第25章 應該能滿分吧
10月2日上午8點，高聯正式開考。
第一場，一試，考試時間是8:00–9:20，共 80分鐘。
拿到試卷後，林硯大致掃了一眼。
一試試卷只有11道題，8道選擇題，總分120分。
考試範圍不超高中大綱，內容與高考一致，但解題方法和綜合難度更高。
開考之前，大家都在傳，說今年的考卷難度相比往年會大很多。
林硯看了下，倒是不太覺得，主要是很多題的計算量蠻大的。
這種題主要考驗考生的高中知識基本功，如果基礎不夯實，稍微卡下殼，時間可能就不夠，題目做不完。
林硯其實不太喜歡這類題目，因為能取巧的不多。
好在他知識體系足夠完善，除了多算幾步外，沒什麼難度，距離考試還有15分鐘，他便將試卷做完了。
一試過後，中間休息20分鐘，然後開始二試。
和一試相比，二試才是真正的競賽題，是拉開得分差距的考試。
如果說一試考的是速度、計算、基礎，那麼二試考的就是智商、思路、構造能力。
可以說，二試的成績決定了你能否得省一，進省隊。
二試的題目不多，一共六道題，全是解答題，總分280分。
其中前四道題型是固定的，每年幾乎都是1幾何+ 1代數+ 1數論+ 1組合，而後兩道則是附加題，題型不固定，難度卻直線上升。
第一題便是道幾何證明題，難度對林硯來說算是開胃菜，他稍加思索便有了答案。
這道題，前後不過5分鐘，他便輕鬆地解答完畢。
第二道題考的是代數不等式，這道題對普通學生來說，挺難的，因為涉及柯西不等式、分式放縮，以及琴聲不等式，需要互相結合解題。
不過，這對林硯來說，小菜一碟，他最擅長的就是這類題型，解過很多道了。
第三道題考的是數論，林硯也頗為輕鬆地解答完了。
第四道題就稍微有點意思了，這是道組合題。
【S={1，2，…，2026}，任取 1014個數，證明：必有兩數，一數是另一數的倍數。】
林硯看完題目，稍一思索，這不抽屜原理麼？
他提筆開始解答：
對任意正整數 x，可唯一寫成：x=2k⋅m，其中m為奇數
把集合S按奇數m劃分抽屜：奇數取值：1，3，5，…，2025......
四道題全部解完，前後差不多也就才花了半個小時。
不是說今年題目很難麼，好像也不難吧。
接下來，開始解決附加題。
據說，數學尖子與學霸、天才之間的差距就體現在附加題。
附一：【已知正實數 a，b，c，證明：a /√(a²+ 8bc)+ b /√(b²+ 8ac)+ c /√(c²+ 8ab)≥ 1】
俗話說，題目字越少，難度越大。
顯然，這道題，還真不簡單。
林硯看著題目，輕輕轉動手中的筆，忽然，他嘴角露出了一絲笑意。
有了！
像眼前這種高階分式不等式，不能用普通柯西硬套，根本解不出來的。
這道題想解出來，得用冪均不等式+齊次化+放縮，三者同一發力才行。
林硯落筆寫下：
【解：不等式齊次，不妨設 abc = 1。
先證局部放縮引理：a /√(a²+ 8bc)≥ a^(4/3)/(a^(4/3)+ b^(4/3)+ c^(4/3))
兩邊平方交叉化簡可證成立。
三式相加：∑ a /√(a²+ 8bc)≥∑ a^(4/3)/∑ a^(4/3)= 1
原式得證。】
到了最後一道附加題，還真把林硯卡住了。
【求所有正整數 n，使得存在正整數 a， b，滿足 n | aⁿ+ bⁿ， gcd(a， b)= 1】
這道題50分，但在林硯看來，這道題應該價值100分才對。
在思考和草稿紙上演算過後，林硯忽然靈光一閃，想到了解法，這題不能暴力試數，必須按奇偶、素因子結構分類。
11點半，離考試結束還有一個小時，林硯起身交卷。
正在死磕最後一道附加題的辛羿抬頭看了一眼，沒有在意。
因為林硯並不是第一個提前交卷的人。
此時，考場只有一半左右的考生，很多考生都已經交捲走人了。
監考老師看了眼林硯，以為又是一個充人數的學生答不出後選擇提前交卷，瞄了眼試卷，沒想到試卷上不是想像的空白，而是全寫了。
與此同時，校門口不遠的一家茶飲店，坐滿了人。
其中，有不少是各個學校帶隊的老師們。
鑫城一中、二中的四名老師也坐了一桌，都是一個地方來的，彼此認識，借著等考生的機會喝會茶、聊聊天。
龔駱昇看了眼手機上發來的二試原題，感慨道：「今年的題目確實有難度！」
他也是教數學的，不過近些年更多從事管理工作，數學有些疏於研究了，眼前這道附加題他還真一時半會沒想到合適的解答方式。
「是有點難度。」秦正言點點頭，他也在看題目。
這個時間點，雖然考試還在進行中，但老師們都已經拿到原題了。
「不過，龔主任你就不用擔心了，你們實驗班那個叫韋川的孩子，實力完全是夠的，省一肯定沒什麼問題。」
韋川的數學成績，鑫城不少老師還是清楚的，數次全市模擬考試拿過第一，算是同屆數學最頂尖的那幾個人。
去年大家就覺得他肯定能進省一，甚至是進入省隊，只是沒成想運氣不好，犯了闌尾炎。
聽到秦正言誇獎底下的學生，龔駱昇嘴上難掩笑容。
「你們一中也不差，李佳、王明超都是好苗子，周粵麟也不錯。聽說今年還臨時增加了一個名額，應該是你們的殺手鐧吧，哈哈~」
「殺手鐧談不上，就，有點天賦那種吧。哎，人來了。」
恰好，林硯從門外走了進來。
龔駱昇一看，模樣是挺俊的，但是竟然提前交卷出來了。那些個有實力的考生個個都還在考場，這個卻提前出來，想來實力也不怎麼樣。
秦正言朝林硯招招手，「這邊。」
「諸位老師好。」
「來，坐坐。」秦正言給林硯倒了杯茶，問道：「考得怎麼樣？」
林硯端起來喝了一口，眼神亮了，好茶啊，還是老師們會享受，隨後玩笑的語氣回道：「還行，反正都做完了，應該能滿分吧。」
聽到這樣的回答，旁邊的其他學校的老師們紛紛詫異的看了過來，龔駱昇更是險些把剛喝了茶水噴了出來。
好傢夥，竟然有人敢說考滿分的。
隨後，眾人搖頭輕笑。
這學生，可真會開玩笑！
沒人相信林硯說的是真的，且不說他名不見經傳，這兩年都沒出過滿分的學生，何況今年的題目還明顯更難。
唯獨秦正言笑眯眯地看了眼林硯，相比其他人，他是最清楚林硯實力的，他說能滿分，那至少說明考得肯定不差。
他很想仔細問問情況，不過這裡人太多，也沒沒問出口。
當然，他自然也不會和其他人去解釋什麼，又給林硯續了杯茶時說道：「考完了就在這休息會吧，等他們一起出來。」
第一場，一試，考試時間是8:00–9:20，共 80分鐘。
拿到試卷後，林硯大致掃了一眼。
一試試卷只有11道題，8道選擇題，總分120分。
考試範圍不超高中大綱，內容與高考一致，但解題方法和綜合難度更高。
開考之前，大家都在傳，說今年的考卷難度相比往年會大很多。
林硯看了下，倒是不太覺得，主要是很多題的計算量蠻大的。
這種題主要考驗考生的高中知識基本功，如果基礎不夯實，稍微卡下殼，時間可能就不夠，題目做不完。
林硯其實不太喜歡這類題目，因為能取巧的不多。
好在他知識體系足夠完善，除了多算幾步外，沒什麼難度，距離考試還有15分鐘，他便將試卷做完了。
一試過後，中間休息20分鐘，然後開始二試。
和一試相比，二試才是真正的競賽題，是拉開得分差距的考試。
如果說一試考的是速度、計算、基礎，那麼二試考的就是智商、思路、構造能力。
可以說，二試的成績決定了你能否得省一，進省隊。
二試的題目不多，一共六道題，全是解答題，總分280分。
其中前四道題型是固定的，每年幾乎都是1幾何+ 1代數+ 1數論+ 1組合，而後兩道則是附加題，題型不固定，難度卻直線上升。
第一題便是道幾何證明題，難度對林硯來說算是開胃菜，他稍加思索便有了答案。
這道題，前後不過5分鐘，他便輕鬆地解答完畢。
第二道題考的是代數不等式，這道題對普通學生來說，挺難的，因為涉及柯西不等式、分式放縮，以及琴聲不等式，需要互相結合解題。
不過，這對林硯來說，小菜一碟，他最擅長的就是這類題型，解過很多道了。
第三道題考的是數論，林硯也頗為輕鬆地解答完了。
第四道題就稍微有點意思了，這是道組合題。
【S={1，2，…，2026}，任取 1014個數，證明：必有兩數，一數是另一數的倍數。】
林硯看完題目，稍一思索，這不抽屜原理麼？
他提筆開始解答：
對任意正整數 x，可唯一寫成：x=2k⋅m，其中m為奇數
把集合S按奇數m劃分抽屜：奇數取值：1，3，5，…，2025......
四道題全部解完，前後差不多也就才花了半個小時。
不是說今年題目很難麼，好像也不難吧。
接下來，開始解決附加題。
據說，數學尖子與學霸、天才之間的差距就體現在附加題。
附一：【已知正實數 a，b，c，證明：a /√(a²+ 8bc)+ b /√(b²+ 8ac)+ c /√(c²+ 8ab)≥ 1】
俗話說，題目字越少，難度越大。
顯然，這道題，還真不簡單。
林硯看著題目，輕輕轉動手中的筆，忽然，他嘴角露出了一絲笑意。
有了！
像眼前這種高階分式不等式，不能用普通柯西硬套，根本解不出來的。
這道題想解出來，得用冪均不等式+齊次化+放縮，三者同一發力才行。
林硯落筆寫下：
【解：不等式齊次，不妨設 abc = 1。
先證局部放縮引理：a /√(a²+ 8bc)≥ a^(4/3)/(a^(4/3)+ b^(4/3)+ c^(4/3))
兩邊平方交叉化簡可證成立。
三式相加：∑ a /√(a²+ 8bc)≥∑ a^(4/3)/∑ a^(4/3)= 1
原式得證。】
到了最後一道附加題，還真把林硯卡住了。
【求所有正整數 n，使得存在正整數 a， b，滿足 n | aⁿ+ bⁿ， gcd(a， b)= 1】
這道題50分，但在林硯看來，這道題應該價值100分才對。
在思考和草稿紙上演算過後，林硯忽然靈光一閃，想到了解法，這題不能暴力試數，必須按奇偶、素因子結構分類。
11點半，離考試結束還有一個小時，林硯起身交卷。
正在死磕最後一道附加題的辛羿抬頭看了一眼，沒有在意。
因為林硯並不是第一個提前交卷的人。
此時，考場只有一半左右的考生，很多考生都已經交捲走人了。
監考老師看了眼林硯，以為又是一個充人數的學生答不出後選擇提前交卷，瞄了眼試卷，沒想到試卷上不是想像的空白，而是全寫了。
與此同時，校門口不遠的一家茶飲店，坐滿了人。
其中，有不少是各個學校帶隊的老師們。
鑫城一中、二中的四名老師也坐了一桌，都是一個地方來的，彼此認識，借著等考生的機會喝會茶、聊聊天。
龔駱昇看了眼手機上發來的二試原題，感慨道：「今年的題目確實有難度！」
他也是教數學的，不過近些年更多從事管理工作，數學有些疏於研究了，眼前這道附加題他還真一時半會沒想到合適的解答方式。
「是有點難度。」秦正言點點頭，他也在看題目。
這個時間點，雖然考試還在進行中，但老師們都已經拿到原題了。
「不過，龔主任你就不用擔心了，你們實驗班那個叫韋川的孩子，實力完全是夠的，省一肯定沒什麼問題。」
韋川的數學成績，鑫城不少老師還是清楚的，數次全市模擬考試拿過第一，算是同屆數學最頂尖的那幾個人。
去年大家就覺得他肯定能進省一，甚至是進入省隊，只是沒成想運氣不好，犯了闌尾炎。
聽到秦正言誇獎底下的學生，龔駱昇嘴上難掩笑容。
「你們一中也不差，李佳、王明超都是好苗子，周粵麟也不錯。聽說今年還臨時增加了一個名額，應該是你們的殺手鐧吧，哈哈~」
「殺手鐧談不上，就，有點天賦那種吧。哎，人來了。」
恰好，林硯從門外走了進來。
龔駱昇一看，模樣是挺俊的，但是竟然提前交卷出來了。那些個有實力的考生個個都還在考場，這個卻提前出來，想來實力也不怎麼樣。
秦正言朝林硯招招手，「這邊。」
「諸位老師好。」
「來，坐坐。」秦正言給林硯倒了杯茶，問道：「考得怎麼樣？」
林硯端起來喝了一口，眼神亮了，好茶啊，還是老師們會享受，隨後玩笑的語氣回道：「還行，反正都做完了，應該能滿分吧。」
聽到這樣的回答，旁邊的其他學校的老師們紛紛詫異的看了過來，龔駱昇更是險些把剛喝了茶水噴了出來。
好傢夥，竟然有人敢說考滿分的。
隨後，眾人搖頭輕笑。
這學生，可真會開玩笑！
沒人相信林硯說的是真的，且不說他名不見經傳，這兩年都沒出過滿分的學生，何況今年的題目還明顯更難。
唯獨秦正言笑眯眯地看了眼林硯，相比其他人，他是最清楚林硯實力的，他說能滿分，那至少說明考得肯定不差。
他很想仔細問問情況，不過這裡人太多，也沒沒問出口。
當然，他自然也不會和其他人去解釋什麼，又給林硯續了杯茶時說道：「考完了就在這休息會吧，等他們一起出來。」