第76章 我不知道
周六晚上八點，陳末準時打開手機，登錄鄭明陽發來的視頻會議連結。
這是他們約定好的每周線上討論時間。
屏幕亮起，鄭明陽的臉出現在畫面中。
他戴著老花鏡，背後的書架上密密麻麻全是數學典籍。
旁邊還坐著趙一鳴，手裡端著一杯茶，笑眯眯地看著鏡頭。
「陳末同學，這周布置的抽象代數看得怎麼樣了？」鄭明陽開門見山。
陳末翻開筆記本，上面密密麻麻寫滿了推導。
「看到群論部分了。」他說，「定義和例子基本看懂了，但是……」
「但是什麼？」
「我在想一個問題。」
陳末頓了頓，「群的同態基本定理說，G/kerφ≅ imφ。這個定理是不是可以推廣到環？
如果φ是環同態，那麼R/kerφ≅ imφ作為環同構嗎？」
鄭明陽和趙一鳴同時愣住了。
「你才看了一周，就開始琢磨環同態了？」趙一鳴差點把茶噴出來。
「呃……我在書上看到後面提到了環，就往前翻了翻。」
陳末撓頭，「如果不對的話，您當我沒問。」
「不，你問得很好。」
鄭明陽深吸一口氣，「這個推廣是正確的，只要kerφ是環的理想，那麼商環與像環同構。」
他頓了頓，忍不住問：「你之前真的沒學過抽象代數？」
「真的沒有。」
陳末誠懇地說，「上周您給我書之後才開始看的，看到第三章，覺得群和環的結構很像，就往前試著推了推。」
鄭明陽與趙一鳴隔著屏幕對視一眼。
這種直覺，這種舉一反三的能力，不是教的，是天生刻在腦子裡的。
「好，那我們今天不按計劃走了。」
鄭明陽當機立斷，「你把你這周看的內容，從頭到尾給我講一遍，我想聽聽你的理解。」
陳末也不怯場，翻開筆記本，開始講。
「群是一個集合加上一個運算，滿足封閉性、結合律、單位元、逆元。」
「最簡單的例子是整數加法群，單位元是0，每個數的逆元是它的相反數。」
「對稱群S_n是所有n元置換的集合，它不是交換群，因為先交換再交換和先換別的再換別的不一定一樣。」
他講得條理清晰，偶爾還自己舉例子。
鄭明陽越聽越心驚。
不是因為這些內容有多深，這些都是一年級本科的內容。
而是因為陳末的理解方式，完全不是死記硬背，而是從骨子裡長出來的。
他講群時，是從對稱這個概念出發的，而不是從定義出發。
他把抽象的結構和具體的例子融在一起，講得生動鮮活。
「我有個問題。」
陳末忽然停下，「書上說，如果群G作用在集合X上，那麼軌道的大小整除群的階，這個我理解了，但我不知道這個結論有什麼用？」
「太有用了。」
鄭明陽笑了，「你知道Burnside引理嗎？它就是用來計數的。
比如，用n種顏色給一個正方體的六個面染色，有多少種不同的染法？
如果不考慮旋轉，是n^6，但如果你把旋轉視為群作用，就能用Burnside引理算出真正不同的染法。」
「原來如此。」
陳末眼睛亮了，「所以群是一種對稱操作的數學語言。」
「對！你抓住了本質。」
鄭明陽有些激動，「很多學生學完整本教材都拎不清這句話，你一周就明白了。」
趙一鳴在旁邊默默喝了口茶。
他想起自己當年學群論，花了整整一個月才想明白群是一種對稱的語言這句話，而陳末，一周，自己悟出來的。
人比人，氣死人。
討論繼續。
陳末又問了幾個問題，每一個都切中要害，每一個都讓鄭明陽更確信自己的眼光。
「鄭教授，我還有個問題。」
「你說。」
「您上周給我的書里，提到了伽羅瓦理論，我翻了翻，沒太看懂，但我大致知道，它講的是域擴張和群之間的關係。」
「對，伽羅瓦理論是數學史上最偉大的理論之一，它把高次方程是否有根式解的問題轉化成了一個群論問題。」
「我有個猜想。」
陳末的聲音透過屏幕傳來，帶著一絲不確定，「如果域擴張的伽羅瓦群是可解群，那麼對應的方程就有根式解。
反過來，如果伽羅瓦群不是可解的，比如五次以上的對稱群，那方程就沒有根式解，是這個意思嗎？」
屏幕那頭，鄭明陽手中的筆啪嗒一聲掉在桌上。
「你……」
他的聲音有些發抖，「你看書看到這裡了？」
「只是翻了翻，沒完全懂。」
陳末老實說，「但您剛才講Burnside引理的時候，我忽然想到，那個對應關係是不是有點像，群作用在域上，然後不變量就是中間域？」
「對！非常對！」
鄭明陽猛地拍了一下桌子，「伽羅瓦對應說的就是，中間域和子群之間有一一對應！」
趙一鳴湊到屏幕前，聲音裡帶著不可思議，「陳末，你確定你之前沒學過這些？」
「沒有。」陳末搖頭。
趙一鳴沉默了。
鄭明陽心中也充滿了震撼，過了好一會兒他才想起來，「對了，你這周有做我布置的習題嗎？」
「做了。」
陳末把筆記本舉到攝像頭前。
滿滿二十頁，每一道題都寫了詳細過程，有的題還附了兩種解法。
鄭明陽掃了一眼，眉頭漸漸舒展，然後變成震驚，最後變成一種他許久未曾體驗過的情緒，狂喜！
「這些題是我從研究生習題集裡挑的。」
他喃喃道，「他竟然全做對了，而且有的解法比參考答案還簡潔。」
趙一鳴在一旁補充：「還順手把環同態定理推測出來了。」
兩人對視一眼，都從對方眼中看到了同一個意思，這個學生，必須收！
「陳末同學。」鄭明陽正色道，「我再問你最後一個問題。」
「您說。」
「你有沒有考慮過，將來要做數學家？」
屏幕那頭沉默了片刻。
然後，陳末說了一句讓兩位教授都沒想到的話，「我不知道。」
「我一開始只是不想讓父母失望，想考上好大學，後來學得多了，發現數學真的很美，每次理解一個定理，都像在黑暗中看到一束光。」
「所以我不會現在就給自己設限，數學家也好，工程師也好，只要是在探索未知，我就喜歡。」
鄭明陽怔住了。
他帶過很多學生，有人是為了好工作，有人是為了光宗耀祖，有人是真的熱愛數學，但很少有人能像陳末這樣不設限，只跟隨好奇心。
陳末的野心很大，但他能夠駕馭嗎？
鄭明陽不知道，但陳末還年輕，還有足夠多的試錯空間。
「很好。」鄭明陽笑了，「那我們就順著你的好奇心教，你問什麼，我們講什麼，不講體系，不講順序，只講你想知道的。」
「真的？」陳末眼睛一亮。
「真的。」趙一鳴也笑了，「反正以你的速度，自學也快得很，我們只是在旁邊敲敲邊鼓。」
屏幕上，少年露出了燦爛的笑容。
屏幕前，兩位教授也笑了。
這是他們約定好的每周線上討論時間。
屏幕亮起，鄭明陽的臉出現在畫面中。
他戴著老花鏡，背後的書架上密密麻麻全是數學典籍。
旁邊還坐著趙一鳴，手裡端著一杯茶，笑眯眯地看著鏡頭。
「陳末同學，這周布置的抽象代數看得怎麼樣了？」鄭明陽開門見山。
陳末翻開筆記本，上面密密麻麻寫滿了推導。
「看到群論部分了。」他說，「定義和例子基本看懂了，但是……」
「但是什麼？」
「我在想一個問題。」
陳末頓了頓，「群的同態基本定理說，G/kerφ≅ imφ。這個定理是不是可以推廣到環？
如果φ是環同態，那麼R/kerφ≅ imφ作為環同構嗎？」
鄭明陽和趙一鳴同時愣住了。
「你才看了一周，就開始琢磨環同態了？」趙一鳴差點把茶噴出來。
「呃……我在書上看到後面提到了環，就往前翻了翻。」
陳末撓頭，「如果不對的話，您當我沒問。」
「不，你問得很好。」
鄭明陽深吸一口氣，「這個推廣是正確的，只要kerφ是環的理想，那麼商環與像環同構。」
他頓了頓，忍不住問：「你之前真的沒學過抽象代數？」
「真的沒有。」
陳末誠懇地說，「上周您給我書之後才開始看的，看到第三章，覺得群和環的結構很像，就往前試著推了推。」
鄭明陽與趙一鳴隔著屏幕對視一眼。
這種直覺，這種舉一反三的能力，不是教的，是天生刻在腦子裡的。
「好，那我們今天不按計劃走了。」
鄭明陽當機立斷，「你把你這周看的內容，從頭到尾給我講一遍，我想聽聽你的理解。」
陳末也不怯場，翻開筆記本，開始講。
「群是一個集合加上一個運算，滿足封閉性、結合律、單位元、逆元。」
「最簡單的例子是整數加法群，單位元是0，每個數的逆元是它的相反數。」
「對稱群S_n是所有n元置換的集合，它不是交換群，因為先交換再交換和先換別的再換別的不一定一樣。」
他講得條理清晰，偶爾還自己舉例子。
鄭明陽越聽越心驚。
不是因為這些內容有多深，這些都是一年級本科的內容。
而是因為陳末的理解方式，完全不是死記硬背，而是從骨子裡長出來的。
他講群時，是從對稱這個概念出發的，而不是從定義出發。
他把抽象的結構和具體的例子融在一起，講得生動鮮活。
「我有個問題。」
陳末忽然停下，「書上說，如果群G作用在集合X上，那麼軌道的大小整除群的階，這個我理解了，但我不知道這個結論有什麼用？」
「太有用了。」
鄭明陽笑了，「你知道Burnside引理嗎？它就是用來計數的。
比如，用n種顏色給一個正方體的六個面染色，有多少種不同的染法？
如果不考慮旋轉，是n^6，但如果你把旋轉視為群作用，就能用Burnside引理算出真正不同的染法。」
「原來如此。」
陳末眼睛亮了，「所以群是一種對稱操作的數學語言。」
「對！你抓住了本質。」
鄭明陽有些激動，「很多學生學完整本教材都拎不清這句話，你一周就明白了。」
趙一鳴在旁邊默默喝了口茶。
他想起自己當年學群論，花了整整一個月才想明白群是一種對稱的語言這句話，而陳末，一周，自己悟出來的。
人比人，氣死人。
討論繼續。
陳末又問了幾個問題，每一個都切中要害，每一個都讓鄭明陽更確信自己的眼光。
「鄭教授，我還有個問題。」
「你說。」
「您上周給我的書里，提到了伽羅瓦理論，我翻了翻，沒太看懂，但我大致知道，它講的是域擴張和群之間的關係。」
「對，伽羅瓦理論是數學史上最偉大的理論之一，它把高次方程是否有根式解的問題轉化成了一個群論問題。」
「我有個猜想。」
陳末的聲音透過屏幕傳來，帶著一絲不確定，「如果域擴張的伽羅瓦群是可解群，那麼對應的方程就有根式解。
反過來，如果伽羅瓦群不是可解的，比如五次以上的對稱群，那方程就沒有根式解，是這個意思嗎？」
屏幕那頭，鄭明陽手中的筆啪嗒一聲掉在桌上。
「你……」
他的聲音有些發抖，「你看書看到這裡了？」
「只是翻了翻，沒完全懂。」
陳末老實說，「但您剛才講Burnside引理的時候，我忽然想到，那個對應關係是不是有點像，群作用在域上，然後不變量就是中間域？」
「對！非常對！」
鄭明陽猛地拍了一下桌子，「伽羅瓦對應說的就是，中間域和子群之間有一一對應！」
趙一鳴湊到屏幕前，聲音裡帶著不可思議，「陳末，你確定你之前沒學過這些？」
「沒有。」陳末搖頭。
趙一鳴沉默了。
鄭明陽心中也充滿了震撼，過了好一會兒他才想起來，「對了，你這周有做我布置的習題嗎？」
「做了。」
陳末把筆記本舉到攝像頭前。
滿滿二十頁，每一道題都寫了詳細過程，有的題還附了兩種解法。
鄭明陽掃了一眼，眉頭漸漸舒展，然後變成震驚，最後變成一種他許久未曾體驗過的情緒，狂喜！
「這些題是我從研究生習題集裡挑的。」
他喃喃道，「他竟然全做對了，而且有的解法比參考答案還簡潔。」
趙一鳴在一旁補充：「還順手把環同態定理推測出來了。」
兩人對視一眼，都從對方眼中看到了同一個意思，這個學生，必須收！
「陳末同學。」鄭明陽正色道，「我再問你最後一個問題。」
「您說。」
「你有沒有考慮過，將來要做數學家？」
屏幕那頭沉默了片刻。
然後，陳末說了一句讓兩位教授都沒想到的話，「我不知道。」
「我一開始只是不想讓父母失望，想考上好大學，後來學得多了，發現數學真的很美，每次理解一個定理，都像在黑暗中看到一束光。」
「所以我不會現在就給自己設限，數學家也好，工程師也好，只要是在探索未知，我就喜歡。」
鄭明陽怔住了。
他帶過很多學生，有人是為了好工作，有人是為了光宗耀祖，有人是真的熱愛數學，但很少有人能像陳末這樣不設限，只跟隨好奇心。
陳末的野心很大，但他能夠駕馭嗎？
鄭明陽不知道，但陳末還年輕，還有足夠多的試錯空間。
「很好。」鄭明陽笑了，「那我們就順著你的好奇心教，你問什麼，我們講什麼，不講體系，不講順序，只講你想知道的。」
「真的？」陳末眼睛一亮。
「真的。」趙一鳴也笑了，「反正以你的速度，自學也快得很，我們只是在旁邊敲敲邊鼓。」
屏幕上，少年露出了燦爛的笑容。
屏幕前，兩位教授也笑了。