第十六章 ：曹穩：我覺得你可以試試！
不得不說，周培源老先生的教學方式和葛軍的教學方式幾乎是兩個完全相反的方向。
後者的教學風格以毒舌嘲諷結合教導『如何思考』為核心，是用最狠的話，講最透的理。
刀子嘴，豆腐心，罵得最凶的時候，恰好在給你鋪好通往真理的台階和基石。
而周老先生卻完全不同，他就像是古代一位風度翩翩、溫和的老師，說話不急不緩，帶著一種讓人不自覺放鬆下來的從容。
他的字跡在書頁上浮現時，筆畫中永遠是那麼的從容緩和，不見一絲火氣。
哪怕韓川同一個問題問了三遍，周老也只是溫和地換一種說法再講一遍，循循善誘的引導他思考。
兩個不同的老師，完全不同的風格。
如果說葛軍教他的是招式，那麼周培源老先生教他的更像是內功。
入夜，當窗外的一輪明月升起時，韓川也總算是將手中的物理試卷全部做完了。
《理論力學》教材上，一行字跡浮現了出來，帶著溫和的笑意。
「小韓，早些休息。學習也不是一朝一夕的事，有什麼不懂的，隨時可以問我。」
韓川把桌上的試卷和草稿紙收好，點點頭，道：「好！」
......
在家過了兩天的假期後，帶著老媽李秀梅給他準備的兩罐子肉菜，韓川搭車返校回歸了正常的高中生活。
在葛軍和周培源的指點下，他對自己的學習計劃重新做了規劃。
畢竟現在他已經有兩個不同學科的書靈指導他的學習了，時間和精力也自然需要重點規劃到數學和物理這兩門課程上。
思索著，韓川在筆記本上寫下了新的規劃。
白天學校的課程不做動搖，但早自習和午間休息的時間抽出一個小時學習數學。
而晚上的兩節自習則用來彌補物理上的不足，以及偶爾去辦公室找數學老師曹穩提問。
雖然說他有葛軍和周培源兩位大佬的教導，數學物理上的問題幾乎可以不用向學校的老師提問。
但曹穩老師確實不同，在他剛開始奮鬥的時候就關注和照顧他了，更是明確的表示過每周一三五的晚自習可以去找他，可以給他補習初中數學和高中數學。
這份恩情韓川肯定是記得的。
當然，他也想讓曹穩見證一下他的成長曆程。
畢竟富貴不還鄉，如錦衣夜行。
以前沒當過學霸，現在當了學霸了還不能讓他感受一下麼？
所以韓川每周都會抽一兩天的時間去高二年級組的數學辦公室找曹老師請教一兩個問題。
日子就這樣一天天的過去，四月中下旬，高二年級組的辦公室中。
看著面前這個學生，曹穩臉上不自覺的露出了一抹笑容。
「來了？」
韓川點點頭，走過去將面前的練習本放到了辦公桌，道：「曹老師，關於這道題，我有些不懂。」
「哪一道？我看看。」
伸手拿過練習本，曹穩看向韓川指向的題目。
【已知函數 f(x)=cos5x+acosx，其中a為實數。】
【（1）當 a=1時，求f(x)在區間[0，π]上的最大值；】
【（2）若對於任意實數 x，都有 f(x)≥0恆成立，求實數a的取值範圍；】
【（3）是否存在實數φ，使得函數.....】
看了眼練習本上的題目，曹穩笑著開口道：「這是一道導數與三角函數結合的問題，核心難點在於三角函數的求導與恆等變形。」
停頓了一下，他看向韓川，指了指旁邊的椅子，笑道：「來，坐過來，我給你仔細講講。」
韓川乖乖的拉過椅子，坐在了一旁。
從辦公桌的抽屜抽出一張A4紙，曹穩拾起原子筆，開口教導道。
「導數與三角函數結合的核心難點在於三角函數具有周期性，無論怎麼求導，三角函數都存在。」
「所以它難以通過多次求導化為簡單多項式函數，這裡就需要轉變一下思維了。」
「比如這個第一問，當 a=1時，求f(x)在區間[0，π]上的最大值。」
「這是最經典的含三角函數的導數問題，需通過求導、化簡導函數、分析導函數正負來確定函數的單調性和極值點。」
一邊說，他一邊在稿紙上寫道：「先對x進行求導，f(x)=cos5x+cosx，得f′(x)=−5sin5x−sinx....」
辦公室中，曹穩一點點的講解著，寫下這一串導數後，筆尖頓了頓，側頭看向韓川。
「求導後，應該怎麼解？」
韓川盯著稿紙上的算式，思索了一會後開口道：「曹老師，這裡能不能用和差化積？」
「嗯？」
曹穩看了他一眼，將手中的筆遞了過來。
韓川接過筆，在稿紙上繼續寫道：「f′(x)=−5sin5x−sinx
=−5[sin3xcos2x+cos3xsin2x]−[sin3xcos2x−cos3xsin2x]
=−5sin3xcos2x−5cos3xsin2x−sin3xcos2x+cos3xsin2x
=−6sin3xcos2x−4cos3xsin2x。」
寫完心中的想法後，他停了下來，看向曹穩有些無奈的開口道：「我感覺它應該能化成一個單一的乘積形式，但我好像寫不出來。」
聽到這話，曹穩看著韓川眼神里多了一絲耐人尋味的東西，好奇的問道：「你是怎麼想到這個形式的？」
韓川想了想，道：「直覺吧？」
停頓了一下，他補充道：「或者說從一個預算的結果倒推，這些零點都能用sin3xcos2x=0覆蓋，所以我猜它可能是一個類似於−8sin3xcos2x這樣的單一的乘積形式？」
「但我好像推不出來。」
曹穩聽完，沉默了幾秒，緊接著開口道：「推不出來是正常的，你驗算過係數嗎？」
韓川搖頭：「沒有，我只是猜的。」
「那你算一下。」
韓川點點頭，在紙上寫起來。
sin3x=sin·π/2 =1，cos2x=cos·π/3=0.5，sin3xcos2x=0.5。
原導函數−5sin.....
伴隨著推導，一個答案映入了他的眼帘。
【2cos3xcos2x？】
看著面前的算式，韓川自己都有些不相信這麼容易算出了結果。
倒是一旁的曹穩嘴角勾起了一抹笑容，他笑著開口道：「你被『導數壓軸題』這個概念框住了！」
說著，他拿過韓川手中的筆，移過稿紙，在上面寫道：「當a=1a=1時，f(x)=cos5x+cosx=2cos3xcos2xf(x)=cos5x+cosx=2cos3xcos2x，這是一個積的形式，其實不需要求導就能分析最大值！」
看著稿紙上的算式，韓川愣住了，他盯著盯著這個式子看了幾秒，忽然眼睛一亮：「和差化積！」
曹穩笑著點點頭，道：「對！」
略微停頓了一下，他接著解釋道：「你看到這道題的第一反應是『這是導數題，所以我應該求導』，而不是『這是求最值的問題，我應該先看看函數本身能不能化簡』。」
「這不怪你，因為這種思維定式，即便是很多高三的學生也跳不出來。」
「但你剛才的表現讓我很意外，因為你發現求導後的化簡很繁瑣時，你沒有放棄，而是嘗試了多種拆法來嘗試。」
「甚至最後還根據特殊點去反推導函數的形式。」
「這種思維靈活性和探索精神，比會做這道題本身更難得。」
說到這，他看向韓川，有些感慨地開口道：「我教書這麼多年，見過一屆又一屆的學生，其中不乏考上了清北的天才，也有參加競賽的學生。」
「但能夠在一個多月的時間裡從初中基礎都不足的情況下追趕到能在高考上拿一百三四十分的，你還是頭一個。」
「你剛剛詢問的這道題目，難度放到高考中，也是壓軸題的那種。」
「雖然現在你還沒法完全解出來，但差的也只是一點底子而已。按照你這個狀態學習下去，要不了多久你就能獨自解決這種難題了。」
辦公室中，聽到曹穩這麼誇讚自己，韓川靦腆地笑了笑，拍了個馬屁道：「都是曹老師您教的好，要不是您每周一三五都給我補習，我哪裡能進步這麼快。」
曹穩搖搖頭，道：「我給你補了多少的知識我自己很清楚，最核心的還是你自己的努力和天賦。」
停頓了一下，他看向韓川，接著問道：「韓川，你有沒有想過參加數學競賽？」
「數學競賽？」
韓川愣了一下，問道：「奧賽嗎？我現在還差得遠吧。」
對於競賽，他倒是知道，那是真學霸真大佬雲集的地方。
曹穩笑著道：「不用妄自菲薄，你現在有這個資格。」
「而且以你的學習速度，現在才四月底，等到九月開始的時候，肯定能殺出重圍。」
說著，他從抽屜里拿出一份藍色封面的文件，遞了過來：「奧賽也就是全國高中數學聯賽，是IMO競賽下國內CMO競賽的名字。」
「咱們縣一中每年都有名額，但往年咱們年級能拿獎的很少，上一次有學生進國賽，已經是好幾年前的事情了。」
「不過今年嘛......」
他看著韓川，眼神裡帶著認真。
「我覺得你可以試試。」
.....
後者的教學風格以毒舌嘲諷結合教導『如何思考』為核心，是用最狠的話，講最透的理。
刀子嘴，豆腐心，罵得最凶的時候，恰好在給你鋪好通往真理的台階和基石。
而周老先生卻完全不同，他就像是古代一位風度翩翩、溫和的老師，說話不急不緩，帶著一種讓人不自覺放鬆下來的從容。
他的字跡在書頁上浮現時，筆畫中永遠是那麼的從容緩和，不見一絲火氣。
哪怕韓川同一個問題問了三遍，周老也只是溫和地換一種說法再講一遍，循循善誘的引導他思考。
兩個不同的老師，完全不同的風格。
如果說葛軍教他的是招式，那麼周培源老先生教他的更像是內功。
入夜，當窗外的一輪明月升起時，韓川也總算是將手中的物理試卷全部做完了。
《理論力學》教材上，一行字跡浮現了出來，帶著溫和的笑意。
「小韓，早些休息。學習也不是一朝一夕的事，有什麼不懂的，隨時可以問我。」
韓川把桌上的試卷和草稿紙收好，點點頭，道：「好！」
......
在家過了兩天的假期後，帶著老媽李秀梅給他準備的兩罐子肉菜，韓川搭車返校回歸了正常的高中生活。
在葛軍和周培源的指點下，他對自己的學習計劃重新做了規劃。
畢竟現在他已經有兩個不同學科的書靈指導他的學習了，時間和精力也自然需要重點規劃到數學和物理這兩門課程上。
思索著，韓川在筆記本上寫下了新的規劃。
白天學校的課程不做動搖，但早自習和午間休息的時間抽出一個小時學習數學。
而晚上的兩節自習則用來彌補物理上的不足，以及偶爾去辦公室找數學老師曹穩提問。
雖然說他有葛軍和周培源兩位大佬的教導，數學物理上的問題幾乎可以不用向學校的老師提問。
但曹穩老師確實不同，在他剛開始奮鬥的時候就關注和照顧他了，更是明確的表示過每周一三五的晚自習可以去找他，可以給他補習初中數學和高中數學。
這份恩情韓川肯定是記得的。
當然，他也想讓曹穩見證一下他的成長曆程。
畢竟富貴不還鄉，如錦衣夜行。
以前沒當過學霸，現在當了學霸了還不能讓他感受一下麼？
所以韓川每周都會抽一兩天的時間去高二年級組的數學辦公室找曹老師請教一兩個問題。
日子就這樣一天天的過去，四月中下旬，高二年級組的辦公室中。
看著面前這個學生，曹穩臉上不自覺的露出了一抹笑容。
「來了？」
韓川點點頭，走過去將面前的練習本放到了辦公桌，道：「曹老師，關於這道題，我有些不懂。」
「哪一道？我看看。」
伸手拿過練習本，曹穩看向韓川指向的題目。
【已知函數 f(x)=cos5x+acosx，其中a為實數。】
【（1）當 a=1時，求f(x)在區間[0，π]上的最大值；】
【（2）若對於任意實數 x，都有 f(x)≥0恆成立，求實數a的取值範圍；】
【（3）是否存在實數φ，使得函數.....】
看了眼練習本上的題目，曹穩笑著開口道：「這是一道導數與三角函數結合的問題，核心難點在於三角函數的求導與恆等變形。」
停頓了一下，他看向韓川，指了指旁邊的椅子，笑道：「來，坐過來，我給你仔細講講。」
韓川乖乖的拉過椅子，坐在了一旁。
從辦公桌的抽屜抽出一張A4紙，曹穩拾起原子筆，開口教導道。
「導數與三角函數結合的核心難點在於三角函數具有周期性，無論怎麼求導，三角函數都存在。」
「所以它難以通過多次求導化為簡單多項式函數，這裡就需要轉變一下思維了。」
「比如這個第一問，當 a=1時，求f(x)在區間[0，π]上的最大值。」
「這是最經典的含三角函數的導數問題，需通過求導、化簡導函數、分析導函數正負來確定函數的單調性和極值點。」
一邊說，他一邊在稿紙上寫道：「先對x進行求導，f(x)=cos5x+cosx，得f′(x)=−5sin5x−sinx....」
辦公室中，曹穩一點點的講解著，寫下這一串導數後，筆尖頓了頓，側頭看向韓川。
「求導後，應該怎麼解？」
韓川盯著稿紙上的算式，思索了一會後開口道：「曹老師，這裡能不能用和差化積？」
「嗯？」
曹穩看了他一眼，將手中的筆遞了過來。
韓川接過筆，在稿紙上繼續寫道：「f′(x)=−5sin5x−sinx
=−5[sin3xcos2x+cos3xsin2x]−[sin3xcos2x−cos3xsin2x]
=−5sin3xcos2x−5cos3xsin2x−sin3xcos2x+cos3xsin2x
=−6sin3xcos2x−4cos3xsin2x。」
寫完心中的想法後，他停了下來，看向曹穩有些無奈的開口道：「我感覺它應該能化成一個單一的乘積形式，但我好像寫不出來。」
聽到這話，曹穩看著韓川眼神里多了一絲耐人尋味的東西，好奇的問道：「你是怎麼想到這個形式的？」
韓川想了想，道：「直覺吧？」
停頓了一下，他補充道：「或者說從一個預算的結果倒推，這些零點都能用sin3xcos2x=0覆蓋，所以我猜它可能是一個類似於−8sin3xcos2x這樣的單一的乘積形式？」
「但我好像推不出來。」
曹穩聽完，沉默了幾秒，緊接著開口道：「推不出來是正常的，你驗算過係數嗎？」
韓川搖頭：「沒有，我只是猜的。」
「那你算一下。」
韓川點點頭，在紙上寫起來。
sin3x=sin·π/2 =1，cos2x=cos·π/3=0.5，sin3xcos2x=0.5。
原導函數−5sin.....
伴隨著推導，一個答案映入了他的眼帘。
【2cos3xcos2x？】
看著面前的算式，韓川自己都有些不相信這麼容易算出了結果。
倒是一旁的曹穩嘴角勾起了一抹笑容，他笑著開口道：「你被『導數壓軸題』這個概念框住了！」
說著，他拿過韓川手中的筆，移過稿紙，在上面寫道：「當a=1a=1時，f(x)=cos5x+cosx=2cos3xcos2xf(x)=cos5x+cosx=2cos3xcos2x，這是一個積的形式，其實不需要求導就能分析最大值！」
看著稿紙上的算式，韓川愣住了，他盯著盯著這個式子看了幾秒，忽然眼睛一亮：「和差化積！」
曹穩笑著點點頭，道：「對！」
略微停頓了一下，他接著解釋道：「你看到這道題的第一反應是『這是導數題，所以我應該求導』，而不是『這是求最值的問題，我應該先看看函數本身能不能化簡』。」
「這不怪你，因為這種思維定式，即便是很多高三的學生也跳不出來。」
「但你剛才的表現讓我很意外，因為你發現求導後的化簡很繁瑣時，你沒有放棄，而是嘗試了多種拆法來嘗試。」
「甚至最後還根據特殊點去反推導函數的形式。」
「這種思維靈活性和探索精神，比會做這道題本身更難得。」
說到這，他看向韓川，有些感慨地開口道：「我教書這麼多年，見過一屆又一屆的學生，其中不乏考上了清北的天才，也有參加競賽的學生。」
「但能夠在一個多月的時間裡從初中基礎都不足的情況下追趕到能在高考上拿一百三四十分的，你還是頭一個。」
「你剛剛詢問的這道題目，難度放到高考中，也是壓軸題的那種。」
「雖然現在你還沒法完全解出來，但差的也只是一點底子而已。按照你這個狀態學習下去，要不了多久你就能獨自解決這種難題了。」
辦公室中，聽到曹穩這麼誇讚自己，韓川靦腆地笑了笑，拍了個馬屁道：「都是曹老師您教的好，要不是您每周一三五都給我補習，我哪裡能進步這麼快。」
曹穩搖搖頭，道：「我給你補了多少的知識我自己很清楚，最核心的還是你自己的努力和天賦。」
停頓了一下，他看向韓川，接著問道：「韓川，你有沒有想過參加數學競賽？」
「數學競賽？」
韓川愣了一下，問道：「奧賽嗎？我現在還差得遠吧。」
對於競賽，他倒是知道，那是真學霸真大佬雲集的地方。
曹穩笑著道：「不用妄自菲薄，你現在有這個資格。」
「而且以你的學習速度，現在才四月底，等到九月開始的時候，肯定能殺出重圍。」
說著，他從抽屜里拿出一份藍色封面的文件，遞了過來：「奧賽也就是全國高中數學聯賽，是IMO競賽下國內CMO競賽的名字。」
「咱們縣一中每年都有名額，但往年咱們年級能拿獎的很少，上一次有學生進國賽，已經是好幾年前的事情了。」
「不過今年嘛......」
他看著韓川，眼神裡帶著認真。
「我覺得你可以試試。」
.....