第五章 大一新生？你說是研究生我都嫌年輕！
「開始證明。」
陸豐把圖紙內容默記在心裡，合上系統面板，從書包里掏出草稿紙開始推。
第一部分的數學基礎還算紮實。
Riemann-Liouville分數階導數的定義他在圖紙上已經看過完整形式，核心是把整數階導數的階乘推廣到Gamma函數，然後用一個積分算子來定義任意階的微分運算。
這一步他能跟上，畢竟下午剛把積分部分系統地過了一遍，底子還熱乎著。
筆尖在草稿紙上飛快地划過，寫滿了第一張。
到Caputo導數的時候，節奏慢了下來。
Caputo的定義和R-L的區別在於微分和積分的順序對調，這導致兩者在處理初始條件時完全不同。
圖紙上給的推導跳了好幾步，中間省略的變換過程需要他自己補全。
陸豐盯著那個從Caputo導數推到Laplace變換的關鍵步驟，筆尖懸在紙面上方，遲遲沒有落下。
這一步需要用到Gamma函數的遞推關係和Beta函數的積分表示，而這兩個東西他下午學的高數課本里根本沒涉及。
「只能硬啃。」
推了半頁紙，繞了個彎子，終於把Γ(α+1)=αΓ(α)這個關係式自己證了出來。
第二張草稿紙寫滿。
進入第二部分物理建模的時候，難度陡然上了一個台階。
圖紙上用分數階微分方程替代了經典的彈簧-阻尼元件，構建出一個廣義的Scott-Blair模型。
這個模型的核心思想是：真實材料的力學響應既不是純彈性的（應力正比於應變），也不是純黏性的（應力正比於應變率），而是介於兩者之間的某種「分數階」行為。
這個概念陸豐能理解。
前世在工廠處理過太多橡膠密封件和高分子複合材料的問題，這些材料的應力鬆弛曲線用經典模型怎麼擬合都對不上，總會偏。
當時他只知道「經典模型不夠用」，但不知道該怎麼修正。
現在圖紙告訴他用分數階導數替代整數階導數，一個參數α就能把彈性和黏性之間的過渡行為連續地描述出來。
「妙是真妙，但推導過程也是真難。」
到第三部分核心推導的時候，陸豐徹底卡住了。
圖紙上用Mittag-Leffler函數作為分數階微分方程的基本解，這個函數他壓根沒見過。
它的定義是一個無窮級數，形式上像是指數函數的推廣，但收斂性質完全不同
圖紙上直接給出了結論，中間的收斂性證明和Laplace逆變換的過程全部跳過。
陸豐試著自己推，在草稿紙上寫了大半頁，發現怎麼都走不通。
級數的逐項積分需要一致收斂的條件，而Mittag-Leffler函數在某些參數取值下的收斂性並不是顯然的。
他換了個思路，試著從Laplace變換的角度反過來推，先假設解的形式，再代入原方程驗證。
又寫了半頁，走到一個需要用到留數定理的地方，卡死了。
複變函數的內容他還沒學。
第三張、第四張草稿紙陸續寫滿，桌面上鋪開了一片。
有些地方畫了圈標註「待驗證」，有些地方直接劃了叉表示此路不通。
陸豐放下筆，揉了揉太陽穴。
「一個小時了，核心推導部分只推進了不到三分之一。」
剩下的部分涉及的數學工具超出了他目前的知識儲備，強推只會越走越偏。
但他並不沮喪。
」羅馬又不是一天建成的「
剩下的部分不急，等他把複變函數和數學分析的基礎補上之後再回來啃，效率會高得多。
窗外的天色已經暗下來了，圖書館的日光燈不知什麼時候亮了起來。
陸豐看了眼手機，19:47。
「該去吃晚飯了。」
他把草稿紙疊好，夾進課本里。
然後目光落在桌上那幾本高數書上。
同濟版的《高等數學》上下冊，加上那本習題集，下午他只過完了上冊的內容，下冊的多元函數微積分、曲線曲面積分、無窮級數這些還沒碰。
而且上冊里很多拓展題他只看了題目沒來得及動筆，那些題出得相當有水平，比正文例題難了不止一個檔次。
帶回宿舍繼續看。
陸豐把三本書摞在一起，抱著走向門口的管理台。
管理台後面坐著的還是下午那個戴眼鏡的女生，正對著電腦屏幕錄入什麼數據。
聽到腳步聲，她抬起頭。
「借書？」
「對，這三本。」陸豐把書放在檯面上。
「學生證或者學號。」
「12031047。」
女生在鍵盤上敲了幾下，頓了一下：「12打頭的？大一新生？」
「嗯。」
她的目光從屏幕移到陸豐抱著的那摞書上，《高等數學》上下冊加習題集，三本加起來少說有五六厘米厚。
大一新生，九月底，課程表上的高數課才剛講到第二章極限，這人直接把整套書都借走了？
又一個三分鐘熱度的，所有大一新生都無法避免的，剛開學都是鬥志滿滿，開學三個月後就是宿舍床上躺。
到最後還書的時候，要不是丟了，要不是原封原樣的換回來，翻都沒翻過。
那個女生看了他一眼，在系統里錄入借閱信息。
「最長借閱期限三十天，不要在書上塗寫標註，不要折頁，如果有破損需要按原價賠償。」
「沒問題。」
陸豐簽完字，把書塞進書包里，轉身離開圖書館。
他沒注意到，自己剛才坐的那個靠窗位置上，有一張草稿紙從課本里滑了出來，靜靜地躺在桌面上。
.........
葉國棟今晚值班。
港城大學數學系的教師值班制度是個老傳統了，每周輪一次，值班的老師晚上要待在辦公室處理學生答疑和批改作業。
但葉國棟不喜歡在辦公室待著，他習慣把作業抱到圖書館來改。
二樓理工科區域晚上人少，安靜，燈光也比辦公室的日光燈柔和。
葉國棟到的時候差不多七點半。
他挑了個靠窗的位置坐下。
他餘光掃到旁邊桌面上有張紙。
一張草稿紙，A4大小，上面寫得密密麻麻。
應該是之前坐這個位置的學生留下的。
葉國棟本來沒當回事，圖書館裡學生留下草稿紙太常見了。
但他的視線無意間掃過紙面上的一行字，整個人突然頓住了。
Γ(α+1)=αΓ(α)，下面緊跟著一段完整的分部積分推導過程。
這不是課本上直接抄的。
課本上給這個遞推關係就是一行結論，最多附一句「由分部積分易得」。
但這張草稿紙上，推導過程寫了整整半頁，每一步變換都標註得清清楚楚，連積分上下限在變換後的處理都沒有省略。
葉國棟把草稿紙拿起來，仔細看下去，眉頭不自覺地皺了起來。
不是因為寫得不好，恰恰相反。
寫得太好了。
這些內容完全超出了本科高數的範疇，屬於數學分析甚至泛函分析的領域。
而且寫這張草稿紙中間有好幾處嘗試了不同的推導路徑。
這是一個人在獨立思考的痕跡。
而且思考的方向非常準確，即便是走不通的那些路徑，也都有合理的出發點，不是瞎試。
他在港大數學系教了十幾年書，帶過無數學生。
能在大三階段自己推出Gamma函數遞推關係的學生，十個裡面有兩三個。
能理解分數階導數概念的，可能十個裡面有一個。
但能把分數階導數和本構方程聯繫到一起，還試圖獨立推導Mittag-Leffler函數的Laplace變換性質。
他教過的學生里，一個都沒有。
這張草稿紙的主人是誰？
葉國棟站起身，抱著草稿紙走向門口的管理台。
那個戴眼鏡的女生還在，正在整理當天的借閱記錄。
「同學，麻煩問一下，今天下午靠窗倒數第二排那個位置，你有印象嗎？」
女生想了想：「那個位置今天就一個人坐了一整天，下午還來借了三本高數的書。」
「哪個院的？」
「學號12打頭的，大一新生，機械專業一班的。」女生調出借閱記錄看了一眼。
葉國棟愣住了。
大一新生？
你說這是研究生做的我都嫌他小，結果你告訴我是大一新生搞得？
葉國棟也是深吸了一口氣，仿佛也是下定某種決心。
陸豐把圖紙內容默記在心裡，合上系統面板，從書包里掏出草稿紙開始推。
第一部分的數學基礎還算紮實。
Riemann-Liouville分數階導數的定義他在圖紙上已經看過完整形式，核心是把整數階導數的階乘推廣到Gamma函數，然後用一個積分算子來定義任意階的微分運算。
這一步他能跟上，畢竟下午剛把積分部分系統地過了一遍，底子還熱乎著。
筆尖在草稿紙上飛快地划過，寫滿了第一張。
到Caputo導數的時候，節奏慢了下來。
Caputo的定義和R-L的區別在於微分和積分的順序對調，這導致兩者在處理初始條件時完全不同。
圖紙上給的推導跳了好幾步，中間省略的變換過程需要他自己補全。
陸豐盯著那個從Caputo導數推到Laplace變換的關鍵步驟，筆尖懸在紙面上方，遲遲沒有落下。
這一步需要用到Gamma函數的遞推關係和Beta函數的積分表示，而這兩個東西他下午學的高數課本里根本沒涉及。
「只能硬啃。」
推了半頁紙，繞了個彎子，終於把Γ(α+1)=αΓ(α)這個關係式自己證了出來。
第二張草稿紙寫滿。
進入第二部分物理建模的時候，難度陡然上了一個台階。
圖紙上用分數階微分方程替代了經典的彈簧-阻尼元件，構建出一個廣義的Scott-Blair模型。
這個模型的核心思想是：真實材料的力學響應既不是純彈性的（應力正比於應變），也不是純黏性的（應力正比於應變率），而是介於兩者之間的某種「分數階」行為。
這個概念陸豐能理解。
前世在工廠處理過太多橡膠密封件和高分子複合材料的問題，這些材料的應力鬆弛曲線用經典模型怎麼擬合都對不上，總會偏。
當時他只知道「經典模型不夠用」，但不知道該怎麼修正。
現在圖紙告訴他用分數階導數替代整數階導數，一個參數α就能把彈性和黏性之間的過渡行為連續地描述出來。
「妙是真妙，但推導過程也是真難。」
到第三部分核心推導的時候，陸豐徹底卡住了。
圖紙上用Mittag-Leffler函數作為分數階微分方程的基本解，這個函數他壓根沒見過。
它的定義是一個無窮級數，形式上像是指數函數的推廣，但收斂性質完全不同
圖紙上直接給出了結論，中間的收斂性證明和Laplace逆變換的過程全部跳過。
陸豐試著自己推，在草稿紙上寫了大半頁，發現怎麼都走不通。
級數的逐項積分需要一致收斂的條件，而Mittag-Leffler函數在某些參數取值下的收斂性並不是顯然的。
他換了個思路，試著從Laplace變換的角度反過來推，先假設解的形式，再代入原方程驗證。
又寫了半頁，走到一個需要用到留數定理的地方，卡死了。
複變函數的內容他還沒學。
第三張、第四張草稿紙陸續寫滿，桌面上鋪開了一片。
有些地方畫了圈標註「待驗證」，有些地方直接劃了叉表示此路不通。
陸豐放下筆，揉了揉太陽穴。
「一個小時了，核心推導部分只推進了不到三分之一。」
剩下的部分涉及的數學工具超出了他目前的知識儲備，強推只會越走越偏。
但他並不沮喪。
」羅馬又不是一天建成的「
剩下的部分不急，等他把複變函數和數學分析的基礎補上之後再回來啃，效率會高得多。
窗外的天色已經暗下來了，圖書館的日光燈不知什麼時候亮了起來。
陸豐看了眼手機，19:47。
「該去吃晚飯了。」
他把草稿紙疊好，夾進課本里。
然後目光落在桌上那幾本高數書上。
同濟版的《高等數學》上下冊，加上那本習題集，下午他只過完了上冊的內容，下冊的多元函數微積分、曲線曲面積分、無窮級數這些還沒碰。
而且上冊里很多拓展題他只看了題目沒來得及動筆，那些題出得相當有水平，比正文例題難了不止一個檔次。
帶回宿舍繼續看。
陸豐把三本書摞在一起，抱著走向門口的管理台。
管理台後面坐著的還是下午那個戴眼鏡的女生，正對著電腦屏幕錄入什麼數據。
聽到腳步聲，她抬起頭。
「借書？」
「對，這三本。」陸豐把書放在檯面上。
「學生證或者學號。」
「12031047。」
女生在鍵盤上敲了幾下，頓了一下：「12打頭的？大一新生？」
「嗯。」
她的目光從屏幕移到陸豐抱著的那摞書上，《高等數學》上下冊加習題集，三本加起來少說有五六厘米厚。
大一新生，九月底，課程表上的高數課才剛講到第二章極限，這人直接把整套書都借走了？
又一個三分鐘熱度的，所有大一新生都無法避免的，剛開學都是鬥志滿滿，開學三個月後就是宿舍床上躺。
到最後還書的時候，要不是丟了，要不是原封原樣的換回來，翻都沒翻過。
那個女生看了他一眼，在系統里錄入借閱信息。
「最長借閱期限三十天，不要在書上塗寫標註，不要折頁，如果有破損需要按原價賠償。」
「沒問題。」
陸豐簽完字，把書塞進書包里，轉身離開圖書館。
他沒注意到，自己剛才坐的那個靠窗位置上，有一張草稿紙從課本里滑了出來，靜靜地躺在桌面上。
.........
葉國棟今晚值班。
港城大學數學系的教師值班制度是個老傳統了，每周輪一次，值班的老師晚上要待在辦公室處理學生答疑和批改作業。
但葉國棟不喜歡在辦公室待著，他習慣把作業抱到圖書館來改。
二樓理工科區域晚上人少，安靜，燈光也比辦公室的日光燈柔和。
葉國棟到的時候差不多七點半。
他挑了個靠窗的位置坐下。
他餘光掃到旁邊桌面上有張紙。
一張草稿紙，A4大小，上面寫得密密麻麻。
應該是之前坐這個位置的學生留下的。
葉國棟本來沒當回事，圖書館裡學生留下草稿紙太常見了。
但他的視線無意間掃過紙面上的一行字，整個人突然頓住了。
Γ(α+1)=αΓ(α)，下面緊跟著一段完整的分部積分推導過程。
這不是課本上直接抄的。
課本上給這個遞推關係就是一行結論，最多附一句「由分部積分易得」。
但這張草稿紙上，推導過程寫了整整半頁，每一步變換都標註得清清楚楚，連積分上下限在變換後的處理都沒有省略。
葉國棟把草稿紙拿起來，仔細看下去，眉頭不自覺地皺了起來。
不是因為寫得不好，恰恰相反。
寫得太好了。
這些內容完全超出了本科高數的範疇，屬於數學分析甚至泛函分析的領域。
而且寫這張草稿紙中間有好幾處嘗試了不同的推導路徑。
這是一個人在獨立思考的痕跡。
而且思考的方向非常準確，即便是走不通的那些路徑，也都有合理的出發點，不是瞎試。
他在港大數學系教了十幾年書，帶過無數學生。
能在大三階段自己推出Gamma函數遞推關係的學生，十個裡面有兩三個。
能理解分數階導數概念的，可能十個裡面有一個。
但能把分數階導數和本構方程聯繫到一起，還試圖獨立推導Mittag-Leffler函數的Laplace變換性質。
他教過的學生里，一個都沒有。
這張草稿紙的主人是誰？
葉國棟站起身，抱著草稿紙走向門口的管理台。
那個戴眼鏡的女生還在，正在整理當天的借閱記錄。
「同學，麻煩問一下，今天下午靠窗倒數第二排那個位置，你有印象嗎？」
女生想了想：「那個位置今天就一個人坐了一整天，下午還來借了三本高數的書。」
「哪個院的？」
「學號12打頭的，大一新生，機械專業一班的。」女生調出借閱記錄看了一眼。
葉國棟愣住了。
大一新生？
你說這是研究生做的我都嫌他小，結果你告訴我是大一新生搞得？
葉國棟也是深吸了一口氣，仿佛也是下定某種決心。