了進來。
她今日穿著一身素雅的淺青襦裙，髮髻簡單綰起，更襯得脖頸修長，氣質沉靜。
她先將茶盞輕放在書案一角，目光快速掃過案上墨跡未乾的稿紙，看到了《三國演義》的字樣，眼中掠過一絲瞭然與不易察覺的好奇，隨即規規矩矩地行了一禮。
「打擾先生了。」她聲音裡帶著一絲恰到好處的歉意，「方才見先生回府後便入了書房，想必勞神。」
「令儀新沏了盞雨前，或許可為您稍解疲乏。」
「此外……確有一事困擾心中許久，百思不得其解，冒昧想來請教先生，不知先生此刻是否得空？」
陸臨川放下筆，溫和一笑：「來得正好，我也寫得有些乏了。有何疑難，但說無妨。」
他指了指旁邊的椅子示意她坐下。
程令儀並未立刻坐下，而是從袖中取出一張寫滿了演算過程的紙，雙手奉上，神色略顯赧然：「先生，是關於算學的問題。我近日研讀您此前賜下的那捲算學手稿，其中提及勾股定理，言『勾股各自乘，並而開方除之，得弦』。」
「正是。」陸臨川點頭，示意她繼續。
「我依此演算，若勾、股各為一尺，則弦方為二尺。然則……此『二尺』之數，究竟為何數？」程令儀秀眉微蹙，「我嘗試了諸多方法，卻發現無論為何等小數，其自乘皆無法恰好等於二。」
「仿佛此數……此數並非尋常之數，無法以整數或分數盡述。」
「這……這究竟是為何？是我演算有誤，還是確有如此之數？」
陸臨川聞言，略感到驚喜，沒想到程令儀竟能通過自學和演算，獨自觸摸到「無理數」這個概念的門檻。
其實，中國古代數學家對無理數早有接觸。
早在《九章算術》中「開方術」便已涉及非完全平方數的開方問題，魏晉時期的劉徽在《九章算術注》中更首創「割圓術」，以極限思想計算圓周率，其過程已隱含對無理數的認知。
只是受限於「算籌」體系和「萬物皆可表示為分數」的傳統觀念，並未將其明確作為一種獨立的「數」來系統定義和研究。
「程姑娘，你非但無錯，反而察覺到了一個極要緊的關竅。」陸臨川的聲音帶著毫不掩飾的讚賞，「你所遇之數，確實無法用整數或分數精確表示。」
「此類數，可稱之為『無理數』。」
「無…理數？」程令儀重複著這個陌生的詞彙，若有所思。
「正是。」陸臨川拿起筆，在一旁的草稿紙上寫下√2的符號，「此數，即『根號二』，便是最典型之一。」
「它確實存在，如你方才所言，是邊長為『一』之正方形的對角線長，依據勾股定理，其長必為√2。」
「它並非虛無，只是其小數表示無窮無盡且永不循環，故無法以分數窮盡。」
他接著便詳細解釋了無理數的概念，並以√2為例，簡要說明了其性質，以及為何它無法化為分數。
他還提到了圓周率π也是這樣一個無理數。
程令儀聽得極為專注，時而恍然，時而凝思。
陸臨川深入淺出的講解，將她多日來的困惑一一掃清。
「原來如此……竟有如此之數，並非算學有缺，而是天地之理本就如此精微深邃！」程令儀喃喃自語，臉上漸漸煥發出一種豁然開朗的欣喜與激動，仿佛推開了一扇通往新世界的大門。
她抬起頭，目光灼灼地看向陸臨川，鄭重地再次行禮：「學生愚鈍，經先生點撥，茅塞頓開！多謝先生教誨！」
陸臨川見她如此神情，心中更是欣慰。
這姑娘不僅有天分，更有對學問的真摯熱愛與鑽研精神，在這個時代實屬鳳毛麟角。
「不必多禮。」他笑容愈發溫和，「你能想到此節，已遠超常人。」
「算學之道，浩如煙海，此類問題只是其一。」
「日後若再遇疑難，無論大小，皆可隨時來問我。」
他這話說得極為真誠，等於給了程令儀隨時可以敲響他書房門探討學術的特權。
程令儀心中湧起一股暖流，臉頰微暈，忙垂下眼睫掩飾：「先生厚愛，令儀感激不盡，定當勤勉用心，不負先生期望。」
她頓了頓，見陸臨川案上稿紙堆積，知他公務繁巨，便乖巧地告辭：「先生尚有要務，令儀不便再擾，這便告退了。」
「好，去吧。若再有所得，亦可記錄下來，你我一同參詳。」陸臨川頷首，目送她輕緩地退出書房，直到門被輕輕帶上，他才收回目光，重新看向案上的《三國演義》稿紙。