第13章碾壓孟國偉
「更難的？」陳平看向那個高個子男生。
「對。」高個子男生往椅背上一靠，雙臂交叉在胸前，「單純比記憶，說白了就是考誰腦子裡的硬碟容量大，但真正的腦力不止是記東西，還包括運算速度、邏輯推理、空間想像等能力。」
他偏頭看了孟國偉一眼，「孟哥，你說呢？」
孟國偉沒有立刻接話，他嘴上說不錯，但輸給一個高三學生，心裡不可能一點波動都沒有。
「也行。」
他把筆放下，語氣依舊平和，但措辭明顯比剛才更認真了，「上次是比單純的記憶力，我們這次比的難度高一級。」
他轉頭看向黑框眼鏡女生，「你幫忙找一下，競賽級別的數論、組合、解析幾何，來幾道有含金量的。」
黑框眼鏡女生劃了幾下平板，眼睛一亮：「找到了，去年全國高中數學聯賽的複試題庫……這樣吧，我挑三道，一道數論，一道組合計數，一道函數方程。
都是省二等獎以上的難度，規則一樣，限時二十分鐘，做完就交，比正確率和用時。
公平起見，我用平板投屏，兩個人同時看題，同時在紙上作答。」
她把平板架在桌子正中間的支架上，屏幕朝向兩個人。
旁邊幾個人自動圍成了一個半圓，高個子男生收起之前那副看戲的表情，搬了把椅子坐下來。
第一道題投在屏幕上：數論，求證：對任意正整數n，n⁵-n能被30整除。
陳平讀完題，腦子裡瞬間彈出費馬小定理和同餘式。
n⁵-n=n(n-1)(n+1)(n²+1)，連續三個整數的乘積必被6整除，再分別證能被5整除。
用模5同餘，n≡0，±1，±2時各自代入驗證，三十秒內思路就通了。
他低頭開始寫證明過程，筆尖在紙上刷刷地響。
孟國偉也幾乎同時落筆，兩個人的證明思路幾乎一模一樣，都是分解因式加同餘討論。
這道題兩個人打平，用時都在兩分鐘以內。
第二道題：組合計數，一個10×10的棋盤，每行每列恰好放兩個棋子，問有多少種不同的放法。
這道題的難度，明顯比上一道高了一個檔次。
高個子男生湊過來看了一眼題目，倒吸一口涼氣，小聲說了句：「這也太變態了。」
孟國偉在草稿紙上列了一個10×10的矩陣模型，眉頭微微皺起，筆尖在紙上點了好幾下才開始寫。
計數問題用容斥原理和生成函數都可以，但中間的分類討論極其繁瑣，稍不留神就會漏算重複排列。
陳平沒有急著動筆，專注、強化記憶、心齋三重疊加之下，他的大腦正在高速運轉。
他放棄了孟國偉那種直接硬算的路線，轉而用置換矩陣的等價類來歸約，每行每列恰好兩個棋子，等價於一個2-正則二部圖的完美匹配計數，可以用積和式展開，但10階積和式直接算還是太複雜。
他靈光一閃，想到用遞推關係：設a_n為n×n棋盤的方案數，建立a_n與a_{n-1}、a_{n-2}的遞推式，然後從a_1=0、a_2=1開始往上推。
他在草稿紙上快速演算了遞推公式的推導過程，確認邊界條件無誤，然後開始逐級遞推。
推到a_10的時候，數字已經很大了，但他的大腦在三重技能疊加下像一個精密的計算器，每一步遞推都清清楚楚。
他寫下平終答案的時候，孟國偉還在草稿紙上做第四種情況的分類。
陳平把答案紙翻過來扣在桌上，看了一眼計時器——十一分二十三秒。
孟國偉在第十四分鐘完成了作答。
黑框眼鏡女生核對答案，兩個人都是對的。
但陳平的遞推法比孟國維的分類討論簡潔了將近一半的步驟，用時也少了將近三分鐘。
高個子男生拿起陳平的草稿紙看了半天，嘴裡嘟囔了一句：「遞推都想到了，這人腦子裡裝的是編譯器嗎。」
第三道題：函數方程。
求所有函數f: R→R，滿足對任意實數x，y，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)。
陳平看到這道題，瞳孔微微縮了一下。
這是函數方程里的經典題型，柯西型加餘弦型函數的混合。
他在強化記憶的加持下，瞬間調出了之前刷過的一套函數方程專題卷，裡面有一道幾乎一模一樣的題。
唯一的區別，是右邊係數是2f(x)f(y)而不是f(x)f(y)，這個係數差異會導致平終解的結構完全不同。
他花了三十秒回憶標準解法：先取特殊值x=y=0推出f(0)的值，再取y=0推出f(x)的奇偶性，然後取特殊值逐步推導f(x)的具體形式。
他取x=y=0，代入得2f(0)=2f(0)²，f(0)=0或1。
分情況討論。f(0)=0時，取y=0代入得2f(x)=2f(x)f(0)=0，f(x)≡0，一個平凡解。
f(0)=1時，取y=0代入得2f(x)=2f(x)，恆成立，沒有額外約束。
再取x=0代入得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，推出f(-y)=f(y)，偶函數。
接下來取y=x代入得f(2x)+f(0)=2f(x)²，即f(2x)=2f(x)²-1。
這個遞推關係，讓他想到了餘弦的二倍角公式cos2θ=2cos²θ-1。
令f(x)=cos(kx)，代入原方程驗證，cos(k(x+y))+cos(k(x-y))=2cos(kx)cos(ky)，這是三角恆等式，恆成立。
所以解是f(x)=0，或者f(x)=cos(kx)，k為任意實數。
他寫到這裡，心跳忽然漏了一拍。
他的推導從頭到尾嚴密無缺，但平後這個結果讓他不太舒服，題目問的是「求所有函數」，他找到了f(x)=0和f(x)=cos(kx)，但這真的是全部嗎？有沒有可能存在不可測函數？
他盯著自己寫的平後一行，三重技能疊加帶來的思維清晰度讓他捕捉到了證明中的一個小缺口。
從f(2x)=2f(x)²-1推不出f一定是餘弦函數，除非默認f是連續函數。
而題目沒有給連續性條件。
陳平猶豫了兩秒，在答案末尾補了一段註記：若f為連續函數，則解為f(x)=0或f(x)=cos(kx)；
若不預設連續性，可能存在其他非連續解，需要選擇公理構造Hamel基。
寫完這段註記，他扣筆。
計時器顯示十五分二十秒。
孟國偉還在寫，他的答案紙已經寫滿了大半張。
陳平注意到他的推導路線和自己前三分之二基本一致，但到了平後一步，孟國偉直接寫出了f(x)=cos(kx)的結論，沒有討論連續性假設的問題。
平終用時，孟國偉十八分零四秒。
黑框眼鏡女生把兩張答案紙並排放在桌上，其他幾個人也湊過來。
她先核對了兩人的答案，然後目光落在陳平平後那段註記上，眉毛微微揚起。
她把註記指給孟國偉看。
孟國偉低頭看了將近半分鐘。然後他把陳平的答案紙放下來，摘下眼鏡用衣角擦了擦，重新戴上。
他靠在椅背上，沉默了片刻，然後嘴角浮起一絲弧度，帶著點自嘲，但更多的是坦蕩。
「這道題是去年省賽的一道真題，參考答案就是f(x)=0和f(x)=cos(kx)。全省幾十個一等獎，沒有一個人在試卷上討論過連續性假設。」他重新戴上眼鏡，語氣平和，「你連Hamel基都想到了，這種東西普通高中生根本不可能知道。」
高個子男生把陳平的答案紙拿過去從頭到尾看了一遍，放下紙：「第一場記憶力贏，第二場連數學競賽題都能壓孟哥一頭，還在答案里挑出題人的毛病，你是不是從小就被外星人抓去改造過腦子？」
其他幾個人的表情也和剛來的時候完全不同了。
原本以為是嘉豪，沒想到是裝嘉豪呀。
黑框眼鏡女生收起平板，把陳平的聯繫方式要了過去。
孟國偉站起來，主動伸出手：「今天我是真服了，沒什麼好說的。」
「而且，忘了跟你說了，我是華清基礎數學碩士畢業，也是高中競賽老師，早就看過這幾道題，所以提前肯定有了思路，沒想到這都贏不了。」
看過，想要完完全全的寫出來，當中也是有著大量的推理過程。
這等於是提前知曉一部分答案，卻仍然比不上對方。
對方的腦力，或者說智商，應該遠在他之上。
陳平伸出手和他握了一下，他也感覺到孟學長的實力恐怖。
可是在三大技能的加持之下，即使是腦力不如孟國偉，他輸的可能性實在是太小了。
就在兩個人的手碰到的瞬間，面板彈了出來。
【檢測到「出色」學生職業，是否複製其職業匹配度？提升職業匹配度。】
【匹配度正在複製……】
【所需時間：3小時】
陳平不動聲色地鬆開手，在心裡默念了一聲。
【是】
三個小時，比他複製「一般」等級時的兩小時多了一小時。
看樣子，想要複製到出色級別的職業匹配度，需要相處的時間要比之前長得多。
孟國偉開口說道：「所以，你今天就是來找我比試的？」
既然不是嘉豪的話，難不成是單純來炫耀自己的智商？
孟國偉身邊幾個朋友也感到很奇怪。
陳平很誠實的說道：「真的。」
孟國偉又問道：「那你接下來想幹什麼？」
陳平開口說道：「就待在你身邊就足夠了。」
孟國偉頓時感覺菊花一緊，莫不成自己在引狼入室。
但隨後，他就覺得自己想多了。
不就是待在自己身邊嗎，說不定他就是在欣賞自己。
只是那雙眼睛，究竟在期待些什麼？
「對。」高個子男生往椅背上一靠，雙臂交叉在胸前，「單純比記憶，說白了就是考誰腦子裡的硬碟容量大，但真正的腦力不止是記東西，還包括運算速度、邏輯推理、空間想像等能力。」
他偏頭看了孟國偉一眼，「孟哥，你說呢？」
孟國偉沒有立刻接話，他嘴上說不錯，但輸給一個高三學生，心裡不可能一點波動都沒有。
「也行。」
他把筆放下，語氣依舊平和，但措辭明顯比剛才更認真了，「上次是比單純的記憶力，我們這次比的難度高一級。」
他轉頭看向黑框眼鏡女生，「你幫忙找一下，競賽級別的數論、組合、解析幾何，來幾道有含金量的。」
黑框眼鏡女生劃了幾下平板，眼睛一亮：「找到了，去年全國高中數學聯賽的複試題庫……這樣吧，我挑三道，一道數論，一道組合計數，一道函數方程。
都是省二等獎以上的難度，規則一樣，限時二十分鐘，做完就交，比正確率和用時。
公平起見，我用平板投屏，兩個人同時看題，同時在紙上作答。」
她把平板架在桌子正中間的支架上，屏幕朝向兩個人。
旁邊幾個人自動圍成了一個半圓，高個子男生收起之前那副看戲的表情，搬了把椅子坐下來。
第一道題投在屏幕上：數論，求證：對任意正整數n，n⁵-n能被30整除。
陳平讀完題，腦子裡瞬間彈出費馬小定理和同餘式。
n⁵-n=n(n-1)(n+1)(n²+1)，連續三個整數的乘積必被6整除，再分別證能被5整除。
用模5同餘，n≡0，±1，±2時各自代入驗證，三十秒內思路就通了。
他低頭開始寫證明過程，筆尖在紙上刷刷地響。
孟國偉也幾乎同時落筆，兩個人的證明思路幾乎一模一樣，都是分解因式加同餘討論。
這道題兩個人打平，用時都在兩分鐘以內。
第二道題：組合計數，一個10×10的棋盤，每行每列恰好放兩個棋子，問有多少種不同的放法。
這道題的難度，明顯比上一道高了一個檔次。
高個子男生湊過來看了一眼題目，倒吸一口涼氣，小聲說了句：「這也太變態了。」
孟國偉在草稿紙上列了一個10×10的矩陣模型，眉頭微微皺起，筆尖在紙上點了好幾下才開始寫。
計數問題用容斥原理和生成函數都可以，但中間的分類討論極其繁瑣，稍不留神就會漏算重複排列。
陳平沒有急著動筆，專注、強化記憶、心齋三重疊加之下，他的大腦正在高速運轉。
他放棄了孟國偉那種直接硬算的路線，轉而用置換矩陣的等價類來歸約，每行每列恰好兩個棋子，等價於一個2-正則二部圖的完美匹配計數，可以用積和式展開，但10階積和式直接算還是太複雜。
他靈光一閃，想到用遞推關係：設a_n為n×n棋盤的方案數，建立a_n與a_{n-1}、a_{n-2}的遞推式，然後從a_1=0、a_2=1開始往上推。
他在草稿紙上快速演算了遞推公式的推導過程，確認邊界條件無誤，然後開始逐級遞推。
推到a_10的時候，數字已經很大了，但他的大腦在三重技能疊加下像一個精密的計算器，每一步遞推都清清楚楚。
他寫下平終答案的時候，孟國偉還在草稿紙上做第四種情況的分類。
陳平把答案紙翻過來扣在桌上，看了一眼計時器——十一分二十三秒。
孟國偉在第十四分鐘完成了作答。
黑框眼鏡女生核對答案，兩個人都是對的。
但陳平的遞推法比孟國維的分類討論簡潔了將近一半的步驟，用時也少了將近三分鐘。
高個子男生拿起陳平的草稿紙看了半天，嘴裡嘟囔了一句：「遞推都想到了，這人腦子裡裝的是編譯器嗎。」
第三道題：函數方程。
求所有函數f: R→R，滿足對任意實數x，y，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)。
陳平看到這道題，瞳孔微微縮了一下。
這是函數方程里的經典題型，柯西型加餘弦型函數的混合。
他在強化記憶的加持下，瞬間調出了之前刷過的一套函數方程專題卷，裡面有一道幾乎一模一樣的題。
唯一的區別，是右邊係數是2f(x)f(y)而不是f(x)f(y)，這個係數差異會導致平終解的結構完全不同。
他花了三十秒回憶標準解法：先取特殊值x=y=0推出f(0)的值，再取y=0推出f(x)的奇偶性，然後取特殊值逐步推導f(x)的具體形式。
他取x=y=0，代入得2f(0)=2f(0)²，f(0)=0或1。
分情況討論。f(0)=0時，取y=0代入得2f(x)=2f(x)f(0)=0，f(x)≡0，一個平凡解。
f(0)=1時，取y=0代入得2f(x)=2f(x)，恆成立，沒有額外約束。
再取x=0代入得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，推出f(-y)=f(y)，偶函數。
接下來取y=x代入得f(2x)+f(0)=2f(x)²，即f(2x)=2f(x)²-1。
這個遞推關係，讓他想到了餘弦的二倍角公式cos2θ=2cos²θ-1。
令f(x)=cos(kx)，代入原方程驗證，cos(k(x+y))+cos(k(x-y))=2cos(kx)cos(ky)，這是三角恆等式，恆成立。
所以解是f(x)=0，或者f(x)=cos(kx)，k為任意實數。
他寫到這裡，心跳忽然漏了一拍。
他的推導從頭到尾嚴密無缺，但平後這個結果讓他不太舒服，題目問的是「求所有函數」，他找到了f(x)=0和f(x)=cos(kx)，但這真的是全部嗎？有沒有可能存在不可測函數？
他盯著自己寫的平後一行，三重技能疊加帶來的思維清晰度讓他捕捉到了證明中的一個小缺口。
從f(2x)=2f(x)²-1推不出f一定是餘弦函數，除非默認f是連續函數。
而題目沒有給連續性條件。
陳平猶豫了兩秒，在答案末尾補了一段註記：若f為連續函數，則解為f(x)=0或f(x)=cos(kx)；
若不預設連續性，可能存在其他非連續解，需要選擇公理構造Hamel基。
寫完這段註記，他扣筆。
計時器顯示十五分二十秒。
孟國偉還在寫，他的答案紙已經寫滿了大半張。
陳平注意到他的推導路線和自己前三分之二基本一致，但到了平後一步，孟國偉直接寫出了f(x)=cos(kx)的結論，沒有討論連續性假設的問題。
平終用時，孟國偉十八分零四秒。
黑框眼鏡女生把兩張答案紙並排放在桌上，其他幾個人也湊過來。
她先核對了兩人的答案，然後目光落在陳平平後那段註記上，眉毛微微揚起。
她把註記指給孟國偉看。
孟國偉低頭看了將近半分鐘。然後他把陳平的答案紙放下來，摘下眼鏡用衣角擦了擦，重新戴上。
他靠在椅背上，沉默了片刻，然後嘴角浮起一絲弧度，帶著點自嘲，但更多的是坦蕩。
「這道題是去年省賽的一道真題，參考答案就是f(x)=0和f(x)=cos(kx)。全省幾十個一等獎，沒有一個人在試卷上討論過連續性假設。」他重新戴上眼鏡，語氣平和，「你連Hamel基都想到了，這種東西普通高中生根本不可能知道。」
高個子男生把陳平的答案紙拿過去從頭到尾看了一遍，放下紙：「第一場記憶力贏，第二場連數學競賽題都能壓孟哥一頭，還在答案里挑出題人的毛病，你是不是從小就被外星人抓去改造過腦子？」
其他幾個人的表情也和剛來的時候完全不同了。
原本以為是嘉豪，沒想到是裝嘉豪呀。
黑框眼鏡女生收起平板，把陳平的聯繫方式要了過去。
孟國偉站起來，主動伸出手：「今天我是真服了，沒什麼好說的。」
「而且，忘了跟你說了，我是華清基礎數學碩士畢業，也是高中競賽老師，早就看過這幾道題，所以提前肯定有了思路，沒想到這都贏不了。」
看過，想要完完全全的寫出來，當中也是有著大量的推理過程。
這等於是提前知曉一部分答案，卻仍然比不上對方。
對方的腦力，或者說智商，應該遠在他之上。
陳平伸出手和他握了一下，他也感覺到孟學長的實力恐怖。
可是在三大技能的加持之下，即使是腦力不如孟國偉，他輸的可能性實在是太小了。
就在兩個人的手碰到的瞬間，面板彈了出來。
【檢測到「出色」學生職業，是否複製其職業匹配度？提升職業匹配度。】
【匹配度正在複製……】
【所需時間：3小時】
陳平不動聲色地鬆開手，在心裡默念了一聲。
【是】
三個小時，比他複製「一般」等級時的兩小時多了一小時。
看樣子，想要複製到出色級別的職業匹配度，需要相處的時間要比之前長得多。
孟國偉開口說道：「所以，你今天就是來找我比試的？」
既然不是嘉豪的話，難不成是單純來炫耀自己的智商？
孟國偉身邊幾個朋友也感到很奇怪。
陳平很誠實的說道：「真的。」
孟國偉又問道：「那你接下來想幹什麼？」
陳平開口說道：「就待在你身邊就足夠了。」
孟國偉頓時感覺菊花一緊，莫不成自己在引狼入室。
但隨後，他就覺得自己想多了。
不就是待在自己身邊嗎，說不定他就是在欣賞自己。
只是那雙眼睛，究竟在期待些什麼？