第17章 十大數學難題之一
「姐，你這道題出得太簡單了，通過對稱分析與換元，直接就能秒了，連我都能很快做出來，不可能難住羅倫的。」
愛德華在一旁搖頭晃腦地點評道：「對他來說太淺顯了，一點挑戰性都沒有。」
伊莎貝爾面無表情，假裝沒聽到弟弟的話，默默抬起蔥白修長的手指頭往前方點了點，就見羅倫所在空間的那塊淡金色面板上，出現了『答案正確』的字跡。
下一秒，面板翻頁，第二題出現。
姐弟二人視野中的羅倫，只盯著第二題看了幾秒，便執筆在面板上開始作答。
愛德華見狀，聲音在一旁適時響起：
「這種多邊形結構與代數證明相結合的題目，羅倫最擅長了，姐，你怎麼儘是出這種簡單的題目啊，雖然我很希望你看在我的面子上，不要太過為難羅倫，但也別太放水了啊，否則……」
「你能不能住嘴？」伊莎貝爾冷冷地打斷了他的話。
「呃……」愛德華愣了愣，然後一臉委屈地說：「姐，我說的是實話嘛，這第二題羅倫不會超過十分鐘就能解出來，不信你看，要不然我們打個賭，就賭……」
「住嘴，別逼我抽你。」伊莎貝爾那雙深邃含霜的美目，狠狠割了眼愛德華。
「……」愛德華立刻閉上嘴，不再出聲了。
但他對第二題的預測，並沒有出錯。
儘管相較於第一題，第二題的難度有所提升，可對羅倫而言，依舊是一道送分題，他只花了七分多鐘便完成了解答。
接下來的第三題和第四題，難度再次拔升，涉及到了微積分的知識。
只不過，所謂的難度提升是以伊莎貝爾與愛德華的視角來看的，在羅倫的眼界中，題目反而還變得更加簡單了一些。
他的書寫與解答，穩穩噹噹，像是在排兵布陣進行戰鬥，待他解答完畢，戰鬥也就跟著結束了。
伊莎貝爾那張端莊優雅的鵝蛋臉上，雖是沒太大表情，但目光卻死死鎖定著羅倫的解答過程，眼裡的光芒越來越亮，越來越熾熱。
沒有親眼見識過羅倫的數學水平之前，以她的性格，無論別人說得多麼天花亂墜，她心底都會保留著一絲懷疑。
然而現在，親眼目睹了羅倫將自己精心挑選出來的四道題，快速而準確地完成解答，她心底的那絲疑慮，直接煙消雲散。
至於第五題……
第五題就是一道湊數的題，很難很難，而且十分特殊。
當然，她也根本就不奢望羅倫能解答出來。
不過，在她旁邊，好一陣閉嘴沒出聲的愛德華，在看到第五題的題目內容後，瞬間就繃不住了。
「不是，姐，你怎麼把這道題放上去了？這不是弗根猜想嗎？你是不是搞錯了呀！」愛德華緊皺著眉頭，不顧會被姐姐抽巴掌的後果，急忙開口問道。
「你剛才不是說，我出的題太簡單了麼，現在給他上上難度，不好嗎？」伊莎貝爾此刻心情不錯，清冷的嗓音里透著一絲莞爾之意。
「姐你別鬧！」愛德華極度無語，沒好氣地嘀咕道：「你那是上難度麼，你那分明就是在故意刁難人，這可是弗根猜想，聯邦的十大數學難題之一，連你自己都解不出來……」
伊莎貝爾道：「我是解不出來，但數學天才能解出來。」
愛德華哭笑不得：「姐你真別鬧，再怎麼數學天才，也需要成長和適應的吧，你這一上來就讓人挑戰十大數學難題，也太過分了。」
「你若在修行上也能這麼較真，也不至於……」
「好，我錯了，姐你別提修行的事情了，我錯了，我不該多嘴的。」
愛德華一聽到姐姐又要開始念經說教，頓時一陣頭疼，趕忙認慫打斷了她的『施法』。
伊莎貝爾卻不依不饒：「你啊，修行天資本來也沒那麼差，只要勤奮努力些，別說一次異變，二次異變估計也成了，但你就是不用心，看看與你同齡的那批人，一個個都領先於你了，你就一點都不慌嗎？」
「姐，我最近已經在改變了，我有在努力了，否則也不會招聘羅倫為陪教的，慢慢來嘛。」
愛德華說著，趕緊輕咳著轉移話題道：「說實話姐，你第五題真的出得有些過分了，沒必要那樣的。」
伊莎貝爾道：「過分什麼，又沒指望他能完全做出來，別在那裡瞎擔心。」
與此同時。
答題空間之中。
羅倫盯著淡金色面板上顯現出的第五題，眉頭微微皺了皺，表情有些扭曲。
不是這道題太難，而是這道題出得太奇怪了一些。
【請用四種不同的方法嚴謹證明：如果p是一個素數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（mod p）。】
「這不就是費馬小定理麼，但用四種方法來證明它是什麼鬼？」
羅倫很確定，面板上需要證明的這道題，就是他前世所為人熟知的費馬小定理，同時也是初等數論的四大基本定理之一。
要證明這個問題本身，並不難。
但要用四種不同的方法證明這個問題，卻稍微有些挑戰性。
當然，也只是『稍微』罷了。
羅倫腦子裡下意識冒出來的，便是用群論證明。
「有一種方法，是用群論中的拉格朗日定理來證明，討論有限群與與其子群的關係，構造模p乘法群，p為素數，其階為p-1，直接就能完成證明。」
「不過，群論在這個世界應該還屬於未誕生的概念，不能直接拿來用……」
對於這個世界的前沿數學水平，羅倫現在還處於一個一知半解的狀態。
這裡的民間數學，基本是沒什麼深度的，比較初等。
修行圈內的數學水平無疑要高出一截，但究竟高到了什麼地步，還有待商榷。
從羅倫目前所了解到的信息來看，微積分是已經誕生了的，但微積分具體發展到了哪個階段，他也不太清楚。
而群論這個東西，雖然獨立於微積分之外，但若代數研究與數論研究，沒有深入到一個比較抽象的層次，這玩意兒是不太可能誕生的，因為涉及到了一套新的數學運算規則，要從底層邏輯上進行重構。
當然，也不一定，反正羅倫現在是一頭霧水，比較抓瞎。
回頭得想辦法好好確定一下。
「除了群論證法以外，還有哪些證法呢？」
「歐拉定理，嗯，初等數論中的歐拉定理可以，費馬小定理本來就是歐拉定理的一個特例，只要把歐拉定理弄出來了，費馬小定理就是p為素數時的天然推論。」
「歐拉定理怎麼證來著？我想想……」
勾連上前世資料庫，羅倫稍作回憶，便找出了關於數論歐拉定理的初等證法。
第一種證法搞定，他又開始思索起了第二種證法。
「如果利用多項式x^p-x在域Fp的性質，似乎可以完成證明？不過，用到了域論和多項式環的一些定義……又得跟群論扯上關係，算了算了。」
「換一種思路，如果讓多項式的代數結構與組合不變量產生聯繫，再通過旋轉對稱性，應該也能完成證明？」
羅倫順著這個思路捋了捋，發現若將問題中的模p運算與素數長度項鍊的旋轉對稱性對應起來，也可以走通。
第二種證法搞定。
「記得費馬小定理有一種證法，和二項式展開相關，怎麼證明來著？」
羅倫回想了下，又在前世資料庫里翻了翻，很快有了思路：
「大概是通過二項式定理展開比較係數，利用指數p為素數的特殊性，再結合歸納法，就可證明費馬小定理，嗯，第三種證法也有了。」
「對了，差點把完全剩餘系給忘了，這才是初等數論中證明費馬小定理最基礎的方法啊。」
至此，四種證法，全被羅倫給找齊了。
並且，還都是比較通俗易懂的初等證法，不涉及抽象代數、高等數論與拓撲學等高深知識。
羅倫再次在腦海中梳理了下四種初等證法，沒太大問題，都能走通。
而後，他也不遲疑，調整了下證法次序，便提筆往淡金色面板的空白處書寫起了二項式展開+歸納法的證明過程。
隨著他的書寫，相應的證明內容，也幾乎同步浮現在了伊莎貝爾與愛德華的眼前。
愛德華在一旁搖頭晃腦地點評道：「對他來說太淺顯了，一點挑戰性都沒有。」
伊莎貝爾面無表情，假裝沒聽到弟弟的話，默默抬起蔥白修長的手指頭往前方點了點，就見羅倫所在空間的那塊淡金色面板上，出現了『答案正確』的字跡。
下一秒，面板翻頁，第二題出現。
姐弟二人視野中的羅倫，只盯著第二題看了幾秒，便執筆在面板上開始作答。
愛德華見狀，聲音在一旁適時響起：
「這種多邊形結構與代數證明相結合的題目，羅倫最擅長了，姐，你怎麼儘是出這種簡單的題目啊，雖然我很希望你看在我的面子上，不要太過為難羅倫，但也別太放水了啊，否則……」
「你能不能住嘴？」伊莎貝爾冷冷地打斷了他的話。
「呃……」愛德華愣了愣，然後一臉委屈地說：「姐，我說的是實話嘛，這第二題羅倫不會超過十分鐘就能解出來，不信你看，要不然我們打個賭，就賭……」
「住嘴，別逼我抽你。」伊莎貝爾那雙深邃含霜的美目，狠狠割了眼愛德華。
「……」愛德華立刻閉上嘴，不再出聲了。
但他對第二題的預測，並沒有出錯。
儘管相較於第一題，第二題的難度有所提升，可對羅倫而言，依舊是一道送分題，他只花了七分多鐘便完成了解答。
接下來的第三題和第四題，難度再次拔升，涉及到了微積分的知識。
只不過，所謂的難度提升是以伊莎貝爾與愛德華的視角來看的，在羅倫的眼界中，題目反而還變得更加簡單了一些。
他的書寫與解答，穩穩噹噹，像是在排兵布陣進行戰鬥，待他解答完畢，戰鬥也就跟著結束了。
伊莎貝爾那張端莊優雅的鵝蛋臉上，雖是沒太大表情，但目光卻死死鎖定著羅倫的解答過程，眼裡的光芒越來越亮，越來越熾熱。
沒有親眼見識過羅倫的數學水平之前，以她的性格，無論別人說得多麼天花亂墜，她心底都會保留著一絲懷疑。
然而現在，親眼目睹了羅倫將自己精心挑選出來的四道題，快速而準確地完成解答，她心底的那絲疑慮，直接煙消雲散。
至於第五題……
第五題就是一道湊數的題，很難很難，而且十分特殊。
當然，她也根本就不奢望羅倫能解答出來。
不過，在她旁邊，好一陣閉嘴沒出聲的愛德華，在看到第五題的題目內容後，瞬間就繃不住了。
「不是，姐，你怎麼把這道題放上去了？這不是弗根猜想嗎？你是不是搞錯了呀！」愛德華緊皺著眉頭，不顧會被姐姐抽巴掌的後果，急忙開口問道。
「你剛才不是說，我出的題太簡單了麼，現在給他上上難度，不好嗎？」伊莎貝爾此刻心情不錯，清冷的嗓音里透著一絲莞爾之意。
「姐你別鬧！」愛德華極度無語，沒好氣地嘀咕道：「你那是上難度麼，你那分明就是在故意刁難人，這可是弗根猜想，聯邦的十大數學難題之一，連你自己都解不出來……」
伊莎貝爾道：「我是解不出來，但數學天才能解出來。」
愛德華哭笑不得：「姐你真別鬧，再怎麼數學天才，也需要成長和適應的吧，你這一上來就讓人挑戰十大數學難題，也太過分了。」
「你若在修行上也能這麼較真，也不至於……」
「好，我錯了，姐你別提修行的事情了，我錯了，我不該多嘴的。」
愛德華一聽到姐姐又要開始念經說教，頓時一陣頭疼，趕忙認慫打斷了她的『施法』。
伊莎貝爾卻不依不饒：「你啊，修行天資本來也沒那麼差，只要勤奮努力些，別說一次異變，二次異變估計也成了，但你就是不用心，看看與你同齡的那批人，一個個都領先於你了，你就一點都不慌嗎？」
「姐，我最近已經在改變了，我有在努力了，否則也不會招聘羅倫為陪教的，慢慢來嘛。」
愛德華說著，趕緊輕咳著轉移話題道：「說實話姐，你第五題真的出得有些過分了，沒必要那樣的。」
伊莎貝爾道：「過分什麼，又沒指望他能完全做出來，別在那裡瞎擔心。」
與此同時。
答題空間之中。
羅倫盯著淡金色面板上顯現出的第五題，眉頭微微皺了皺，表情有些扭曲。
不是這道題太難，而是這道題出得太奇怪了一些。
【請用四種不同的方法嚴謹證明：如果p是一個素數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（mod p）。】
「這不就是費馬小定理麼，但用四種方法來證明它是什麼鬼？」
羅倫很確定，面板上需要證明的這道題，就是他前世所為人熟知的費馬小定理，同時也是初等數論的四大基本定理之一。
要證明這個問題本身，並不難。
但要用四種不同的方法證明這個問題，卻稍微有些挑戰性。
當然，也只是『稍微』罷了。
羅倫腦子裡下意識冒出來的，便是用群論證明。
「有一種方法，是用群論中的拉格朗日定理來證明，討論有限群與與其子群的關係，構造模p乘法群，p為素數，其階為p-1，直接就能完成證明。」
「不過，群論在這個世界應該還屬於未誕生的概念，不能直接拿來用……」
對於這個世界的前沿數學水平，羅倫現在還處於一個一知半解的狀態。
這裡的民間數學，基本是沒什麼深度的，比較初等。
修行圈內的數學水平無疑要高出一截，但究竟高到了什麼地步，還有待商榷。
從羅倫目前所了解到的信息來看，微積分是已經誕生了的，但微積分具體發展到了哪個階段，他也不太清楚。
而群論這個東西，雖然獨立於微積分之外，但若代數研究與數論研究，沒有深入到一個比較抽象的層次，這玩意兒是不太可能誕生的，因為涉及到了一套新的數學運算規則，要從底層邏輯上進行重構。
當然，也不一定，反正羅倫現在是一頭霧水，比較抓瞎。
回頭得想辦法好好確定一下。
「除了群論證法以外，還有哪些證法呢？」
「歐拉定理，嗯，初等數論中的歐拉定理可以，費馬小定理本來就是歐拉定理的一個特例，只要把歐拉定理弄出來了，費馬小定理就是p為素數時的天然推論。」
「歐拉定理怎麼證來著？我想想……」
勾連上前世資料庫，羅倫稍作回憶，便找出了關於數論歐拉定理的初等證法。
第一種證法搞定，他又開始思索起了第二種證法。
「如果利用多項式x^p-x在域Fp的性質，似乎可以完成證明？不過，用到了域論和多項式環的一些定義……又得跟群論扯上關係，算了算了。」
「換一種思路，如果讓多項式的代數結構與組合不變量產生聯繫，再通過旋轉對稱性，應該也能完成證明？」
羅倫順著這個思路捋了捋，發現若將問題中的模p運算與素數長度項鍊的旋轉對稱性對應起來，也可以走通。
第二種證法搞定。
「記得費馬小定理有一種證法，和二項式展開相關，怎麼證明來著？」
羅倫回想了下，又在前世資料庫里翻了翻，很快有了思路：
「大概是通過二項式定理展開比較係數，利用指數p為素數的特殊性，再結合歸納法，就可證明費馬小定理，嗯，第三種證法也有了。」
「對了，差點把完全剩餘系給忘了，這才是初等數論中證明費馬小定理最基礎的方法啊。」
至此，四種證法，全被羅倫給找齊了。
並且，還都是比較通俗易懂的初等證法，不涉及抽象代數、高等數論與拓撲學等高深知識。
羅倫再次在腦海中梳理了下四種初等證法，沒太大問題，都能走通。
而後，他也不遲疑，調整了下證法次序，便提筆往淡金色面板的空白處書寫起了二項式展開+歸納法的證明過程。
隨著他的書寫，相應的證明內容，也幾乎同步浮現在了伊莎貝爾與愛德華的眼前。